Dai numeri naturali ai numeri reali

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1 .1 Introduzione Dai nueri naturali ai nueri reali In questa unità didattica vogliao riprendere rapidaente le nostre conoscenze sugli insiei nuerici (N, Z e Q), e successivaente apliarle a coprendere i nueri irrazionali e i nueri reali. A tal fine riprendereo in aniera organica le otivazioni, storiche e non, che hanno portato, a partire dall insiee dei nueri naturali, all introduzione di insiei nuerici più vasti, piuttosto che ripassare la definizione delle operazioni e le relative proprietà in tali insiei. Vedreo quindi che otivazioni analoghe portarono (e portano) all introduzione dei nueri irrazionali, sui quali si può operare in aniera consueta. Definito l insiee R dei nueri reali (unione degli insiei di nueri razionali e irrazionali), ci occupereo di un aspetto operativo fondaentale del calcolo nuerico, ossia degli errori di approssiazione.. Dai naturali ai razionali I nueri naturali, = { 0,1,,,... } sono stati creati dalla ente uana per contare gli oggetti di vari insiei, e non hanno alcun riferiento alle caratteristiche individuali degli oggetti contati; ad esepio il nuero 6 è un astrazione di tutti gli effettivi insiei contenenti sei oggetti, e non dipende né dalle qualità specifiche di tali oggetti né dal sibolo utilizzato. I nueri interi relativi, = {...,, 1,0, + 1, +, +,... } di cui si ha traccia già nel VI secolo d.c., sono stati utilizzati per rappresentare grandezze che possono essere considerate in due versi opposti, per la pria volta da Newton nel 600. Ad esepio: - la teperatura di una località o di un corpo può essere al disopra o al disotto dello zero (essendo lo 0 la teperatura del ghiaccio fondente); - l altitudine di un punto della terra può trovarsi al disopra o al disotto del livello del are (livello che si assue, per convenzione, coe altitudine zero). A fianco di questa otivazione pratica dell estensione dei nueri naturali agli interi relativi ve n è un altra, più sottile e prettaente aritetica: nell insiee dei nueri naturali si possono sepre eseguire le operazioni fondaentali di addizione e oltiplicazione, a non le operazioni inverse, ossia la sottrazione e la divisione. Liitiaoci per ora a considerare la sottrazione: la differenza a b dei due nueri naturali a e b, definita coe quel nuero naturale x tale che b + x = a, ha significato solo con la restrizione a > b, perché solo in tal caso la differenza x è un nuero naturale. I passi fondaentali per riuovere tale restrizione furono l introduzione dei siboli 1, -, -, e la definizione a b = ( b a) se a < b Ciò ha reso la sottrazione possibile senza restrizioni nell insiee dei nueri interi positivi e negativi. Per poter lavorare con questa aritetica più estesa abbiao dovuto ovviaente definire le operazioni sui nueri interi relativi in odo tale che fossero antenute le proprietà originarie delle operazioni aritetiche. Tutte le regole di calcolo che perettono di operare con i nueri interi (coe la regola dei segni per il prodotto, oppure la definizione di differenza tra due interi coe soa del prio con l opposto del secondo) non devono essere diostrate, in quanto sono state create dagli uoini per avere libertà nelle operazioni e antenere le proprietà fondaentali dell aritetica; ciò che invece è stato diostrato (e che anche noi avreo dovuto diostrare) è solo che, sulla base di tali definizioni, si antengono le proprietà coutativa, associativa, distributiva dell aritetica. Questo odo di procedere estendendo un insiee nuerico in odo tale che le leggi che valgono nell insiee originario continuino a valere nell insiee più esteso prende il noe di procediento di GENERALIZZAZIONE. Anche l introduzione dell insiee dei nueri razionali, 1

2 = x = ±, n, n 0 = { nueri deciali finiti o periodici} n, coe estensione dei nueri interi è stata dettata da una doppia necessità. Una necessità pratica, cioè quella di non dover soltanto contare singoli oggetti, a di dover isurare delle quantità, coe lunghezze, aree, pesi, tepi; tali isure aettono suddivisioni in parti "piccole quanto si vuole". Per risolvere il problea, il prio passo è ridurre la questione del isurare al problea del contare. Coinciao con lo scegliere un unità di isura del tutto arbitraria, secondo, etro, grao, a seconda del caso, a cui attribuiao la isura 1. Contiao poi il nuero di tali unità che sono contenute nella quantità da isurarsi. Un certo corpo, ad esepio, può pesare esattaente 54 grai. In generale, però, questo procediento non conduce ad un risultato esatto, cioè la quantità data non avrà una isura che si possa espriere esattaente con ultipli interi dell unità di isura prescelta. Al assio potreo dire che essa è copresa tra due ultipli successivi dell unità, ad esepio tra e grai. Quando questo accade, si copie un altro passo introducendo nuove unità di ordine inferiore, ottenute con la suddivisione dell unità originaria in un nuero n di parti uguali. Nel linguaggio ordinario queste nuove unità possono avere noi speciali; ad esepio, il etro si suddivide in 10 decietri, l ora in 60 inuti, il grao in 10 decigrai, etc. In ateatica, counque, un unità di ordine inferiore ottenuta suddividendo l unità originaria in 1 n parti uguali si indica con il sibolo n ; e se una data quantità contiene esattaente di queste unità di ordine inferiore, la sua isura si indica con il sibolo chiaa frazione (o rapporto).. Tale sibolo si L altra otivazione per l estensione dei nueri interi ai nueri razionali è prettaente aritetica, e deriva dal fatto che in Z il quoziente tra due nueri a e b è definito solo se esiste un terzo nuero intero q tale che b q = a, ossia se b è un divisore di a. L introduzione del sibolo a / b, detto frazione, che per definizione è tale che a b = a b, risolve il problea (restando l unica restrizione b 0 ). Anche nel caso dei nueri razionali, coe nel caso degli interi relativi, abbiao a suo tepo definito le operazioni su di essi in odo tale da antenere inalterate le proprietà forali valide in N ( generalizzazione). Pria di affrontare il passo successivo, ossia di estendere ulteriorente il nostro insiee nuerico Q, sofferiaoci ancora un oento sull insiee Q stesso per riprenderne la rappresentazione geoetrica, poiché ci sarà utile nel seguito.

3 . Rappresentazione geoetrica dei nueri razionali. Q è denso Data una retta, fissiao l origine O, e prendiao un segento U coe unità di isura, ad esepio il centietro. Riportiao più volte U consecutivaente a partire da O sia verso destra che verso sinistra: Ai punti, B, A, O, A, B, facciao corrispondere i nueri interi,-, -1, 0, 1,,. Ognuno di tali punti si dice iagine del corrispondente nuero. Con procediento analogo ± si può deterinare il punto iagine di un nuero frazionario qualsiasi n : si costruisce il segento U e lo si riporta sulla seiretta OA o OA a seconda del segno. Il terine di n questo segento è il punto iagine della frazione considerata. È evidente che i punti iagine delle frazioni si inseriscono tra i punti iagine dei nueri interi. Osserviao un particolare fondaentale: Per ogni nuero intero ne esiste un altro che iediataente lo precede nella successione ordinata dei nueri interi ed un altro che iediataente lo segue. Ad esepio il nuero intero è iediataente preceduto dal nuero intero 4 e seguito dal nuero intero. Altrettanto NON PUÒ DIRSI PER I NUMERI RAZIONALI: considerata una qualunque a a frazione b, se prendiao un altra frazione n aggiore di b a ad essa vicinissia (vicina quanto vogliao ), ne esiste counque un altra più vicina di quella da noi considerata. Si a + può infatti diostrare che la frazione b + n è tale che: a a + < < b b + n n Ad esepio consideriao le frazioni a b = e 9 n = 10, 9 che sono vicinissie ; ebbene la frazione 10 è più vicina ad 4 la frazione è ancora più vicina! 9 10 Questa proprietà si esprie dicendo che a b di quanto non lo sia n, e L insiee dei nueri razionali è un insiee denso: per ogni coppia di nueri razionali ne esistono infiniti altri tra essi copresi. A questo punto si potrebbe ragionevolente pensare che i punti iagine dei nueri razionali riepiano copletaente la retta, INVECE NON È COSÌ!!!

4 Infatti se ad esepio riportiao sulla retta nuerica il segento ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti isurano entrabi 1 otteniao un punto che non è iagine di alcun nuero razionale, ossia..4 I nueri irrazionali Diostriao innanzitutto che non è un nuero razionale, ossia che esistono nueri che non sono razionali. Supponiao per assurdo che sia un nuero razionale; allora esisterebbe una frazione irriducibile n tale che n =. Dal fatto che n è irriducibile (ossia che MCD(,n) = 1), segue che anche n deve essere irriducibile. Dall ipotesi che abbiao effettuato segue però che n = = n n, ossia che, e quindi che è ultiplo di. Siao pertanto arrivati ad una contraddizione, e quindi non può essere un nuero razionale. Abbiao dunque aleno un entità non appartenente a Q, quindi dobbiao apliare l insiee dei nueri razionali, ed anche in questo caso abbiao due otivazioni per farlo. 4

5 .5 Esigenza pratica di estendere Q Abbiao la necessità di isurare quantità che non sono espriibili coe frazioni dell unità di isura; ad esepio dobbiao poter isurare la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti isurino 1 e, oppure la lunghezza della diagonale di un quadrato il cui lato abbia isura 1. Il problea della isura delle grandezze geoetriche è ovviaente fondaentale nella trattazione di tutta la geoetria e pertanto necessita di una unità didattica dedicata. Counque, dal oento che tale problea è strettaente correlato ai nueri reali lo introduciao breveente adesso. Un insiee di figure si dice costituire una classe di grandezze geoetriche se è possibile definire per esse il concetto di uguaglianza e disuguaglianza, soa e differenza. A seconda delle particolari grandezze che si considerano, variano le definizioni di uguaglianza e soa, a esse devono essere tali che continuino a valere le note proprietà forali dell uguaglianza (riflessiva, sietrica e transitiva) e della soa (coutativa e associativa). Le grandezze appartenenti ad una stessa classe sono dette oogenee, quelle appartenenti a classi diverse sono dette eterogenee. Ad esepio, costituiscono classi di grandezze oogenee tutti i segenti, tutti gli angoli, etc. Due grandezze oogenee si dicono coensurabili se esiste una terza grandezza contenuta un nuero esatto di volte in entrabe le grandezze considerate (sottoultipla di entrabe). Ad esepio, i segenti A e B in figura sono coensurabili perché hanno coe sottoultipla coune il segento C. A = B 4 Il rapporto tra due grandezze coensurabili è un nuero razionale, unico per ogni coppia di grandezze. Coe abbiao già visto esistono grandezze oogenee incoensurabili, coe ad esepio il lato e la diagonale di un quadrato, ed è per poter espriere il rapporto tra grandezze di questo tipo che si introducono i nueri irrazionali. N.B.: In questo paragrafo abbiao fatto riferiento alle grandezze geoetriche, che sono ovviaente sepre positive. Quindi il nuero razionale corrispondente al rapporto tra due grandezze coensurabili è un nuero razionale assoluto. 5

6 .6 Esigenza aritetica di estendere Q e calcolo approssiato di A livello prettaente aritetico, la necessità di estendere l insiee dei nueri razionali nasce ancora una volta dall esigenza di effettuare senza restrizioni l inversa di una operazione razionale, ossia dell elevaento a potenza. Sappiao che è possibile estrarre esattaente solo la radice n-esia di un nuero che sia potenza n-esia, entre negli altri casi è possibile estrarre la radice solo con un certo grado di approssiazione. Ad esepio, sappiao che = 8, e quindi 8 =, a non possiao, con le operazioni razionali, calcolare quel nuero che elevato alla seconda dia coe risultato, ossia non possiao calcolare esattaente. Possiao però utilizzare il seguente etodo per calcolarlo approssiato. Coinciao con un approssiazione decisaente grossolana : consideriao i due nueri interi dei quali sappiao estrarre la radice quadrata (che sono cioè quadrati perfetti), che più si avvicinano al nuero (per eccesso e per difetto), ossia i nueri 1 e 4; poiché 1< < 4, si ha che 1 < < Possiao dunque scrivere che ~ 1, coettendo un errore di approssiazione che è al più di un unità. Per approssiarlo eglio procediao nel seguente odo: calcoliao ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 = 1,1; 1, = 1,44; 1, = 1,69;..., finché non deteriniao il prio nuero di questo tipo che supera, cioè Ciò significa che Scrivendo ( 1,4 ) < < ( 1,5 ) 1,5 =,5., e quindi che 1,4 < < 1,5. = 1,4 coettiao un errore di al più un decio. Miglioriao ancora: poiché ( 1,41) = 1,9881 < e ( 1,4) =,0164 >, allora 1,41 coettendo un errore che è al assio un centesio. 1,41 < < 1,4 e possiao scrivere ~ È evidente che si può continuare in questo procediento per quanto si vuole, ottenendo via via nueri che approssiano sepre eglio. Tornereo nel seguito sui calcoli approssiati e sugli errori di approssiazione; per ora liitiaoci ad osservare che i nueri utilizzati nel procediento di approssiazione sono ancora razionali e che tale procediento può andare avanti indefinitaente dando luogo ad un allineaento deciale illiitato non periodico. Ai siboli 5,, etc, diao il noe di nueri irrazionali; il terine ha origine dalla contrapposizione con razionale, da ratio = rapporto (espriibile tra grandezze oogenee coensurabili, Euclide 00 a.c.). N.B.: Quando si lavora sugli irrazionali espressi coe allineaenti deciali in realtà si lavora sepre e solo con approssiazioni, e se si vuole la precisione è necessario ricorrere al sibolo 5. Su questi nuovi enti, in accordo al principio di generalizzazione, si opera coe su quelli già noti col noe di nueri, ossia si definiscono le operazioni ed il concetto di uguaglianza in odo tale che siano conservate le proprietà forali. 6

7 N.B.: Con l introduzione del nuovo insiee nuerico, indicato con J, abbiao risolto solo in parte il problea dell operazione inversa dell elevaento a potenza, nel senso che nonostante la nostra estensione, abbiao ancora delle restrizioni: poiché, infatti, dalla definizione delle operazioni sui nueri relativi, sappiao che qualunque nuero, positivo o negativo, elevato a potenza di esponente pari dà coe risultato un nuero positivo, è evidente che non è counque possibile estrarre la radice pari di un nuero negativo! Tutte le considerazioni che fareo d ora in avanti, pur riguardando in generale i nueri relativi, daranno per inteso che si estragga la radice solo di nueri positivi. Ciò non deve indurre a pensare che i nueri irrazionali siano solo assoluti; basta infatti considerare, ad esepio, il nuovo nuero 5, opposto di 5 : esso è un irrazionale negativo! Questa osservazione serve solo a 4 precisare che se volessio poter calcolare, avreo bisogno ancora una volta di estendere il nostro insiee nuerico (ai nueri detti coplessi, nei quali si può effettivaente estrarre qualunque radice di qualunque nuero, positivo o negativo). L insiee dei nueri razionali e di quelli irrazionali costituisce l insiee dei nueri reali (il terine viene da Cartesio, 1600, in contrapposizione ad iaginario), che si indica con R. OSS: Si potrebbe forse pensare che i nueri irrazionali costituiscano solo delle eccezioni, più o eno rare, nell insiee dei nueri reali. Tale supposizione si rivela subito falsa se si pensa che ogni nuero razionale può dar luogo ad infiniti nueri irrazionali, applicando ad esso infinite operazioni diverse (ad es. estrazione di radice quadrata, cubica, quarta, etc) che danno risultati irrazionali. Questa considerazione pone già da sola in evidenza, coe si potrebbe anche diostrare, che la aggior parte dei nueri reali sono irrazionali, e che sono proprio i nueri razionali a costituire delle eccezioni nei nueri reali. 7

8 .7 I nueri reali. Esepi di successioni nueriche contigue Consideriao il nuero reale (intero) 6, e ragioniao coe se volessio approssiarlo. A partire da una approssiazione decisaente grossolana, coettendo un errore che è al più di due unità, possiao approssiarlo con il nuero razionale 5 o con il nuero razionale 7; affiniao ora la nostra operazione: se aggiungiao 9 decii a 5 e togliao 9 decii a 7, otteniao altri due nueri razionali, 5.9 e 6.1, che approssiano il nuero 6 eglio dei due 1 precedenti (l errore che si coette in questo caso è al più di 10 ). Miglioriao ulteriorente aggiungendo 9 centesii a 5.9 e togliendoli a 6.1, approssiando quindi il 6 con un errore di al più 10. Evidenteente, possiao procedere in questo odo quanto a lungo vogliao, ottenendo le due sequenze (1) di nueri razionali che approssiano il nuero 6 sepre eglio. 7 Passiao ad approssiare il nuero reale (razionale) =, : con un ragionaento del tutto siile al precedente si deterinano le due sequenze di nueri razionali,,,, (),4,4,4,4 che lo approssiano a eno di , 10, 10, 10,... Consideriao infine il nuero reale (irrazionale) che abbiao incontrato nel calcolarlo approssiato, e le due sequenze di nueri razionali 1 1, () 1,5 1, che approssiano il nuero a eno di 10, 10, 10, 10,... Analizziao con attenzione le tre coppie di sequenze costruite (1), () e (): a) esse sono costituite interaente da nueri razionali; b)la pria sequenza di ogni coppia è crescente, la seconda decrescente; c) tutti i nueri della pria sequenza di ogni coppia sono inori di tutti quelli della seconda sequenza; d) fissato un nuero positivo ε piccolo quanto vogliao è counque possibile trovare una posizione nelle due sequenze di ogni coppia per cui la differenza tra i due nueri in quella posizione sia inore di ε. Ad esepio, nella (), se fissiao ε = 1000 e consideriao la quinta posizione delle due sequenze, si ha che: = < ε = Le coppie di sequenze che verificano le proprietà appena esposte prendono il noe di successioni contigue di nueri razionali. È intuitivaente evidente che gli eleenti di due successioni contigue vadano sepre più avvicinandosi (per valori via via crescenti quelli della pria successione e via via decrescenti quelli della seconda) ad un nuero che, aggiore di tutti quelli della pria successione e inore di tutti quelli della seconda, costituisce quello che si dice l eleento separatore delle 8

9 due successioni. Nei tre casi visti negli esepi gli eleenti separatori sono rispettivaente 7 6, e. Feriao la nostra attenzione su quanto abbiao fatto. Siao partiti da tre nueri ben 7 deterinati, 6, e, abbiao costruito le corrispondenti coppie di successioni contigue, ed abbiao concluso che i tre nueri sono gli eleenti separatori delle tre coppie di successioni. Se ora in qualche odo ribaltiao il discorso, e lasciao da parte gli esepi concreti, possiao pensare che prendendo counque due successioni contigue di nueri razionali, ossia due sequenze nueriche che verifichino le proprietà a)-d) pria esposte, sia possibile identificare un nuero aggiore di tutti i nueri della pria successione e inore di tutti quelli della seconda, che sia l eleento separatore delle due successioni. Ebbene questa è proprio la definizione di nuero reale: ogni nuero reale è l eleento separatore di una coppia di successioni contigue di razionali. 9

10 .8 Rappresentazione geoetrica di due successioni nueriche contigue. Corrispondenza biunivoca retta-r Quanto detto sulle successioni contigue di nueri razionali riesce più chiaro ed evidente ricorrendo alla rappresentazione geoetrica dei nueri sulla retta. Consideriao una A = { A1, A, A,... } B = { B1, B, B,... } qualunque coppia di successioni contigue di razionali e ; tali successioni, essendo costituite da nueri razionali, sono rappresentabili geoetricaente sulla retta nuerica coe successioni contigue di punti; inoltre le proprietà b)-d) di cui godono le due successioni, si traducono in analoghe proprietà sui punti iagine degli eleenti delle successioni: b) i punti iagine degli eleenti della pria successione (ossia i punti A 1, A, A, ) si susseguono verso destra, entre i punti iagine della seconda successione (i punti B 1, B, B, ) si susseguono verso sinistra; c) ogni punto della pria successione precede tutti quelli della seconda; d) dato un segento l piccolo a piacere, si possono trovare due punti corrispondenti delle due successioni la cui differenza sia inore di l. Le proprietà b) e c) ed il concetto intuitivo che abbiao della retta coe linea continua ci suggeriscono che tra i punti della pria successione e quelli della seconda non deve esserci alcuna lacuna, quindi deve esistere aleno un punto P che separa i punti delle due successioni. Questa nozione intuitiva è foralizzata nel Postulato della continuità della retta di Cantor Dati su una retta due insiei di punti A e B, che verifichino le proprietà b) e c), vi è sulla retta aleno un punto P che separa i due insiei Inoltre, grazie alla proprietà d), si può diostrare che tale punto è unico. Grazie al postulato di Cantor, ogni nuero reale x ha la sua rappresentazione geoetrica (o iagine), corrispondente al punto P di separazione al quale tendono le due successioni contigue di punti razionali che definiscono x. Viceversa, possiao far corrispondere ad ogni punto P della retta orientata un deterinato nuero reale x, corrispondente alla isura del segento orientato OP rispetto al segento unitario fissato U; x prende il noe di ascissa del punto P. Riane così stabilita una corrispondenza biunivoca tra i nueri reali ed i punti di una retta. 10

11 .9 Cenni sulle operazioni e proprietà in R Abbiao esattaente definito che cosa sia un nuero reale, ossia l eleento separatore di due successioni nueriche contigue; possiao quindi indicare il generico nuero reale x con la coppia di successioni che lo definisce: x = ( A; B ) A = { A1 } con, A, A,... B = e { B, B, B,...} 1 A questo punto dovreo studiare coe sono definite tutte le operazioni sui nueri reali, x = ( A; B ) y = ( C; D ) ossia, dati due nueri reali e, dovreo definire la soa x + y coe eleento separatore di due successioni nueriche contigue, e fare altrettanto per l opposto, la differenza, il prodotto, il quoziente, la potenza, a partire dalle successioni che definiscono x ed y. Per chiarire, la soa x + y è definita coe l eleento separatore delle due successioni 19 ( A + C ) e ( B + D ), quindi, ad esepio, se x = 11 = ( A; B ) e y = = ( C; D ), con 4 A 1 A A A 4 A 5 A 6,,1,16,166,166. B 1 B B B 4 B 5 B 6 4,4,,17,167,166 C 1 C C C 4 C 5 C 6 0 0,7 0,79 0,791 0,7916 0,79166 D 1 D D D 4 D 5 D 6 1 0,8 0,8 0,79 0,7917 0, x y E F con 4 Risulta + = 11 + = ( ; ) E 1 E E E 4 E 5 E 6 4 4,1 4,107 4,108 4,1088 F 1 F F F 4 F 5 F 6 5 4, 4,1 4,109 4,1084 4,108 Successivaente dovreo diostrare che, avendo così definito le operazioni, continuano a valere per esse tutte le note proprietà. Tutta questa trattazione richiederebbe un tepo di notevole entità ed inoltre esula dalle finalità del nostro odulo. Pertanto non approfondiao l argoento, e nel seguito operereo coi nueri reali in aniera consueta, senza fare ricorso alle successioni nueriche contigue. Peraltro abbiao effettuato un salto logico di questo tipo anche in pria, quando abbiao lavorato sui nueri interi e razionali: pur sapendo che un nuero intero è definito coe coppia forata da un nuero naturale e da un segno, e che un nuero razionale è definito coe insiee infinito di frazioni equivalenti, li abbiao trattati tutti alla stessa stregua, anche se ognuno con le proprie peculiarità operative. 11

12 In conclusione, d ora in avanti il nostro insiee nuerico di riferiento sarà l insiee dei nueri reali, di cui N, Z, Q, e J costituiscono sottoinsiei: n a, a>0 a:b, b 0 a-b a+b e a*b 1

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