Prodotto Scalare e Prodotto Vettore I

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Edoardo Palumbo
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1 Prodotto Scalare e Prodotto Vettore I Prodotto Scalare: pplicaione che va dallo spaio prodotto R 3 R 3 in R tale che: 3 B B B, = j = 1 j j Norma di un Vettore: pplicaione che va dallo spaio dei vettori R 3 nello spaio dei Reali positivi R definito come: 3, = j = 1 j Prodotto Vettore: pplicaione che va dallo spaio prodotto R 3 R 3 nello spaio dei vettori R 3, definito dalla relaione: ˆ ˆ ˆ B B B B FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

2 Prodotto Scalare e Prodotto Vettore II B j 3, B = = B = B cos θ j= 1 j j B ˆ ˆ ˆ B = uˆ B sinθ B B B B B u B q B B FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

3 Inversione del sistema di coordinate P(,,) P P (,, ) = P(,, ) ( ) FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

4 Prodotto Scalare e Prodotto Vettore I Prodotto Scalare: pplicaione che va dallo spaio prodotto R 3 R 3 in R tale che: 3 B B B, = j = 1 j j Norma di un Vettore: pplicaione che va dallo spaio dei vettori R 3 nello spaio dei Reali positivi R definito come: 3, = j = 1 j Prodotto Vettore: pplicaione che va dallo spaio prodotto R 3 R 3 nello spaio dei vettori R 3, definito dalla relaione: ˆ ˆ ˆ B B B B FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

5 Scalari,Pseudoscalari,Vettori,Pseudovettori Scalare: elemento appartenente ad R invariante per Inversione del sistema di coordinate; Pseudoscalare: elemento appartenente ad R che cambia segno per inversione del sistema di coordinate Vettore: Elemento dello spaio R 3 che cambia segno per inversione del sistema di coordinate; Pseudovettore: Elemento dello spaio R 3 che non cambia segno per inversione del sistema di coordinate; ESERCIZIO Dimostrare che dati due qualsiasi vettori nello spaio: il loro prodotto scalare è commutativo; il loro prodotto scalare da sempre uno scalare; il loro prodotto vettoriale è anticommutativo; il loro prodotto vettoriale da sempre uno pseudovettore; FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

6 Operatori Matematici (I) Nabla ˆ ˆ ˆ Gradiente: Operatore che va dallo spaio dei Campi Scalari nello spaio dei Campi Vettoriali, definito dalla relaione: Φ Φ Φ Φ= gradφ ˆ ˆ ˆ Divergena: Operatore che va dallo spaio dei Campi Vettoriali nello spaio dei Campi Scalari, definito dalla relaione: = div Rotore: Operatore che va dallo spaio dei Campi Vettoriali nello spaio dei Campi Pseudovettoriali, definito dalla relaione: ˆ ˆ ˆ = Rot / / / FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

7 Formule di calcolo vettoriale lcune proprietà dei Prodotti Scalari e Vettoriali: a ( b c) = b ( c a) = c ( a b) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) lcune Proprietà dell Operatore Nabla: ψ = 0 ( ) = 0 ( ) = ( ) ( ψ ) = ψ ψ ψ = ψ ψ ( ) FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

8 FISIC GENERLE II, FISIC GENERLE II, Cassino Cassino Carmine Elveio Pagliarone Carmine Elveio Pagliarone Operatore di Laplace (laplaciano) = = = = L operatore di Laplace o laplaciano e una applicaione che va dallo spaio dei campi scalari nello spaio dei campi scalari definito come Φ Φ Φ Φ Φ =

9 Operatori Matematici II Laplaciano (applicaione che va da un Campo Scalare in un campo Scalare): Φ = Φ Φ Φ Φ Dalambertiano (applicaione che va da un Campo Scalare in un campo Scalare): Φ 1 c t Φ Il Dalambertiano esprime una generica equaione la cui soluione è un onda o più in generale un fenomeno ondulatorio: Φ= 0 Φ = f FISIC GENERLE II, Cassino Carmine Elveio Pagliarone

10 Laplaciano e Dalambertiano di Campi Vettoriali L operatore di Laplace può essere generaliato in modo da agire anche sui campi vettoriali: E = E = = ˆ E ˆ E ˆ E = ˆ E j j j= 1 Di conseguena è possibile scrivere il dalambertiano per un campo vettoriale nella maniera seguente: 3 1 E E ˆ = j E c t j= 1 3 ( j )

11 Teorema della Divergena Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l integrale sul volume V della divergena del campo E e uguale al flusso del campo attraverso la superficie che delimita il volume V. Φ E = E d= div E dv Superficie Volume Teorema di Stokes dl d ' Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l integrale lungo una curva chiusa (L) di C e uguale al flusso del Rotore di C attraverso la superficie () delimitata dalla curva chiusa in oggetto. dl = L L C dl = ( C) d' d' = L

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