LO SPAZIO DEI VETTORI ORDINARI 1 1. L INSIEME DEI VETTORI ORDINARI

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1 LO SPAZIO DEI VETTORI ORDINARI 1 1. L INSIEME DEI VETTORI ORDINARI Iniziamo il paagafo con il fissae la nosta attenzione sul ben noto concetto di segmento oientato. Un segmento oientato, di pimo estemo A e di secondo estemo B (con B A), veà indicato con AB; mente un segmento non oientato, sempe di estemi A e B, veà indicato con [AB]. Indicheemo con AB la misua o il modulo del segmento non oientato [AB] ispetto ad una data unità di misua u. denoteemo con S l insieme di tutti i segmenti oientati dello spazio. Dati due segmenti oientati AB e CD diemo che il segmento oientato AB è equipollente al segmento oientato CD e sciveemo: AB CD se si veificano le seguenti condizioni: a) AB = CD (ispetto ad una qualunque unità di misua); b) la etta AB è paallela alla etta CD (paallele o coincidenti); c) veso di AB = veso di CD. In alte paole due segmenti si dicono equipollenti se hanno lo stesso modulo, la stessa diezione e lo stesso veso. TEOREMA La elazione essee equipollenti è una elazione di equivalenza. DIMOSTRAZIONE. Occoe povae che la elazione essee equipollenti veifica le popietà iflessiva, simmetica e tansitiva. 1) Riflessiva Si ha banalmente AB BA in quanto: AB = AB ; etta AB = etta AB; veso AB = veso AB. ) Simmetica Supposto AB CD si deve povae che CD condizioni a), b), c) sono simmetiche. AB. Ciò segue dal fatto che le te 1 A cua del Pof. FRANCO Eugeni Odinaio pesso l Univesità di Teamo e della Pof.ssa ANNAMARIA VICECONTE Univesità di Teamo

2 3) Tansitiva Supposto che sia AB CD e CD HK poviamo che: AB HK. Se AB CD e CD HK alloa: a) AB = CD = HK ; b) la etta AB è paallela alla etta CD paallela alla etta HK; c) veso AB = veso CD = veso HK da cui l asseto. Poiché la elazione di equipollenza è una elazione di equivalenza possiamo ipatie l insieme S in classi di segmenti equipollenti. L insieme quoziente S/, cioè l insieme di tutte le possibili classi di equipollenza, saà denotato con V e le classi, ovveo gli elementi di V, si chiameanno vettoi 0 0 (libei). Un geneico vettoe si indicheà con AB o anche con una lettea minuscola somontata da una feccia: u = AB = {HK: HK S, HK AB} Il segmento oientato AB AB si dice appesentante del vettoe AB. All insieme V 0 si aggiunge un elemento esteno che pende il nome di vettoe nullo e si denota con 0. Da un punto di vista intuitivo tale elemento si intoduce come deivante dall idea intuitiva di segmento nullo. Come nuova classe di equivalenza, avà pe elementi tutti i punti delle spazio ovveo tutti i segmenti nulli. Poemo nel seguito V:= V { 0 0 } := S/ { 0 } L insieme V si dià sostegno dello spazio vettoiale odinaio. A volte un appesentante AB di un vettoe odinaio u si dià anche vettoe applicato in A. Se

3 u è un vettoe, con u si indica il suo modulo ispetto all unità di misua fissata. Un vettoe di modulo unitaio saà detto vesoe. Dato un vettoe u 0, chiamiamo vettoe opposto di u il vettoe v tale che: stesso modulo di u v = stessa diezione di u veso opposto ad u e poemo pe definizione v := - u.. LA STRUTTURA ALGEBRICA DELLO SPAZIO DEI VETTORI ORDINARI. Intoduciamo oa alcune opeazioni su V. Definiamo l addizione (+) ta due vettoi u e v definendo la somma di due vettoi come segue: a) se almeno uno dei due vettoi è nullo, si pone: u + 0 = 0 + u = u u V = 0 b) se v 0 e v = - u alloa pe definizione di opposto si ha: u + (- u ) = (- u ) + u = 0 c) se invece u 0 e v 0 ed inolte i due vettoi non sono opposti, si pone u + v = w w si dice somma dei vettoi dati e si costuisce nel modo seguente: 3

4 si fissa in modo abitaio un punto O nello spazio (fig. 1) e si consideano i segmenti OP e OQ tali che: Q OP u oppue OP = u PQ v oppue PQ = v unendo O con Q si ottiene il segmento non nullo OQ (essendo Q 0) che detemina il vettoe w tale che OQ OQ = w. O w u fig. 1 OSSERVAZIONE Può sembae a pima vista che il vettoe w somma di due vettoi dipenda dalla scelta del punto O; dimostiamo che il vettoe w non dipende dalla scelta iniziale del punto O. Infatti se consideiamo alti due segmenti O P e P Q (equipollenti ai pecedenti), essi pe composizione foniscono un segmento O Q che è equipollente ad OQ. Occupiamoci oa delle pincipali popietà della somma di vettoi. 1) Popietà commutativa u, v V u + v = v + u P v a) Se almeno uno dei vettoi è nullo, alloa la popietà commutativa è veificata pe la definizione di un vettoe con il vettoe nullo. b) Se i due vettoi sono uno l opposto dell alto, in qualunque odine si sommino danno il vettoe nullo. c) Se i due vettoi non sono opposti e non sono nulli, alloa si fissi un punto O (fig. ) e si costuiscano a patie da O due segmenti oientati OP u e PR v ; segue che v Q u R R OR = u + v. Sempe a patie da O costuiamo OQ v e O u P QR u. Si ha ovviamente R R, quindi fig. OR = v + u. v 4

5 OSSERVAZIONE La pova della popietà commutativa va sotto il nome di egola del paallelogamma. ) Popietà associativa u v, w, V u + ( v + w) = ( u + v) + w Pe la dimostazione distinguiamo te casi. a) Se almeno uno dei te vettoi è nullo, la pova è banale. b) Supponiamo che due consecutivi dei te vettoi siano ta loo opposti. Sia ad esempio u + v = 0, da ciò deiva che il secondo membo dell eguaglianza è w. Facciamo vedee che anche il pimo membo è eguale a w. Siano alloa Essendo OP u, PQ v, QR w. u + v = 0 isulta Q = 0 e quindi u + v + w = OP + PO + OR = OR = ( ) ( ) w c) supponiamo oa che i te vettoi siano non nulli e che due consecutivi non siano opposti. Consideiamo, ifeendoci alla fig. 3, i segmenti oientati OP u, PQ v, QK w. K Costuiamo u + ( v + w) e ( u + v) + w w sepaatamente. Q A patie dal punto P il segmento oientato PK ( v + w) e OK u + ( v + w) ; quindi il v segmento oientato OQ ( u v + ) e OK ( u + v) + w. Risulta petanto u + ( v + w) = OP + PK = OK e ( u + v) + w = OQ + QK = OK da cui l asseto. O u P fig. 3 5

6 La seconda opeazione che definiamo è la moltiplicazione di un numeo pe un vettoe o moltiplicazione scalae. Allo scopo definiamo il isultato dell opeazione e lo chiamiamo podotto di un vettoe pe uno scalae. Diciamo podotto pe uno scalae λu (con λ R e u V ) il vettoe che gode delle seguenti popietà: a) se λ = 0 oppue u = 0 oppue λ = 0 e u = 0 si pone λ u = b) se λ > 0 e u 0 il podotto λu è un vettoe avente la stessa diezione e lo stesso veso di u e modulo dato dal podotto λu, essendo u il modulo di u. c) se λ < 0 e u 0 alloa λu è un vettoe avente la stessa diezione di u, veso opposto ad u e modulo dato dal podotto del valoe assoluto di λ pe il modulo di u, cioè da ( λ u). Il modulo λu dipende solo dalla scelta dell unità di misua di u dato che λ è un numeo puo. 0 Poviamo oa alcune impotanti popietà della moltiplicazione scalae. 1) 1 u = u u V Ovvia. ) (α + β) u = αu + βu α, β R u V Se α > 0 e β > 0 il vettoe (αu + βu ) ha modulo (αu + βu) e diezione e veso di u, cioè di (α + β) u. Analogamente si dimostano gli alti casi elativi ai segni di α e di β. 3) α x (u + v ) = α x u + α x v α R u, v V Si può povae nell ipotesi di α > 0. In entambi i casi (0 < α < 1 e α > 1) α è il appoto di similitudine ta OA e O A e AB e A B. Il appoto si conseva anche pe il tezo lato. 6

7 4) α (β u ) = (α β) u α, β R u V Si noti che sono ovvi i seguenti casi: (-1) x u = -u α x u = S(α) (con S(α) = segno di α) Inolte isulta: α (β x u ) = S(α) α S(β) β x u = S(α ) S(β) [ α [ β x u ]] I vettoi α β u e α β u coincidono avendo stesso modulo, stessa diezione e stesso veso, dunque α (β x u ) = S(α) S(β) [ α β ] u = α β u cioè l asseto. 3. DIPENDENZA ED INDIPENDENZA LINEARE Nel pesente paagafo vogliamo illustae una nozione fondamentale, la nozione di indipendenza lineae. Tale nozione si itoveà più avanti, in alti ambienti, come gli spazi vettoiali numeici e non, petanto è oppotuno fin dall inizio compendee bene il concetto. Siano assegnati n vettoi u1, u, u3,..., un e siano λ 1, λ, λ 3,., λ n n numei eali o scalai. Si chiama vettoe combinazione lineae degli n vettoi dati, tamite gli n scalai, il vettoe v = λ 1 u 1 + λ u +..+ λ n u n Supponiamo assegnati i vettoi u i (con i = 1,,, n) e tattiamo come vaiabili gli scalai λi (con i = 1,,, n). Ha senso consideae la seguente equazione vettoiale nelle incognite λ i e coefficienti u i 7

8 v = λ 1 u 1 + λ u +..+ λ n u n = 0 ( 1 ) Le soluzioni dell equazione (1) sono n-ple odinate (a 1, a,, a n ) di numei eali. Una di esse è quella ottenuta ponendo le a i (i = 1,,, n) tutte eguali a 0. tale soluzione si dià soluzione nulla o banale della (1). La (1) natualmente potà essee veificata anche da valoi delle a i non tutti nulli. ESEMPIO Dati i vettoi u, -u, v, w e consideate l equazione λ 1 (u ) + λ (-u ) + λ 3 ( v ) + λ 4 ( w ) = 0 Si ha 1 u + 1(- u ) + 0 v + 0 w = 1 (u - u ) = 0 Dunque esiste la soluzione (λ 1, λ, λ 3, λ 4 ) = (1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0); si osseva inolte che ogni quatena del tipo (h, h, 0, 0) è soluzione. Può accadee quindi che la (1), olte alla soluzione nulla, ammetta anche alte soluzioni. Dati n vettoi u1, u, u3,..., un, essi si dicono lineamente indipendenti (L. I.), se l equazione nelle incognite λ 1, λ, λ 3,., λ n λ 1 u 1 + λ u +..+ λ n u n = 0 ( ) ha soltanto la soluzione nulla, cioè se λ 1 u + λ u +..+ λ 1 u = 0 λ 1 = λ =. = λ n = 0 n n Gli n vettoi u1, u, u3,..., un si dicono invece lineamente dipendenti (L. D.) se l equazione (), olte alla soluzione nulla, ne ammette anche alte non nulle. OSSERVAZIONE E impotante ossevae che se (c 1, c,.., c n ) è una soluzione non nulla della () e se k 0, alloa anche la n-pla (kc 1, kc,.., kc n ) è soluzione della (). Inolte se (d 1, d,, d n ) è un ulteioe soluzione della (), alloa anche le n-ple (kc 1 + hd 1, kc + hd,.., kc n + hd n ) con k, h numei eali sono soluzioni. In alte paole, se esistono soluzioni non nulle della () esse sono infinite. 8

9 Il teoema seguente è fondamentale pe il calcolo vettoiale. TEOREMA Dati n vettoi e sia m n. Se m vettoi ta gli n dati sono L. D., alloa tutti gli n vettoi sono L. D. DIMOSTRAZIONE Siano u1, u, u3,..., un n vettoi assegnati, possiamo suppoe che gli m ta essi che pe ipotesi sono L. D. siano i pimi m u u, u,..., u m,..., u n 1, 3 Relativamente ad essi, essendo L. D., si ha L. D. con c 1 u 1 + c u c m u m = 0 (c 1, c,.., c m ) (0 1, 0,., 0 m ). Ne segue alloa che l equazione nelle incognite h i con i = 1,,.., n h 1 u 1 + h u h m u m + h m+1 u m h n u n = 0 ha come soluzione la n-pla (c 1, c,.., c m, 0 m+1,, 0 n ) (0 1, 0,., 0 m ) e quindi ciò significa che gli n vettoi sono L. D. come volevasi dimostae. Vogliamo oa povae alcuni teoemi che ci pemetteanno, almeno nel caso dello spazio odinaio, di dae un intepetazione geometica della dipendenza lineae, in temini di paallelismo e complanaità. 9

10 PROPOSIZIONE 1 Un vettoe è L. I. se e solo se esso è diveso dal vettoe nullo. DIMOSTRAZIONE u L. I. u 0 Questa implicazione può essee scitta anche nella foma : u L. I. u 0 Poviamo che u 0 implica u lineamente indipendente. L equazione () adattata al nosto caso diventa: λ u = 0. Essendo u 0, pe ipotesi, se fosse anche λ 0, il modulo di λ u saebbe diveso da 0 e dunque λ u 0. Necessaiamente, alloa, l equazione data deve avee solo la soluzione λ = 0, cioè u è lineamente indipendente. Vicevesa supponiamo che u sia L. I., cioè che l equazione λ u = 0 ammetta soltanto la soluzione nulla. Se, pe assudo, fosse u = 0 si avebbe λ 0 = 0, anche pe λ 0; dunque l equazione non ammetteebbe solo la soluzione nulla in contasto con l ipotesi. OSSERVAZIONE Se in un insieme di vettoi c è il vettoe nullo, o due di essi sono opposti, alloa i vettoi sono tutti L. D. Il teoema che segue è un intepetazione geometica della dipendenza lineae di due vettoi, come paallelismo. Due vettoi non nulli si dicono paalleli se due qualsiasi loo appesentanti, uscenti da un punto dello spazio appatengono ad una stessa etta. La nozione di paallelismo è manifestamente indipendente dalla scelta del punto di applicazione. PROPOSIZIONE Due vettoi u e v non nulli sono L. D. se e solo se sono paalleli. u, v L. D. u v DIMOSTRAZIONE Essendo pe ipotesi i due vettoi u e v lineamente dipendenti, l equazione λ u + µ v = 0 avà come soluzioni infinite coppie di valoi b (a, b) divese da quella nulla. Si potà alloa, se a 0, scivee u = v ; ciò, a icodando la definizione di moltiplicazione di in vettoe pe uno scalae (la diezione del vettoe λ u, pe λ 0, è uguale a quella del vettoe v ), significa die che u è paallelo a v. 10

11 Poviamo che se u v è possibile tovae un numeo c tale che u = c v. Si ha infatti che u = u v se u v e v sono equivesi u - v se u v e v sono hanno veso contaio Dunque è u = c v e si può scivee: ( -1) u + c v = 0 Petanto l equazione λ + c v = 0 ammette come soluzione la coppia [( -1), c] che è divesa dalla nulla. Segue che u e v sono lineamente dipendenti. Siano u, v, w te vettoi non paalleli a due a due. Si dice che i te vettoi sono complanai se, peso un punto dello spazio O e ipotati da O i appesentanti dei te vettoi, questi te segmenti oientati giacciono tutti nello stesso piano (fig. 4). La nozione di complanaità è manifestamente indipendente dalla scelta di O. O fig. 4 u w v PROPOSIZIONE 3 Te vettoi u, v, w sono lineamente dipendenti se e solo se sono complanai. u, v, w L. D. u, v, w complanai. DIMOSTRAZIONE Iniziamo ad ossevae che se uno almeno dei te vettoi è nullo, oppue se due almeno di essi sono paalleli, pe la poposizione 0 essi sono lineamente dipendenti. Dal punto di vista geometico essi sono anche banalmente complanai. Dunque il teoema, veo nel caso paticolae, va povato pe vettoi non nulli e a due a due non paalleli. Poviamo in pimo luogo che se i vettoi sono L. D. alloa essi sono complanai. 11

12 Pe ipotesi esiste una tena (c 1, c, c 3 ) (0, 0, 0) tale che : c 1 u + c v + c 3 w = 0. Supposto ad esempio c 0, possiamo scivee: c1 c3 v = u w = hu + kw c c Dunque v è contenuto nel piano di due vettoi paalleli ad u e w. Segue che u, v, w sono complanai. Dimostiamo oa, invesamente, che se i vettoi sono complanai alloa sono lineamente dipendenti. Ripotiamo a patie da un punto O (fig.5) i te appesentanti dei vettoi complanai OB, OC, OD. Detta H la poiezione di B su OC si ha: OB = OH + HB (a) OH, inolte, giace sulla stessa etta di OC, pe cui si può scivee: OH = α v ed inolte, HB è paallelo a OD, dunque HB = β u. Possiamo alloa scivee, dall espessione (a) di OB : w = α v + β u ovveo α v + β u + ( -1) w = 0. Si può notae alloa che la tena [α, β, (-1)] è soluzione non nulla dell equazione λ u + µ v + ν w = 0. Ne segue che i te vettoi sono lineamente dipendenti. Abbiamo dato un intepetazione della dipendenza lineae di uno, due ovveo te vettoi, intepetazione che coisponde ispettivamente all essee vettoe nullo, o all essee vettoi paalleli ovveo all essee vettoi complanai. O fig. 5 Il teoema che segue iguada il caso di un numeo di vettoi maggioe di te. Pecisamente poviamo che: PROPOSIZIONE 4 Quatto o più vettoi dello spazio odinaio sono sempe lineamente dipendenti. DIMOSTRAZIONE E sufficiente povae che esattamente quatto vettoi sono sempe lineamente dipendenti. Infatti, in tal caso ogni insieme di n vettoi, con n > 4, contenendo quatto vettoi lineamente dipendenti, saà fomato da vettoi che sono tutti lineamente dipendenti. Se dei quatto vettoi almeno uno è nullo o almeno due sono paalleli o almeno te sono complanai, la dimostazione è banale in vitù della poposizione 0. Supponiamo dunque che i quatto vettoi siano a te a te non complanai. H D B C 1

13 Ripotiamo a patie da un qualunque punto dello spazio O (fig.6) i appesentanti dei quatto vettoi u, v, w, x. Sia x = OP. Tacciamo a patie da esso la etta paallela a w fino ad incontae il piano dei appesentanti dei vettoi u e v in P1. Da P 1 tacciamo la etta paallela a v fino ad incontae il appesentante di u in P. I punti P, P 1, P ed O sono tutti distinti (pe le ipotesi di non complanaità) e si ha: x = OP + P P1 + P1 P Dal fatto che OP è paallelo ad u, che P P è paallelo 1 a v e che P 1 P è paallelo a w, segue: x = a u + b v + c w ovveo a u + b v + c w + (-1) x = 0 Dunque i quatto vettoi consideati sono lineamente dipendenti. P u O w fig.6 x P P 1 v OSSERVAZIONE Si ossevi oa che se l ambiente è una etta (spazio 1- dimensionale) esiste un vettoe L.I. e non più di uno ed ogni alto è dipendente (ovveo ) a questi. Se siamo in un piano (spazio -diomensionale) esistono due, e non più di due, vettoi L.I. (basta pendeli non ) ad ogni alto vettoe è combinazione lineae di questi due. Nello spazio 3-dimensionale esistono te, e non più di te, vettoi indipendenti (basta pendene te non complanai) ed ogni alto è combinazione lineae di essi. Concludendo: il numeo massimo di vettoi lineamente indipendenti di un sottospazio vettoiale dello spazio odinaio o euclideo coincide con la dimensione del sottospazio stesso. Negli spazi a più dimensioni, di cui ci occupeemo in un successivo paagafo, inconteemo un maggio numeo di vettoi indipendenti. 4. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI La Geometia analitica del piano è un agomento noto fin dalle Scuole Secondaie. Si pala spesso di questa disciplina come di un veo e popio ponte ta la Geometia sintetico-gafica e l Algeba. Taducendo quindi enti geometici in enti algebici e vicevesa, la Geometia si avvale di quel natuale aicchimento che una disciplina fonisce all alta quando si effettuano queste opeazioni di intepetazione. 13

14 La geometia analitica ha come punto di patenza i ifeimenti catesiani, che andiamo ad intodue nel modo che segue. Fissiamo nello spazio: 1) un punto O detto oigine ) te ette oientate uscenti da O non complanai X, Y, Z detti assi coodinati o assi catesiani di ifeimento 3) te unità di misua su ciascuna delle ette citate. u x u y u z In geneale, due assi fomano ta loo un ceto angolo. Se i te angoli xy yz zx sono etti, il ifeimento catesiano si dice otogonale. Inolte, se le te unità di misua sono tutte e te divese alloa si paleà di ifeimento timetico; se invece due di esse sono uguali il ifeimento si dià dimetico; se infine le te unità di misua isultano tutte uguali, si paleà di ifeimento monometico (fig. 7). P Z O P u Y X P 1 fig. 7 Fissiamo un ifeimento nello spazio e consideiamo un qualsiasi punto P dello spazio. Tacciamo da P la paallela all asse Z, otteniamo il punto P 1 sul piano XY; la etta pe P 1, paallela all asse Y inteseca l asse X nel punto P (fig. 7). Al punto P possiamo associae i te numei eali: x = mis O P y = mis P P 1 z = mis P 1 P. I te numei eali x, y, z si dicono l ascissa, l odinata, e la quota di P e la tena odinata (x, y, z) si dice tena delle coodinate di P. La coispondenza ta i punti P dello spazio e le tene odinate di numei eali (x, y, z) è chiaamente una coispondenza biunivoca, che si dice coodinazione dello spazio. 14

15 Consideiamo un sistema catesiano qualunque. Ciascuna unità di misua individua un vettoe avente lunghezza unitaia, pai a u x, u y, u z, diezione e veso quello dell asse sul quale è fissato (fig. 8). O k i fig. 8 j Tali vettoi sono chiamati vesoi fondamentali e si indicano con i j k. L insieme fomato da essi si dice che foma una base di V. Ricodando che ogni vettoe v dello spazio può essee espesso come combinazione lineae di te vettoi non complanai si può scivee: u = u x i + u y j + u z k. Questa elazione viene detta appesentazione catesiana del vettoe u. I te numei eali ux, u y, u z sono chiamati le componenti del vettoe u, ispetto alla base fissata. Poviamo la seguente PROPOSIZIONE La appesentazione di un vettoe ispetto ad una base { i, j, k } è unica. DIMOSTRAZIONE Si abbiano le due seguenti appesentazioni x = a i + b j + c k e x = a i + b j + c k Sottaendo membo e membo si ottiene la soluzione (a- a ) i + (b - b ) j + (c - c ) k = 0. Dato che i te vettoi i, j, k sono indipendenti (in quanto non complanai), la elazione pecedente è vea se e solo se si annullano tutti i coefficienti, cioè (a- a )=0 (b - b ) = 0 (c - c )= 0, cioè a = a, b = b, c = c. Vediamo oa quale sia il legame ta la appesentazione dei punti nello spazio e quella dei vettoi e come sia possibile icavae le componenti di un vettoe dato u in funzione delle coodinate dei suoi estemi. z Affontiamo la questione dappima in un caso paticolae: supponiamo che il segmento oientato abbia il suo pimo estemo nell oigine P (fig. 8). In tal caso si ha u = OP = OP + P P1 + P1 P Se dunque il pimo estemo del segmento che O y appesenta il vettoe u si tova nell oigine, le P componenti del vettoe coincidono con le coodinate (x, y, z) del punto P. P x fig

16 Si ha petanto u = OP = x i + y j + z k. Analizziamo oa il caso in cui gli estemi del segmento oientato appesentante il vettoe u non coincidano con l oigine (fig. 9). Si ha: u = P1 P = OP OP1 OP = x i + y j + z k e OP = x j k 1 i + y 1 + z 1 1 u = P1 P = OP OP1 = = (x - x 1 ) i + (y - y 1 ) j + (z - z 1 ) k. Questa fomula espime in paticolae il vettoe u in funzione delle coodinate dei. suoi estemi. Possiamo quindi affemae che le componenti di un vettoe, del quale siano noti un appesentante e le elative coodinate degli estemi, sono date dalla diffeenza delle coodinate delle secondo estemo con quelle del pimo estemo. Supponiamo di avee un vettoe assegnato u = u x i + u y j + u z k e di pendee due punti: P(x, y, z) e P (x, y, z ' ) tali che PP = u. Fissato il vettoe la legge che ad un punto P associa il punto P ' in modo che isulti PP = u, si dice taslazione di vettoe u. Il legame che si stabilisce ta le componenti del vettoe u e le coodinate dei due punti P e P è espesso dalle seguenti elazioni: x O z P 1 fig.9 P y x x = u x y y = u y z z = u z Esse vengono solitamente dette equazioni delle taslazione. ESERCIZIO 1 Taslae il punto P (, -3, 5) di un vettoe u di componenti (5, 3, 1). Si ha: x = x + u x = + 5 = 7 y = y + u y = =0 z = z + u z = = 6 Quindi il punto P taslato di P ha coodinate (7, 0, 6). 16

17 ESERCIZIO Sia OXYZ un ifeimento ed O X Y Z un secondo ifeimento con gli assi paalleli ai pecedenti. Calcolae le elazioni ta le coodinate di un punto P in OXYZ e in O X Y Z. Se (x, y, z) ed (x, y, z ) sono le coodinate di uno stesso punto P e se O ha coodinate (a, b, c) ispetto a OXYZ si ha: da cui OP = OO' + O' P x = a + x y = b + y z = c + z Le pecedenti sono le equazioni di un cambiamento di ifeimento pe taslazione. 5. PRODOTTO SCALARE, VETTORIALE E MISTO In tutto il paagafo si intendeà il ifeimento catesiano otogonale monometico. Ciò si espimeà anche dicendo che la base fomata da i, j, k è otonomale (vettoi unitai a due a due otogonali). Sono dati due vettoi u e v di moduli ispettivamente u = u e v = v. Si definisce podotto scalae (o inteno) dei due vettoi, il numeo eale che si indica con u v dato da u v = u v cos θ essendo θ l angolo convesso fomato dalle semiette uscenti da O e contenenti P e Q ove OP = u e OQ = v. Un inteessante intepetazione geometica del podotto scalae è la seguente (fig.9). Sia PQ = u, consideiamo una etta paallela a v ; consideiamo pe P e pe Q i due piani otogonali ad fino ad incontae in P e Q. Se (P Q ) è la misua oientata del segmento P Q e v(p Q ) il vettoe da essi individuato, isulta: u v = (P Q ) (*) Petanto quando v è un vesoe u v è quel numeo che chiamiamo componente di u secondo v. P P Q Q 17

18 Occupiamoci oa delle popietà del podotto scalae. 1) Popietà commutativa u v = v u u, v V La 1) è banale conseguenza della definizione, essendo θ un angolo non oientato. ) Popietà distibutiva del podotto ispetto alla somma w v (u + ) = w + w v u, v, w u V La ) si pova tenendo conto della (*). Fissiamo una etta pe O paallela a Risulta u = OU, v = OV = US w u = w(ou), (u + v ) = OS w v = w(ov) = w(us) w (u + v ) = w(os) Essendo w(os) = w(ou) + w(us) l asseto è dimostato. w e sia 3) Popietà associativa mista ovveo di passeggio dello scalae α ( u + v ) = ( α u ) v = u ( α v ) u, v V e α R La pova della 3) è ovvia quando α = 0. Supponiamo alloa α > 0. In questo caso α u ed α v hanno lo stesso veso di u e di v ispettivamente, ne segue che ciascuno dei te membi della doppia uguaglianza è uguale a α u v cos θ, dove θ è l angolo convesso fomato dalle diezioni oientate di u e di v. Sia oa α < 0. L angolo convesso che α u foma con v è alloa il supplementae di θ come anche l angolo convesso che u foma con α v. 18

19 Segue alloa: d alto canto isulta: ( α u ) u v = u ( α v ) = α uv cos( π θ ) α (u v ) = α u v cos θ con α < 0 e cos( π θ ) = - cos( π θ ) e quindi l asseto è dimostato. Poviamo oa il TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE DEL PRODOTTO SCALARE Se due vettoi ispetto ad una base otonomale sono appesentati da u = u x i + u y j + uz k e v = v x i + v y j + v z k alloa isulta che il podotto scalae di due vettoi eguaglia la somma dei podotti delle componenti omonime dei vettoi, ovveo u v = ux v x + u y v y + u z v z (espessione catesiana del podotto scalae). DIMOSTRAZIONE Intanto osseviamo che, essendo la base otonomale, isulta quindi ed analogamente i i = j j = k k = 1* 1 cos0 = 1 i j = i k = j k = 1* 1 cos π = 0 v i = (vx i + v y j + v z k ) = (v x i ) i + (v y j ) i + (v z k ) i = = v x ( i i ) + vy ( j i ) + v z ( k i ) = v x Si ha alloa: v j = v y v k = v z u v = (ux i + uy j + uz k ) v =(u x i ) v + (u y j ) v + (u z k ) v = = u x ( v i ) + uy ( v j ) + u z ( v k ) = u x v x + u y v y + u z v z 19

20 Dal teoema di appesentazione segue che: u = u = u u = u x + uy + uz (espessione catesiana del modulo). Da questa elazione è anche possibile icavae la fomula che espime la distanza fa due punti P 1 (x 1, y 1, z 1 ) e P (x, y, z ) nello spazio: d(p 1 P ) = P P = ( x x ) + ( y y + ( z z ) (espessione catesiana della distanza) ) Tale fomula è valida, natualmente, soltanto se la base è otonomale. In questo odine di idee si è fatto uso di una definizione geometica di podotto scalae e da questa definizione si sono povate le 1), ), 3). Si può anche definie il podotto scalae in modo fomale. Chiamiamo podotto scalae un applicazione: ( ) : V x V che ad una coppia ( u, v ) di vettoi di V associa il numeo eale u v soddisfacente alle condizioni (1), (), (3). Gli sviluppi che ne conseguono non sono immediati; conviene petanto pe appofondie studiae la teoia degli spazi vettoiali astatti come podotto inteno. R 1 Vogliamo intodue oa la nozione di podotto vettoiale di due vettoi. Consideiamo una qualsiasi coppia odinata di vettoi u e v ; chiamiamo podotto vettoiale di u definito come segue: e v il nuovo vettoe u ^ v 0

21 a) Se uno almeno dei vettoi è nullo oppue se i due vettoiu sono paalleli u ^ v = 0 b) Se i due vettoi sono non nulli e non paalleli il vettoe w = u ^ v è quello aventi le seguenti caatteistiche: la diezione è quella otogonale al piano di due appesentanti di u e v uscenti da un fissato punto del piano; pe la deteminazione del veso di w ci sono innumeevoli egole patiche. Una di queste è la egola dell omino secondo cui il veso del podotto vettoiale è quello lungo la diezione pependicolae che va dai piedi alla testa di un omino, che, posto con i piedi nel punto di applicazione dei due vettoi, vede il pimo vettoe del podotto sul suo baccio desto e il secondo sul suo baccio sinisto. Così facendo il vettoe u pe sovapposi a v descive in senso antioaio un angolo α oientato e minoe di π, nella faccia del piano in esame. il modulo di w è w = u v sin α. OSSERVAZIONE Se, facendo ifeimento alla fig.10, u = OP 1 v = OP alloa il podotto vettoiale di u e v è dato dall aea del paallelogamma O P 1 P R. P R Le pincipali popietà del podotto vettoiale sono le seguenti: 1) Popietà anticommutativa o altenante O u ^ v = - v ^ u u, v V fig. 10 P 1 La dimostazione della 1) è immediata. 1

22 ) Popietà di passeggio dello scalae λ ( u ^ v ) = (λ u ) ^ v = u ^ (λ v ) u, v V e λ R Se λ = 0, alloa la dimostazione è ovvia. Sia λ > 0, alloa i te vettoi λ (u ^ v ) (λ u ) ^ v u ^ (λ v ) ovviamente eguali in diezione e veso, hanno lo stesso modulo. Sia λ < 0, alloa λ = λ. Risulta: -( u ^ v ) = (-u )^ v = u ^ (- v ) Infatti sia il veso di (- u )^ v che di u ^ (- v ) sono opposti a quello di ^ ; segue alloa che (- λ u )^ v e u ^ (- λ v ) sono membi opposti del vettoe λ [(u )^ v ] E quindi segue l asseto. 3) Popietà distibutiva ispetto all addizione vettoiale a desta e a sinista w ^ ( u + v ) = w + u ^ w + v u v Pemettiamo due ossevazioni. Consideiamo il podotto u ^ v, essendo u vesoe (u =1), e pensiamo i vettoi u, v, u ^ v applicati in O (fig. 11). Si ha ovviamente: se u è pependicolae a v, il vettoe u ^ v si ottiene facendo uotae di un angolo etto v intono alla etta oientata pe O di vesoe u, nel veso di otazione positivo associato all oientazione dello spazio. Se u non è otogonale a v, possiamo ' decompoe v in un vettoe v pependicolae ad u e in un vettoe α u paallelo ad u (v = v ' + αu ), come si ha subito dalla figua. Tenuto conto che l aea del paallelogamma costuito su u e v eguaglia l aea del paallelogamma u O u ^ v fig.11 v

23 (ettangolo) costuito su u e ' v, si ha: u ^ v = u ' ^ ( v + αu ) = u ' ^ v (1*) Ciò posto, pe povae la seconda delle 3), poniamo w = b u dove u è un vesoe paallelo a w e b uno scalae. Basteà dimostae la elazione che si ottiene sostituendo u a w, giacchè si passa poi al caso geneale tenendo conto della ). Si ha: u ^ v 1 + v ) = ( u ^ ( v a u + v ' ' a u + ) = u ' ^ [( v v + ( a a ) u + ] ' 1 ) 1 + con a 1, a scalai, v ' 1 e v ' pependicolai ad u ' e quindi anche ( v 1 + v ' ) pependicolae ad u. Tenuto conto della (*1) i vettoi u ' ^ v 1, u ^ v ', u ' ^ ( v 1 + v ' ) si ottengono ' ispettivamente da v 1, v ' ', ( v 1 + v ' ) uotando di un angolo etto intono alla etta oientata di vesoe u ; quindi: u ' ^ ( v 1 + v ' ) = u ' ^ v 1 + u ^ v '. Pe la (*1) si ha peciò: u ^ ( v 1 + v ) = u ' ^ ( v 1 + v ' ) = u ' ^ v 1 + u ^ v ' = ' = u ^ ( v1 + a1u) + u ' ^ ( v + au ) = u ^ v 1 + u ^ v. Le popietà dimostate consentono, anche pe l opeazione di podotto vettoiale, il calcolo agevole e non dissimile dal calcolo algebico odinaio, fatta eccezione pe la popietà 1), anticommutativa, alla quale occoe poe paticolae attenzione.+ Poviamo oa a dae una espessione catesiana del podotto vettoiale, nota come deteminante simbolico. TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE Sia data una base otogonale i, j, k e siano (u x, u y, u z ) le componenti di u e (v x, v y, v z ) le componenti di v, alloa: u ^ v i j k = u x u y u z v x v y v z = = u y u z i - u x u y j + u x u z v y v z v x v y v x v z k 3

24 OSSERVAZIONE Nella pima iga del deteminante simbolico compaiono i vesoi, nella seconda iga vi sono le componenti del pimo vettoe e nella teza le componenti del secondo vettoe. DIMOSTRAZIONE Dalla definizione si ha: i ^ i = j ^ j = k ^ k = 0 i ^ j = k j ^ k = i k ^ i = j j ^ i = - k k ^ j = - i i ^ k = - j Calcoliamo oa i te podotti ( u ^ i ) (u ^ j ) (u ^ k ) u ^ i = (ux i + u y j + u z k )^ i = ux ( i ^ i ) + u y ( j ^ i ) + u z ( k ^ i ) = - u y k + u z j Analogamente u ^ j = (u x i + u y j + u z k )^ j = u x ( i ^ j ) + u y ( j ^ j ) + u z ( ^ j ) = u x k - u z i u ^ k = (ux i + u y j + u z k )^ k = ux ( i ^ k ) + u y ( j ^ k ) + u z ( k ^ k ) = - u x j + u y i. Calcoliamo oa il podotto: w = u ^ v = u ^ (v i + v j + v k ) = u ^ (vx i ) + u ^ (v y j ) + u ^ (vz k ) = = v x (u ^ i ) + vy (u ^ j ) + v z (u ^ k ) = = v x ( - u y k + u z j )+ v y (u x k - u z i ) + v z ( - u x j + u y i )= = (u y v z u z v y ) i + (u z v x u x v z ) j + (u x v y u y v x ) che è appunto la stessa espessione che si ottiene dallo sviluppo del deteminante simbolico dell enunciato. OSSERVAZIONI 1) Nella stuttua algebica (V,^ ) non esiste un vettoe neuto, cioè un vettoe a tale che: u ^ a = u u V k Conseguenza di tutto ciò è che non essendoci un elemento neuto, non si può palae di inveso ispetto al podotto vettoiale. 4

25 ) Il podotto vettoiale non è associativo. Vi sono infatti casi pe i quali la popietà associativa vale e casi pe i quali la popietà non vale: ( i ^ i ) ^ j = 0 ^ j = 0 i ^ ( i ^ j ) = i ^ k = - j (in questo caso la popietà associativa non è valida) ( i ^ j )^ k = k ^ k = 0 i ^ ( j ^ k ) = i ^ i = 0 (in questo caso la popietà associativa è valida) Definiamo oa il podotto misto. Dati te vettoi u, v, w si chiama podotto misto lo scalae: u v ^ w TEOREMA Risulta u v ^ w = 0 u, v, w sono complanai DIMOSTRAZIONE Poichè il podotto scalae di due vettoi è nullo se i due vettoi sono otogonali, segue che u, v, w = 0 u pependicolae a v ^ w ma u pependicolae a v ^ w u complanae con v w sono complanai, il loo podotto misto è nullo. e w e vicevesa se u, v, Se u = u1 i + u j + u 3 k v = v 1 i + v j + v 3 k w = w 1 i + w j + w 3 k si ha v ^ w = (vw 3 - v 3 w ) i + (v 3 w 1 v 1 w 3 ) j + (v 1 w v w 1 ) k e segue che u v ^ w = u1 (v w 3 - v 3 w ) + u (v 3 w 1 v 1 w 3 ) + u 3 (v 1 w v w 1 )= = u 1 u u 3 v 1 v v 3 w 1 w w 3 5

26 Si ha u v ^ w = v w ^ u = w u ^ v. Osseviamo che se u v ^ w = 0 deve essee: u 1 u u 3 v 1 v v 3 w 1 w w 3 = 0 Poiché u v ^ w = 0 u, v, w sono complanai, segue che il deteminante in questione è nullo se e solo se i vettoi sono complanai. Quindi TEOREMA Te vettoi dati in foma catesiana sono complanai se e solo se il deteminante delle loo componenti è nullo. 6