Elementi di calcolo vettoriale

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1 Mathit Elementi di calcolo ettoriale Nozione di ettore Grandezze ettoriali e grandezze scalari Segmenti orientati e ettori Definizioni Operazioni con i ettori Somma e differenza di ettori Moltiplicazione di un ettore per uno scalare Scomposizione di un ettore lungo due direzioni assegnate Componenti cartesiane di un ettore Prodotto scalare di due ettori Prodotto ettoriale di due ettori Prodotto misto di tre ettori Doppio prodotto ettoriale Copright mathit Per correzioni e suggerimenti mail to:

2 Mathit ELEMENTI DI CLCOLO VETTTORILE Nozione di ettore Grandezze ettoriali e grandezze scalari Il concetto di ettore troa la sua origine nell'ambito della Fisica in quanto in essa la descrizione basata solo su grandezze elementari quali per esempio il tempo, la massa, la temperatura, il olume, si dimostra ben presto inadeguata alla rappresentazione degli oggetti e delle loro relazioni Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle grandezze scalari le altre richiedono di norma un maggior contenuto informatio e engono rappresentate dalle grandezze ettoriali Nella prima categoria rientrano grandezze come la lunghezza, l'area, il olume, il tempo, la temperatura, la pressione, il calore specifico, l'energia, e per queste è sufficiente fornire la loro grandezza relatiamente ad una opportuna unità di misura: esempi tipici delle grandezze ettoriali sono inece lo spostamento, la elocità, l'accelerazione, la forza, l'impulso, Segmenti orientati e ettori Scelta un'unità di misura, ad ogni segmento si può associare un numero reale non negatio Sia la misura della lunghezza del segmento Definiamo un segmento orientato come quel segmento di estremi e nel quale si sia assegnato un ordine e quindi si possa distinguere un punto iniziale ed uno finale tal fine si sceglie il simbolo conenendo di considerare come il punto iniziale e come quello finale Graficamente ciò si esprime tramite una freccia che parte da e giunge in Il simbolo indiidua il segmento orientato di erso opposto ad e si pone = Nota che la misura della lunghezza di entrambi è ancora la medesima, =, e risulta un numero positio se, mentre è nulla se = In tal caso il segmento orientato è detto il segmento orientato nullo La lunghezza del segmento orientato si dice norma, in fisica intensità o modulo

3 Mathit Definizioni Un ettore nel piano (o nello spazio) è un ente geometrico caratterizzato da una direzione, un erso e un'intensità (modulo) Per denotare un ettore utilizziamo il simbolo u, mentre usiamo la notazione per indiiduare i segmenti orientati rappresentatii del ettore Per esempio, se due ettori CD possiedono la medesima direzione, erso e lunghezza allora sono rappresentatii dello e stesso ettore, e si può scriere u = = C D Indichiamo con u il modulo o norma del ettore u Due ettori si dicono: equipollenti quando hanno la stessa direzione, lo stesso erso e uguale modulo; concordi se hanno stessa direzione e stesso erso; discordi quando hanno stessa direzione e erso contrario; opposti se hanno uguale intensità e sono discordi I punti e si chiamano rispettiamente origine ed estremo del ettore Se il punto è fisso il ettore si dice applicato in, se inece è un qualunque punto della retta r, sostegno di u, il ettore si dice applicato ad r Se non è applicato si dice libero Operazioni con i ettori Dati due ettori u e possiamo definire delle operazioni tra essi in modo da associare a ciascuna coppia un altro ettore Somma e differenza di ettori Regola del triangolo Il ettore somma (o ettore risultante) di due ettori u e si determina graficamente applicando nell'estremo di u, mediante una traslazione, il ettore Il ettore che unisce l origine di u con l estremo di fornisce la somma = u + u u = u+ Regola del parallelogramma Un altro metodo consiste nella regola del parallelogramma: il ettore risultante = u+ è rappresentato dalla diagonale del parallelogramma costruito per

4 Mathit mezzo dei segmenti orientati rappresentatii dei due ettori e disposti in modo da aere l'origine in comune u = u + Regola del poligono Nel caso in cui i ettori siano numerosi si può utilizzare la regola del poligono (metodo punta e coda) Consiste nel traslare i diersi ettori in modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del precedente Il ettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo u z u z Proprietà: Commutatia: u+ = + u u+ + = u+ + ssociatia: ( ) ( Elemento neutro: u+ 0 = u ) Per determinare il ettore differenza basta sommare ad u l'opposto di : u = u+ Osseriamo che per la differenza di ettori non ale la proprietà commutatia, infatti: u = u ( ) u = u u ( ) Utilizzando la regola del parallelogramma si può notare che la lunghezza della diagonale uscente dall origine comune esprime la lunghezza di u+ mentre la lunghezza dell'altra diagonale è pari alla lunghezza del ettore u u = u

5 Mathit Moltiplicazione di un ettore per uno scalare Dato uno scalare a (numero reale) e un ettore u è possibile definire una nuoa operazione tale da associare a questi due un altro ettore Se moltiplichiamo un numero reale a per un ettore u otteniamo un ettore che ha come modulo il prodotto a u, per direzione la stessa direzione di u e come erso lo stesso di u se a > 0, opposto a quello di u se a < 0 Es a = 3 u 3 u In particolare il prodotto di un ettore per il reciproco del suo modulo, 1 u u, iene detto il ersore di u (Dalla definizione ne segue che il modulo di un ersore è uguale a 1) Scomposizione di un ettore lungo due direzioni assegnate Questo è il procedimento per cui dato un ettore u e due rette r e s tra loro non parallele, è possibile troare due ettori disposti lungo r e s in modo che la loro somma sia u Per determinare i ettori componenti secondo le direzioni r e s si conducono dall'estremo del ettore u le parallele alle rette date fino ad ottenere i punti C e D r u C s D

6 Mathit In accordo alla regola del parallelogramma per la somma di ettori, possiamo dunque scriere che = C + D e concludere che i ettori C sono i ettori componenti di u secondo le due rette assegnate r e s e D Componenti cartesiane di un ettore Sappiamo che un sistema cartesiano ortogonale O isometrico si ritiene assegnato quando, definiti due assi ortogonali, su questi si stabiliscono un'origine, un erso positio e una unità di misura In alternatia possiamo scegliere due ersori ortogonali i e j : questi determinano due direzioni ortogonali, un erso positio, e inoltre il segmento unitario rappresenta l'unità di costituisce una base per il riferimento cartesiano misura La coppia di ersori { i, j} Possiamo pertanto esprimere un qualsiasi ettore u del piano nei termini delle sue componenti, oero come u = i+ j, e identificare la coppia di numeri (, ) come le componenti cartesiane di u e i ettori i e j come i ettori componenti cartesiani di u j O i u C pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OC si può ricaare il modulo del 2 2 ettore u = O: O = + Se in un riferimento cartesiano i punti origine ed estremi di un ettore attraerso le loro coordinate cartesiane, = (, ) e (, ) nella base { i, j} sono dati =, le componenti del ettore si ottengono dalla differenza delle corrispondenti coordinate dell'estremo i j con quelle del punto iniziale, ossia = ( ) + ( ) j O i

7 Mathit Il modulo di si ottiene applicando il Teorema di Pitagora: = + ( ) ( ) 2 2 Prodotto scalare (o interno) di due ettori Il prodotto scalare di due ettori u e, indicato con u, è il prodotto dei moduli dei due ettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato: u = u cosα Osserazione: il prodotto scalare di due ettori è un numero Geometricamente il prodotto scalare di due ettori è il prodotto del modulo del primo moltiplicato per il modulo della proiezione del secondo sul primo α u Proprietà: - il prodotto scalare è commutatio: u = u - ale la proprietà distributia del prodotto rispetto alla somma: ( ) ; u+ = u + Se i due ettori del piano O sono assegnati attraerso le loro componenti cartesiane, u = ui+ u j = i+ j, il prodotto scalare dei due ettori è dato dalla somma dei prodotti delle rispettie componenti: u = u + u Osserazione Dalla definizione si deduce che il prodotto scalare di due ettori non nulli è nullo se e solo se i u u due ettori sono tra loro perpendicolari: = 0 ;

8 Mathit Prodotto ettoriale (o esterno) di due ettori Si definisce prodotto ettoriale di due ettori u e, non nulli né paralleli, indicato con u, il ettore che ha per direzione la perpendicolare al piano indiiduato da u e, per modulo il prodotto dei moduli dei due ettori moltiplicato per il seno dell'angolo da essi formato u = u senα, e il erso (regola della mano destra) è indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita, inizialmente disposte lungo u, si aolgono erso percorrendo l'angolo α u u α Proprietà: - il prodotto ettoriale non è commutatio: u = u - ale la proprietà distributia del prodotto rispetto alla somma: ( ) ; u+ = u + Se i due ettori del piano O sono assegnati attraerso le loro componenti cartesiane, u = ui+ u j = i+ j, il prodotto ettoriale dei due ettori è dato da: u = u + u

9 Mathit Osserazioni: il prodotto ettoriale di due ettori è un ettore; il prodotto ettoriale di due ettori non nulli è nullo se e solo se i ettori sono tra loro paralleli; rea del parallelogramma CD = u rea del triangolo C = 1 2 u u C D Prodotto misto di tre ettori Si definisce prodotto misto di tre ettori u, e lo scalare u Osserazioni: l'operazione di prodotto ettoriale dee precedere quella di prodotto scalare, perché, mentre il risultato della prima è ancora un ettore che può subire la seconda, il risultato della seconda è uno scalare che non arebbe senso moltiplicare ettorialmente; il prodotto misto si può indicare anche con la scrittura u doe però è sottointeso l uso della proprietà associatia: u u = 0 ( ) Proprietà: u = u = u i tre ettori sono complanari Il alore assoluto del prodotto misto di tre ettori u del parallelepipedo costruito sui tre ettori; 1 rea del tetraedro = ( ) 6 u misura algebricamente il olume Doppio prodotto ettoriale Viene definito doppio prodotto ettoriale il ettore ( ) u Le parentesi sono indispensabili perché il doppio prodotto ettoriale non gode della proprietà associatia per cui: u u u ( ) ( ) ( )

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