Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di

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2 DEFINIZIONE Espressione algebrica costituita dal prodotto tra una parte numerica (coefficiente) e una o più variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e costanti possono comparire elevate a potenza (esponente intero positivo). ESEMPI 3 x, 2 xy 2, 7, abx 5

3 Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di seguito è da riferirsi a monomi in forma normale. Il grado (complessivo) di un monomio è dato dalla somma degli esponenti dei fattori letterali. Due monomi si dicono simili se hanno uguale parte letterale. Operazioni tra monomi

4 DEFINIZIONE Espressione algebrica composta dalla somma di monomi. Se tutti i monomi componenti sono non simili tra loro, il polinomio si dirà in forma normale (tipico). Ciascun monomio è detto termine. Il grado (complessivo) di un polinomio è dato dal massimo grado dei monomi componenti. Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli

5 D ora in avanti lavoreremo soltanto con polinomi a coefficienti reali contenenti una sola variabile. Un tale polinomio di grado n si può rappresentare nel seguente modo: n (1) n a ax ax ax Per questi polinomi definiamo l operazione di divisione tra polinomi e ne mostriamo per mezzo di esempi l algoritmo per effettuarla.

6 Un polinomio come quello della (1) può essere interpretato come funzione reale di variabile reale p ( x) x 2 = a + ax+ a + + a x e quindi rappresentato graficamente. Cercare le soluzioni dell equazione p( x ) = 0 significa di conseguenza cercare le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione polinomiale con l asse x. n n

7 Sfortunatamente però "Non esiste nessuna formula per le radici di una generica equazione polinomiale di quinto grado (o superiore) in funzione dei coefficienti del polinomio, che usi solo le normali operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) e l'applicazione di radicali (radici quadrate, radici cubiche, etc.)" teorema di Abel-Ruffini Possiamo però avvalerci della scomposizione in fattori primi di un polinomio.

8 Gli strumenti a nostra disposizione per scomporre un dato polinomio in fattori primi sono: Raccoglimento a fattor comune Raccoglimento a fattor parziale Riconoscimento di prodotti notevoli Trinomio di secondo grado Teorema e regola di Ruffini

9 Un polinomio a coefficienti reali in una variabile reale non è in generale scomponibile nel prodotto di soli binomi di primo grado (eventualmente elevati a potenze con esponente intero e positivo), potrebbero essere presenti fattori di grado superiore che però non si annullano per nessun valore della variabile. La scomposizione in fattori primi di un polinomio è unica. Volendo determinare il minimo comune multiplo o Massimo Comun Divisore tra due (o più) polinomi è necessario scomporli in fattori primi e poi applicare le stesse regole che si usano per i numeri.

10 DEFINIZIONE Espressione algebrica del tipo due polinomi. dove A e B sono Perché la definizione abbia senso bisogna che valga la condizione B 0 (condizione di esistenza). Scomponendo i due polinomi in fattori primi è possibile che alcuni siano semplificabili. La frazione che si ottiene è da considerarsi equivalente a quella di partenza (minimi termini). A B

11 Tra frazioni algebriche sono consentite tutte le quattro operazioni algebriche e l elevamento a potenza. Queste si operano in analogia a quelle tra frazioni numeriche e sfruttando quanto visto in precedenza per le operazioni tra polinomi. Data una frazione algebrica ridotta ai minimi termini nella quale il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore è in generale possibile scriverla come somma di frazioni più semplici (numeratori di grado inferiore).

12 DEFINIZIONE uguaglianza tra due espressioni che possono contenere variabili verificata per tutti i possibili valori assunti dalle variabili ESEMPI ( 2 3) + 5 = 11 a + b = a + b + 2ab ( ) identità numerica Identità algebrica

13 DEFINIZIONE un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche contenti una o più variabili, che prendono il nome di incognite, verificata solo per determinati valori assunti dalle incognite ESEMPIO Data l equazione 2x+ 3 = x+ 1 con x l uguaglianza è verificata solo per x = 2

14 I valori dell incognita (incognite) che verificano l uguaglianza vengono detti soluzioni dell equazione. In generale i tre casi possibili per una data equazione sono che essa ammetta nessuna, un numero finito o infinite soluzioni È importante specificare l insieme di definizione delle variabili dell equazione (dominio). Infatti nell insieme dei numeri naturali l equazione dell esempio non ammette soluzioni ( 2 ), mentre ne ammette una ed una sola nell insieme dei numeri interi come abbiamo visto

15 DEFINIZIONE Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni TEOREMA 1 Sommando o sottraendo una stessa espressione a primo e secondo membro di un equazione si ottiene un equazione ad essa equivalente NOTA Il primo membro di un equazione è l espressione che si trova a sinistra del segno di uguaglianza, il secondo membro l espressione a destra

16 TEOREMA 2 Moltiplicando o dividendo primo e secondo membro di un equazione per una stessa espressione si ottiene un equazione ad essa equivalente. Quando si divide bisogna che il dividendo sia diverso da zero Per le altre operazioni (elevamento a potenza, estrazione di radice, logaritmo, etc.) non vale in generale l equivalenza. La si può ottenere introducendo altre condizioni

17 EQUAZIONI DI I GRADO (UNA VARIABILE) un equazione di I grado (lineare) in una incognita, per quanto complessa possa essere, si può ridurre, tramite le usuali regole dell algebra elementare e i teoremi appena visti, nella forma Tre casi sono possibili: ax + b = 0 con a, b 1) a 0 una e una sola soluzione 2) a = 0 e b= 0 infinite soluzioni ( x ) 3) a = 0 e b 0 nessuna soluzione b x = a

18 EQUAZIONI DI II GRADO (UNA VARIABILE) un equazione di II grado (quadratica) in una incognita può essere messa nella forma Posto 2 ax bx c a b c a = 0 con,, e 0 = b 4ac tre sono i casi possibili: >0 1) due soluzioni ne esiste una forma ridotta x = ± 2 b b 4ac 2a

19 =0 <0 2) una soluzione (due coincidenti) 3) nessuna soluzione Casi particolari b x = 2a c 1) b = 0 le soluzioni sono x = ± con c a 0 a c = 0 x 0 2) le soluzioni sono b = x= a

20 EQUAZIONI DI I GRADO (DUE VARIABILI) Possono sempre essere messe nella forma ax + by + c = le soluzioni di questa equazione sono, per definizione, tutte le coppie ordinate di numeri 2 reali ( xy, ) che sostituite nell equazione la trasformano in un identità, cioè verificano l equazione stessa. Si dimostra facilmente che tali coppie sono infinite 0

21 Sia data l equazione di I grado a due variabili x+ y+ 1= 0 si dimostra facilmente che l equazione kx + ky + k = 0 k rappresenta l insieme di tutte e sole le equazioni equivalenti a quella data (forma implicita). Altrettanto facilmente si dimostra che l insieme delle coppie ordinate di numeri reali h, h 1 h ( ) contiene tutte e sole le soluzioni dell equazione data e quindi di ogni equazione ad essa equivalente

22 In conclusione è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l insieme delle equazioni di I grado a due variabili equivalenti ad una data e l insieme delle sue soluzioni kx + ky + k = 0 k h, h 1 h ( )

23 EQUAZIONI DI II GRADO (DUE VARIABILI) Possono essere sempre messe nella forma 2 2 ax by cxy dx ey f = le soluzioni sono infinite coppie ordinate di 2 numeri reali ( xy, ) Un caso particolare è quello che si ottiene per b= c= 0 e e= 1 l equazione si può scrivere 2 y = ax + bx + c 0

24 Un ragionamento analogo a quello fatto per le equazioni di I grado a due variabili può essere fatto per le equazioni di II grado a due variabili, vale a dire che l insieme delle equazioni equivalenti ad una data può essere messo in corrispondenza biunivoca con l insieme delle sue soluzioni