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1 I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax marconi@provincia.padova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia Meccanica Applicata Rel. 1.0 Data: ALGEBRA DEI VETTORI INTRODUZIONE SERVIZIO DISPENSE E MATERIALE DIDATTICO Questa dispensa tratta, in modo sintetico, l'algebra dei vettori, in essa si danno per note le nozioni di base di goniometria e trigonometria. L'argomento, pur tipicamente matematico, è sviluppato pensando all'applicazione fisica e meccanica del concetto di vettore. DEFINIZIONE In fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità, e caratterizzato da quattro elementi: - modulo: rappresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura); - direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore; - verso: il verso è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato; - punto di applicazione: il punto antecedente a tutti gli altri, ossia il punto iniziale. Secondo questa definizione, un vettore geometrico non dipende dalla scelta del sistema di coordinate. In matematica un vettore non ha un punto di applicazione; per distinguere i due concetti si parla allora di vettore applicato (con un punto di applicazione) o di vettore libero (senza punto applicazione) Dunque uno stesso vettore libero genera vettori applicati diversi, se è applicato a punti diversi. OPERAZIONI SUI VETTORI Le operazioni elementari sui vettori che hanno una applicazione in campo meccanico (e non solo) sono: - somma e sottrazione di vettori - prodotto di un vettore per uno scalare - prodotto scalare - prodotto vettoriale Somma e sottrazione di due vettori. La somma di due vettori a e b è definita come il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b. Conoscendo i moduli e l'angolo formato da due vettori (θ), sfruttando il teorema del coseno, la somma di a e b è data da: 1

2 La somma gode delle seguenti proprietà: - a + b è ancora un vettore (cioè "+" è legge di composizione interna); - (a + b) + c = a + (b + c) (proprietà associativa); - esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0 è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto; - esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore -a che sommato a a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo, punto di applicazione e direzione di a, ma verso opposto; - a + b = b + a (proprietà commutativa). Qui sotto due modi grafici per eseguire la somma di due vettori. La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori a - b come somma di a con l'opposto di b. In altri termini si trasforma l'operazione di sottrazione in questo modo: a b = a + (-b) Qui sono illustrate, nella stessa costruzione grafica, le operazioni di somma e sottrazione di vettori. I concetti di somma e sottrazione di vettori possono essere estesi a più vettori, qui alcuni esempi: 2

3 Prodotto di un vettore per uno scalare Il prodotto di un vettore a per uno scalare k è un vettore che ha la stessa direzione di a, verso positivo se k è positivo e negativo se k è negativo ma modulo uguale a k a. Se k >1 il vettore viene dilatato, se k <1 il vettore viene contratto. Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà: (siano m, n scalari e a, b vettori) - n a è ancora un vettore (cioè il prodotto per uno scalare è legge di composizione interna); - (n m)a = n(m a) (proprietà associativa); - esiste l' elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'elemento 1; - (n + m) a = n a + m a (proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri); - n (a + b) = n a + n b (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori). Più avanti utilizzeremo questa operazione per rappresentare i vettori in un modo molto comodo per i calcoli analitici. Prodotto scalare Il prodotto scalare tra due vettori u e v è uno scalare, definito nel modo seguente (si veda la figura sotto) u v = u v cos θ ove θ è l'angolo formato dai due vettori. Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori uno scalare. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo, ovvero: u v = v u Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se essi sono tra loro perpendicolari. Il prodotto scalare è molto importante in fisica perché su di esso si basa la definizione generale di lavoro di una forza. Sia infatti una forza F ed s lo spostamento ad essa associato (sia F che s sono di fatto grandezze vettoriali) allora il lavoro L della forza F relativo allo spostamento s sarà: L = F s E' anche interessante notare come il prodotto scalare sia di fatto un'operazione di proiezione. 3

4 Prodotto vettoriale Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente: - la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u - il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di w è tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira. - il modulo di w è definito dalla formula: v u = u v sin θ Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà: - proprietà distributiva rispetto alla somma: (a + b) c = a c + b c - è anticommutativo: v u = - u v - è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli. - Proprietà associativa rispetto ad uno scalare "λ" : u (λv) = λ(u v) = (λu) (v) - a (b c) = b (a c) c (a b) - soddisfa l'identità ciclica di Jacobi Il prodotto vettoriale ha un'applicazione importantissima in meccanica, esso infatti sottende alla definizione rigorosa di momento di una forza (o in generale di momento di una grandezza vettoriale. Sia infatti una forza F con punto di applicazione P ed O un punto, allora si definisce Momento della forza F rispetto ad O il prodotto vettoriale: M = OP F Il momento M quindi è anch'esso una grandezza vettoriale, ortogonale al piano di giacitura definito da OP ed F e con verso definito dalla regola della mano destra. Questa definizione ha molte implicazioni importanti in meccanica. 4

5 SCOMPOSIZIONE DI VETTORI Un'operazione molto importante nelle applicazioni meccaniche è la scomposizione di vettori. A livello elementare la scomposizione di vettori è quell'operazione che ricerca, dati un vettore e due rette ad esso concorrenti, i vettori, giacenti su dette rispettive rette, la cui somma è proprio il vettore dato. Graficamente non è altro che l'applicazione inversa della regola del parallelogramma. Qui sotto due esempi elementari di scomposizione. Ad un livello più complesso la scomposizione di un vettore è un'operazione che, associata alla già illustrata moltiplicazione di un vettore per uno scalare ci consente di descrivere un qualsiasi vettore come somma delle sue componenti secondo, in generale, tre assi coordinati. Scomporre un vettore infatti significa esprimerlo come combinazione lineare (valgono, come detto le proprietà della somma e del prodotto per uno scalare viste in precedenza) di altri vettori. Nel piano, dati due vettori non paralleli, un vettore può essere scomposto mediante somma di due vettori paralleli ai due dati, come mostrato in figura. Nel caso di vettori nello spazio, la scomposizione avviene in modo del tutto analogo, con l'unica differenza che il vettore viene ora scomposto in tre altri vettori. In generale, data una base di vettori, un qualsiasi vettore può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base: dove, in questo caso, gli α i rappresentano le componenti. La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare in statica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli). 5

6 Un caso particolare di sistema di riferimento, è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali e tutti di lunghezza unitaria (vedi versore). Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue componenti cartesiane e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli i, j e k rispettivamente per l'asse x, y e z. I versori sono tali che: i j = k j k = i k i = j Un vettore può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici: con v x, v y e v z componenti cartesiane del vettore v. In particolare anche i prodotti scalare e vettoriale possono essere scritti in termini di componenti. Prodotto scalare: E' interessante osservare come il prodotto scalare così scritto ci dia una facile verifica di ortogonalità di due vettori. Prodotto vettoriale: Il prodotto vettoriale come si vede comporta l'introduzione di una nuova struttura matematica che prende il nome di matrice. Questa dispensa è distribuita secondo le licenze creative commons come indicato dall'etichetta qui sotto. Parti di questa dispensa sono state tratte da internet avendo cura di utilizzare materiali liberi da copyright, se per errore fosse stato invece utilizzato materiale sotto licenza, si prega di contattare immediatamente l'istituto G. Marconi, allegando la documentazione di licenza così che i curatori abbiano modo di eliminare quanto non conforme alla legge. 6