8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

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1 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso fr di essi; llor si dice prodotto sclre fr v e w il numero: v w = v. w. cos θ. Abbimo quindi che l operzione di prodotto sclre fr vettori è un funzione VO 2 V2 O R. Notimo che il vlore ssoluto v w è pri v moltiplicto per l lunghezz dell proiezione di w nell direzione di w (o vicevers). In prticolre si h che: - v VO 2, v v = v ; - v v = 0 se e solo se v = 0. - v w = 0 se e solo se v e w sono perpendicolri; Notimo che il vettore nullo 0 si consider perpendicolre d ogni vettore di VO 2. Vedimo come si può rileggere il prodotto sclre pssndo d VO 2 R2 ; sino i e j i due versori (= vettori di modulo =1) corrispondenti i punti (1, 0) e (0, 1) in R 2 (quindi l bse {i, j} di VO 2 corrisponde ll bse cnonic di R 2 ); llor ogni vettore di VO 2 si può scrivere come combinzione linere di i e j. Cosicché se bbimo due vettori: v = i + bj, w = ci + dj, il loro prodotto sclre srà : v w = (i + bj) (ci + dj) = ci i + di j + bcj i + bdj j = c + bd in qunto i i = j j = 1, mentre i j = i j = 0 Quindi se lvorimo in R 2, si può vedere il prodotto sclre come definito dll seguente legge: (, b) (c, d) = c + bd. Anlogmente, in R 3, scegliendo un bse {i, j, k} di VO 3, corrispondente quell cnonic di R3, vremmo ottenuto ( 1, 2, 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) = 1 b b b /10/04

2 Si or, P, Q R 2, P Q il vettore uscente d Q che punt su P. Allor l distnz fr i due punti, d(p, Q), è pri l modulo del vettore P Q, e se P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ), si vrà : d(p, Q) = P Q = (P Q) (P Q) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. Si vede quindi che si possono esprimere trmite il prodotto sclre vrie proprietà geometriche degli oggetti di R 2, come distnze, lunghezz di segmenti, perpendicolrità. Queste sono tutte nozioni che non hnno senso negli spzi vettorili R n, in qunto sono nozioni che non sono esprimibili solo trmite le operzioni di somm e prodotto per gli sclri (le uniche presenti negli spzi vettorili). Quello che voglimo fre è di estendere l nozione di prodotto sclre spzi vettorili qulsisi, in modo di usrlo per definire nche in ltri mbienti delle nozioni di distnz, di ngolo, di lunghezz. Ricordndo le principli proprietà che bbimo notto per il prodotto sclre in VO 2, dimo l seguente definizione: Definizione 8.1: Si V uno spzio vettorile su R. Considerimo un funzione : V V R, che god delle seguenti proprietà : 1) v, v 1, v 2 V: v (v 1 + v 2 ) = v v 1 + v v 2 ; 2) v, w V, λ R: v (λw) = v (λw) = λv w ; 3) v, w V: v w = w v ; 4) v V: v v 0 e v v = 0 se e solo se v = 0. Allor si dice un prodotto sclre su V. Così quelle che erno in VO 2 le proprietà del prodotto sclre divengono desso l definizione di prodotto sclre in spzi vettorili qulsisi, proprio come le proprietà di VO 2 sono servite d prototipo per l definizione di spzio vettorile in generle. Per esempio vedimo desso di definire un prodotto sclre negli spzi vettorili R n ; per frlo terremo come modello il modo come il prodotto sclre si legge in R 2 : (, b) (c, d) = c + bd; sino v, w R n, con v = ( 1, 2,..., n ), e w = (b 1, b 2,..., b n ); ponimo: v w = 1 b b n b n. Pensndo i vettori come mtrici colonn e rig, si h che questo prodotto coincide con il prodotto di mtrici: b 1 b ( 1, 2,..., n ). 2. Non è difficile provre che questo prodotto soddisf i punti 1),...,4) dell definizione precedente, e che quindi è un prodotto sclre (frlo per esercizio). stndrd in R n. b n Questo viene comunemente indicto come prodotto sclre Definizione 8.2: Si V uno spzio vettorile su R dotto di un prodotto sclre (secondo l Def. 8.1). Allor l struttur (V, ) si dice uno spzio euclideo. In prticolre lo spzio euclideo (R n, ), ove è il prodotto sclre stndrd, si dice spzio euclideo stndrd (n-dimensionle) e si indic con E n /10/04

3 Osservimo che se n = 2 o n = 3, nello spzio E 2 si h che il prodotto sclre stndrd coincide con il prodotto sclre ordinrio. Esempi: Su R n si possono vere ltri prodotti sclri oltre quello ordinrio, d esempio, in R 4 per il prodotto: ( 1, 2, 3, 4 ) (b 1, b 2, b 3, b 4 ) = 1 b b b b 4 ; è fcile verificre che soddisf lle 4 condizioni per essere un prodotto sclre, m (R 4, ) è uno spzio euclideo diverso d E 4. Considerimo C lo spzio vettorile delle funzioni continue definite su un intervllo [, b] R. In C si può definire: f, g C : f g = b f(x)g(x)dx. È fcile verificre che soddisf le proprietà 1),2) e 3) dell definizione 8.1. Per l 4), notimo che bnlmente si h f f 0, in qunto l integrle dell funzione f 2 srà non negtivo. Per vedere che f f = 0 se e solo se f = 0 (l funzione null), notimo che se esiste un punto c [, b] ove f(c) 0, llor f 2 (c) > 0, e per il teorem dell permnenz del segno (vedi il corso di Anlisi), c è tutto un intorno (c δ, c + δ) ove l f 2 è positiv, quindi b f 2 (x)dx Quindi si può vere f f = 0 se e solo se f = 0. c+δ c δ f 2 (x)dx > 0. In uno spzio euclideo (V, ) si può definire l norm di un vettore: v = v v. Che è l nlogo dell nozione di modulo che bbimo in VO 2, V3 O ; l norm soddisf l seguente proprietà tringolre (che non dimostreremo): v, w V : v + w v + w. e l seguente disuguglinz (di Cuchy-Schwrtz): v, w V : v w v w. Possimo definire l perpendicolrità fr vettori in V, ponendo che due vettori v, w V si dicono ortogonli (o perpendicolri), se e solo se: v w = 0. Anche qui si consider il vettore nullo come ortogonle d ogni ltro vettore (ed è l unico perpendicolre se stesso). Possimo nche definire l ngolo θ fr due vettori, ponendo: v w θ = rcos v w (notimo che si può fre perché l frzione è sempre 1 in vlore ssoluto per l diseguglinz di Cuchy- Schwrtz) /10/04

4 Infine si h nche l nozione di distnz fr due elementi dello spzio euclideo ponendo d(v, w) = v w. Tutto ciò spieg perchè chimimo euclidei questi spzi: grzie ll presenz di un prodotto sclre è possibile definirvi concetti nloghi quelli dell geometri euclide (ngoli, lunghezze, distnz), ed utilizzrli nche in quest ccezione così generlizzt. Se (V, ) è uno spzio euclideo, e W è un suo sottospzio, diremo che v V è ortogonle W (scrivendo v W) se w W, v w = 0. Si definisce poi W = {v V v w = 0, w W}. è immedito che W è nch esso un sottospzio di V: ovvimente 0 V W, e se v 1, v 2 W e α, β R, llor quindi (αv 1 + βv 2 ) W w W, (αv 1 + βv 2 ) w = αv 1 w + βv 2 w = 0 Esempio: Si (V, ) = E 3, e W = {(x, y, z) E 3 x y + z = 0 = x z}. Qul è l dimensione di W? È fcile vedere che dim W = 1, ed un bse di W è dt dl vettore w = (1, 2, 1). Quindi i vettori di W sono tutti e soli quelli perpendicolri w, cioè gli (x, y, z) tli che (x, y, z) (1, 2, 1) = x + 2y + z = 0. Quindi si h che W è un pino (mentre W è un rett). Definizione 8.3: Si (V, ) uno spzio euclideo, e {v 1,..., v n } un su bse; ess si dice ortonormle se v i v j = δ ij = { 1 se i = j 0 se i j. Cioè richiedimo che i vettori dell bse bbino tutti norm =1 (v i v i = 1) e sino due due perpendicolri (v i v j = 0). Questo vviene per esempio per l bse cnonic di E n. In uno spzio euclideo le bsi ortonormli sono le più semplici d usre inftti se esprimimo un qulsisi vettore v V rispetto d un bse ortonormle {v 1,..., v n }: v = 1 v n v n, llor vremo j = 1,..., n : v v j = ( 1 v n v n ) v j = 1 v 1 v j j v j v j n v n v j = j, cioè le componenti di v rispetto i v j sono esttmente i prodotti sclri v v j. Notimo il seguente Teorem (che non dimostrimo): Teorem 8.4: Si (V, ) uno spzio euclideo, llor esso possiede un bse ortonormle. Inoltre se W V è un sottospzio, ogni bse ortonormle di W si può completre d un bse ortonormle di V. Corollrio 8.5: Nelle ipotesi del Teorem 8.4 si h: 1) dim W = dim V dim W; 2) (W ) = W /10/04

5 Dimostrzione: Per l 1), si dim W = r, dim V = n, si {e 1,..., e r } un bse ortonormle di W e si {e r+1,..., e n } un suo completmento d un bse ortonormle di V. Allor si h che e i W, i = r+1,..., n; quindi lo spzio < e r+1,..., e n > è incluso in W. D ltro cnto, si v W, con v = 1 e r e r + r+1 e r n e n, si vrà, per i = 1,..., r, che v e i = i = 0, e quindi v = r+1 e r n e n, cio e v < e r+1,..., e n >. Quindi W < e r+1,..., e n > e, vendo già notto l inclusione oppost, si h: < e r+1,..., e n >= W. Poiché gli e r+1,..., e n sono indipendenti, formno un bse di W, quindi dim W = n r. Per dimostrre l 2), notimo che W (W ) (dimostrrlo per esercizio). Inoltre, d 1), si h che dim(w ) = n dim W = n (n dim W) = dim W. Quindi W (W ) ed hnno l stess dimensione, perciò W = (W ). Si or f : E n E n un ppliczione linere. Poiché l f conserv l somm e l moltipliczione per gli sclri, chiedimoci se l f conserv nche il prodotto sclre. IN GENERALE LA RISPOSTA È NO Esempio: Si f : E 2 E 2, con f(x, y) = (3x, 2y); l f è ovvimente linere, m, d esempio: (2, 6) (1, 1) = 8, mentre f(2, 6) f(1, 1) = (6, 12) (3, 2) = 42. Vedimo llor se esistono ppliczioni lineri che conservno il prodotto sclre e come sono ftte. Osservimo che se f conserv il prodotto sclre, dovrà portre bsi ortonormli in bsi ortonormli. Si llor B = {v 1,..., v n } un bse ortonormle, ed A = M B,B (f); le colonne di A sono i vettori w i = f(v i ), e l bse {w 1,..., w n } risulterà ortonormle. Si vrà llor: n n A t A = n n.... = I. 1n 2n... nn n1 n2... nn Inftti, l rig i-esim di A t (= l i-esim colonn di A) rppresent il vettore w i e qundo l moltiplichimo per l colonn j-esim di A, ottenimo proprio il prodotto sclre: ( 1i, 2i,..., ni ) n = w i w j = δ ij e quindi A t A = I, perché vrà degli 1 sull digonle e degli 0 ltrove. Se A t A = I, llor A t = A 1. Le mtrici con quest proprietà sono dette mtrici ortogonli, ed il ftto che A si ortogonle è l condizione necessri e sufficiente perché f conservi il prodotto sclre; rissumendo: Un ppliczione linere f : E n E n conserv il prodotto sclre se e solo se, dt un bse ortonormle B di E n, l mtrice A = M B,B è ortogonle /10/04

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