Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo"

Transcript

1 Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico ,

2 Vettori Vettori di

3 di Ricordiamo il in R n Dati a = (a 1,...a n ) e b = (b 1,...b n ) in R n il è il numero reale ottenuto dalla somma dei prodotti delle omologhe, ossia a b = n (a i b i ). i=1 In particolare in R 2 (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 e in R 3 (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Vogliamo definire ora un sullo spazio del piano e dello spazio che sui vettori dati si riconduca alla definizione precedente.

4 Pensiamo ai vettori come frecce uscenti dal punto O; semplicità cominciamo a prendere in esame solo i vettori che giacciono in uno stesso piano passante O. di Nel piano possiamo introdurre un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico con origine in O (Monometrico significa che si sceglie la stessa unità di misura su entrambi gli assi. Noi useremo solo sistemi ortogonali monometrici e quindi ci limiteremo a scrivere sistema di riferimento cartesiano, sottointendendo tutto il resto).

5 di Ogni vettore v = OA è individuato dal suo punto di arrivo A, che nel sistema di riferimento ha certe coordinate: (a 1, a 2 ); quindi, nel sistema di riferimento scelto, anche il vettore v è rappresentato dalla coppia ordinata (a 1, a 2 ). Scriviamo allora v = OA = (a 1, a 2 ) e chiamiamo i numeri reali a 1 e a 2 scalari del vettore più precisamente a 1 è la componente v secondo la direzione dell asse x a 2 è la componente v secondo la direzione dell asse y. Definizione Quando si assegna il vettore v del piano tramite la coppia ordinata (a 1, a 2 ) si dice che il vettore è rappresentato

6 A questo punto si possono tradurre analiticamente le definizioni di somma di vettori e di di un vettore uno scalare s date in precedenza. Proposizione Se v = OA = (a 1, a 2 ) e w = OB = (b 1, b 2 ) si ha v + w = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) sv = (sa 1, sa 2 ). di Se v = (a 1, a 2 ), il suo modulo si calcola utilizzando il teorema di Pitagora: v = (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2.

7 Versori canonici I (1, 0) e (0, 1) hanno entrambi modulo 1 e hanno la direzione e il verso dei due assi x e y: questo verranno detti versori fondamentali o canonici. Come in Fisica porremo i = (1, 0) e j = (0, 1). Quindi ogni vettore v = (a 1, a 2 ) del piano (con sistema di riferimento cartesiano ortogonale) può anche essere scritto così v = a 1 i + a 2 j di

8 Nello spazio possiamo introdurre un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico con origine in O con orientamento destrorso (cioè i tre assi cartesiani ortogonali x, y, z sono orientati rispettivamente come indice, medio e pollice della mano destra.). di Ogni vettore v = OA è individuato dal suo punto di arrivo A, che nel sistema di riferimento ha certe coordinate: (a 1, a 2, a 3 ): quindi, nel sistema di riferimento scelto, anche il vettore v è rappresentato dalla terna ordinata (a 1, a 2, a 3 ). Scriviamo allora v = OA = (a 1, a 2, a 3 ) e diciamo che il vettore v è rappresentato, poiché (anche nel caso spaziale) chiamiamo i numeri reali a 1, a 2 e a 3 scalari del vettore:

9 più precisamente di a 1 è la componente v secondo la direzione dell asse x a 2 è la componente v secondo la direzione dell asse y a 3 è la componente v secondo la direzione dell asse z.

10 Traducendo analiticamente le definizioni di somma di vettori e di di un vettore uno scalare s si ha la Proposizione Se v = OA = (a 1, a 2, a 3 ) e w = OB = (b 1, b 2, b 3 ) si ha v + w = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) sv = (sa 1, sa 2, sa 3 ). di Se v = (a 1, a 2, a 3 ), il suo modulo si calcola utilizzando (due volte) il teorema di Pitagora: v = (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 + (a 3 ) 2.

11 di I tre vettori i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). hanno modulo 1 e hanno la direzione e il verso dei tre assi x, y e z: questo verranno detti versori fondamentali o canonici. Ogni vettore v = (a 1, a 2, a 3 ) dello spazio (con sistema di riferimento cartesiano ortogonale) può anche essere scritto così v = a 1 i + a 2 j + a 3 k

12 di Torniamo a considerare vettori del piano o dello spazio ordinario. Due vettori v e w, pensati come segmenti orientati applicati in uno stesso punto, individuano due angoli, uno convesso (cioè non più ampio di un angolo piatto) ed uno concavo: ma quando ci si riferisce all angolo compreso tra i si intende parlare dell angolo convesso. Inoltre non si distingue tra l angolo compreso tra v e w e quello compreso tra w e v : si dirà ciò che tale angolo è non orientato. Denotiamo con θ la sua misura: se la misura è in radianti, risulta θ [0, π] mentre, se la misura è in gradi, θ può variare tra 0 e 180

13 di Definizione Dati v e w, chiamiamo scalare (o interno) dei il numero reale v w cos θ. Scriveremo v w = v w cos θ.

14 Scriveremo v w = v w cos θ. di commutativa: ogni coppia di vettori v e w si ha v w = w v; distributiva: ogni terna di vettori u, v e w si ha u (v + w) = u v + u w; di omogeneità: ogni coppia di vettori v e w e ogni s R si ha (sv) w = v (sw) = s (v w).

15 Inoltre è chiaro che v v = v v cos 0 = v 2 di e che v w= v w cosθ=0 se e solo se uno dei tre fattori è nullo, cioè v w= v w cosθ=0 v =0 oppure w =0 oppure cosθ=0 v = 0 oppure w = 0 oppure θ=π/2 Dunque

16 Proposizione Il di non nulli è nullo se e solo se i sono ortogonali. In particolare sono a due a due ortogonali i versori fondamentali e quindi i j =0, j k =0, k i =0. di Per calcolare il attraverso le scalari osserviamo che, se v = (a 1, a 2 ) = a 1 i + a 2 j e w = (b 1, b 2 ) = b 1 i + b 2 j,

17 applicando la proprietà distributiva e quella di omogeneità si trova v w = (a 1 i + a 2 j) (b 1 i + b 2 j) = a 1 b 1 i i + a 1 b 2 i j + a 2 b 1 j i + a 2 b 2 j j e, tenendo conto che i due versori fondamentali sono ortogonali e che i i = i 2 = 1 e j j = j 2 = 1, si ricava di v w =a 1 b 1 + a 2 b 2. Analogamente se v = (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 i + a 2 j + a 3 k e w = (b 1, b 2, b 3 ) = b 1 i + b 2 j + b 3 k, si trova v w =a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3.

18 Osservazione Siano v e w sono rappresentati. Allora il può essere utilizzato : 1) individuare l angolo (convesso e non orientato) compreso tra i due. Ad esempio, se v = (4, 3) e w = (5, 12), si ha v w =4 5 + ( 3) 12 = 16 di

19 di e d altro lato, usando la definizione, v w = v w cos θ = cos θ = 5 13 cos θ e, uguagliando, cos θ = 16 ( 65, cioè θ = arccos 16 ) radianti. 65 In generale, risolvere il problema di trovare l angolo (convesso e non orientato) compreso tra v e w si può usare la formula ( ) v w θ = arccos. v w

20 2) determinare il vettore proiezione ortogonale di v nella direzione di w (senza calcolare l angolo tra i due vettori). Se w è un versore, tale proiezione è data da ( v cos θ) w = ( v w cos θ) w = (v w) w. Se w non è un versore, basta dividerlo il suo modulo ottenere un versore. di

21 Esercizi di (1) Dire quali valori di k i seguenti vettori sono ortogonali: soluzione: v := (1, k 2, 3), w := (k, 2, 5) (1, k 2, 3) (k, 2, 5) = k + 2k = 0 k = 11 3

22 Esercizi di (2) Dire quali valori di k l angolo tra i seguenti vettori e di π/3 : soluzione: v := (k, 1), w := (1, 2) cos π/3 = v w v w, v = k , w = = 5, v w = k 2, cos π/3 = (k 2)2 = 4 (k 2 + 1) 5 ( ) 5 k = 4 (k 2) 2

23 Esercizi ( ) 5k = 4 k k ( ) 5k = 4 k k 5k = 4k k di k k 11 = 0 soluzioni: k 1 = = , k 2 = 8 5 3

24 di Nello spazio ordinario (e solo in esso!) è possibile definire un altro tra v e w. Definizione Dati v e w dello spazio di dimensione 3, chiamiamo di v e w il vettore v w che ha modulo il v w sin θ, ove θ [0, π] è l angolo convesso compreso tra i direzione quella ortogonale al piano individuato dai verso quello che rende destrorsa la terna v, w, v w. (Questo significa che i tre vettori sono orientati rispettivamente come indice, medio e pollice della mano destra.)

25 Notiamo che il modulo v w rappresenta l area del parallelogramma che ha due lati coincidenti con i v e w e quindi v w = 0 se e solo se uno dei è nullo oppure i hanno la stessa direzione. Dunque Proposizione Il di non nulli è nullo se e solo se i hanno la stessa direzione. di anticommutativa: ogni coppia di vettori v e w si ha v w = w v

26 di distributive: ogni terna di vettori u, v e w si ha u (v + w) = u v + u w e (v + w) u = v u + w u; di omogeneità: ogni coppia di vettori v e w e ogni s R si ha (sv) w = v (sw) = s (v w); di annullamento ogni vettore v si ha v v = 0 (vettore nullo).

27 Ricordando che i, j e k sono i versori aventi la direzione e il verso degli assi x, y e z risulta chiaro che i j = k, j k = i, k i = j, e la proprietà anticommutativa j i = k, k j = i, i k = j. di

28 di Utilizzando queste proprietà si verifica che se v = (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 i + a 2 j + a 3 k e w = (b 1, b 2, b 3 ) = b 1 i + b 2 j + b 3 k, si può formulare il in termini di scalari come segue. Infatti le proprietà distributive si ha v w = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) w = a 1 i w + a 2 j w + a 3 k w = a 1 i (b 1 i + b 2 j + b 3 k) + a 2 j (b 1 i + b 2 j + b 3 k) + a 3 k (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = (a 1 i b 1 i + a 1 i b 2 j + a 1 i b 3 k) + (a 2 j b 1 i + a 2 j b 2 j + a 2 j b 3 k) + (a 3 k b 1 i + a 3 k b 2 j + a 3 k b 3 k).

29 Per la proprietà di annullamento i i = 0, j j = 0, k k = 0. Quindi utilizzando la proprietà di omogeneità si ottiene: v w = (a 1 b 2 i j+a 1 b 3 i k) + (a 2 b 1 j i + a 2 b 3 j k) + (a 3 b 1 k i + a 3 b 2 k j), cioè, la proprietà anticommutativa, v w = (a 1 b 2 a 2 b 1 ) i j + (a 2 b 3 a 3 b 2 ) j k + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) k i = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. di v w = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k.

30 di Si vede che la prima componente del è costruita solo con le seconde e le terze dei due vettori v e w (e analogamente le altre ). Per ricordarsi questa formula è comodo far uso della terminologia dei determinanti. Si osserva che a 2 b 3 a 3 b 2 è proprio il determinante della matrice ( ) a2 a 3, che viene rappresentato brevemente come b 2 b 3 a 2 a 3 b 2 b 3. Proseguendo allo stesso modo sulle altre si trova: v w = a 2 a 3 b 2 b 3 i + a 3 a 1 b 3 b 1 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k.

31 di Si compatta ancor di più questa formula scrivendo v w = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 che si può leggere dicendo che il vettore v w si ottiene formalmente come il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 (a elementi vettoriali e numerici) la cui prima riga è formata dai versori fondamentali, la seconda dal vettore delle di v, la terza dal vettore delle di w.

32 di o Determiniamo un vettore u dello spazio che risulta contemporaneamente ortogonale ai vettori v =(1, 0, 1) e w = (0, 2, 1).Visto che definizione il ha direzione ortogonale al piano individuato dai, sicuramente il vettore v w verifica la condizione. Si può quindi scrivere i j k u = v w = = i j k =2i 1j+2k =(2, 1, 2).

33 di o Calcoliamo il tra i vettori v = (1, 2, 3) e w = (1, 1, 1).Si può scrivere u = v w = det i j k = i j k = 1i+2j 1k =( 1, 2, 1). Si verifica immediatamente in questo caso che il è ortogonale a v e w

34 di Attenzione. Al contrario del, il può essere applicato ripetutamente visto che il risultato del è ancora un vettore. Ma il non vale la proprietà associativa. Ad esempio i (i j) = i k = j mentre (i i) j = 0 j = 0.

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze

Dettagli

Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 1 Introduzione In questa lezione

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

4. Proiezioni del piano e dello spazio

4. Proiezioni del piano e dello spazio 4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,

Dettagli

Vettori Teoria ed Esercizi

Vettori Teoria ed Esercizi Vettori Teoria ed Esercizi Edizioni H ALPHA Lorenzo Roi c Edizioni H ALPHA Marzo 1999 (formato PDF) La figura di facciata costituisce un particolare dell insieme di Mandelbrot ingrandito 44 10 8 volte

Dettagli

AL. Algebra vettoriale e matriciale

AL. Algebra vettoriale e matriciale PPENDICI L. lgebra vettoriale e matriciale Vettori Somma di vettori: struttura di gruppo Come abbiamo richiamato nell introduzione vi sono delle grandezze fisiche caratterizzabili come vettori, cioè tali

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

METODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE

METODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE Ing. ENRICO BIAGI Docente di Tecnologie elettrice, Disegno, Progettazione ITIS A. Volta - Perugia ETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAPO AGNETICO ROTANTE Viene illustrato un metodo analitico-grafico per descrivere

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

Moti e sistemi rigidi

Moti e sistemi rigidi Moti e sistemi rigidi Dispense per il corso di Meccanica Razionale 1 di Stefano Siboni 1. Moto rigido di un sistema di punti Sia dato un sistema S di N 2 punti materiali P i, i = 1,..., N. Per configurazione

Dettagli

I polinomi 1; x;x 2 ;x 3 sono linearmente indipendenti; infatti. 0= 1 1+ 2 x+ 3 x 2 + 4 x 3 =) 1 = 2 == 4 =0

I polinomi 1; x;x 2 ;x 3 sono linearmente indipendenti; infatti. 0= 1 1+ 2 x+ 3 x 2 + 4 x 3 =) 1 = 2 == 4 =0 ASPETTI TEORICI Spazio vettoriale Un insieme qualunque di inniti elementi V = fv i g si dice uno spazio vettoriale sull'insieme dei numeri reali R se: { E possibile denire un'operazione binaria fra gli

Dettagli

Tecniche avanzate. Quello che avanza... Image-based rendering. Quaternioni e rotazioni 3D. Intersezioni

Tecniche avanzate. Quello che avanza... Image-based rendering. Quaternioni e rotazioni 3D. Intersezioni Tecniche avanzate Quello che avanza... Image-based rendering Quaternioni e rotazioni 3D Intersezioni Grafica al Calcolatore Tecniche avanzate - 1 Image-based rendering Il problema è della grafica interattiva

Dettagli

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Luciano Battaia Versione del 27 settembre

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

Coordinate 3D. Coordinate cartesiane. Coordinate 3D. Coordinate cartesiane. Coordinate cartesiane. Sinistrorsa. Destrorsa

Coordinate 3D. Coordinate cartesiane. Coordinate 3D. Coordinate cartesiane. Coordinate cartesiane. Sinistrorsa. Destrorsa 200 Coordinate D Anche nella grafica D gli oggetti da visualiare vengono codificati a partire da primitive che collegano punti. I punti appartengono ad uno spaio tridimensionale. Vengono memoriati utiliando

Dettagli

Misura e integrazione Formulario

Misura e integrazione Formulario Misura e integrazione Formulario Integrale su rettangolo 1. 2. Teorema di riduzione per un rettangolo (Fubini) Per passare dal rettangolo ad un qualsiasi dominio si definisce una nuova funzione. Integrale

Dettagli

I VETTORI. 1 Somma di vettori: metodo graco. 19 dicembre 2007. ESERCIZI Risolti e Discussi

I VETTORI. 1 Somma di vettori: metodo graco. 19 dicembre 2007. ESERCIZI Risolti e Discussi I VETTORI ESERCIZI Risolti e Discussi 19 dicembre 2007 1 Somma di vettori: metodo graco 1.0.1 Si considerino due spostamenti, uno di modulo 3 m e un altro di modulo 4 m. Si mostri in che modo si possono

Dettagli

TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO

TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO Carlo Sintini www.matematicamente.it INDICE TAVOLE NUMERICHE Potenze e radici quadre e cube dei numeri fino a 200

Dettagli

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

Liceo Scientifico Statale. Leonardo da Vinci. Fisica. Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B. DOCENTE Elda Chirico

Liceo Scientifico Statale. Leonardo da Vinci. Fisica. Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B. DOCENTE Elda Chirico Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Fisica Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B DOCENTE Elda Chirico Le Grandezze. Introduzione alla fisica. Metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali 01 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non sono misurabili

Dettagli

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui

Dettagli

con le coppie ordinate di numeri reali, sulla base di alcune operazioni convenzionali.

con le coppie ordinate di numeri reali, sulla base di alcune operazioni convenzionali. 1 I vettori ordinari In questo capitolo approfondiremo innanzitutto lo studio delle proprieta geometriche del piano cartesiano. I concetti e i risultati di cui ci occuperemo saranno quindi generalizzati,

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Piano Lauree Scientifiche 2011-2012

Piano Lauree Scientifiche 2011-2012 Piano Lauree Scientifiche 2011-2012 «non si può intendere se prima non s impara a intender lingua, e conoscer i caratteri, nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli,

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

I vettori. Roberto Capone. Appunti di Fisica - I vettori. Introduzione

I vettori. Roberto Capone. Appunti di Fisica - I vettori. Introduzione I vettori Introduzione Quando ci riferiamo alle grandezze fisiche ci troviamo di fronte a due grandi classi. Alcune grandezze fisiche sono completamente definite quando se ne conosce la sola misura espressa

Dettagli

Numeri complessi. x 2 = 1.

Numeri complessi. x 2 = 1. 1 Numeri complessi Nel corso dello studio della matematica si assiste ad una progressiva estensione del concetto di numero. Dall insieme degli interi naturali N si passa a quello degli interi relativi

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1)

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) Un ente (geometrico) è un oggetto studiato dalla geometria. Per descrivere gli enti vengono utilizzate delle definizioni. Una definizione è una

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

Posizione e orientamento di corpi rigidi

Posizione e orientamento di corpi rigidi Corso di Robotica 1 Posizione e orientamento di corpi rigidi Prof. Alessandro De Luca Robotica 1 1 Posizione e orientamento terne ortogonali destre SR A A p AB B SR B corpo rigido posizione: A p AB (vettore

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 La Geometria analitica: la retta 1.1 Introduzione......................................... 1. Il piano cartesiano.....................................

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

I ESERCITAZIONE. Soluzione

I ESERCITAZIONE. Soluzione I ESERCITAZIONE 1. Moto rettilineo uniforme Un bagnino B è sulla spiaggia a distanza d B = 50 m dalla riva e deve soccorrere un bagnante H che è in acqua a d H = 100 m dalla riva. La distanza tra il punto

Dettagli

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad

Dettagli

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Luciano Battaia Versione del 29 dicembre

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

VA. Vettori applicati

VA. Vettori applicati VA. Vettori applicati I ettori, considerati da un punto di ista matematico, engono tutti riferiti all origine degli assi, in quanto si considerano equialenti tutti i segmenti orientati di uguale direzione,

Dettagli

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof.

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Antonio Cigliola Prerequisiti Logica elementare. Principio di Induzione.

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

PROGRAMMA CONSUNTIVO

PROGRAMMA CONSUNTIVO PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO A.S.2014-15 SCUOLA: Liceo Linguistico Teatro alla Scala DOCENTE: BASSO RICCI MARIA MATERIA: MATEMATICA- INFORMATICA Classe 2 Sezione A CONTENUTI Sistemi lineari numerici

Dettagli

Gabriella Righetti. Lezioni di Fisica. E-Book di Fisica per il Biennio. Volume 1

Gabriella Righetti. Lezioni di Fisica. E-Book di Fisica per il Biennio. Volume 1 Gabriella Righetti Lezioni di Fisica E-Book di Fisica per il Biennio Volume 1 COPIA SAGGIO Campione gratuito fuori commercio ad esclusivo uso dei docenti Garamond 2009 Tutti i diritti riservati Via Tevere,

Dettagli

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE Settembre Ottobre Somministrazione di test di ingresso. Novembre dicembre Insiemi numerici Operazioni negli insiemi N, Q Operazioni negli insiemi Z, Q. Potenze con

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA Una Geometria non può essere più vera di un altra; può essere solamente più comoda. Ora la Geometria Euclidea è e resterà più comoda H. Poincaré

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La

Dettagli

Il gruppo dei vettori

Il gruppo dei vettori Capitolo Terzo Il gruppo dei vettori 3.1. Le strutture di gruppo e di corpo Un operazione binaria (1) definita in un insieme è un applicazione fra il quadrato cartesiano dell insieme e l insieme stesso,

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007 Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari

Dettagli

LEZIONI DI TOPOGRAFIA

LEZIONI DI TOPOGRAFIA Prof. Ing. Paolo Saija LEZIONI DI TOPOGRAFIA (Appunti per l esame di abilitazione alla professione di Geometra) Anno 2006 II a Edizione 1 SOMMARIO LA TOPOGRAFIA Grandezze geometriche e unità di misura

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

L influenza della corrente sulla barca si manifesta in due effetti principali: uno sul vento e uno sulla rotta percorsa.

L influenza della corrente sulla barca si manifesta in due effetti principali: uno sul vento e uno sulla rotta percorsa. CORRENTI e DIAGRAMMI POLARI Come la corrente trasforma le polari di una barca Durante una discussione nel corso di una crociera, è stata manifestata la curiosità di sapere come possano essere utilizzate

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609 5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609 sostituscono le pagg. 50-58 (fino alle eq. 5.28) Come già visto è stato scelto l'ellissoide come riferimento planimetrico sul quale proiettare tutti i punti

Dettagli

Rendering I - geometric processing

Rendering I - geometric processing Rendering I - geometric processing Dove si descrivono i principali metodi di alto livello utilizzati per ottenere una immagine a partire da una descrizione degli oggetti 3D Introduzione Trasformazioni

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Anno Scolastico 2014/2015 Classe I D PROGRAMMA DI MATEMATICA. Prof. Boscagli Ivano. Libri di testo: M. Bergamini, A.

Liceo Scientifico G. Galilei Anno Scolastico 2014/2015 Classe I D PROGRAMMA DI MATEMATICA. Prof. Boscagli Ivano. Libri di testo: M. Bergamini, A. Liceo Scientifico G. Galilei Anno Scolastico 2014/2015 Classe I D PROGRAMMA DI MATEMATICA. Prof. Boscagli Ivano. Libri di testo: M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Algebra.blu con Statistica, Vol.1,

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Federico II di Svevia Indirizzi: Liceo Scientifico Classico Linguistico Artistico e Scienze Applicate Via G. Verdi, 1 85025 MELFI (PZ) Tel. 097224434/35 Cod. Min.: PZIS02700B

Dettagli

LICEO STATALE G. MAZZINI

LICEO STATALE G. MAZZINI LICEO STATALE G. MAZZINI LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO DELLE SCIENZE UMANE OPZIONE ECONOMICO-SOCIALE Viale Aldo Ferrari, 37 Tel. 0187743000 19122 La Spezia Fax 0187743208 www.liceomazzini.org

Dettagli

Capitolo 3. Il metodo visto nella geometria dello spazio duale. 3.1 Definizione di spazio duale

Capitolo 3. Il metodo visto nella geometria dello spazio duale. 3.1 Definizione di spazio duale Il metodo visto nella geometria dello spazio duale Nel precedente capitolo e stato esposto in linea generale il metodo a luce debolmente strutturata enfatizzando soprattutto la localizzazione temporale

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014. Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L

LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014. Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014 Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L I numeri naturali e i numeri interi Che cosa sono i numeri naturali. L insieme dei numeri naturali N. Le quattro

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

MATEMATICA PRIMO BIENNIO LICEO DELLE SCIENZE UMANE

MATEMATICA PRIMO BIENNIO LICEO DELLE SCIENZE UMANE MATEMATICA PRIMO BIENNIO LICEO DELLE SCIENZE UMANE Profilo generale e competenze Al termine del percorso liceale lo studente dovrà padroneggiare i principali concetti e metodi di base della matematica,

Dettagli

Gli angoli. In questa dispensa vengono presentati i concetti fondamentali relativi agli angoli.

Gli angoli. In questa dispensa vengono presentati i concetti fondamentali relativi agli angoli. Gli angoli In questa dispensa vengono presentati i concetti fondamentali relativi agli angoli. Dopo le prime nozioni riguardanti angoli convessi e concavi, angolo piatto, angolo giro e angolo nullo, si

Dettagli

CAMPI E LORO PROPRIETÀ

CAMPI E LORO PROPRIETÀ CMPI E LORO PROPRIETÀ 1.1 Introduzione ia una regione nello spazio in cui, in ogni suo punto, sia definita una grandezza g. La regione si dice allora soggetta ad un campo. Un campo può essere scalare,

Dettagli

geometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche

geometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche Parte Sesta Trasformazioni isometriche In questa sezione di programma di matematica parliamo della geometria delle trasformazioni che studia le figure geometriche soggette a movimenti. Tali movimenti,

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

I.I.S. "MARGHERITA DI SAVOIA" a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA classe I BL Numeri naturali L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche. Le potenze. Espressioni. Divisibilità, numeri primi. M.C.D. e m.c.m. Numeri interi relativi L insieme dei

Dettagli

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA - ESERCIZI

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA - ESERCIZI ELEMENTI I TOPOGRFI ESERIZI 1. ato il quadrilatero, i cui vertici si seguono in senso antiorario, di cui si conoscono le coordinate dei vertici e rispetto a un sistema di assi ortogonali: E = 23,55 m N

Dettagli

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 4 Applicazioni lineari 1. Definizioni ed esempi. In questo capitolo ci proponiamo di studiare le funzioni tra spazi

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Forze come grandezze vettoriali

Forze come grandezze vettoriali Forze come grandezze vettoriali L. Paolucci 23 novembre 2010 Sommario Esercizi e problemi risolti. Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11 Parte 1 / versione 2 Si ricordi che la risultante di due

Dettagli

5.4 Solo titoli rischiosi

5.4 Solo titoli rischiosi 56 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.4 Solo titoli rischiosi Suppongo che sul mercato siano presenti n titoli rischiosi i cui rendimenti aleatori sono

Dettagli

Laboratorio: Costruzione dell ellisse con parallelogrammi articolati

Laboratorio: Costruzione dell ellisse con parallelogrammi articolati Laboratorio: Costruzione dell ellisse con parallelogrammi articolati Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione

Dettagli

Parte Seconda. Geometria

Parte Seconda. Geometria Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei

Dettagli