Metodi Monte Carlo sequenziali per modelli a volatilità stocastica con distribuzioni a code spesse
|
|
- Giovanna Grande
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso di Laurea magistrale (ordinamento ex D.M. 270/2004) in Economia e Finanza Tesi di Laurea Metodi Monte Carlo sequenziali per modelli a volatilità stocastica con distribuzioni a code spesse Relatore Ch. Prof. Roberto Casarin Laureando Denny Salmaso Matricola Anno Accademico 2012 / 2013
2 ii Ai miei genitori, che mi hanno permesso di arrivare fin qui
3 iii Sommario In questa tesi si stimano tre differenti modelli a volatilità stocastica con distribuzioni a code spesse utilizzando i metodi Monte Carlo sequenziali per la stima congiunta di parametri e stati. I modelli stimati vengono applicati a dati reali riguardanti i metalli preziosi, rame e petrolio, con lo scopo di combinare le tre densità di previsione ottenute per ciascuna serie ed utilizzare tale combinazione a fini previsivi. Viene proposta inoltre un applicazione in tema di portfolio composition analizzando le differenze tra l uso della combinazione di modelli diversi e del singolo modello migliore.
4
5 Indice Introduzione 1 Struttura della tesi Il modello a volatilità stocastica Modellare la volatilità Inferenza nei modelli state space Il Filtro di Hamilton Il Filtro di Kalman Metodi Monte Carlo sequenziali Modelli con distribuzioni a code spesse Filtraggio congiunto di parametri e stato Il modello Errori ɛ t N(0,1) Errori ɛ t t-student(ν) Errori ɛ t GEV(0,1,ξ) Stima della volatilità su dati reali Metodologia applicata Dati utilizzati e risultati Platino Oro Argento Rame Petrolio Riepilogo risultati Volatilità stocastica e selezione di portafoglio Conclusioni 61 v
6 vi INDICE A Grafici e stime numeriche 63 B Codici utilizzati 71 Riferimenti bibliografici 79
7 Elenco delle figure 1.1 Schema di ricampionamento Istogramma serie simulata normale Livelli serie simulata normale Parametri serie simulata normale Log-volatilità serie simultata normale RMSE serie simultata normale Istogramma serie simultata t-student Livelli serie simultata t-student Parametri serie simulata t-student Log-volatilità serie simultata t-student RMSE serie simultata t-student Istogramma serie simultata GEV Livelli serie simultata GEV Parametri serie simulata GEV Log-volatilità serie simultata GEV RMSE serie simultata GEV RMSPE platino, prezzi spot Volatilità platino, prezzi spot RMSPE platino, prezzi futures Volatilità platino, prezzi futures RMSPE oro, prezzi spot Volatilità oro, prezzi spot RMSPE oro, prezzi futures Volatilità oro, prezzi futures RMSPE argento, prezzi spot Volatilità argento, prezzi spot RMSPE argento, prezzi futures Volatilità argento, prezzi futures vii
8 viii ELENCO DELLE FIGURE 3.13 RMSPE rame, prezzi spot Volatilità rame, prezzi spot RMSPE rame, prezzi futures Volatilità rame, prezzi futures RMSPE petrolio, prezzi spot Volatilità petrolio, prezzi spot RMSPE petrolio, prezzi futures Volatilità petrolio, prezzi futures Selezione su serie futures oro combinata Selezione su serie futures oro GEV Selezione su serie futures petrolio combinata Selezione su serie futures petrolio GEV Densità previsiva, serie futures oro combinata Densità previsiva, serie futures oro GEV Densità previsiva, serie futures petrolio combinata Densità previsiva, serie futures petrolio GEV A.1 Grafici delle serie storiche, rendimenti spot A.2 Istogrammi delle serie storiche, rendimenti spot A.3 Grafici delle serie storiche, rendimenti futures A.4 Istogrammi delle serie storiche, rendimenti futures A.5 Grafico del discount rate A.6 Prezzo teorico T-Bill A.7 Grafico del tasso risk free
9 Elenco delle tabelle 2.1 Stime numeriche dei modelli simulati Selezione di portafoglio su oro e petrolio, serie futures combinata Selezione di portafoglio su oro e petrolio, serie futures GEV A.1 Statistiche descrittive delle serie spot A.2 Statistiche descrittive delle serie futures A.3 Stime dei parametri delle serie spot A.4 Stime dei parametri delle serie futures ix
10
11 Lista degli algoritmi 1 Sequential Importance Sampling (SIS) Sequential Importance Resampling (SIR) Auxiliary Particle Filter (APF) Filtro di Liu e West per la stima di parametri e stati (LWF) Algoritmo per la simulazione del modello gaussiano Algoritmo per la simulazione del modello t-student Algoritmo per la simulazione del modello GEV Filtro LW per la stima del modello GEV xi
12
13 Introduzione L uso della volatilità nelle strategie ed analisi finanziarie riveste un ruolo cruciale. Tuttavia ampio è il dibattito su come questa vada considerata e se sia o meno un indicatore che possa essere utilizzato come misura di rischio. Grazie alle ricerche di Bollerslev (1987) ed Engle (1982), si è passati da una forma di volatilità costante ad una dinamica. I modelli a volatilità stocastica si propongono di modellare la variabilità del fenomeno studiato tramite un processo casuale non osservabile con una propria componente di errore. Una rappresentazione possibile per questo tipo di modelli è quella state space, in cui un equazione descrive l evoluzione della variabile che si può osservare (equazione di misurazione) e un altra descrive l andamento della variabile non osservabile. La rappresentazione state space è naturale poichè il modello è generalmente definito in questa forma ed è altresì utile a fini econometrici in quanto diversi metodi di inferenza utilizzano questa rappresentazione. In questo tipo di specificazione e per i modelli non lineari trova naturale applicazione una metodologia di stima fondata sui metodi Monte Carlo sequenziali. Il lavoro sviluppato in questa sede di pone l obiettivo si verificare se l assunzione di normalità dei rendimenti di determinate attività finanziarie sia effettivamente la migliore ipotesi possibile o possa essere modificata al fine di migliorare eventuali strategie finanziarie di investimento. A tal fine, verranno stimati tre differenti modelli a volatilità stocastica che includono distribuzioni a code spesse e verranno utilizzati in previsione. Come bontà di previsione si utilizza il RMSPE che verrà utilizzato per determinare il modello migliore. Poichè i modelli forniscono in ogni caso informazioni aggiuntive sia sulla volatilità latente che sui rendimenti futuri attesi, non verrà considerato solamente il modello migliore bensì verrà implementato un modo per combinare le stime con finalità previsive. Si propone quindi un metodo per combinare le densità di previsione fornite dai modelli in modo da ottenere una distribuzione che tenga conto di tutte le informazioni disponibili. Per concludere si verifica l utilità del metodo 1
14 2 Introduzione presentato sul piano economico attraverso un esercizio di selezione di portafoglio. Per condurre l analisi fin qui esposta si è scelto di basarsi sui mercati dei metalli preziosi ed energetici in cui la elevata volatilità e la sua dinamica sono caratteristiche proprie degli assets scambiati. In particolar modo si sono analizzate le serie storiche dei prezzi sia spot che future di platino, oro, argento, rame e petrolio. La frequenza è giornaliera ed il periodo di analisi va da fine gennaio 2010 a dicembre 2013, per un totale di 1000 osservazioni per serie. Struttura della tesi Questa tesi è articolata nel seguente modo: Il primo capitolo fornisce una rapida rassegna della letteratura in tema di modelli state space e metodi Monte Carlo sequenziali. Il secondo capitolo presenta la metodologia di stima dei tre modelli utilizzati in questa tesi e verranno forniti i risultati riguardanti l applicazione dei modelli a dati simulati. Il terzo capitolo mostra i risultati dell applicazione a dati reali e propone un applicazione in tema di selezione di portafoglio. L appendice A contiene ulteriori dati e grafici che completano il lavoro presentato. L appendice B riporta i codici degli algoritmi Matlab utilizzati in questa tesi.
15 Capitolo 1 Il modello a volatilità stocastica 1.1 Modellare la volatilità L analisi dei rendimenti delle attività finanziarie ha più volte confermato che queste serie storiche presentano il fenomeno del volatility clustering, come affermato da Mandelbrot e Fama, a periodi di alta volatilità tenderanno a seguire periodi con volatilità altrettanto alta e viceversa nel caso in cui si osservi una variabilità moderata. Grazie ai contributi di Bollerslev (1987) ed Engle (1982), in letteratura si iniziò ad utilizzare una particolare classe di modelli che riesce a catturare determinate caratteristiche delle serie dei rendimenti, come le code più spesse rispetto a quelle di una normale standard ed il volatility clustering. Si ipotizzò quindi la seguente dinamica per i rendimenti r t = σ t ɛ t (1.1) in cui la serie r t è definita tramite una serie di variabili i.i.d. distribuite come una normale standard, ɛ t, e dalla volatilità σ t. Da questo modello è chiaro che la specificazione della dinamica per la volatilità abbia un ruolo importante in questa rappresentazione. Una prima dinamica utilizzata per σ t è quella di un processo autoregressivo di ordine p sui valori passati di r t al quadrato: α 2 t = α 0 + α 1 r 2 t α p r 2 t p Questo modello prende il nome di ARCH di ordine p (AutoRegressive Conditional Heteroskedacity) poiché la varianza condizionale dei rendimenti, data questa specificazione, risulta variabile nel tempo e non più costante V ar[r t D t ] = V ar[σ t ɛ t D t ] = E[σ 2 t D t ]E[ɛ 2 t D t ] = E[σ 2 t D t ] 3
16 4 CAPITOLO 1. IL MODELLO A VOLATILITÀ STOCASTICA dato che la distribuzione di ɛ t ha varianza unitaria, e D t indica tutta l informazione disponibile al tempo t. Tuttavia sono necessarie alcune assunzioni riguardo i parametri di tale processo affinché la varianza sia positiva e si può verificare che le condizioni sufficienti sono α 0 > 0 α k 0 k = 1, 2,..., k con almeno un termine α k strettamente maggiore di zero perché si produca eteroschedasticità nella serie. Uno dei principali problemi dei modelli ARCH consiste nel fatto che il numero di parametri da stimare potrebbe essere molto elevato a causa della persistenza nella volatilità. Una soluzione a questo problema è stata raggiunta generalizzando il modello ARCH seguendo le orme dei processi ARMA, dando vita ai cosiddetti modelli GARCH (Generalized ARCH). Essi assumono la stessa dinamica per i rendimenti, ma aggiungono un altra componente alla dinamica per la volatilità α 2 t = α 0 + α 1 r 2 t α p r 2 t p + β 1 σ 2 t β q σ 2 t q ed anche in questo caso è necessario imporre determinate condizioni sui parametri affinché si verifichi eteroschedasticità ed σ 2 sia positiva α 0 > 0 α k, β j 0 k = 1, 2,..., p j = 1, 2,..., q Come avviene anche per i processi AR ed MA infine, anche il processo GARCH(p,q) può essere scritto come un processo ARCH(p) di ordine infinito, se le soluzioni del polinomio in β sono tutte esterne al cerchio unitario. 1 Il vantaggio di questi modelli consiste nel fatto che il più delle volte la stima di un GARCH (1,1) porta ad un modello accettabile dal punto di vista statistico ed utilizzabile a fini previsionali. Uno sviluppo di tali modelli ha introdotto una dinamica aleatoria della volatilità. La volatilità stocastica è un processo latente di tipo autoregressivo e 1 Se l equazione caratteristica 1 β 1 z β 2 z 2 β q z q = 0 presenta soluzioni z i che sono tutte in modulo maggiori dell unità, allora il modello GARCH(p,q) può essere scritto come: αt 2 = α0 + αi rt i 2 i=1
17 1.2. INFERENZA NEI MODELLI STATE SPACE 5 non osservabile. La classe più semplice di modelli a volatilità stocastica usa la specificazione r t = exp (h t /2)ɛ t (1.2) h t = β 0 + β 1 h t 1 + η t (1.3) ɛ t η t ɛ t, η t N(0, 1) (1.4) che prende il nome di modello di Taylor (1986) (vedi anche Taylor (1994)) ed è la specificazione di riferimento che si userà nel corso di questa tesi. 2 In questo caso, r t rappresenta i log-rendimenti e conseguentemente h t rappresenta la log-volatilità, come si può osservare dalla seguente: V ar[r t D t, h t ] = E[e ht D t, h t ] = e ht (1.5) E da notare che, se nei modelli ARCH e GARCH sono necessarie ulteriori ipotesi sui parametri per permettere che il modello sia stabile, in questo caso basta imporre che il coefficiente β 1 sia in modulo strettamente minore di uno per garantire la stazionarietà dei rendimenti, in quanto questa deriva esclusivamente dalla stazionarietà della log-volatilità h t. E stato dimostrato in letteratura che tale specificazione generalmente funziona meglio dei modelli GARCH e dà risultati maggiormente soddisfacenti, tuttavia la sua diffusione è stata inizialmente frenata dalle complessità che derivano in sede di inferenza per tali modelli. In letteratura sono stati sviluppati numerosi strumenti per la stima del processo latente e dei parametri ignoti, utilizzando essenzialmente una rappresentazione state space del processo osservabile (log-rendimento) e del processo latente (log-volatilità) detto anche variabile di stato. Nella sezione successiva si riprendono quindi i passi essenziali affrontati in letteratura su questo argomento. 1.2 Inferenza nei modelli state space Diversi problemi che riguardano l analisi di un sistema dinamico richiedono la stima di un processo latente a partire da misurazioni effettuate sul sistema, 2 Utilizzando diverse specificazioni per gli errori nell equazione dei rendimenti.
18 6 CAPITOLO 1. IL MODELLO A VOLATILITÀ STOCASTICA caratterizzate dal fatto che esse sono in qualche modo soggette ad un errore di misurazione (disturbo). L analisi bayesiana trova in questi problemi una naturale collocazione, in quanto il teorema di Bayes funziona particolarmente bene con la rappresentazione state space ed in particolare con la stima di variabili non osservabili. Nella rappresentazione state space si definiscono un equazione di misurazione e una di stato: y t = f t (x t, ɛ t ) (1.6) x t = g t (x t 1, η t ) (1.7) dove la prima relazione definisce l evoluzione del sistema, la seconda la dinamica degli stati latenti ed ɛ t, η t sono i disturbi che possono essere anche non normali e correlati. Le funzioni definite da f t e g t possono essere di qualsiasi tipo. In questa rappresentazione gli stati dipendono esclusivamente dal valore assunto dalla variabile stessa al momento immediatamente precedente a quello corrente: si dice che il sistema è di tipo markoviano di primo ordine. Questo implica tuttavia che se al tempo t lo stato x t è noto, questo non fornisce nessuna ulteriore informazione né sugli stati né sulle misurazioni future. Il sistema definito dalle equazioni (1.5) e (1.6) può essere rivisto in termini di distribuzioni condizionali (Lopes and Tsay (2011)): y t x t p(y t x t ) (1.8) x t x t 1 p(x t x t 1 ) (1.9) con le leggi di probabilità note e determinate dalle assunzioni sui termini di disturbo. Se definiamo x 1:t = {x 1, x 2,..., x t } e similarmente per y 1:t, il problema di inferenza si riconduce alla stima della distribuzione di x 1:t y 1:t, che prende il nome di distribuzione a posteriori, o posterior distribution. Abbiamo pertanto: p(x 1:t y 1:t ) = p(x 1:t, y 1:t ) p(y 1:t ) (1.10) p(x 1:t, y 1:t ) = p(x 1:t )p(y 1:t x 1:t ) (1.11) p(y 1:t ) = p(x 1:t, y 1:t )dx 1:t (1.12)
19 1.2. INFERENZA NEI MODELLI STATE SPACE 7 dove, secondo le proprietà delle probabilità condizionali t p(x 1:t ) = p(x 0 ) p(x k x k 1 ) (1.13) p(y 1:t x 1:t ) = k=1 t p(y k x k ) (1.14) p(x 0 ) P ( ) con p( ) che indica una generica distribuzione di probabilità. Se il modello è lineare e gaussiano, anche la probabilità a posteriori sarà gaussiana ed una volta generato il valore di partenza da x 0 = P ( ) si potrà facilmente calcolarne la forma analitica tramite il Filtro di Kalman, di cui si tratterà brevemente nella prossima sezione. Rilassando le ipotesi di normalità e linearità, le precedenti distribuzioni generalmente non sono più note in forma chiusa e si crea la necessità di implementare metodi numerici diversi dal Filtro di Kalman. Una delle poche eccezioni è data dai sistemi non lineari a stati discreti, con numero finito di stati: in questo caso si applica il filtro di Hamilton. Questi strumenti generalmente prendono il nome di filtri particellari, o particle filters, poiché il problema di inferenza di una variabile latente da una serie di variabili di misurazione prende il nome di filtraggio stocastico. Generalmente si fa rifermento a due grandi classi di strumenti numerici: metodi che fanno perno sulle Catene di Markov e sulle loro distribuzioni di equilibrio, ovvero i metodi Markov Chain Monte Carlo, MCMC ; metodi che utilizzando prevalentemente l importance sampling e l integrazione Monte Carlo in maniera sequenziale, ovvero metodi Sequential Monte Carlo (SMC), detti anche appunto filtri particellari. In questa tesi si farà riferimento ai metodi SMC, mentre per i metodi MCMC si rinvia a Robert and Casella (2004). k= Il Filtro di Hamilton Se si assume che le equazioni definite in (1.8) e (1.9) siano y t x t f t (y t x t ) (1.15) x t x t 1 P (x t = i x t 1 = j) = P ij (1.16)
20 8 CAPITOLO 1. IL MODELLO A VOLATILITÀ STOCASTICA con i, j (1, 2,..., k) e k <, allora f t (y t x t ) definisce la densità di misura che può essere anche non normale mentre P (x t = i x t 1 = j) rappresenta invece la matrice di transizione di una catena di Markov a tempo discreto. Lo strumento ottimale per l inferenza su questo tipo di sistemi è il filtro di Hamilton (Hamilton (1994)), che è dato dalle seguenti equazioni: p(x t y 1:t 1 ) = k k δ i (x t )P (x t x t 1 = j)p(x t 1 = j y 1:t 1 ) (1.17) j=1 i=1 per la fase di predizione, dove δ x è una massa di Dirac in x ed utilizzando le equazioni di Chapman e Kolmogorov 3 otteniamo: p(x t y 1:t ) = k i=1 δ i(x t )p(x t y 1:t 1 )p(y t x t ) k j=1 p(x t = j y 1:t 1 )p(y t x t = j) (1.18) per la fase di aggiornamento. Nessuna assunzione in particolare è fatta per p(x t x t 1 ) e p(y t x t ), l unico requisito è che siano note (si veda Arulampalam et al. (2002), p ) Il Filtro di Kalman Se le funzioni g t ( ) e f t ( ) nelle equazioni (1.6) e (1.7) sono note e lineari ed disturbi ɛ t e η t sono estratti da distribuzioni gaussiane, anche la posterior sarà gaussiana e quindi completamente definita da una media e da una matrice di covarianza. Quello che fa il filtro di Kalman è calcolare ricorsivamente media e matrice di covarianza della probabilità a posteriori delle variabili di stato. Le formule (1.5) e (1.6) che descrivono il sistema possono essere riviste come x t = F t x t 1 + η t (1.19) y t = H t x t + ɛ t (1.20) con F t e H t matrici note che definiscono il sistema lineare ed i disturbi ɛ t e η t caratterizzati da matrici di covarianza rispettivamente R t e Q t. Il procedimento per il calcolo della probabilità a posteriori vieni quindi spezzato in due passi, il 3 Se la densità p(x t 1 y 1:t 1 ) è disponibile al tempo t 1, la fase di predizione utilizza p(x t, y 1:t 1 p(x t x t 1 )p(x t 1 y 1:t 1 dx t 1 per determinare la densità degli stati al tempo t, e tale relazione è chiamata equazione di Chapman-Kolmogorov
21 1.2. INFERENZA NEI MODELLI STATE SPACE 9 primo chiamato fase di predizione ed il secondo fase di aggiornamento. Nel primo step troviamo la probabilità condizionale ad y 1:t 1, nel secondo passo modifichiamo tale probabilità fino ad includere nel condizionamento l osservazione y t. Se consideriamo il caso in cui i disturbi siano non correlati, si ha che p(x t y 1:t 1 ) N(m t t 1, P t t 1 ) (1.21) dove m t t 1 = F t m t 1 t 1 (1.22) P t t 1 = Q t 1 + F t P t 1 t 1 F t (1.23) per la fase di predizione, mentre per la fase di aggiornamento p(x t y 1:t ) N(m t t, P t t ) (1.24) dove m t t = m t t 1 + K t (y t H t m t t 1 (1.25) P t t = P t t 1 K t H t P t t 1 (1.26) dove K t e S t prendono il nome rispettivamente di guadagno di Kalman e covarianza del termine di innovazione (y t H t m t t 1 ) e sono definite da K t = P t t 1 H ts 1 t (1.27) S t = H t P t t 1 H t + R t (1.28) Queste ricorsioni forniscono il filtro bayesiano ottimo se le condizioni di normalità e gaussianità sussistono, ovvero non esiste metodo che produca risultati migliori sotto queste ipotesi. Partendo da un valore generato da una prior scelta opportunamente, l algoritmo di Kalman permette di ottenere una stima ricorsiva ottima degli stati. Tuttavia tali condizioni sono particolarmente restrittive e non realistiche, sopratutto per quanto riguarda le serie storiche finanziarie, in cui difficilmente le ipotesi di linearità e normalità sono soddisfatte Metodi Monte Carlo sequenziali Strumenti diversi sono necessari se ad esempio l equazione di misurazione o degli stati non sono più lineari o le assunzioni di normalità non sussistono più. Si è dovuto ricorrere quindi a metodi approssimati, in quanto le soluzioni del problema
22 10 CAPITOLO 1. IL MODELLO A VOLATILITÀ STOCASTICA non sono più disponibili analiticamente. In letteratura sono stati proposti diversi metodi sequenziali in caso di sistema non lineare : Filtro di Kalman esteso che prevede un approssimazione lineare del sistema e quindi l applicazione del filtro di Kalman al sistema linearizzato; filtri particellari di diverso tipo che possono essere applicati direttamente al sistema non lineare. dove i secondi forniscono un approssimazione della distribuzione a posteriori tramite una distribuzione di probabilità discreta, dato che media e matrice di covarianza non sono più sufficienti per descrivere completamente la posterior. I filtri particellari sono una classe di metodi Monte Carlo che campionano in modo sequenziale da una serie di distribuzioni di probabilità di dimensione sempre maggiore. Come si trova in Doucet and Johansen (2008), i metodi SMC partono dal seguente contesto generale π t (x 1:t ) = γ t(x 1:t ) Z t (1.29) in cui π( ) e γ( ) indicano una generica densità di probabilità e Z t una costante di normalizzazione, definita come Z t = γ t (x 1:t ) dx 1:t (1.30) che può essere ignota. Tali metodi forniscono quindi una stima sequenziale di π(x 1 ) e Z 1 al tempo t = 1, e cosi via fino al tempo n. Nel caso del filtraggio stocastico, abbiamo γ t (x 1:t ) = p(x 1:t, y 1:t ), Z t = p(y 1:t ) in modo che la densità target, π t (x 1:t ), sia esattamente p(x 1:t y 1:t ). Tipicamente il problema principale consiste nel fatto che non si riesce a campionare direttamente da π t (x 1:t ) a causa dell elevata dimensione del vettore x 1:t di variabili da simulare ed anche se ciò fosse possibile, i costi computazionali di tale operazione sarebbero molto elevati. E prassi quindi utilizzare una densità conosciuta da cui sia semplice campionare e che approssimi la densità iniziale da cui si vuole ottenere un campione: questa operazione è nota come importance sampling. Se definiamo come q(x 1:t ) la nostra densità da cui è possibile campionare
23 1.2. INFERENZA NEI MODELLI STATE SPACE 11 (proposal density), le equazioni (1.9) e (1.10) diventano π t (x 1:t ) = q t(x 1:t )ω t (x 1:t ) (1.31) Z t Z t = q t (x 1:t )ω t (x 1:t ) dx 1:t (1.32) in cui i pesi ω t sono i pesi non normalizzati definiti dal rapporto ω i t(x 1:t ) = γ t(x 1:t ) q t (x 1:t ) (1.33) che vengono detti pesi di importanza. E chiaro quindi che la proposal gioca un ruolo fondamentale nell approssimazione: seguendo sempre Doucet and Johansen (2008), la densità ottimale da scegliere per minimizzare la varianza dei pesi sul piano teorico dovrebbe essere esattamente π t (x 1:t ) ma non essendo possibile ciò la scelta deve cadere in una distribuzione che meglio approssimi questa. Una volta estratto il campione e valutati i pesi, la distribuzione target è approssimata secondo π t (x 1:t ) = Z t = 1 N ω t = N ω tδ i x i 1:t (x i ) (1.34) i=1 N ω t (x i 1:t) (1.35) i=1 ω t (x i 1:n) N j=1 ω t(x j 1:t) (1.36) in cui N è il numero massimo di particelle utilizzate ad ogni singolo istante temporale e δ x ( ) indica una delta di Dirac calcolata nel punto x. Scegliendo adeguatamente la funzione di importanza, si riesce a rendere sequenziale questo algoritmo e ad ottenere una stima degli stati per ogni nuova misurazione y t. In particolare se tale funzione è esattamente uguale a q t (x 1:t ) = q t 1 (x 1:t 1 )q t (x t x 1:t 1 ) (1.37) t = q 1 (x 1 ) q k (x k x 1:k 1 ) (1.38) k=2 si può dimostrare che è possibile ottenere le particelle X i campionando x 1 da q 1 (x 1 ) al tempo 1 e ai successivi istanti estraendo x t da q t (x t x 1:t 1 ) e valutando
24 12 CAPITOLO 1. IL MODELLO A VOLATILITÀ STOCASTICA i relativi pesi ricorsivamente secondo ω t (x 1:t ) = ω 1 (x 1 ) α j (x 1:j ) = T α j (x 1:j ) (1.39) j=2 γ j (x 1:j ) γ j 1 (x 1:j 1 )q j (x j x 1:j 1 ) (1.40) con α t (x 1:t ) che viene anche chiamata incremental importance weight function. Una rappresentazione in pseudocodice dell algoritmo Sequential Importance Sampling è data in Alg. 1. Algoritmo 1 Sequential Importance Sampling (SIS) 1. t=1; 2. for i = 1 N do 3. Campiona X i 1 da q 1 (x 1 ); 4. Calcola i pesi ω 1 (x i 1) e W i 1; 5. end for; 6. t 2, t T ; 7. for i = 1 N do 8. Campiona X i t da q t (x i t X i 1:t 1); 9. Calcola i pesi ω t (X i t) = ω t 1 (X i 1:t 1)α t (X i 1:t); 10. end for 11. return (x i T, W i T ) Questo algoritmo (si veda Kitagawa (1996)) è ampiamente diffuso grazie alla sua semplicità di implementazione ma il suo utilizzo può portare a degli svantaggi quali in primis il problema di degenerazione delle particelle: dopo alcuni passi, la maggior parte dei pesi ω t avrà valori prossimi allo zero e la densità a posteriori diventerà quindi degenere in un unico o pochi punti. In altre parole gran parte dei costi computazionali saranno spesi per aggiornare delle particelle il cui peso è trascurabile e l algoritmo diventa di fatto inutilizzabile. Una delle idee introdotte per oltrepassare questo problema è quella di ricampionare ad ogni passo le particelle, ovvero estrarre dei nuovi stati dalla distribuzione (discreta) a posteriori sulla base dei pesi correnti: in questo modo le particelle con peso prossimo allo zero non verranno ricampionate ed il nuovo vettore degli stati sarà ricostituito solo dalle particelle con peso più grande, in quanto maggiore sarà la probabilità di queste di essere estratte. Questo passo prende il nome di resampling ma è necessario stabilire quando implementare il ricampionamento visto
25 1.2. INFERENZA NEI MODELLI STATE SPACE 13 che questo potrebbe risultare superfluo e quindi aggiungere costi computazionali non necessari. Una prima soluzione introdotta da Liu and Chen (1998) è quella di ricampionare ogni volta che il numero effettivo di particelle utilizzate N eff (quindi con peso diverso da zero) scende sotto una soglia predeterminata, ovvero N eff N T (1.41) N eff = N s 1 + V ar(ˆω i t) (1.42) dove N T è un qualche valore (numero di particelle significative minimo) al di sotto del quale ha luogo il ricampionamento e ˆω k i sono i pesi reali che non possono essere calcolati analiticamente ma al loro posto si utilizza una stima pari a N eff = 1 Ns (1.43) i=1 (ωi t) 2 dove ωt i sono i pesi normalizzati ottenuti dall algoritmo, N eff indica il numero effettivo di particelle utilizzate mentre N s sono le particelle totali del campione. Si ha il problema di degenerazione quando il numero effettivo di particelle utilizzate è di molto inferiore al numero di particelle totali del campione (si veda anche Arulampalam et al. (2002)). Esistono diversi metodi per implementare di fatto il resampling quali ad esempio il ricampionamento sistematico o residuale. 4 Il metodo utilizzato nella stima del modello di questa tesi è quello multinomiale, che consiste nell estrarre N s particelle da una distribuzione multinomiale utilizzando i pesi ˆω t come parametro di tale distribuzione. Applicando questo metodo all Alg. 1 otteniamo un nuovo algoritmo che prende il nome di adaptive sequential importance resampling (ASIR) se il ricampionamento è effettuato quando il numero di particelle scende sotto una determinata soglia, o semplicemente sequential importance resampling (SIR) se invece il ricampionamento è effettuato a prescindere in ogni passo. La rappresentazione in pseudo-codice in questo secondo caso è data in Alg. 2 mentre la Figura 1.1 rappresenta graficamente l idea del ricampionamento. 4 Si vedano Kitagawa (1996), Doucet and Johansen (2008) o Hol et al. (2006) per un approfondimento sui diversi metodi di resampling.
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliAutomazione Industriale (scheduling+mms) scheduling+mms. adacher@dia.uniroma3.it
Automazione Industriale (scheduling+mms) scheduling+mms adacher@dia.uniroma3.it Introduzione Sistemi e Modelli Lo studio e l analisi di sistemi tramite una rappresentazione astratta o una sua formalizzazione
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliCapitolo 12 La regressione lineare semplice
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara
DettagliRegressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011
Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume
DettagliStatistica. Lezione 6
Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
Dettagli1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:
Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
DettagliComputazione per l interazione naturale: Modelli dinamici
Computazione per l interazione naturale: Modelli dinamici Corso di Interazione Naturale Prof. Giuseppe Boccignone Dipartimento di Informatica Università di Milano boccignone@di.unimi.it boccignone.di.unimi.it/in_2015.html
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 10-Il test t per un campione e la stima intervallare (vers. 1.1, 25 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia,
DettagliMacroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.
acroeconomia, Esercitazione 2. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) 1 Esercizi. 1.1 oneta/1 Sapendo che il PIL reale nel 2008 è pari a 50.000 euro e nel 2009 a 60.000 euro, che dal 2008 al
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliIndice di rischio globale
Indice di rischio globale Di Pietro Bottani Dottore Commercialista in Prato Introduzione Con tale studio abbiamo cercato di creare un indice generale capace di valutare il rischio economico-finanziario
DettagliSPC e distribuzione normale con Access
SPC e distribuzione normale con Access In questo articolo esamineremo una applicazione Access per il calcolo e la rappresentazione grafica della distribuzione normale, collegata con tabelle di Clienti,
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliAnalisi di scenario File Nr. 10
1 Analisi di scenario File Nr. 10 Giorgio Calcagnini Università di Urbino Dip. Economia, Società, Politica giorgio.calcagnini@uniurb.it http://www.econ.uniurb.it/calcagnini/ http://www.econ.uniurb.it/calcagnini/forecasting.html
DettagliCalcolo del Valore Attuale Netto (VAN)
Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN) Il calcolo del valore attuale netto (VAN) serve per determinare la redditività di un investimento. Si tratta di utilizzare un procedimento che può consentirci di
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliDato il Mercato, è possibile individuare il valore e la duration del portafoglio:
TEORIA DELL IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA Con il termine immunizzazione finanziaria si intende una metodologia matematica finalizzata a neutralizzare gli effetti della variazione del tasso di valutazione
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliIL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE.
IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. Lezione 5 Castellanza, 17 Ottobre 2007 2 Summary Il costo del capitale La relazione rischio/rendimento
DettagliInferenza statistica. Statistica medica 1
Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione sulla base di alcune informazioni ricavate da un campione estratto da quella
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
Dettagli11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi
. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi I processi idrologici evolvono, nello spazio e nel tempo, secondo modalità che sono in parte predicibili (deterministiche) ed in parte casuali (stocastiche
DettagliVALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE
La contraffazione in cifre: NUOVA METODOLOGIA PER LA STIMA DEL VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE Roma, Giugno 2013 Giugno 2013-1 Il valore economico dei sequestri In questo Focus si approfondiscono alcune
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016. 1. Esercizi: lezione 24/11/2015
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016 1. Esercizi: lezione 24/11/2015 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un operazione finanziaria
DettagliIntroduzione all analisi dei segnali digitali.
Introduzione all analisi dei segnali digitali. Lezioni per il corso di Laboratorio di Fisica IV Isidoro Ferrante A.A. 2001/2002 1 Segnali analogici Si dice segnale la variazione di una qualsiasi grandezza
DettagliAND NON CAP WEIGHTED PORTFOLIO
SOCIALLY RESPONSIBLE INVESTMENT AND NON CAP WEIGHTED PORTFOLIO Forum per la Finanza Sostenibile Milano 30 giugno 2009 Giulio Casuccio Head of Quantitatives Strategies and Research Principi ed obiettivi:
DettagliCAPITOLO 10 I SINDACATI
CAPITOLO 10 I SINDACATI 10-1. Fate l ipotesi che la curva di domanda di lavoro di una impresa sia data da: 20 0,01 E, dove è il salario orario e E il livello di occupazione. Ipotizzate inoltre che la funzione
DettagliLA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DEI RITORNI AZIONARI FUTURI SARÀ LA MEDESIMA DEL PASSATO?
LA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DEI RITORNI AZIONARI FUTURI SARÀ LA MEDESIMA DEL PASSATO? Versione preliminare: 25 Settembre 2008 Nicola Zanella E-Mail: n.zanella@yahoo.it ABSTRACT In questa ricerca ho
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliCorso di Psicometria Progredito
Corso di Psicometria Progredito 3.1 Introduzione all inferenza statistica Prima Parte Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico 2013-2014
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 5-Indici di variabilità (vers. 1.0c, 20 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
DettagliAbbiamo costruito il grafico delle sst in funzione del tempo (dal 1880 al 1995).
ANALISI DI UNA SERIE TEMPORALE Analisi statistica elementare Abbiamo costruito il grafico delle sst in funzione del tempo (dal 1880 al 1995). Si puo' osservare una media di circa 26 C e una deviazione
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliIl Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti
Il Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti ipotesi: Gli investitori sono avversi al rischio; Gli investitori
DettagliTest statistici di verifica di ipotesi
Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall
DettagliFondamenti e didattica di Matematica Finanziaria
Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici
DettagliDomande a scelta multipla 1
Domande a scelta multipla Domande a scelta multipla 1 Rispondete alle domande seguenti, scegliendo tra le alternative proposte. Cercate di consultare i suggerimenti solo in caso di difficoltà. Dopo l elenco
DettagliMetodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo
Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo 1 TEST D IPOTESI Partiamo da un esempio presente sul libro di testo.
DettagliProbabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)
Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliCorso di. Dott.ssa Donatella Cocca
Corso di Statistica medica e applicata Dott.ssa Donatella Cocca 1 a Lezione Cos'è la statistica? Come in tutta la ricerca scientifica sperimentale, anche nelle scienze mediche e biologiche è indispensabile
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 29-Analisi della potenza statistica vers. 1.0 (12 dicembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
DettagliSTATISTICA IX lezione
Anno Accademico 013-014 STATISTICA IX lezione 1 Il problema della verifica di un ipotesi statistica In termini generali, si studia la distribuzione T(X) di un opportuna grandezza X legata ai parametri
DettagliVERIFICA DELLE IPOTESI
VERIFICA DELLE IPOTESI Nella verifica delle ipotesi è necessario fissare alcune fasi prima di iniziare ad analizzare i dati. a) Si deve stabilire quale deve essere l'ipotesi nulla (H0) e quale l'ipotesi
DettagliPsicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE
Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale Un punteggio all interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo. Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una
DettagliAnalisi sensitività. Strumenti per il supporto alle decisioni nel processo di Valutazione d azienda
Analisi sensitività. Strumenti per il supporto alle decisioni nel processo di Valutazione d azienda Premessa Con l analisi di sensitività il perito valutatore elabora un range di valori invece di un dato
DettagliROI, WACC e EVA: strumenti di pianificazione economico finanziaria Di : Pietro Bottani Dottore Commercialista in Prato
Articolo pubblicato sul n 22 / 2004 di Amministrazione e Finanza edito da Ipsoa. ROI, WACC e EVA: strumenti di pianificazione economico finanziaria Di : Pietro Bottani Dottore Commercialista in Prato Premessa
Dettagli(a cura di Francesca Godioli)
lezione n. 12 (a cura di Francesca Godioli) Ad ogni categoria della variabile qualitativa si può assegnare un valore numerico che viene chiamato SCORE. Passare dalla variabile qualitativa X2 a dei valori
DettagliINTEGRATORE E DERIVATORE REALI
INTEGRATORE E DERIVATORE REALI -Schemi elettrici: Integratore reale : C1 R2 vi (t) R1 vu (t) Derivatore reale : R2 vi (t) R1 C1 vu (t) Elenco componenti utilizzati : - 1 resistenza da 3,3kΩ - 1 resistenza
Dettagli~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE
STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.
DettagliCONTROLLO IN TENSIONE DI LED
Applicazioni Ver. 1.1 INTRODUZIONE CONTROLLO IN TENSIONE DI LED In questo documento vengono fornite delle informazioni circa la possibilità di pilotare diodi led tramite una sorgente in tensione. La trattazione
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliSerie Storiche Trasformazioni e Aggiustamenti
Serie Storiche Trasformazioni e Aggiustamenti Per facilitare l interpretazione dei dati, si ricorre spesso a trasformazione della serie originale. I principali tipi di aggiustamenti che consideriamo sono:.
DettagliIl mercato di monopolio
Il monopolio Il mercato di monopolio Il monopolio è una struttura di mercato caratterizzata da 1. Un unico venditore di un prodotto non sostituibile. Non ci sono altre imprese che possano competere con
DettagliFederico Laschi. Conclusioni
Lo scopo di questa tesi è stato quello di proporre alcuni algoritmi di allocazione dinamica della capacità trasmissiva, basati su tecniche di predizione on-line dei processi di traffico. Come prima analisi
DettagliModelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera
Modelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera 1 Azienda Dolciaria Un azienda di cioccolatini deve pianificare la produzione per i prossimi m mesi. In ogni mese l azienda ha a disposizione
DettagliPROGETTO INDAGINE DI OPINIONE SUL PROCESSO DI FUSIONE DEI COMUNI NEL PRIMIERO
PROGETTO INDAGINE DI OPINIONE SUL PROCESSO DI FUSIONE DEI COMUNI NEL PRIMIERO L indagine si è svolta nel periodo dal 26 agosto al 16 settembre 2014 con l obiettivo di conoscere l opinione dei residenti
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1
DettagliPremesse alla statistica
Premesse alla statistica Versione 22.10.08 Premesse alla statistica 1 Insiemi e successioni I dati di origine sperimentale si presentano spesso non come singoli valori, ma come insiemi di valori. Richiamiamo
DettagliCapitolo II. La forma del valore. 7. La duplice forma in cui si presenta la merce: naturale e di valore.
Capitolo II La forma del valore 7. La duplice forma in cui si presenta la merce: naturale e di valore. I beni nascono come valori d uso: nel loro divenire merci acquisiscono anche un valore (di scambio).
DettagliAnalisi di dati di frequenza
Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato
DettagliLa variabile casuale Binomiale
La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola
DettagliLa categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi
Utilizzo delle calcolatrici FX 991 ES+ Parte II PARMA, 11 Marzo 2014 Prof. Francesco Bologna bolfra@gmail.com ARGOMENTI DELLA LEZIONE 1. Richiami lezione precedente 2.Calcolo delle statistiche di regressione:
DettagliLA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ
LA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ In questa Appendice mostreremo come trovare la tariffa in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice,
DettagliALLEGATO 1 Analisi delle serie storiche pluviometriche delle stazioni di Torre del Lago e di Viareggio.
ALLEGATO 1 Analisi delle serie storiche pluviometriche delle stazioni di Torre del Lago e di Viareggio. Per una migliore caratterizzazione del bacino idrologico dell area di studio, sono state acquisite
DettagliGESTIONE DELLE TECNOLOGIE AMBIENTALI PER SCARICHI INDUSTRIALI ED EMISSIONI NOCIVE LEZIONE 10. Angelo Bonomi
GESTIONE DELLE TECNOLOGIE AMBIENTALI PER SCARICHI INDUSTRIALI ED EMISSIONI NOCIVE LEZIONE 10 Angelo Bonomi CONSIDERAZIONI SUL MONITORAGGIO Un monitoraggio ottimale dipende dalle considerazioni seguenti:
DettagliPiù processori uguale più velocità?
Più processori uguale più velocità? e un processore impiega per eseguire un programma un tempo T, un sistema formato da P processori dello stesso tipo esegue lo stesso programma in un tempo TP T / P? In
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliCapitolo 26. Stabilizzare l economia: il ruolo della banca centrale. Principi di economia (seconda edizione) Robert H. Frank, Ben S.
Capitolo 26 Stabilizzare l economia: il ruolo della banca centrale In questa lezione Banca centrale Europea (BCE) e tassi di interesse: M D e sue determinanti; M S ed equilibrio del mercato monetario;
Dettagliiovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi
iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi Idea di base Supponiamo di avere un idea del valore (incognito) di una media di un campione, magari attraverso
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliRicerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.
DettagliVerifica di ipotesi e intervalli di confidenza nella regressione multipla
Verifica di ipotesi e intervalli di confidenza nella regressione multipla Eduardo Rossi 2 2 Università di Pavia (Italy) Maggio 2014 Rossi MRLM Econometria - 2014 1 / 23 Sommario Variabili di controllo
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliPro e contro delle RNA
Pro e contro delle RNA Pro: - flessibilità: le RNA sono approssimatori universali; - aggiornabilità sequenziale: la stima dei pesi della rete può essere aggiornata man mano che arriva nuova informazione;
DettagliFinanza Aziendale. Lezione 13. Introduzione al costo del capitale
Finanza Aziendale Lezione 13 Introduzione al costo del capitale Scopo della lezione Applicare la teoria del CAPM alle scelte di finanza d azienda 2 Il rischio sistematico E originato dalle variabili macroeconomiche
DettagliStatistiche campionarie
Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle
DettagliAspettative, consumo e investimento
Aspettative, consumo e investimento In questa lezione: Studiamo come le aspettative di reddito e ricchezza futuro determinano le decisioni di consumo e investimento degli individui. Studiamo cosa determina
DettagliTeoria dei Giochi. Anna Torre
Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 14 marzo 2013 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2013.html IL PARI O DISPARI I II S T S (-1, 1) (1, -1)
DettagliNote su quicksort per ASD 2010-11 (DRAFT)
Note su quicksort per ASD 010-11 (DRAFT) Nicola Rebagliati 7 dicembre 010 1 Quicksort L algoritmo di quicksort è uno degli algoritmi più veloci in pratica per il riordinamento basato su confronti. L idea
DettagliL ANALISI ABC PER LA GESTIONE DEL MAGAZZINO
L ANALISI ABC PER LA GESTIONE DEL MAGAZZINO È noto che la gestione del magazzino è uno dei costi nascosti più difficili da analizzare e, soprattutto, da contenere. Le nuove tecniche hanno, però, permesso
DettagliINDICE PREFAZIONE VII
INDICE PREFAZIONE VII CAPITOLO 1. LA STATISTICA E I CONCETTI FONDAMENTALI 1 1.1. Un po di storia 3 1.2. Fenomeno collettivo, popolazione, unità statistica 4 1.3. Caratteri e modalità 6 1.4. Classificazione
DettagliIndice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA
UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria A.a. 2003/2004 1 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
DettagliLEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.
7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,
DettagliPrincipi di analisi causale Lezione 2
Anno accademico 2007/08 Principi di analisi causale Lezione 2 Docente: prof. Maurizio Pisati Logica della regressione Nella sua semplicità, l espressione precedente racchiude interamente la logica della
DettagliAnalisi dei margini: componenti e rischi
Finanza Aziendale Analisi e valutazioni per le decisioni aziendali Analisi dei margini: componenti e rischi Capitolo 7 Indice degli argomenti 1. Principali componenti del reddito operativo 2. Tipici fattori
Dettagli