Appunti sui numeri complessi e i polinomi.

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1 INDICE 1 Apputi sui umeri complessi e i poliomi. Roberto Cateacci Versioe del 7 Marzo 011 Idice 1 Equazioi quadratiche. Numeri complessi. Radici - esime dell uità. 9 4 Poliomi Poliomi ciclotomici. 1

2 1 EQUAZIONI QUADRATICHE. 1 Equazioi quadratiche. Ua equazioe quadratica i x è ua equazioe della forma: ax + bx + c = 0 dove a, b, c soo umeri reali e a 0. No è difficile risolverla; quado = b 4ac 0 la stessa formula vale ache se < 0, ma e parleremo dopo) si ha: x = b ± b 4ac a Ci soo due tipi di equazioi quadratiche; quelle che hao soluzioi razioali ovvero che si possoo scrivere ella forma m/ co m e umeri iteri relativi e 0) e quelle le cui soluzioi soo irrazioali. Le soluzioi soo razioali quado è il quadrato di u umero razioale. Esempi di umeri irrazioali soo,, π. Dimostriamo che è irrazioale. Suppoiamo che sia razioale; allora = m/, co m e seza fattori comui; elevado al quadrato si ha: m =. Questo sigifica che m è u umero pari e quidi ache m lo è questa ultima osservazioe deriva dal fatto che il quadrato di u umero dispari è u umero dispari, ifatti k + 1) = 4k + 4k + 1; ora usiamo ache il seguete fatto: se la proposizioe A implica la proposizioe B, allora la proposizioe o-b implica la proposizioe o-a. m dispari implica m dispari allora m o-dispari cioè pari implica m o-dispari cioè pari). Allora m = k e quidi 4k = cioè = k così è pari e ache lo è. Allora sia m che soo umeri pari e quidi hao i comue almeo il fattore. Questa è ua cotraddizioe perchè abbiamo supposto che m e siao seza fattori comui. La cotraddizioe si risolve solo egado l assuto che sia razioale. Il ragioameto precedete è u esempio di dimostrazioe per assurdo, il metodo cosiste ell assumere falsa la proposizioe che si vuole dimostrare e cercare di otteere ua cotraddizioe. Questo risultato si geeralizza abbastaza facilmete: le radici -esime dei umeri iteri soo umeri irrazioali a meo che il umero o sia ua -esima poteza. Dimostreremo questo teorema che useremo el corso di Algebra) più sotto, dopo aver discusso alcue proprietà dei poliomi. La formula risolutiva delle equazioi di secodo grado data sopra implica che ua tale equazioe ha, al più, due soluzioi. Se = b 4ac = 0 l equazioe ha ua sola soluzioe meglio dire due soluzioi coicideti), se = b 4ac > 0 l equazioe ha due soluzioi distite. Se = b 4ac < 0 l equazioe o ha soluzioi reali; itroducedo i umeri complessi si possoo estrarre le radici quadrate dei umeri egativi e si ripristia la simmetria: ua equazioe di grado due ha sempre due soluzioi distite o coicideti). Due equazioi a 1 x + b 1 x + c 1 = 0 e a x + b x + c = 0 hao le stesse soluzioi se e solo se soo proporzioali, cioè se esiste ua costate k 0 tale che ka 1 = a, kb 1 = b, kc 1 = c. Questa osservazioe è utile perchè ci cosete di scrivere subito, seza risolvere l equazioe, la somma e il prodotto delle sue soluzioi: siao α e β le soluzioi dell equazioe ax +bx+c = 0. Ache l equazioe: ax α)x β) = ax aα + β)x + aαβ = 0

3 NUMERI COMPLESSI. ha ovviamete le stesse soluzioi, e quidi, cofrotado co l equazioe origiaria, si trova: α + β = b/a e αβ = c/a. Esempio: data l equazioe 8x 9x+ = 0, trovare ua equazioe che abbia come soluzioi i quadrati delle soluzioi dell equazioe data. Siao α e β le soluzioi: si ha α + β = 9/8 e αβ = 1/4. Notiamo ache che α + β ) = α + β) αβ = 49/64 e α β = 1/16. Quidi l equazioe richiesta, trovata seza risolvere l equazioe di parteza, è x α + β )x + α β = x 49x + 1 = Questo metodo fuzioa per trovare equazioi le cui radici siao fuzioi simmetriche ua fuzioe f di α e β è simmetrica se fα, β) = fβ, α)) delle radici dell equazioe data; ifatti tutte le fuzioi simmetriche si possoo scrivere i fuzioe delle due fuzioi simmetriche elemetari f 1 α, β) = α + β e f α, β) = αβ. Esempio: α + β = α + β) αβα + β). Numeri complessi. Per itrodurre i umeri complessi si parte di solito dal fatto che l equazioe x + 1 = 0 o ha soluzioi el campo dei umeri reali. Si iveta allora ua soluzioe dell equazioe data e la si chiama i. Si tratta poi i come u ormale umero a cui si applicao le solite regole di calcolo algebrico e allora si ottiee i = 1. Si scrivoo poi tutti i simboli del tipo a + ib co a e b umeri reali e si postulao per essi le usuali regole di calcolo algebrico: ecco i umeri complessi. U modo più covicete per itrodurre i umeri complessi è quello di farli discedere direttamete dalle coppie di umeri reali. Idichiamo co R il campo dei umeri reali co le solite operazioi e co C il campo dei umeri complessi. U umero complesso è ua coppia ordiata di umeri reali a, b) R R, cioè C = {a, b) : a, b R}. Defiiamo a, b), c, d) C le segueti operazioi : i) somma: a, b) + c, d) = a + b, c + d); ii) prodotto: a, b) c, d) = ac bd, ad + bc). Viee aturale idetificare a R co la coppia a, 0) C, cioè ogi umero reale può essere pesato come umero complesso C è u ampliameto di R, cioè R C. L elemeto 0, 1) C, si deota co i ed è detto uità immagiaria. Si ha Prediamo a, b) C: i = i i = 0, 1) 0, 1) = 1, 0) = 1. a, b) = a, 0) + 0, b) = a, 0) + 0, 1) b, 0) = a + ib,

4 NUMERI COMPLESSI. 4 cioè ogi umero complesso può essere scritto ella forma a + ib, detta forma algebrica, a è chiamata parte reale, ib è la parte immagiaria. Le operazioi tra umeri complessi scritti i forma algebrica si eseguoo co le regole del calcolo letterale: a + ib) + c + id) = a + ib + c + id = a + c) + ib + d); a + ib) c + id) = ac + iad + ibc + i bd = ac + iad + ibc bd = ac bd) + iad + bc). Dato z = a + ib, si defiisce il umero complesso coiugato z = a ib. I umeri complessi 0 ovvero quelli per cui a + b 0) hao u iverso: 1 z = z zz = a ib a + b Ifatti z 1 a ib = a + ib) z a + b = 1 Per mettere i forma algebrica ua frazioe co u umero complesso a deomiatore, si può moltiplicare umeratore e deomiatore per il coiugato del umero, osservado che zz = a + ib) a ib) = a iab + iab i b = a + b. Rappresetazioe geometrica dei umeri complessi Fissiamo el piao u sistema di riferimeto cartesiao Oxy. U umero complesso a, b) può essere pesato come puto del piao π piao complesso): a rappreseta l ascissa e b l ordiata. Osservazioi. 1) Se z R z = a, 0) z sta sull asse x detto asse reale). ) Se z = ib, cioè z è immagiario puro z = 0, b) sta sull asse y detto asse immagiario). ) La moltiplicazioe per i equivale quidi a ua rotazioe di 90 i seso atiorario. Forma trigoometrica di u umero complesso: sia z = a + ib u umero complesso e sia P la sua immagie sul piao π. Associamo a z due coordiate polari ρ, θ): 1) ρ = a + b è detto modulo di z ed è la lughezza del segmeto che cogiuge l origie co il puto P ; ) θ è detto aomalia o argometo di z, è l agolo tra ρ e il semiasse positivo delle x ed è idividuato a meo di multipli di π. Dalla trigoometria si ha che a = ρ cos θ e b = ρ si θ

5 NUMERI COMPLESSI. 5 Si ottiee quidi: cos θ = a ρ = Dalle formule precedeti si ottiee: a a + b e si θ = b ρ = a + ib = ρ cos θ + i si θ), b a + b. detta forma trigoometrica del umero complesso a + ib. Due umeri complessi o ulli z 1 = ρ 1 cos θ 1 + i si θ 1 ) e z = ρ cos θ + i si θ ) soo uguali se ρ 1 = ρ e θ 1 = θ + kπ, co k itero. Teorema. Dati z 1, z C, il loro prodotto è z 1 z = ρ 1 ρ [cos θ 1 + θ ) + i si θ 1 + θ )]. Tale regola vale ache per u umero qualsiasi di fattori. Se i fattori soo uguali, si ha la formula di De Moivre: Esempio: [ρ cos θ + i si θ)] = ρ cos θ + i si θ), N. 1 + i) 14 = cos π/4 + i si π/4)) 14 = 18cos π/) + i si π/)) = 18i ifatti 14π/4 = 7π/ = 4π π/ provate solo a pesare di dover fare il calcolo seza la formula di De Moivre per capire l importaza!). Se si coviee di porre [ρ cos θ + i si θ)] 0 = 1, e, per ρ 0, [ρ cos θ + i si θ)] = 1 [ρ cos θ + i si θ)] = ρ [cos θ i si θ)] = [ ρ cos θ) + i si θ) ] quidi la formula di De Moivre vale per Z. Radici -esime dei umeri complessi. Sia z C e N. I umeri w C tali che w = z, si dicoo radici -esime di z. Prediamo z = ρ cos θ + i si θ) e sia w = rcos ϕ+i si ϕ) ua radice -esima di z. Si deve avere w = z r cos ϕ + i si ϕ) = ρ cos θ + i si θ) r = ρ e ϕ = θ + kπ, k Z r = ρ radice aritmetica) e ϕ = θ + kπ, k Z.

6 NUMERI COMPLESSI. 6 L ultima formula dà ifiiti valori per ϕ, ma solo soo distiti k = 0, 1,..., 1 poi si ripetoo a meo di multipli di π). Teorema. z = ρ cos θ + i si θ) ammette radici -esime w distite date dalla formula ) [ w = z = θ ρ cos + kπ ) θ + i si + kπ )], ella quale si poe k = 0, 1,,..., 1. L asterisco serve solo a distiguere la radice complessa da quella aritmetica). Gli umeri foriti da ), hao lo stesso modulo ρ, quidi le loro immagii sul piao complesso stao su ua circofereza di cetro l origie e raggio ρ. Scegliamo z = 1 = 1 + 0i = 1cos 0 + i si 0). Utilizzado ), troviamo le radici -esime dell uità: ɛ k = 1 = [ 1 cos 0 + kπ ) + i si 0 + kπ )] = cos kπ kπ + i si, co k = 0, 1,,..., 1. Le radici -esime dell uità si rappresetao geometricamete come vertici di u poligoo regolare di lati, iscritto i ua circofereza di raggio 1, co u vertice el puto 1, 0). Le radici -esime dell uità servoo ache per calcolare le radici -esime di qualsiasi umero: basta moltiplicare ua qualsiasi radice complessa del umero per le radici -esime dell uità. Ifatti sia ζ ua qualuque radice -esima di z, poedo ζ k = ζɛ k si ottegoo tutte le radici di z, ifatti: ζ k ) = ζɛ k ) = ζ ɛ k = z Esempi. Calcolare le tre radici cubiche complesse di 8. Scriviamo 8 i forma trigoometrica: 8 = 8 + 0i = 8cos 0 + i si 0). w k = 8 = 8 cos kπ ) kπ + i si, k = 0, 1,. Quidi w 0 = cos 0 + i si 0) = ; w 1 = cos π + i si π ) = 1 ) + i = 1 + i ; w = cos 4π + i si 4π ) = 1 ) i = 1 i. Le tre radici cubiche di 8 soo:, 1 + i e 1 + i.

7 NUMERI COMPLESSI. 7 Calcolare le quattro radici quarte di 1 + i. Si ha: ρ = 1 + =, cos θ = 1 e si θ = θ = π 1 + i = cos π + i si π ). Applicado la ) co k = 0, 1,,, si ha w k = i = 4 [ π cos 6 + kπ ) π + i si 6 + kπ w 0 = 4 [ cos π 6 + i si π ] ) = i1 ) = + i ; w 1 = 4 [ π cos 6 + π ) π + i si 6 + π )] = 4 cos π + i si π = 4 1 ) ; 4 + i ) = 1 + i ; w = 4 [ π ) cos 6 + π w = 4 [ π cos 6 + π Calcolare le sei radici seste dell uità. Si ha: π )] + i si 6 + π = 4 cos 7π 6 + i si 7π ) 6 ) = 4 4 i1 ) = i ; ) π + i si 6 + π )] = 4 cos 5π + i si 5π ) = 4 1 ; 4 i ) = 1 i. ) ) )]. ɛ k = 6 1 = cos kπ 6 Quidi ɛ 0 = cos 0 + i si 0 = 1; ɛ 1 = cos π + i si π = 1 + i ; ɛ = cos π + i si π = 1 + i ; ɛ = cos π + i si π = 1; kπ + i si, co k = 0, 1,,, 4, 5. 6

8 NUMERI COMPLESSI. 8 ɛ 4 = cos 4π + i si 4π = 1 i ; ɛ 5 = cos 5π + i si 5π = 1 i. Le sei radici trovate soo i vertici di u esagoo regolare. Formula di Eulero. Cosideriamo la fuzioe espoeziale di variabile complessa f z) = e z, z C, defiita formalmete co la stessa serie che si usa per defiire l espoeziale reale. Valgoo le cosuete proprietà delle poteze: e z e w = e z+w ; e z /e w = e z w ; e z ) = e z, co z, w C, Z. Se z = x + iy, co x, y R, si trova, scrivedo esplicitamete le serie coivolte, Quidi è Quest ultima è la formula di Eulero. Si ha e e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i si y). e iy = cos y + i si y). e πi = cos π + i si π = 1 + 0i = 1 e z+πi = e z e πi = e z, cioè l espoeziale e z è periodica di periodo πi. Ioltre Esempio. i = 0 + 1i = cos π + i si π = e π i ; 1 = 1 + 0i = cos π + i si π = e π. e iy = cos y) + i si y) = cos y i si y.

9 RADICI N - ESIME DELL UNITÀ. 9 Radici - esime dell uità. Abbiamo visto che le radici - esime dell uità soo espresse dagli umeri complessi: ɛ k = cos kπ kπ + i si, co k = 0, 1,,..., 1. E facile verificare, utilizzado la defiizioe e la formula del prodotto di umeri complessi i forma trigoometrica: z 1 z = ρ 1 ρ [cos θ 1 + θ ) + i si θ 1 + θ )] che l isieme delle radici - esime dell uità è u gruppo abeliao; il prodotto è dato esplicitamete da: ɛ k ɛ h = ɛ j dove j = k + h) mod E chiaro che l elemeto eutro del gruppo è ɛ 0 = 1 e che l iverso di ɛ k è: U altro risultato utile è: ɛ k ) 1 = ɛ k ɛ k ) 1 = ɛ k Questo gruppo è ciclico, ovvero tutti i suoi elemeti soo poteze positive di u qualche suo elemeto, detto allora geeratore. Si verifica subito ifatti che, per ogi : ɛ k = ɛ 1 ) k Vogliamo ora capire, dato, quali soo i geeratori del gruppo delle radici - esime oltre ovviamete ɛ 1 ). Il puto di parteza è la seguete osservazioe: sia ɛ k ua radice - esima, se MCD, k) = d allora ɛ k è ache radice - esima. Ifatti basta calcolare: d ɛ k ) d = cos kπ + i si kπ ) ) ) d kπ kπ = cos + i si = cos kπ kπ + i si d d d d = 1 Perchè k è per ipotesi divisibile per d. Diamo ora la seguete defiizioe: ɛ k è radice primitiva se è radice - esima ma o radice m - esima co 1 m <. Ovvero se ɛ k ) = 1, ma ɛ k ) m 1 per 1 m <. Ovviamete ɛ 1 è sempre primitiva. Si vede subito che ɛ k è primitiva se e solo se MCD, k) = 1. La dimostrazioe procede per assurdo; se ifatti MCD, k) 1 l osservazioe precedete implica che ɛ k o è primitiva, ifatti ɛ k ) d = 1 e <. Viceversa d se ɛ k o è primitiva, allora ɛ k ) m = 1 per qualche m, 1 m <. Ovvero, essedo ɛ 1 sempre primitiva, esiste u itero h tale che km = h. Questo implica che MCD, k) 1, perchè se fosse 1, per u teorema dimostrato i corsi precedeti, esisterebbero due iteri x, y tali che x + ky = 1 e quidi, moltiplicado per m si ha: m = mx + kmy = mx + hy = mx + hy) e questo è assurdo perchè 1 m < implica che m o possa essere divisibile per.

10 4 POLINOMI. 10 Esempio: cosideriamo le radici seste dell uità vedi più sopra): M CD6, k) = 1 per k = 1, 5 e ifatti si vede subito che ɛ = 1 è ache radice quadrata, metre ɛ e ɛ 4 soo ache radici cubiche: 1 ) + i = 1 ) i = 1. Possiamo ora cocludere facilmete che i geeratori soo tutte e sole le radici primitive, ifatti solo per le radici primitive le poteze distite soo proprio. Si mostra ache u altro fatto iteressate: ogi radice - esima è d - esima primitiva per ogi d divisore di. Sia ifatti ɛ k ) = 1 e sia d il più piccolo itero positivo per cui ɛ k ) d = 1 questo d si dice periodo o ordie di ɛ k ) allora dividedo per d si ha = qd + r co 0 r < d) allora si avrebbe 1 = ɛ k ) = ɛ k ) qd ɛ k ) r = ɛ k ) d) q ɛk ) r = ɛ k ) r E quidi deve essere r = 0 perchè altrimeti d o sarebbe il più piccolo e quidi d deve essere divisore di. Osserviamo ache che segue che se è primo e quidi o ha divisori o baali, tutte le radici 1 soo primitive. Viceversa è ovvio che se d divide ogi radice d - esima è ache - esima. Cocludiamo co altre iteressati proprietà delle radici -esime dell uità: 1 ɛ k = 0 ɛ k = 0 1 Ifatti si ha, posto 1 0 ɛ k = S, ɛ 1 S = S osservado che ɛ 1 ɛ 1 = ɛ = ɛ 0 ) e quidi S = 0. 1 ɛ k = 0 ɛ k = 1 se è dispari e 1 se è pari 1 Ifatti ɛ k = 1 1 ɛ 1 ) k = ɛ 1 ) ɛ 1 )... ɛ 1 ) = ɛ 1 ) +1) Allora se è dispari, = m + 1, e quidi +1) = m e allora ɛ 1 ) m = ɛ 1 ) ) m = 1, metre se è pari, = m, e quidi +1) = m + 1) e allora ɛ 1 ) m+1) = ɛ 1 ) m ɛ 1 ) m = ɛ 1 ) m = cos mπ 4 Poliomi. mπ + i si mπ mπ = cos + i si m m = 1 U poliomio a coefficieti reali o complessi) ella idetermiata x è u espressioe

11 4 POLINOMI. 11 P x) = a 0 + a 1 x + a x a x co a 0, a 1,..., a R o C), a 0, detti coefficieti del poliomio e N, detto grado del poliomio: = deg P x). Se a = 1, il poliomio è detto moico. L isieme dei poliomi i x su R o C) è deotato co R [x] o C [x]). Il poliomio ullo, è per defiizioe, il umero 0 ad esso, secodo la ostra defiizioe, o si potrebbe attribuire u grado, perchè o c è essu per cui a è diverso da zero; si coviee, per covezioe, attribuirgli qualsiasi grado vogliamo). U poliomio costate è il poliomio ullo oppure u poliomio di grado 0. Due poliomi i x soo uguali se hao uguali i coefficieti delle poteze di x corrispodeti. I poliomi si sommao e si moltiplicao secodo le regole ote del calcolo letterale. Si usa deotare co R [x] o C [x]) l isieme dei poliomi di grado al più, icludedo ache il poliomio ullo. Algoritmo della divisioe. Dati due poliomi Ax), Bx) R [x], soo determiati i modo uico i poliomi Qx) quoziete) e Rx) resto) i R [x], tali che Ax) = Bx)Qx) + Rx) co Rx) = 0 oppure deg Rx) < deg Bx). Se deg Ax) =, deg Bx) = m: i) se m deg Qx) = m e deg Rx) < m; ii) se m > Qx) = 0 e Rx) = Ax). Se el poliomio Ax) R[x], x è sostituita da u c R, il risultato è u elemeto di R e lo stesso vale se ivece di R lavoriamo i C). Esempio. Ax) = x x + R[x] A) = = 11 R. Teorema del resto. Siao Ax) R[x] e Bx) = x c, co c R. Il resto della divisioe di Ax) per Bx) è Ac). Ifatti Ax) = x c)qx) + Rx) e poedo x = c si ottiee Ac) = Rc) = Rx) perchè il grado del resto deve essere, i questo caso, zero il grado del resto è miore del grado del poliomio divisore) e quidi Rx) è u poliomio costate. Esempio. Ax) = x x +, Bx) = x. Rx) = A) = 11. Il risultato si può facilmete verificare eseguedo la divisioe tra i due poliomi. Dati Ax), Bx) R[x] co Bx) 0, diciamo che Ax) è divisibile per Bx) se Ax) = Bx)Qx), cioè se il resto della divisioe è 0. c R si dice radice o zero) di u poliomio Ax) R[x] se Ac) = 0.

12 4 POLINOMI. 1 Teorema di Ruffii. divisibile per x c). Se Ax) R[x] e c R, allora c è radice di Ax) Ax) è Teorema fodametale dell algebra. Ogi poliomio P x) C[x] di grado 1, ha sempre radici i C. U poliomio a coefficieti reali o è detto che abbia sempre radici reali, ma chiaramete se z è ua radice, ache z lo è. Ne cosegue che u poliomio a coefficieti reali di grado dispari deve avere sempre almeo ua radice reale. Questo fatto deriva ache da u oto teorema di aalisi Teorema degli zeri di Bolzao): u poliomio a coefficieti reali è ua fuzioe reale cotiua e, se ha grado dispari, per x ± tede all ifiito co valori di sego discordi; deve quidi passare per zero. Se il poliomio è moico e le radici soo x 1,..., x allora possiamo scomporre il poliomio ella forma P x) = x x 1 )x x )...x x ). Se ua radice compare k volte ella scomposizioe, diciamo che ha molteplicità algebrica k. I questo caso essa è radice o solo del poliomio, ma ache delle sue derivate fio all ordie k 1. Se il poliomio o è moico basta riscriverlo così: a 0 + a 1 x + a x a x = a a 0 a + a 1 a x + a x x ) = a x x 1 )x x )...x x ) dove ora le radici soo quelle del poliomio moico a 0 a + a 1 a x + a x x. L isieme dei poliomi a coefficieti iteri, razioali, reali o complessi è u aello commutativo co uità co le operazioi di somma e prodotto usuali. U poliomio P x) è ua uità se esiste u altro poliomio Qx) tale che P x)qx) = 1. Se i coefficieti soo i u campo le uità soo tutti e soli i poliomi costati diversi da zero. U poliomio P x) 0 si dice irriducibile se o è ua uità, e quado P x) = Ax)Bx), almeo uo dei due poliomi Ax) e Bx) è ua uità. La riducibilità o meo di u poliomio dipede ovviamete dall aello i cui si cosiderao i coefficieti. Ad esempio il poliomio x è riducibile sui reali: x = x ) x + ), metre è irriducibile sui razioali perchè o è u razioale). Acora x + è riducibile sui complessi: x + = x i ) x + i ), metre è irriducibile sui reali perchè i o è u reale) I poliomi irriducibili sui complessi soo solo quelli di grado 1 segue dal teorema fodametale dell algebra) metre sui reali soo quelli di grado 1 e quelli di grado due seza radici reali. Ifatti tutti i poliomi di grado maggiore di due soo riducibili sui reali: possiamo ridurci

13 5 POLINOMI CICLOTOMICI. 1 sempre al caso di grado pari se è di grado dispari abbiamo visto che ha almeo ua radice reale α e quidi basta dividere per x α) e, i questo caso, le radici reali o complesse appaioo a coppie, β e β. Il poliomio è quidi divisibile per il poliomio reale: P x) = x β) x β ) = x β + β ) x + ββ Ad esempio, calcolado le radici quarte di 1, che soo: ), 1 i 1 ), 1 i 1 ), 1 i + 1 ), i si trova: x = x x ) + 1 x + x ) + 1 Per i poliomi a coefficieti iteri vale u iteressate risultato Teorema delle radici razioali: sia P x) = a 0 + a 1 x + a x a x u poliomio a coefficieti iteri e suppoiamo che r = c co c e d primi fra loro, sia ua radice razioale d di P x). Allora c divide a 0 e d divide a. Dimostrazioe. Si ha quidi: c c c ) a 0 + a 1 d + a a = 0 d) d Moltiplicado per d si ottiee: a c = a 1 c 1 d a 1 cd 1 + a 0 d e cosegue che a c è divisibile per d, ma siccome d o divide c allora deve dividere a. Aalogamete possiamo scrivere ivece: a c + a 1 c 1 d a 1 cd 1 = a 0 d E dedurre come sopra che c deve dividere a 0. Questo teorema ha ua cosegueza molto iteressate: cosideriamo l equazioe x a = 0 co a itero. Se x = c fosse ua soluzioe razioale, il teorema dimostrato sopra implica d che d = 1 perchè a = 1, e quidi x = r deve essere u itero. Allora ecessariamete a è ua poteza - esima di u itero. Quidi a è razioale se e solo se a è ua poteza - esima di u itero. Questo risultato sarà utilizzato el corso di Algebra. 5 Poliomi ciclotomici. I poliomi ciclotomici soo poliomi che hao come radici le radici primitive - esime dell uità; soo molto iteressati e hao importatissime applicazioi i algebra teorica teoria dei campi fiiti) e applicata all iformatica codici correttori di errori).

14 5 POLINOMI CICLOTOMICI. 14 Defiizioe. Sia u umero itero positivo; la fuzioe di Eulero di, idicata co ϕ) è il umero dei umeri miori di e primi co. E ua fuzioe molto importate e la utilizzeremo el corso di algebra. Nella sezioe dedicata alle radici dell uità abbiamo dimostrato che ϕ) è ache il umero delle radici - esime primitive. Defiizioe. L - esimo poliomio ciclotomico Φ x) è il poliomio moico di grado ϕ) che ha come radici le radici - esime primitive: Φ x) = ϕ) k=1 x α k ) dove deotiamo co α k le radici - esime primitive. Se si cosidera il poliomio x 1, le sue radici soo tutte le radici - esime, quidi abbiamo la fattorizzazioe x 1 = x ɛ k ) k=1 dove ora ɛ k è ua qualsiasi radice -esima. Quidi Φ x) divide x 1. Sia ora ɛ k ua qualsiasi radice -esima e sia d il suo periodo se d = la radice è primitiva), cioè ɛ k ) d = 1, abbiamo già visto che d deve dividere e che, i questo caso, ɛ k è ache ua radice d - esima primitiva. Abbiamo allora, raggruppado i Φ d x) tutte le radici - esime di periodo d x 1 = d Φ d x) Dove il prodotto è esteso a tutti i d divisori di. Per = 1 otteiamo ovviamete Se p è u umero primo, Φ 1 x) = x 1 x p 1 = Φ 1 x)φ p x) = x 1) Φ p x) Per cui Φ p x) = xp 1 x 1 = 1 + x + x x p 1 Dalle formule precedeti possiamo allora otteere facilmete i primi poliomi ciclotomici: Φ 1 x) = x 1 1) Φ x) = 1 + x ) Φ x) = 1 + x + x ) Φ 4 x) = 1 + x 4) Φ 5 x) = 1 + x + x + x + x 4 5) Φ 6 x) = 1 x + x 6) Φ 7 x) = 1 + x + x + x + x 4 + x 5 + x 6 7) Φ 8 x) = 1 + x 4 8)

15 5 POLINOMI CICLOTOMICI. 15 Si può dimostrare che i poliomi ciclotomici hao sempre coefficieti iteri e soo irriducibili sui razioali. Cotrariamete alle appareze i coefficieti o soo solo 1, 0, 1. Ad esempio, il primo poliomio ciclotomico i cui appare ache u coefficiete è Φ 105 x). Notate che 105 = 5 7 è il più piccolo itero che è il prodotto di tre primi dispari distiti...e ciò o è per iete casuale...