Calcolo delle Probabilità 2012/13 Foglio di esercizi 3

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1 Calcolo delle Probabilità 01/13 Foglio di esercizi 3 Probabilità codizioale e idipedeza. Esercizio 1. Sia B u eveto fissato di uo spazio di probabilità (Ω, A, P), co P(B) > 0. Si mostri che P( B) è l uica probabilità Q su Ω co le segueti proprietà: (a) Q(B) 1; (b) per ogi coppia di eveti E, F B co P(F ) > 0 si ha Q(E) Q(F ) P(E) P(F ). Esercizio. Per rilevare la preseza di ua certa malattia, si effettua u test. Se la persoa sottoposta al test è malata, il test dà sempre esito positivo (o ci soo duque falsi egativi ). Se ivece la persoa sottoposta al test è saa, il test dà (erroeamete) esito positivo co probabilità Idichiamo co α (0, 1) l icideza della malattia ella popolazioe (cioè la frazioe di persoe malate). Si determii, i fuzioe di α, la probabilità p α che ua persoa risultata positiva al test sia effettivamete malata. Si calcoli il valore trovato per α 0.1, 0.01, e se e descriva il comportameto asitotico per α 0. Esercizio 3. Ifilo i ua busta tre carte: ua ha etrambe le facce rosse, ua le ha etrambe ere, ua ha ua faccia rossa e ua era. Co gli occhi chiusi, pesco ua carta a caso e la depogo sul tavolo su ua faccia a caso, quidi apro gli occhi. Se la faccia che vedo è rossa, qual è la probabilità che ache l altra faccia sia rossa? Esercizio 4. Ho ua moeta A regolare e ua moeta B truccata, per cui la probabilità di otteere testa vale 3 4. Scelgo ua moeta a caso, co uguale probabilità, e la lacio. Se esce testa, qual è la probabilità che la moeta scelta sia stata B? Esercizio 5. Ua coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa essere descritto dallo spazio campioario di quattro elemeti Ω {MM, MF, F M, F F } dove ab idica che il primogeito è di sesso a e il secodogeito di sesso b muito della probabilità uiforme, cioè P ({MM}) P ({MF }) P ({F M}) P ({F F }) 1 4. Ciò equivale ad assumere che ciascu figlio possa essere maschio o femmia co la stessa probabilità, idipedetemete dal sesso dell altro figlio. (a) Sapedo che il primogeito è maschio, qual è la probabilità che ache il secodogeito lo sia? (b) Sapedo che il secodogeito è maschio, qual è la probabilità che ache il primogeito lo sia? (c) Sapedo che almeo u figlio è maschio, qual è la probabilità che ache l altro lo sia? Il sabato pomeriggio la madre esce a passeggio co uo dei due figli, metre il padre resta a casa co l altro. Suppoiamo che la madre scelga il figlio co cui uscire i modo casuale. (d) Se icotro la madre a passeggio co u figlio maschio, qual è la probabilità che ache l altro figlio sia maschio? Ultima modifica: 13 ovembre 01.

2 (e) Come cambia la risposta al quesito precedete se ivece la madre avesse ua particolare predilezioe per i figli maschi e pertato decidesse sempre di uscire co u figlio maschio (quado e ha uo; altrimeti esce co ua delle due figlie)? Esercizio 6. Da u ura coteete pallie di cui k rosse e k verdi, co 1 k 1, si estrae ua pallia e quidi, seza reimmetterla ell ura, si estrae ua secoda pallia. Si calcoli la probabilità degli eveti A 1 : la prima pallia estratta è rossa e A : la secoda pallia estratta è rossa. Essi soo idipedeti? Esercizio 7. Quate volte è ecessario laciare u dado affichè la probabilità di otteere almeo u 6 sia maggiore o uguale a 0.5? Esercizio 8. Ho a disposizioe N moete: la i-esima moeta dà testa co probabilità, per 1 i. Scelgo ua moeta a caso e la lacio k N volte. i (a) Qual è la probabilità p,k che esca sempre testa ei k laci? (b) Suppoedo che sia effettivamete uscita sempre testa ei k laci, qual è la probabilità (codizioata) q,k che esca testa ache al lacio successivo? (c) Si calcoli il limite per (co k fissato) dei risultati otteuti. Esercizio 9. Cosideriamo uo schema di prove ripetute idipedeti co probabilità di successo p per ogi sigola prova. Idichiamo rispettivamete co α,p e β,p le probabilità di avere almeo u successo ed esattamete u successo elle prove. I questo esercizio studiamo il comportameto asitotico di tali quatità per p 0 (co fissato). (a) Si mostri che α,p p + a p + O(p 3 ) e β,p p + b p + O(p 3 ) co a e b costati esplicite, che è richiesto di determiare. (b) Si deduca che lim p 0 α,p /β,p 1. Che cosa sigifica ituitivamete questo risultato? (c) Idicado co γ,p la probabilità di avere almeo due successi elle prove, si mostri che γ,p ( 1) p + O(p 3 ). Si dia u iterpretazioe euristica di questo risultato. Esercizio 10. U commerciate acquista certe compoeti elettriche i egual misura da due foritori A e B. Viee a sapere che il 15% delle compoeti proveieti da B è difettosa, cioè si rompoo dopo poche ore di utilizzo, cotro solo il 3% di quelle proveieti da A. Il commerciate è i procito di mettere i vedita ua cofezioe tali compoeti, tutte proveieti dallo stesso foritore, ma di cui o ha registrato la proveieza. Per cooscere la proveieza e testa 0, di cui risultao difettose. Co quale grado di cofideza può riteere che la partita gli sia stata forita da B?

3 3 Soluzioe 1. È immediato verificare che P( B) soddisfa le proprietà elecate. Viceversa, sia Q ua probabilità che soddisfa le proprietà (a), (b) e sia A u eveto arbitrario. Applicado la proprietà (b) agli eveti E A B e F B, visto che Q(B) 1 per la proprietà (a), si ottiee la relazioe Q(A B) Q(A B) Q(B) Osserviamo ora che possiamo scrivere P(A B) P(B) A A (B B c ) (A B) (A B c ). : P(A B). (0.1) Dato che A B B e A B c B c, gli eveti A B e A B c soo disgiuti, quidi Q(A) Q(A B) + Q(A B c ). Per la proprietà a si ha Q(B) 1, quidi Q(A B c ) Q(B c ) 0 e di cosegueza Q(A) Q(A B). Ricordado l equazioe (0.1), abbiamo dimostrato che Q(A) P(A B), cioè Q coicide co la probabilità codizioale a B. Soluzioe. Itroducedo gli eveti A : l idividuo è malato e B : il test dà esito positivo, si ha P(A) α, P(B A) 1 e P(B A c ) Per le formule di Bayes e delle probabilità totali si ha duque p α P(A B) P(B A)P(A) P(B A)P(A) P(B) P(B A)P(A) + P(B A c )(1 P(A)) α α (1 α) α α 100α(1 + 99α + O(α )). Si ha duque lim α 0 p α 0; per α 0.1, 0.01, si ottiee p 0.9, 0.50, Soluzioe 3. Idichiamo le tre carte rispettivamete co α (rossa-rossa), β (era-era) e γ (rossa-era). Uo spazio campioario per l esperimeto è Ω {α1, α, β1, β, γ1, γ}, dove α1 sigifica che pesco la carta α e il lato scoperto è il primo (rosso), γ sigifica che pesco la carta γ e il lato scoperto è il secodo (ero), ecc. Come σ-algebra scegliamo aturalmete P(Ω), essedo Ω <. Mostriamo che la probabilità corretta su Ω per descrivere l esperimeto è quella uiforme. Itroduciamo gli eveti A : pesco la carta α {α1, α}, B : pesco la carta β {β1, β}, C : pesco la carta γ {γ1, γ}. Dato che la carta è scelta a caso si deve avere P(A) P(B) P(C) 1 3. Ioltre, dato che ache il lato su cui la carta è deposta è scelto a caso, si deve avere P({α1} A) P(α A) 1, da cui si ottiee P({α1}) P({α1} A) P({α1} A)P(A) Co aaloghi argometi si ottiee P({α}) P({β1}) P({β})P({γ1}) P({γ}) 1 6, cioè P({ω}) 1 6 per ogi ω Ω. La probabilità P deve duque essere quella uiforme. Itroduciamo ifie gli eveti R s : il lato scoperto è rosso {α1, α, γ1} e R c : il lato coperto è rosso {α1, α, γ}. Per defiizioe di speraza codizioale P(R c R s ) P(R c R s ) P(R s ) R c R s R s 3. Soluzioe 4. Il problema è isomorfo a quello delle ure discusso a lezioe. Itroducedo gli eveti B : scelgo la moeta B e T : esce testa, si ha pertato P(B T ) P(B) 1, P(T B) 3 4, P(T Bc ) 1, 3 P(T B)P(B) P(T B)P(B) + P(T B)P(B c )

4 4 Soluzioe 5. Itroduciamo gli eveti A : il primogeito è maschio {MM, MF } e B : il secodogeito è maschio {MM, F M}. Allora dobbiamo calcolare: (a) P(A B A) P(A B) P(A) (b) P(A B B) P(A B) P(B) A B A 1 ; A B B 1 ; (c) P(A B A B) P((A B) (A B)) P(A B) P(A B) P(A B) A B A B 1 3. Per la secoda parte dell esercizio occorre igradire lo spazio campioario, i modo da descrivere co quale figlio esce la madre. Scegliamo duque Ω : Ω {1, } {MM1, MM, MF 1, MF, F M1, F M, F F 1, F F }. Si oti che gli eveti prima itrodotti A : il primogeito è maschio e B : il secodogeito è maschio divetao ora A {MM1, MM, MF 1, MF } e B {MM1, MM, F M1, F M}. Ioltre è aturale richiedere che P({MM1, MM}) P({MF 1, MF }) P({F M1, F M}) P({F F 1, F F }) 1 4 (le probabilità dei sessi dei figli preseti ella famiglia soo le stesse di prima). Queste richieste o determiao P completamete. (d) Se il figlio co cui esce la madre è scelto a caso, si ha P({MM1} {MM1, MM}) 1, da cui segue che P({MM1}) P({MM1, MM})P({MM1} {MM1, MM}) ; aalogamete si mostra che P({ω}) 1 8 per ogi ω Ω. I altre parole, P è la probabilità uiforme su Ω. Itroducedo ifie il uovo eveto C : la madre esce a passeggio co u figlio maschio {MM1, MM, MF 1, F M}, otteiamo P(A B C) A B C C A B C 4 1. (e) I questo caso possiamo la probabilità da cosiderare o è più quella uiforme. I effetti si deve avere P({MF 1} {MF 1, MF }) 1, P({MF } {MF 1, MF }) 0 e aalogamete P({F M1} {F M1, F M}) 0, P({F M} {F M1, F M}) 1 (quado i figli soo u maschio e ua femmia, la madre esce sempre co il maschio), metre quado i figli soo dello stesso sesso la scelta della madre è casuale: i altri termii P({MM1} {MM1, MM}) P({MM} {MM1, MM}) 1 e P({F F 1} {F F 1, F F }) P({F F } {F F 1, F F }) 1. Da ciò si ricava la probabilità: P({MM1}) P({MM}) P({F F 1}) P({F F }) 1 8, P({MF 1}) P({F M}) 1, P({F M1}) P({MF }) 0. 4 Itroducedo come el puto precedete l eveto C : la madre esce a passeggio co u figlio maschio {MM1, MM, MF 1, F M}, otteiamo ifie P(A B C) P(A B) ω A B P(A B C) P({ω}) P(C) P(C) ω C P({ω}) P({MM1}) + P({MM}) P({MM1}) + P({MM}) + P({MF 1}) + P({F M}) 1/8 + 1/8 1/8 + 1/8 + 1/4 + 1/ Soluzioe 6. Si deve avere P(A 1 ) k. Ioltre P(A A 1 ) k 1 1 metre P(A A c 1 ) k 1, da cui P(A ) P(A A 1 )P(A 1 ) + P(A A c 1 )P(Ac 1 ) k 1 k 1 + k 1 (1 k ) k k+k k ( 1) k. Dato che P(A A 1 ) P(A ) gli eveti A 1 e A o soo idipedeti.

5 5 Soluzioe 7. La probabilità di o otteere alcu 6 i laci è ( 5 6), che è miore di 1/ per 4. Soluzioe 8. (a) p,k 1 i1 ( i )k ; (b) q,k 1 (c) p,k i1 ( i )k+1 1. i1 ( i )k 1 0 xk dx 1 k+1 ; q,k 1 0 xk+1 dx 1 0 xk dx k+1 k+. Soluzioe 9. Ricordiamo per c R\{1} lo sviluppo di Taylor (1 x) c 1 cx+ c(c 1) x + O(x 3 ) per x 0. (a) α,p 1 (1 p) 1 (1 p + ( 1) p + O(p 3 )) p ( 1) p + O(p 3 ), metre β,p ( 1) p(1 p) 1 p(1 ( 1)p + O(p )) p ( 1)p + O(p 3 ), duque a ( 1) ( ) e b ( 1) ( ). (b) α,p /β,p (p + O(p ))/(p + O (p )) 1 per p 0. Chiaramete α,p β,p per l iclusioe degli eveti si ha esattamete u successo si ha almeo u successo ; tuttavia se p è sufficietemete piccolo, i due eveti hao grossomodo la stessa probabilità. (c) Segue dai puti precedeti che γ,p α,p β,p ( 1) p + ( 1)p + O(p 3 ) ( 1) p + O(p 3 ). Per {i, j} {1,..., } itroduciamo l eveto A {i,j} : le prove di idici i, j hao etrambe successo. Si oti che ci soo ( ) ( 1) possibili coppie di prove {i, j} {1,..., }; ioltre la probabilità che etrambe le prove i, j abbiao successo è p, duque P(A {i,j} ) p per ogi i, j. Chiaramete si hao almeo due successi {i,j} {1,...,} A {i,j} e per subadditività γ,p {i,j} {1,...,} P(A {i,j}) ( ) p, metre varrebbe l uguagliaza se gli eveti {A {i,j} } {i,j} {1,...,} fossero disgiuti. Chiaramete ( tali eveti o soo disgiuti (perché?). Tuttavia il fatto che γ,p ) p + O(p 3 ) sigifica che, quado p è sufficietemete piccolo, è quasi come se lo fossero: più precisamete, se si verifica u eveto A {i,j}, è molto improbabile che se e verifichi u altro A {i,j }. Soluzioe 10. Si cosiderio gli eveti A la cofezioe proviee dal foritore A, B la cofezioe proviee dal foritore B A c e C di 0 pezzi testati soo difettosi. Sappiamo che P(C A) ( ) 0 (0.15) (0.85) , P(C B) ( ) 0 (0.03) (0.97) , metre P(A) P(B) 1/. Per cocludere basta applicare la formula di Bayes: P(B C) P(C B)P(B) P(C B)P(B) + P(C A)P(A) 0.30.