1- Geometria dello spazio. Vettori

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1 1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano un vettore sono (Fig.1): direzione: quella della retta su cui giace il segmento; verso: uno dei due possibili versi su questa retta; modulo o intensità: lunghezza del segmento. Per i vettori applicati deve essere specificato anche il punto di applicazione, cioè il punto di inizio del segmento. esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0, è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto; esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore -a che sommato ad a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo e direzione di a, ma verso opposto. a + b = b + a (proprietà commutativa) La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori, a - b come somma di a con l'opposto di b. Fig.2 Fig.1 I.1 Somma (differenza) di due vettori La somma di due vettori a e b è il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b (Fig.2). a + b appartiene allo stesso piano di a e b. La somma gode delle seguenti proprietà: (a + b)+ c = a + (b+ c) (proprietà associativa) I.2 Prodotto di un vettore per uno scalare Il prodotto di un vettore, a, per un scalare,, è ancora un vettore: b a (1) Il vettore b ha: la stessa direzione di a modulo pari al prodotto dello scalare per il modulo di a verso identico ad a, se >0, opposto se <0. Ovviamente, il prodotto di a per zero genera il vettore nullo.

2 I.3 Prodotto scalare tra due vettori Il prodotto scalare (o interno) di due vettori, è uno scalare pari al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato (vedi Fig.3): AB AB cos (2) AB BA (3) vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: A BC ABAC (4) 1.4 Prodotto vettoriale tra due vettori Il prodotto vettoriale (o esterno tra due vettori v e w è anch esso un vettore, dato da (vedi Fig.4): vw vwsin vw n vw (5) Fig.3 Poiché Acos(θ) è la lunghezza della proiezione ortogonale di A su B, si può interpretare geometricamente il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di B. Si possono inoltre scambiare i ruoli di A e B, interpretare B cos(θ) come la lunghezza della proiezione di B su A ed il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di A. Il coseno dell angolo θ è positivo se θ è un angolo acuto (cioè /2 /2), nullo se è un angolo retto e negativo se è un angolo ottuso. Ne segue che il prodotto scalare A B è: positivo se θ è acuto; nullo se θ è retto; negativo se θ è ottuso. Ovviamente il prodotto scalare è nullo anche se uno dei due vettori è il vettore nullo. Proprietà del prodotto scalare: il prodotto scalare è commutativo: Il modulo di tale vettore è dato dal valore assoluto del prodotto dei moduli dei due vettori v e w e del seno del angolo vw tra essi compreso. La direzione e il verso di v w sono quelli del vettore unitario nvw, perpendicolare al piano definito dai primi due, e che con essi forma una terna cartesiana levogira. In altri termini, le direzione di v w è comunque perpendicolare al piano v-w e il verso di un osservatore che, appoggiato con i piedi su tale piano, vede il vettore v sovrapporsi al vettore w con una rotazione in senso antiorario non maggiore di /2. Figura 4

3 La (5) stabilisce quindi che il modulo del prodotto vettoriale è pari all area del parallelogramma che ha per lati i due vettori v e w. E facile stabilire che per il prodotto vettoriale non vale la proprietà commutativa, avendosi: X 3 vwwv (6) E invece valida la proprietà distributiva rispetto alla somma: v wu vwvu (7) x 3 P II. Sistemi di riferimento Si definisce sistema di riferimento l'insieme dei riferimenti utilizzati per individuare quantitativamente la posizione di un oggetto nello spazio (ad esempio un punto, un vettore) attraverso opportune coordinate. A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di sistemi di riferimento mono-, bi- o tridimensionali. Per rappresentare oggetti nello spazio Euclideo a tre dimensioni si possono usare infiniti sistemi tri-dimensionali. Mediante opportune regole di trasformazione è sempre possibile trasformare le coordinate di un sistema in quelle di un altro. I sistemi di riferimento più usati e noti sono i seguenti. II.1 Sistema cartesiano ortogonale E il sistema di riferimento più semplice, noto, e perciò anche usate come riferimento per definire altri sistemi. E costituito da tre rette ortogonali passanti per un punto che è l'origine del sistema (Fig.5). Per ciascuna di tali rette, in genere indicate con X1, X2, e X3, o X, Y e Z, si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio, indicate con x1, x2, x3 (oppure x, y, z) sono determinate proiettando ortogonalmente il punto su ciascuno dei tre assi e misurando la distanza della proiezione dall origine degli assi. x 1 X 2 x 2 X 1 Fig.5 II.2 Sistema cilindrico Viene utilizzato per studiare problemi che hanno, per loro natura, simmetrie di tipo cilindrico (es. il moto in un tubo a sezione circolare). Preso il sistema cartesiano ortogonale come riferimento, in questo caso le coordinate sono ρ, φ e z. Considerando un generico punto P (Fig.6), e la sua proiezione Q sul piano XY, la coordinata z è data dalla distanza PQ. Con ρ si denota la distanza dall'origine del punto Q, mentre φ individua l'angolo che si forma tra il vettore e l'asse X. Il passaggio dalla rappresentazione ortogonale a quella cilindrica e viceversa avviene facilmente attraverso le seguenti regole di trasformazione: da cilindrico a ortogonale:

4 x cos y sin z z da ortogonale a cilindrico: (8) un generico punto P (Fig.7), con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che tale distanza forma con l'asse Z. Se indichiamo invece con ρ la proiezione del punto sul piano XY, φ individua l'angolo che ρ forma con l'asse X. x y 2 2 y arctan x z z (9) Fig.7 Le formule di trasformazione in questo caso sono: da sferico a ortogonale: Fig.6 II.3 Sistema sferico Viene utilizzato per studiare problemi che hanno, per loro natura, simmetrie di tipo sferico (es. il moto di un fluido intorno ad una sfera). Preso il sistema cartesiano ortogonale come riferimento, le tre coordinate sono in questo caso ρ, θ e φ. Se si considera sempre x sincos y sinsin z cos da ortogonale a sferico: (10)

5 x y z y arctan x arccos z x y z (11) La rappresentazione (12) viene denominata vettore riga, la (13) vettore colonna. X 3 III. Rappresentazione dei vettori e delle loro operazioni nei sistemi di riferimento v 3 v III.1 Rappresentazione dei vettori I vettori definiti nello spazio rappresentano, nei casi di nostro interesse, grandezze fisiche (distanza tra due punti, velocità, ecc), e quindi esistono in quanto tali. La scelta di un sistema di riferimento permette unicamente di definire una modalità di rappresentazione. In questo ambito faremo sempre riferimento ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali come quello di Fig.5. In tale sistema un qualunque vettore è descritto completamente dalle sue componenti, cioè le lunghezze della sua proiezione sui tre assi di riferimento (Fig.8). Fissate le sue componenti, il vettore può essere allora espresso in vari modi, tutti equivalenti: Come una terna ordinata di numeri, appunto le componenti: Oppure vvv v (12) v1 v 2 v 3 v (13) X 1 v 1 Fig.8 v 2 X 2 Come la somma di tre vettori, ciascuno dei quali parallelo ai tre assi cartesiani e avente modulo pari alla rispettiva componente: 3 v1 1 v2 2 v3 3 v i i 11 v e e e e (14)

6 Nella (14) i vettori ei sono i versori dei tre assi cartesiani, cioè i vettori di modulo unitario che puntano nella stessa direzione e verso degli assi. III.2 La notazione di Einstein Espressioni come la (14), che coinvolgono la somma e il prodotto di più termini dello stesso tipo, possono essere convertite in una forma più compatta, nota come notazione o convenzione di Einstein. Essa si rifà alla seguente regola: quando l indice di una variabile appare più volte in una formula monomia significa che la formula è una sommatoria al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nel nostro caso (spazio Euclideo) l'indice varia tra 1 e 3. Sulla base di questa convenzione, ad esempio, la (14) può essere riscritta come v ve v e v e ve (15) i i facendo quindi cadere il simbolo di sommatoria. Sarà chiaro nel seguito come la notazione di Einstein rappresenti un notevole strumento semplificativo dei calcoli vettoriali. III.3 Operazioni tra vettori Possiamo a questo punto rivisitare le definizioni e le operazioni sui vettori finora discusse, e che non avevano bisogno di un sistema di riferimento, nella notazione appena stabilita, che si riferisce al contrario ad un ben preciso sistema di coordinate. In un sistema cartesiano ortogonale la somma tra due vettori può essere scritta, in forma più o meno compatta, come: Della (16) si può ovviamente dare la versione basata sui vettori riga (o colonna): a a a b b b a b a b a b a b (17) Si noti che nel caso della (17) la forma compatta non è scrivibile, in quanto non vi sono espressioni monomie. Per quanto riguarda il prodotto di uno scalare per un vettore si ha: i i v ve v e v e ve (18) Per quanto riguarda la rappresentazione del prodotto scalare va premesso che, nei sistemi di coordinate ortogonali, è particolarmente utile la definizione del cosiddetto delta di Kronecker. Esso è in generale una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sugli interi naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. Solitamente si utilizza il simbolo δij e si definisce come segue: 1sei j ij 0sei j (19) Nel caso del prodotto scalare il delta di Kronecker è molto utile. Infatti, per le regole già viste nel paragrafo I.3, il prodotto scalare tra i versori della terna cartesiana dà i seguenti risultati: a1 1a2 2a3 3 b1 1b2 2b3 3 a b a b a b a b a b e e e e e e e e e e i i i (16) e 1sei j i e j ij 0sei j (20)

7 Infatti tali versori possono essere solo paralleli (i=j) o perpendicolari (ij). Quindi il prodotto tra versori coincide con il delta di Kronecker. Tenendo presente quanto detto, il prodotto scalare tra due vettori può allora essere espresso in varie forme, ancora una volta più o meno compatte: a a a b b b ab e e e e e e e e ab ab ab ab a b ab i j i j i j ij i i (21) Allo stesso risultato si arriva anche utilizzando la rappresentazione in vettori riga o colonna, con le seguenti precisazioni: Nel prodotto scalare tra due vettori il primo va rappresentato da una riga e il secondo da una colonna Il calcolo viene eseguito effettuando il cosiddetto prodotto righe per colonne, definito come la somma dei prodotti delle corrispondenti componenti della riga e della colonna ( primo elemento della riga per primo elemento della colonna più secondo elemento della riga per secondo elemento della colonna ). In termini pratici: b1 a1 a2 a3 b 2 ab 1 1a2b2 a3b3 ab i i b 3 ab (22) Anche il prodotto vettoriale può essere espresso in notazione più o meno compatta attraverso le componenti dei due vettori di partenza. A questo scopo è utile definire, oltre al delta di Kronecker, un altro operatore indiciale, il cosiddetto indice di permutazione, ijk, definito come: ijk 1 se ijk 123o 312o se ijk 132o321o se almeno dueindici sono uguali Avendo definito l indice di permutazione si può dimostrare che: (23) ei ej ijke k (24) Ad esempio, in base alle (23) e (24), e utilizzando la convenzione di Einstein, si ha: e1e2 12kek e3 e e e e k k 2 (25) A questo punto è possibile esprimere il prodotto vettoriale in forma di componenti. Si ha infatti: ab ae b e ab e i i j j ijk i j k ab ab ab ab ab ab e e e (26) La (26) suggerisce che il prodotto vettoriale possa essere anche espresso come il determinante di una matrice le cui righe siano composte, nell ordine, dai tre versori unitari, dalle componenti del primo e da quelle del secondo vettore. Utilizzando la nota formula per il calcolo del determinante di una matrice si ha infatti:

8 e1 e2 e3 ab det a1 a2 a 3 b1 b2 b 3 e e e ab ab abab ab ab (27)