Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

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1 Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 1/17 Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo) Definizione (Prodotto interno, spazio vettoriale euclideo) Un prodotto interno, o prodotto scalare definito positivo, su uno spazio vettoriale reale V è un applicazione V V R, (a, b) a b (oppure < a, b >) bilineare, simmetrica e definita positiva. Uno spazio vettoriale V, insieme alla scelta di uno specificato prodotto interno, si dice spazio vettoriale euclideo. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 2/17

2 Significato dei termini Bilinearità (ossia, linearità in entrambi gli argomenti): Per ogni a, b, c V, per ogni λ R, Simmetria: Per ogni a, b V, a (b + c) = a b + a c a (λb) = λ(a b) (a + b) c = a c + b c (λa) b = λ(a b) a b = b a Positività (o definita positività): Per ogni a non nullo in V, a a > 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 3/17 Esempi di prodotti interni 1 Il prodotto interno standard in R n. Se X = (x 1,..., x n ), Y = (y 1,..., y n ), 2 V = C 0 (I), I = [ π, π]. Se f, g sono in V, poniamo X Y = x 1 y x n y n < f, g >= π π f (t)g(t) dt Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 4/17

3 Definizione (Ortogonalità e lunghezze in uno spazio euclideo) Due vettori a, b si dicono ortogonali, o perpendicolari, se a b = 0 La norma, o lunghezza, a (oppure a ) di un vettore a di V è il numero reale: a = a a (1) Un vettore a V si dice unitario se a = 1. Esercizio Dimostrare che per ogni vettore a e per ogni scalare t R, ta = t ta. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 5/17 Sistemi ortonormali Definizione (Sistema ortonormali) Un insieme ordinato di vettori u 1,..., u k in uno spazio vettoriale euclideo V si dice ortonormale o un sistema ortonormale se u i = 1, i = 1,..., k, e u i u j per i j. In altri termini, u i u j = { 1 se i = j 0 se i j In particolare, se un sistema ortonormale è una base di V, si chiama base ortonormale. Per esempio, la base canonica e 1,..., e n di R n è ortonormale, rispetto al prodotto scalare standard in R n. Le coordinate rispetto a una base ortonormale si chiamano anche coordinate cartesiane. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 6/17

4 Esercizio Esercizio 1 Ogni sistema ortonormale u 1,..., u k è linearmente indipendente. 2 Se B = (u 1,..., u n ) è una base ortonormale di uno spazio vettoriale euclideo V, ogni vettore v in V si scrive v = (v u 1 )u (v u n )u n Cioè, la componente i-esima è il prodotto scalare v u i. 3 Dati v, w V, di coordinate (v 1,..., v n ), (w 1,..., w n ) rispetto a una base ortonormale B, v w = v 1 w v n w n Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 7/17 Complemento ortogonale Definizione Sia U un sottoinsieme di uno spazio vettoriale euclideo V. Il complemento ortogonale U di U è U = {x V u U x u = 0} Non si richiede che U sia un sottospazio vettoriale. Ad esempio, se U è costituito da un singolo vettore v, il complemento ortogonale U, che si denota anche v, è il sottospazio vettoriale costituito dai vettori di V ortogonali a v. Esercizio Dimostrare che U è un sottospazio vettoriale di V. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 8/17

5 V = U U, per ogni sottospazio vettoriale U V Teorema Siano V uno spazio vettoriale euclideo, U un suo qualunque sottospazio vettoriale e U il suo complemento ortogonale. Allora V = U U Come al solito, questo significa che ogni v V si scrive in un modo, e in uno solo, come v = u + w, con u U e w U. Dividiamo la dimostrazione in due parti: prima dimostriamo che c è al più una scrittura; poi ne troviamo una in modo esplicito. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 9/17 V = U U. Dimostrazione. (Unicità della scrittura) a) Ogni v si può scrivere al più in un modo come somma v = u + w, con u U e w U. Infatti, supponiamo v = u + w = u + w, con u, u U, w, w U. Allora u u = w w, con u u U e w w U. Il vettore u u è ortogonale a w w, ossia è ortogonale a se stesso. Poiché il prodotto scalare è definito positivo, l unico vettore ortogonale a se stesso è il vettore nullo; quindi u u = 0, cioè u = u. Di conseguenza, anche w = w. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 10/17

6 V = U U. Dimostrazione. (Esistenza della scrittura) b) Sia u 1,..., u k una base ortonormale di U. (Una tale base esiste sempre, per Gram-Schmidt). Cerchiamo di scrivere v = u + w, con u U e w U. Il vettore u U si scrive u = c 1 u c k u k. Quello che dobbiamo fare è determinare i coefficienti c 1,..., c k in modo tale che w = v u sia in U. Ora w U equivale a w u i = 0, i = 1,..., k, ossia equivale a 0 = w u i = (v u) u i = v u i u u i = v u i c i Quindi l unica scelta giusta per i coefficienti è c i = v u i, i = 1,..., k. Allora v si può scrivere come v = u + w, dove u = (v u 1 )u (v u k )u k U w = v u U Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 11/17 Caso particolare: dim U = 1 U (dim U = 1) u U v v v v = v + v, v U, v U (Scrittura unica) Se U = Span(u) e u = 1, v = (v u) u (Se u = 1) Se invece z è un vettore arbitrario (non nullo) in U, v = v z z z z Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 12/17

7 Esercizio Esercizio (Proiezione ortogonale di un vettore lungo una retta) Nello spazio euclideo R 3, sia W la retta generata da w = (1, 0, 1). Scrivere v = (0, 0, 1) come con v W e v W. v = v + v Soluzione Abbiamo: v w = 1, w w = 2. Quindi: v = v w w w w = 1 2 (1, 0, 1) = (1 2, 0, 1 2 ) v = v v = (0, 0, 1) ( 1 2, 0, 1 2 ) = ( 1 2, 0, 1 2 ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 13/17 Proiezioni su sottospazi Supponiamo che V sia somma diretta di due suoi sottospazi vettoriali U 1, U 2 : V = U 1 U 2 Dunque ogni v V si scrive, in modo unico, come v = u 1 + u 2, u 1 U, u 2 U Le applicazioni V P U 1 V, PU1 (v) = u 1 V P U 2 V, PU2 (v) = u 2 si chiamano proiezioni su U 1 e su U 2, rispettivamente. Ovviamente, Im P U1 = U 1, Im P U2 = U 2, Ker P U1 = U 2, Ker P U2 = U 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 14/17

8 Teorema di Pitagora Teorema (Teorema di Pitagora) Se v, w V (spazio vettoriale euclideo) sono ortogonali, v + w 2 = v 2 + w 2 Dimostrazione v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + 2 v w + v v = v 2 + w 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 15/17 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Teorema (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) Per tutti i v, w V, v w v w (2) Dimostrazione Se w = 0, la (2) è ovvia. Altrimenti, scriviamo v = v + v con v multiplo di w e v ortogonale a w. Per Pitagora, v 2 = v 2 + v 2 v 2 ( v w ) = w w w 2 v w = 2 w 2 w w v w 2 = w 2 Moltiplicando per w 2 si ha la tesi. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 16/17

9 Angolo tra due vettori Dalla disuguaglianza di Schwarz segue che, se a e b sono entrambi non nulli, 1 a b a b 1 Poiché il coseno definisce una funzione biunivoca [0, π] cos [ 1, 1] esiste un unico ϑ in [0, π] tale che cos ϑ = a b a b (3) Si dice che ϑ è l angolo tra i vettori a e b. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. 14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità. 17/17

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