LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.

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1 LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza e da quelli interni alla circonferenza. Si chiama raggio della circonferenza ogni segmento che ha come estremi il centro e un punto della circonferenza stessa. Ogni segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza si chiama corda. Ogni corda passante per il centro della circonferenza è detta diametro. Un arco è la parte di circonferenza compresa fra due suoi punti. Gli estremi di una corda suddividono la circonferenza in due archi: diciamo che la corda sottende i due archi oppure che ogni arco è sotteso dalla corda. Una semicirconferenza è un arco i cui estremi sono distinti e appartengono a un diametro. La parte di piano compresa tra una semicirconferenza e un diametro si chiama semicerchio. Un angolo al centro è un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza. Un settore circolare è la parte di cerchio compresa fra un arco e i raggi che hanno un estremo negli estremi dell arco. Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante e l altro tangente. Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza si dicono corrispondenti quando insistono sullo stesso arco. Una retta è esterna a una circonferenza quando non ha punti in comune con la circonferenza stessa, tangente quando ha un solo punto in comune, secante quando ha due punti in comune. Due circonferenze sono secanti quando hanno due punti in comune, tangenti quando hanno solo un punto in comune, esterne quando tutti i punti di una circonferenza sono esterni all altra e viceversa, una interna all altra quando tutti i punti di una circonferenza sono interni all altra. 1

2 TEOREMI Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza. Se in una circonferenza sono congruenti due figure dello stesso tipo, per esempio due archi, allora sono congruenti anche le figure corrispondenti, ossia le due corde e i due angoli al centro. In ogni circonferenza il diametro è la corda di lunghezza maggiore. L asse di una corda passa per il centro. Due corde sono congruenti se e solo se hanno la stessa distanza dal centro. Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. Nella stessa circonferenza, angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti. Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza, è retto. 2

3 Se una retta è tangente a una circonferenza, allora è perpendicolare al raggio che ha un estremo nel punto di tangenza. Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette tangenti a essa, allora i segmenti di tangente, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l altro in un punto di contatto, sono congruenti. POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI POLIGONO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA Un poligono è inscritto in una circonferenza se ha tutti i vertici sulla circonferenza. Teorema: se un poligono è inscritto in una circonferenza, gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza. POLIGONO CIRCOSCRITTO A UNA CIRCONFERENZA Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Teorema: se un poligono è circoscritto a una circonferenza, le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro della circonferenza. 3

4 TRIANGOLO In un triangolo: o il punto di incontro degli assi dei lati si chiama circocentro; o il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni si chiama incentro; o il punto di incontro delle altezze si chiama ortocentro; o il punto di incontro delle mediane si chiama baricentro. Il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo, quindi è il centro della circonferenza circoscritta. L incentro è equidistante dai lati del triangolo, quindi è il centro della circonferenza inscritta. Ogni triangolo, dunque, è inscrivibile in una circonferenza con centro il suo circocentro e circoscrivibile a una circonferenza con centro il suo incentro. QUADRILATERO Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari. Ogni rettangolo, ogni quadrato, ogni trapezio isoscele è inscrivibile in una circonferenza. 4

5 Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrivibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due. Ogni rombo è circoscrivibile a una circonferenza. POLIGONO REGOLARE Un poligono è regolare quando ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Teorema: un poligono regolare è inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile a un altra; le due circonferenze hanno lo stesso centro. In un poligono regolare: il centro è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta; l apotema è il raggio della circonferenza inscritta; il raggio è il raggio della circonferenza circoscritta. 5

6 DOMANDE 1. Quando due circonferenze si dicono tangenti? In due circonferenze tangenti la distanza fra i centri può essere minore della somma dei raggi delle due circonferenze? Perché? 2. Il segmento che unisce i centri di due circonferenze tangenti esternamente può formare un triangolo con due raggi qualsiasi delle due circonferenze? E se le circonferenze sono tangenti internamente? Giustifica le tue risposte. 3. Disegna due circonferenze con i raggi congruenti e tali che il centro della seconda appartenga alla prima. Detti A e B i punti di intersezione delle due circonferenze e rispettivamente O e O' i centri delle due circonferenze, di che natura è il quadrilatero AOBO'? Perché? 4. Perché gli angoli alla circonferenza che insistono su corde aventi stessa distanza dal centro sono congruenti? Come deve essere una corda AB affinché l angolo acuto che insiste sul minore degli archi AB sia un terzo di un angolo piatto? 5. Data una corda MN nella circonferenza di centro O, quale relazione sussiste fra l angolo al centro MÔN e l angolo ottuso alla circonferenza che insiste sull arco MN? 6. Un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza è sempre inscrivibile anche in una semicirconferenza? 7. Disegna un triangolo rettangolo. Perché il punto medio dell ipotenusa è equidistante dai vertici del triangolo? 8. Congiungendo gli estremi di due diametri qualsiasi, presi su una circonferenza, ottieni sempre un rettangolo. Perché? È corretto affermare che, poiché i diametri sono tutti congruenti, allora i rettangoli inscritti in una circonferenza sono tutti congruenti? Perché? 9. Perché il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta? Descrivi come disegnare un esagono regolare in una circonferenza data. 6

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