Lezione 2 Potenze. Radicali. Logaritmi

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1 Lezione Potenze. Rdicli. Logritmi. Potenze con esponente nturle Definizione. Se n N e n 6= 0, si chim potenz n-esim del numero rele, opotenz con bse ed esponente n, e si indic col simbolo n, il prodotto di n fttori uguli d n = {z... }. nvolte Se 6= 0, si ttribuisce significto nche ll potenz con esponente nullo, ponendo: Esempi. 5 = =3 ( 3) 3 =( 3) ( 3) ( 3) = 7 µ µ = 3 µ = n =, per qulunque n N 0 7 =0 0 =. 0 0 èprivodisignificto. Ricordimo le fondmentli proprietà delle potenze: Proprietà.3 Sino, b due numeri reli e n, m due numeri nturli. Allor: n m = n+m n : m = n m (se 6= 0en m) ( n ) m = n m =( m ) n n b n =( b) n n : b n =( : b) n (se b 6= 0) Queste proprietà vengono uste come regole di clcolo.

2 Esempi.4 µ 4 3 µ µ = 4 3+ µ = 4 5 = 4 04 ( ) 3 =( ) 6 =64= ( ) 3 7 : 4 = 7 4 = 3 =8 µ 3 µ 3 µ 3 3 = µ 3 = = µ :3 =(:3) = = Attenzione lle prentesi: in generle ( n ) m èdiversod (nm).adesempio,( 3 ) = 6 =64 mentre 3 = 9 =5. Proprietà.5 Se voglimo stbilire il segno di n, possimo osservre che per ogni numero rele e per ogni numero nturle n sihche n 0sen èpri, n h lo stesso segno di se n èdispri. Inoltre nel confronto tr potenze con l stess bse >0 vlgono le seguenti proprietà: dti due numeri nturli m, n tli che 0 m<n se >, si h m < n ; se 0 <<, si h m > n ; Invece nel confronto tr potenze con ugul esponente n vle l seguente proprietà: dti due numeri reli, b se 0 <b si h n <b n. ATTENZIONE. Se nche un sol delle bsi è negtiv tutte le proprietà prim citte possono non essere vere (vedi esempi.6). Esempi.6 Confrontimo le seguenti coppie di potenze: 3 e 5 :lbseè > ; gli esponenti sono 3 e 5 (e 3 < 5). Quindi 3 < 5. µ 3 µ 5 e :lbse µ 3 µ 5 è < ; gli esponenti sono come sopr. Quindi >. ( ) 3 e( ) 5 :lbse è < 0. Ricordimo che ( ) 3 = 3 e( ) 5 = 5.Poiché 3 < 5, si h 3 > 5,cioè( ) 3 > ( ) 5. ( ) 3 e( ) 4 :lbse è < 0. Ricordimo che ( ) 3 = 3 e( ) 4 = 4, e osservimo che 3 < 0 < 4.Quindi( ) 3 < ( ) 4. ( 3) 3 e( ) 3 : le bsi, e 3, sono < 0. Ricordimo che ( 3) 3 = 3 3 e( ) 3 = 3. Poiché 3 < 3 3,sih 3 3 < 3,cioè( 3) 3 < ( ) 3. ( 3) e( ) : le bsi, e 3, sono < 0. Ricordimo che ( 3) =3 e( ) =,e osservimo che < 3.Quindi( ) < ( 3).

3 . Potenze con esponente intero reltivo Dto un numero nturle n, per ogni bse 6= 0definimo l potenz con esponente negtivo n nel seguente modo n = n. In ltre prole, n èilreciprocodi n. A questo punto simo in grdo di clcolre le potenze con ogni esponente intero reltivo e bse 6= 0. Definizione.7 Se k Z, k 6= 0 k =... {z } k volte... {z } k volte se k>0 se k<0. Ricordimo che per k =0sipone k =. Le usuli proprietà delle potenze elencte in.3 continuno vlere nche per m, n Z. Esempi.8 µ 5 3 µ 7 3 = µ = µ 3 = µ = (3 ) =3 = 9 Ã µ 5! µ = 5 = Osservzione.9 L moltipliczione di un numero, espresso in form decimle, per 0 n h l effetto di spostre il punto decimle di n posizioni verso destr se n è positivo, di n posizioni verso sinistr se n è negtivo. Ad esempio, moltiplicndo il numero 0.43 per 0 = 00, ottenimo 4.3; moltiplicndolo invece per 0 =, ottenimo Quest proprietà viene utilizzt per dre ll rppresentzione decimle di un numero un form più comptt e significtiv, in qunto ne evidenzi l ordine di grndezz: tle form èdettno- tzione scientific. Siprocedecosì: cerchimo l prim cifr divers d zero ( prtire d sinistr) dell rppresentzione decimle di, che chimimo cifr significtiv di ; contimo di qunti posti e in che verso dobbimo spostre il punto decimle perché lcifr significtiv diventi l cifr delle unità; usimo l proprietà per scrivere il numero come prodotto di un potenz di 0 per un numero chehlcifrsignifictiv di come cifr delle unità. 3

4 Ad esempio, = e b = 305 hnno entrmbi 3 come cifr significtiv. Tli numeri si scrivono in notzione scientific come = e b = Il fttore 0 n che compre nell scrittur in notzione scientific, permette di individure l ordine di grndezz del numero. Ad esempio: 3.5 = è dell ordine delle unità, cioè < 0, 3500 = è dell ordine delle miglii, cioè 0 3 = < 0 4, = è dell ordine dei millesimi, cioè 0 3 = < 0. Si noti che si le clcoltrici tscbili, che i più sofisticti elbortori elettronici, rppresentno in memori i numeri in notzione scientific. L visulizzzione estern sul disply è nell notzione usule, meno che non si richied esplicitmente che il risultto veng espresso in notzione scientific o che il risultto stesso si molto piccolo o molto grnde. Di solito, per risprmire spzio, il numero 0 è sostituito dl crttere E o semplicemente omesso. Si provi clcolre3 4,3 30,3 5 e3 6 con l propri clcoltrice tscbile. 3. Rdici di numeri reli Ci chiedimo se, dti un numero rele non nullo () e un numero intero n>, esiste un numero rele b tle che si b n = ; cioèse,dti ed n, è possibile esprimere come potenz n-esim di un ltro numero b. Se <0 dovremo distinguere il cso in cui n èunnumeropridquelloincuièunnumerodispri. Invece se >0lrispostèsempreffermtiv e possimo nche chiedere che il numero b che stimo cercndo si positivo. Precismente, se >0 esiste un unico numero b>0tlecheb n =. Questo numero si chim () rdice n-esim di esiscriveb = n. Se <0edn èunnumeropri non c è nessun numero rele b tle che b n = : inftti b n èun numero 0! Se <0edn èunnumerodispri esiste un unico numero b<0tlecheb n =, b = n. Denoteremo nche questo numero con n. Nell scrittur n, n è detto indice, rdicndo. Esempi.0 4 = (inftti 4 = ) 4 3 è un numero rele che pprtiene ll intervllo (, ). 3 8= 8 non h significto. q ( 7) = 49 = 7 = 7 epiùingenerle: = (e non ). Inftti, qulunque si il segno di, risult 0, e quindi esiste ed èunnumero 0. ) Trscurimo il cso =0,poichéè ovvio che il solo numero b tle che b n =0è b =0,cioè, con l terminologi che introducimo in questo prgrfo: n 0=0. ) Tlor il ftto che il numero b cercto è positivo viene sottolineto chimndo ritmetic quest rdice. 4

5 È importnte osservre che ogni numero rele positivo (o nullo) mmette sempre un e un sol rdice n-esim. Ess èunnumeropositivo (o nullo) rele che verific l uguglinz ( n ) n =. Allor, volendo interpretre n come un potenz e volendo che continui vlere l proprietà dell potenz di potenz, scriveremo n = /n. D or in poi l bse nelle potenze e il rdicndo nei rdicli srnno sempre > 0 4. Potenze con esponente rzionle Dto il numero rele >0eduenumeriinterim>0en>0risult( n ) m =( n ) m = n m = ( m ) n. Ciò suggerisce di interpretre questo numero rele > 0 come un potenz. Precismente, dto il numero rele >0elfrzione m,conm>0en>0, definimo n m n =( n ) m = n m. Ponimo inoltre m n =. m n Osservzione. Osservimochedtounnumerorele>0 e un numero intero positivo r, si h n = nr r 4.Adesempio: = 3 = 0 5 = 8 =... Piùingenerle, n m = nr mr, cioè m n = mr nr. e mr nr rppresentno lo stesso numero rzionle, le due cor- Detto diversmente, se due frzioni m n rispondenti potenze di bse sono uguli. Dunque bbimo ppen definito le potenze con bse rele >0 ed esponente rzionle. Anche per le potenze con esponente frzionrio vlgono le proprietà.3. Ad esempio: sino e b reli > 0em, n, p, q interi ; llor mn ( n ) p q m m n = + p q, ossi = mn, ossi mn b m m n n =(b), ossi n m q p = nq mq+np p m n = mn n m n b m = n m b m. Vedere i rdicli come potenze permette di risolvere un serie di piccoli problemi collegti con le operzioni sui rdicli riconducendoli più semplici problemi di clcolo frzionrio (eliminndo l necessità di ricordre le regole reltive l clcolo dei rdicli). Ad esempio : 5 3 = 3/5 = (3/5) = /5 = 5. Altre situzioni del genere vengono illustrte negli esempi successivi. L osservzione. è utile per confrontre (o moltiplicre o dividere) due potenze con esponente frzionriodiversooduerdicliconindicediverso. 5

6 Esempio. Se voglimo confrontre 3 /6 e /4, scrivimo i due esponenti in modo che bbino lo stesso denomintore: = e = 3. Or 6 = =(3 ) =9, mentre 4 = 3 =( 3 ) = 8. Visto che 9 > 8, risult 3 /6 > /4. Anlogmente, =9 8 =7. Se voglimo stbilire qul èilnumeropiùgrndetr 3 9e 5 osservimo che 3 9= 3 3 =3 /3 e 5=5 /. Scrivimo i due esponenti in modo che bbino lo stesso denomintore: = e = 3. Or 3 9=3 4/6 =(3 4 ) /6 =(8) /6 mentre 5=5 3/6 =(5 3 ) /6 = (5) /6. Visto 6 che 8 < 5, risult 3 9 < 5. Anlogmente, = (5)/6 (8) /6 = µ /6 r 5 5 = L stess osservzione. si pplic qundo si vuole portre sotto il segno di rdice un vlore esterno. Esempi.3 Per ridurre d un unico rdicle il numero 3 5, bst riscrivere come un rdicle (quello con lo stesso indice del rdicle che lo segue): 3 5= = 3 8 5= Similmente, per ridurre d un unico rdicle 0 3: 0 3= 400 3= 00. Ancor l stess proprietà si pplic ( rovescio) per semplificre i rdicli, nel senso di portre fuori dl segno di rdice tutti i fttori possibili. Esempi.4 Semplifichimo i seguenti rdicli Scomponendo 80 in prodotto di potenze di numeri primi si ottiene: 80 = 4 5, quindi: 3 80 = 3 4 5= 3 0; 000 = 0 3 = 0 0 = 0 0; 4 b = b; 8 9 b 0 c 4 = 8 8 b 8 b c 4 = b 8 b c 4,se>0eb>0 (3). 3) Invece senz quest limitzione, cioè se, b, c sono numeri reli qulunque si h 8 9 b 0 c 4 = b 8 b c 4 6

7 5. Potenze con esponente rele Prendimo in esme l uguglinz 6 =64. Abbimovistocheunmododileggerlèdireche ilnumerocheelevtollsestpotenzdà64è, cioè 6 64 =. Abbimo cioè fissto l nostr ttenzione sull esponente 6 dell potenz e ci simo chiesti qul è l bse in corrispondenz ll qule ottenimo 64. Possimo però nche fissre l nostr ttenzione sull bse e chiederci qule esponente l dobbimo elevre per ottenere 64 (ovvimente 6). Prim rispondevmo ll domnd or invece rispondimo ll domnd Qul è l rdice sest di 64? Qul èillogritmo in bse di64? Non sempre l domnd qul èl esponentechedevodrebper ottenere? mmette rispost. Ad esempio, non esiste lcun c tle che c =64,poiché c = perognic. Ancor, non esiste nessun numero rzionle c = m tle che 3 m n =64,perchéquestosignificherebbe n 3 m =64 n = 6n eciònonè possibile, in qunto le potenze di sono tutte diverse dlle potenze di 3. Quest second difficoltà può essere ggirt dndo un senso ll scrittur b con b numero rele qulunque. Senz entrre nel dettglio dell definizione, osservimo solo tre cose fondmentli.. in quest definizione deve essere un numero rele positivo (diverso d zero), poiché per definire b si considerno numeri rzionli r che pprossimno b con precisione vi vi mggiore e si clcolno poi le potenze (con esponente rzionle) r : or, noi sppimo che, d esempio, hsensosoloper 0, mentre = hsensosoloper6= 0 e quindi, dovendo tener conto di entrmbi i tipi di condizioni, si deve chiedere >0;. l potenz b èsempreunnumero> 0 qulunque si l bse (rele positiv) e l esponente rele b; 3. per le potenze con bse rele > 0 ed esponente rele, vlgono le proprietà dellepotenze. In prticolre b c = b+c c b c =(b) c ( b ) c = bc 7

8 NOTA Queste sono nell loro form più generle le proprietà lgebriche delle potenze! A prte le difficoltà teoriche insite nell definizione di potenz con bse ed esponente rele, rimne il problem prtico di come (lmeno) stimre il vlore di un numero come 3 (o peggio π ). Esminimo solo il primo cso che è meno complicto. L pprossimzione decimle per difetto di rrestt ll qurt cifr decimle è.44, cioè.4 < <.5.4 < <.4 ecc. Le proprietà di confronto tr potenze ci dicono che se >eb<cnche b < c equindi: 3.4 < 3 < < 3 < 3.4 ecc. Visto che 3.4 =3 7/5 = e 3.5 =3 3/ = sicurmente 3 è compreso tr questi due vlori. Qunto più precisè l pprossimzione dell esponente tnto più piccolo è l intervllo in cui 3 risult compreso. Ad esempio se considerimo 3.44 = e3.443 = , evidenzimo un intervllo in cui cde 3 di mpiezz inferiore 0 3.Sipuòdire questo punto che le prime cifre dell rppresentzione decimle di 3 sono Questo è sostnzilmente ciò che f un clcoltrice qundo trov per 3 l pprossimzione È desso chiro che dto un qulunque esponente rele b eunnumerorelepositivoc, èsempre possibile trovre un (e un sol) bse tle che vlg l uguglinz b = c: lbse = c /b. Ad esempio, perché risulti 5 = π, sideveprendere = π / Logritmi Tornimo invece ll ltro problem ccennto ll inizio del precedente prgrfo: dt l bse rele >0e6= e il numero rele c>0 esiste un esponente rele b tle che b = c? Questo problem h sempre un e un sol soluzione: l esponente b cercto si chim logritmo in bse di c e si indic con il simbolo Quindi log c. log c = b seesolose b = c. Esempi.5 log 3 9 = inftti l esponente che dobbimo dre 3 per ottenere 9=3 è log 4= inftti l esponente che dobbimo dre µ per ottenere 4 = è log = 3 inftti l esponente che dobbimo dre 0 per ottenere 000 =0 3 è 3 log 5 5= inftti l esponente che dobbimo dre 5 per ottenere 5 = 5 è. ATTENZIONE. Fisst l bse >0e6= possimo clcolre log c solo se c>0. Scritture come log 0olog ( ) sono prive di senso. 8

9 Proprietà dei logritmi Direttmente dll definizione log c = b se e solo se b = c si vede che log =0 log () = log c = c Inoltre, se x>0 e y>0 (e come sempre >0 e 6= ) si h che log x =log y se e solo se x = y log (xy) =log x +log y log x d = d log x Infine, se 0 <x y si h: log x log y se > log x log y se 0 << Esempi.6 log (/5) = log (5 )= log 5 log 0 (37/7) = log 0 (37 7 )=log log 0 (7 )=log 0 37 log 0 7 log 6 (8/5) = log 6 (9/5) =(log 6 (9/5)) = (log 6 9 log 6 5) 3log 6 0 =3log 0 /6 = log 0 = log ( 5) = (log +log 5) = ( + log 5) Nell ultimo esempio vremmo potuto nche scegliere di lvorre in quest ltro modo: 3 log 6 0 = log =log 0 : m se ci fermimo qui ci riesce difficile cpire qunto vle quel logritmo, mentre riscrivendolo come ( + log 5) cpimo che deve vlere un po piùdi ( + ) =.5, visto che =4< 5 e quindi = log ( ) < log 5. Come sempre, l scelt di qule semplificzione fre (cioè diquleproprietà pplicre) dipenderà dll uso che si vuol fre del logritmo! Esempi.7 log (/9) + log 36 + log 4 = log (9 )(9 4) (8 3) = log ( 5 3) = 5 log +log 3 log 4 3 πr3 =log 4 log 3+log π +3log r (r >0) log ()+log ( 3 )+log ( 5 ) log ( 7 )=( ) log =0 (>0). Regol del cmbimento di bse Spesso è utile sper convertire il logritmo d un bse d un ltr. Ad esempio le clcoltrici scientifiche hnno di solito due funzioni che dnno rispettivmente il logritmo in bse 0 e il cosiddetto logritmo nturle, m non clcolno il logritmo nelle ltre bsi. Dte due bsi, b (con >0, b>0, 6=,b 6= )sih,perogninumerorele positivo x log b x = log x log b. 9

10 Esempio.8 Se voglimo trsformre log 0 3 in bse, bst scrivere log 0 3= log 3 log 0. Se invece voglimo clcolre con l clcoltrice log 34 bst scrivere log 34 = log 0 34 log 0 µ Osservzione.9 Ricordimo che log =elog =. Quindi, se nell formul del cmbimento di bse ponimo x = ricvimo: log b = log b b = ricvimo: log x = log x = log x. log µ L prim formul può servire per fornire qulche risultto in form più comptt; l second è ssi più utile poiché ci dice che qundo dovremo studire i logritmi bsterà che ci occupimo di quelli con bse >, visto che se 0 << il reciproco di è >. Esempio.0 Voglimo clcolre log 5 log Risult +log 5 +log 5 =log 5 5+log 5 =log 5 0 = log 0 5 ; log 5= log 0 5 log 0 ; log = log 0 e quindi l frzione si può riscrivere come (log 0 5) log 0 log 0 5 = (log log 0 0 5). Osservzione. L utilizzo dei logritmi è molto frequente in Mtemtic. In pssto, qundo non c erno mezzi di clcolo utomtico, erno un potente mezzo per semplificre il clcolo di espressioni complicte, visto che trsformno moltipliczioni e divisioni in somme e sottrzioni, potenze in prodotti, rdici in rpporti. In quel contesto si sono ffermti i logritmi in bse 0. Ciò è logico, poiché qundosiscrivonoinumeriinformdecimleè fcile individure lmeno l ordine di grndezz dei logritmi. Ad esempio log 0 (73) è sicurmente un numero compreso tr e 3, visto che 0 < 73 < 0 3 ; invece log 0 (0.056) è sicurmente un numero compreso tr e, visto che 0 < < 0. Come di consueto, nelle lezioni successive il logritmo in bse 0 di c viene indicto più semplicemente con Log(c). Invece il logritmo nturle di c, chevieneindicto di solito con ln (c) o nche con log(c), h origini più legte ll Anlisi Mtemtic (e non se ne trtterà in queste lezioni). 0