vettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "vettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **"

Transcript

1 Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * ** ϑ * Secondo le convenzioni 0 ϑ 180 se a rotazione che porta il primo vettore sul secondo è in senso antiorario oppure 180 ϑ 0 se la rotazione che porta il primo vettore sul secondo è in senso orario. E ovvio anche che l angolo che il secondo vettore deve percorrere per sovrapporsi al primo è ϑ ** prima di procedere con la definizione di prodotto scalare ricordiamo alcune proprietà importanti della funzione coseno: cos( ϑ) = cos( ϑ) qualunque sia l angolo ϑ se 90 ϑ 90 cos ϑ 0 se 90 < ϑ 180 o 180 ϑ < 90 cos ϑ 0 Definiamo prodotto scalare tra i due vettori u e v la seguente operazione ( indicata generalmente con e che si legge u scalar v : se u = 0 oppure v = 0 allora altrimenti = u v cos ϑ = 0 Es 1 : sia u = 3, v =, ϑ = 30 : allora 3 = u v cosϑ = 3 = 3 3 Es. : sia u =, v = 4, ϑ = 10 : allora 1 = u v cosϑ = 4 = 4 v u Osservazione importantissima : il prodotto scalare è un operazione che associa a due vettori un numero reale; altrimenti detto il prodotto scalare tra due vettori è un numero reale. pag.1 pag. 1

2 Il prodotto scalare ha un immediata interpretazione geometrica: supponiamo infatti prodotto scalare = u v cos ϑ ϑ [ 0;90 [ si ricava immediatamente = u v cos ϑ = O O cos ϑ relazioni sui triangoli rettangoli si ricava che O cos ϑ = O ' da cui segue: : dalla definizione di : ma, dalle O ' ' O O cos ϑ = O O ' da cui segue che il prodotto scalare coincide con il prodotto dell intensità del primo vettore per la proiezione del secondo sul primo. Inoltre, applicando la proprietà commutativa del prodotto di numeri reali e il fatto che cosϑ = cos( ϑ ), si può scrivere vu i = O O cos( ϑ) = O O cos( ϑ) = O O cos( ϑ) = che dimostra che il prodotto scalare è commutativo Inoltre poichè O cos ϑ = O ', si ha che = O ' O : il prodotto scalare coincide anche con il prodotto dell intensità del secondo vettore per la proiezione del primo sul primo. In definitiva si può quindi affermare che geometricamente il prodotto scalare coincide con il prodotto dell intensità di uno dei due vettori per la proiezione dell altro nella direzione del primo se l angolo ϑ è ottuso (cioè ϑ ] 90 ;180 ] come si vede dalla figura accanto la proiezione O di O è orientata dalla parte opposta rispetto al verso di O. dalla figura segue subito che O ' = O cos(180 ϑ). ' O Poichè ( ϑ ) cos 180 = cosϑ posso scrivere ' O ' = O cos(180 ϑ) = O ( cos ϑ) = O cosϑ Allora dalla definizione = u v cos ϑ si ricava pag.

3 = O O cos ϑ = O ( O ') = O O '. in questo caso il prodotto scalare coincide con il prodotto cambiato di segno tra l intensità del primo vettore per la proiezione ortogonale del secondo vettore sul primo. Nel caso in cui i vettori siano ortogonali ϑ = 90 oppure O ' ϑ = 90 evidentemente la proiezione del vettore sull altro si riduce ad un punto ( h O, cos(90 ) = cos( 90 ) = 0 ) e si ha di conseguenza = 0 Notiamo che nessuno dei due vettori è nullo, ma il loro prodotto lo è: Possiamo quindi affermare che il prodotto vettoriale non vale una legge di annullamento simile a quella dei numeri reali Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà: se u = 0 o v = 0, allora = 0 u = 0 v = 0 se = 0 allora, oppure oppure u v ia = a = vu i u v uiv ui v± w = uiv± uiw ( ) in particolare uu i = u = u u v disuguaglianza di Schwartz Espressione cartesiana del prodotto scalare Introduciamo il piano cartesiano ortonormale Oxy dotato di base ( i ; j ) ; come sappiamo i versori i e j sono due vettori ortogonali e di lunghezza unitaria *. Tali proprietà possono essere scritte sinteticamente attraverso il prodotto scalare: 1) ii i = i =1, jj i = j =1 e ij i = 0. pag. 3

4 Come sappiamo in tale base un vettore qualsiasi può essere scritto come combinazione lineare dei due vettori di base: u = xi+ yj, con ( xy ; ) : sappiamo anche che se la base è fissata la scrittura precedente può essere abbreviata (sottintendendo la base) con la scrittura x u. y * Per inciso, si ricorda che i due vettori di base necessari a generare gli altri non debbono in generale nè essere ortogonali nè della stessa lunghezza; ma il verificarsi di tali condizioni rende le espressioni algebriche particolarmente semplici. Siano dati ora due vettori u = xi+ yj e v = x ' i+ y ' j ; eseguiamo il loro prodotto scalare = ( xi+ yj)( x ' i + y ' j) = xx ' ii i + xy ' ij i + yx ' jii + yy ' jj i. tenuto conto delle 1), l espressione precedente diviene = xx' + yy', cioè la somma dei prodotti delle componenti omonime. sando la notazione abbreviata x x' i = xx' + yy' y y' Se u v u i v =0 e quindi xx ' + yy ' = 0. L ortogonalità di due vettori trova quindi il suo corrispettivo algebrico nel fatto che il prodotto scalare sia nullo Es. siano dati i vettori u 3 e 8 v : poichè ( 6) i = + = = 4 6 i due vettori sono ortogonali. Angolo tra due vettori Abbiamo visto due espressioni per il prodotto scalare = u v cos ϑ e = xx' + yy'. La prima è ovviamente utilizzabile se si conoscono le norme e l angolo tra i vettori, mentre la seconda è di immediata utilizzazione se sono note le componenti. D altra parte la conoscenza delle componenti permette immediatamente di ricavare la norma del vettore (infatti: u = x + y = iii = i ). allora utilizzando entrambe le formule è possibile conoscere il coseno dell angolo e successivamente l angolo. pag. 4

5 Da = u v cos ϑ si ricava cosϑ = u v Es: u, 3. Poichè,, segue 1 v u = 7 5 v = 58 = cosϑ = da cui segue 13 ϑ = arccos 40, pag. 5

DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:

DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione

Dettagli

Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25

Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte

Dettagli

VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.

VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:

Dettagli

Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo

Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.

Dettagli

Prodotto scalare e norma

Prodotto scalare e norma Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o

Dettagli

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo) Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi

Dettagli

1- Geometria dello spazio. Vettori

1- Geometria dello spazio. Vettori 1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano

Dettagli

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008 LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento

Dettagli

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5

Dettagli

I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax

I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 marconi@provincia.padova.it www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia

Dettagli

Argomenti Capitolo 1 Richiami

Argomenti Capitolo 1 Richiami Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)

Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto

Dettagli

CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO

CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY,

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con.

Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con. Vettori. Il vettore è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato, che è caratterizzato da una direzione, da un verso e da un modulo. Il punto di partenza si chiama coda (o punto di applicazione),

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

e la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b

e la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b 8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

Prodotti scalari e matrici

Prodotti scalari e matrici Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V

Dettagli

CENNI DI TRIGONOMETRIA

CENNI DI TRIGONOMETRIA CENNI DI TRIGONOMETRIA Seno Consideriamo una circonferenza C e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che la circonferenza C sia centrata nell origine degli assi e abbia raggio. Dall origine

Dettagli

Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale

Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale Momento angolare L. P. Maggio 2007 1. Prodotto vettoriale 1.1. Definizione Il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali a e b è un vettore c così definito: a) Il modulo di c è pari all area del

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

1 Applicazioni lineari

1 Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione Si considerino lo spazio tridimensionale euclideo E e lo spazio vettoriale V ad esso associato. Definizione. 1.1. Sia A una applicazione di

Dettagli

Corso di Fisica. Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1

Corso di Fisica. Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1 Corso di Fisica Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1 Scalari e vettori Consideriamo una libreria. Per determinare quanti libri ci sono su uno scaffale basta individuare lo scaffale in questione e contare

Dettagli

Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che come sappiamo è 3.

Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che come sappiamo è 3. MODULO 3 LEZIONE 3 parte 2 Trigonometria: La risoluzione dei triangoli. Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che

Dettagli

1. SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO

1. SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO 1 SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO 1 Lo spazio vettoriale R n Una n-nupla ordinata di numeri reali x = (x 1,x 2,,x n )sidice vettore a n dimensioni e il numero x i componente i-esima di x L insieme

Dettagli

I vettori: brevissime note

I vettori: brevissime note I vettori: brevissime note F. Demontis Corsi PAS 2014 Trovate in queste pagine le poche nozioni sul calcolo vettoriale che vi ho presentato durante le lezioni. Tutto il materiale è stato scritto molto

Dettagli

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y. Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:

Dettagli

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1 A01 102 Ferruccio Orecchia esercizi di GEOMETRIA 1 Copyright MCMXCIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978

Dettagli

Funzioni vettoriali di variabile scalare

Funzioni vettoriali di variabile scalare Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.

Dettagli

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

Algebra vettoriale. Capitolo 5. 5.1 Grandezze scalari. 5.2 Grandezze vettoriali

Algebra vettoriale. Capitolo 5. 5.1 Grandezze scalari. 5.2 Grandezze vettoriali Capitolo 5 5.1 Grandezze scalari Si definiscono scalari quelle grandezze fisiche che sono descritte in modo completo da un numero accompagnato dalla sua unità di misura. La temperatura dell aria in una

Dettagli

Elementi di calcolo vettoriale

Elementi di calcolo vettoriale Mathit Elementi di calcolo ettoriale Nozione di ettore Grandezze ettoriali e grandezze scalari Segmenti orientati e ettori Definizioni Operazioni con i ettori Somma e differenza di ettori Moltiplicazione

Dettagli

Appendice 1. Spazi vettoriali

Appendice 1. Spazi vettoriali Appendice. Spazi vettoriali Indice Spazi vettoriali 2 2 Dipendenza lineare 2 3 Basi 3 4 Prodotto scalare 3 5 Applicazioni lineari 4 6 Applicazione lineare trasposta 5 7 Tensori 5 8 Decomposizione spettrale

Dettagli

How to compute the sun vector for path planning

How to compute the sun vector for path planning How to compute the sun vector for path planning 1 Calcolo dell illuminazione delle celle solari Si consideri la Fig. 1. Il rover si sposta sulla mappa, variando nel tempo la sua posizione p = ( x y z )

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

Soluzione - calcolo di {t} 1 e {t} 2 : {t} 1 =[σ]{n} 1 = {t} 2 =[σ]{n} 2 =

Soluzione - calcolo di {t} 1 e {t} 2 : {t} 1 =[σ]{n} 1 = {t} 2 =[σ]{n} 2 = Unità : Stato di tensione e di deformazione Esercizio Dato un tensore della tensione [σ], date inoltre due dimensioni {n} e {n} - trovare le componenti dei vettori della tensione {t} e {t} agenti sulle

Dettagli

1.4 PRODOTTI NOTEVOLI

1.4 PRODOTTI NOTEVOLI Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale.4 Prodotti notevoli.4 PRODOTTI NOTEVOLI Il prodotto fra due polinomi si calcola moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

FUNZIONI GONIOMETRICHE

FUNZIONI GONIOMETRICHE FUNZIONI GONIOMETRICHE ANGOLI Col termine angolo indichiamo la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine, chiamata vertice. Possiamo definire anche l angolo come la parte di piano

Dettagli

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta, 2008

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta, 2008 LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare

Dipendenza e indipendenza lineare Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus

Dettagli

I VETTORI DELLO SPAZIO

I VETTORI DELLO SPAZIO I VETTORI DELLO SPAZIO Riferimento cartesiano ortogonale nello spaio Bisogna assegnare nello spaio un punto O (detto origine e tre rette per esso a due a due perpendicolari e orientate in modo concorde

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Quantistica I

Esercitazioni di Meccanica Quantistica I Esercitazioni di Meccanica Quantistica I Sistema a due stati Consideriamo come esempio di sistema a due stati l ammoniaca. La struttura del composto è tetraedrico : alla sommità di una piramide con base

Dettagli

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale

Dettagli

Osservazioni sulle funzioni composte

Osservazioni sulle funzioni composte Osservazioni sulle funzioni composte ) 30 dicembre 2009 Scopo di questo articolo è di trattare alcuni problemi legati alla derivabilità delle funzioni composte nel caso di funzioni di R n in R m Non si

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

ALCUNI RICHIAMI GENERALI

ALCUNI RICHIAMI GENERALI ALCUNI RICHIAMI GENERALI 0.1 SUL CONCETTO DI VETTORE La direzione Data una linea retta, è possibile muoversi su questa in due versi opposti: si possono distinguere assegnando a ciascuno di essi un segno

Dettagli

1 Il Teorema della funzione implicita o del Dini

1 Il Teorema della funzione implicita o del Dini 1 Il Teorema della funzione implicita o del Dini Ricordiamo che dato un punto x R n, un aperto A R n che contiene x si dice intorno (aperto) di x. Teorema 1.1. (I Teorema del Dini) Sia f : A (aperto) R

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi

Dettagli

- Fondamenti di calcolo vettoriale - VETTORI

- Fondamenti di calcolo vettoriale - VETTORI VETTORI Definizione: Il vettore è un segmento orientato ovvero un segmento su cui è fissato un verso di percorrenza. Graficamente il verso del vettore è rappresentato da una freccia. A A A Segmento orientato

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici

Dettagli

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2 1 Il punto in R 3 La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof D Benetti Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali numero

Dettagli

Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni

Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 23-4. Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Siano V e W due spazi vettoriali e sia T : V W un applicazione lineare. Fissiamo una base B per V ed una base

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

Funzioni goniometriche

Funzioni goniometriche Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio

Dettagli

Robotica industriale. Richiami di statica del corpo rigido. Prof. Paolo Rocco

Robotica industriale. Richiami di statica del corpo rigido. Prof. Paolo Rocco Robotica industriale Richiami di statica del corpo rigido Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it) Sistemi di forze P 1 P 2 F 1 F 2 F 3 F n Consideriamo un sistema di forze agenti su un corpo rigido.

Dettagli

Nozioni di calcolo vettoriale Unità Richiami. 1.2 Somma di vettori. Scomposizione.

Nozioni di calcolo vettoriale Unità Richiami. 1.2 Somma di vettori. Scomposizione. NOTA BENE: Orientativamente, gli studenti del Liceo Scientifico, compresa l opzione scienze applicate, affronteranno lo studio di questa unità nel 1 biennio. Quelli degli altri Licei lo faranno nel biennio.

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

Teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss Green.

Teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss Green. Matematica 3 Esercitazioni eoremi di tokes, della divergenza e di Gauss Green. Esercizio 1 : Calcolare l area del dominio avente per frontiera la linea chiusa γ di equazioni parametriche x (1 t) t γ :,

Dettagli

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane

Dettagli

Capitolo II : Geometria vettoriale

Capitolo II : Geometria vettoriale Liceo Lugano, 0-0 E Luca Rovelli Capitolo II : Geometria vettoriale. Grandezze vettoriali Iniziamo con due esempi. Esempio : percorro 3 km in direzione est e in seguito 5 km in direzione nord-ovest. A

Dettagli

Lezione 13: I sistemi di riferimento

Lezione 13: I sistemi di riferimento Lezione 13: I sistemi di riferimento Cambiamenti di coordinate In questa lezione proveremo a vedere le trasformazioni lineari sotto un altra luce Quando abbiamo visto l esempio di un oggetto che, soggetto

Dettagli

Teoria dei Segnali Richiami di analisi matematica; alcune funzioni notevoli

Teoria dei Segnali Richiami di analisi matematica; alcune funzioni notevoli Teoria dei Segnali Richiami di analisi matematica; alcune funzioni notevoli Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Richiami

Dettagli

ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)

ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D) ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Calibrazione intrinseca Spesso risulta utile calibrare la sola componente intrinseca di un sistema di visione (matrice K), e non si dispone di oggetti di forma

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Triangolo rettangolo

Triangolo rettangolo Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa

Dettagli

Primo modulo: Aritmetica

Primo modulo: Aritmetica Primo modulo: Aritmetica Obiettivi 1. ordinamento e confronto di numeri;. riconoscere la rappresentazione di un numero in base diversa dalla base 10; 3. conoscere differenza tra numeri razionali e irrazionali;

Dettagli

1 Lezione 1: CALCOLO TENSORIALE - parte 1

1 Lezione 1: CALCOLO TENSORIALE - parte 1 1 1 Lezione 1: CALCOLO TENSORIALE - parte 1 Si illustrano nel seguito alcuni concetti di grande utilità per lo studio della cinematica e della statica dei mezzi continui. In particolare si riporta nel

Dettagli

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı

Dettagli

Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona

Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona Matematica per le scienze sociali Elementi di base Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 24 Outline 1 Struttura del corso 2 Algebra booleana 3 Algebra degli

Dettagli

Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?

Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Idea elementare: 1. fissare un quadratino come unità di misura 2. contare quante volte questo può essere riportato nella figura

Dettagli

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli......

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli...... Indice Prefazione vii 1 Matrici e sistemi lineari 1 1.1 Le matrici di numeri reali................. 1 1.2 Nomenclatura in uso per le matrici............ 3 1.3 Matrici ridotte per righe e matrici ridotte

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

1. DEFINIZIONE DI VETTORE

1. DEFINIZIONE DI VETTORE 1. DEFINIZIONE DI VETTORE 486 PRIMO INCONTRO COI VETTORI Un segmento si dice orientato quando è specificato quale dei due estremi sia da considerarsi come il primo estremo e quale come il secondo estremo

Dettagli

1 Relazione di congruenza in Z

1 Relazione di congruenza in Z 1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI

INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI Piano complesso (C) e funzione "punto". definizione a = 3 + i Re a = 3 Im a = rappresentazione del numero a : - - punto a = 3, Addizione e opposizione. Traslazioni. + i

Dettagli

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

Consideriamo ora circuiti in cui siano presenti più componenti. Circuito ohmico-induttivo R-L con resistenza e reattanza in serie.

Consideriamo ora circuiti in cui siano presenti più componenti. Circuito ohmico-induttivo R-L con resistenza e reattanza in serie. Circuiti RC ed RL Consideriamo ora circuiti in cui siano presenti più componenti. Circuito ohmico-induttivo R-L con resistenza e reattanza in serie. Figura A In figura vi è lo schema riferito ad un generatore

Dettagli

CALCOLO LETTERALE I MONOMI. Il primo tipo di oggetto che incontriamo nel calcolo letterale è il MONOMIO.

CALCOLO LETTERALE I MONOMI. Il primo tipo di oggetto che incontriamo nel calcolo letterale è il MONOMIO. CALCOLO LETTERALE Il calcolo letterale è importante perchè ci consente di realizzare un meccanismo di astrazione fondamentale per l'apprendimento in generale. Scrivere, ad esempio, che l'area di un rettangolo

Dettagli

Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ).

Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ). Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre (1667-1754) ed il nome è dovuto a L. Euler (1707-1783). Girard nel 1629 enunciò, e Gauss poi dimostrò rigorosamente nel 1799, che un equazione

Dettagli

Prodotto scalare. Piani e rette nello spazio. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Prodotto scalare. Piani e rette nello spazio. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Prodotto scalare in n. Piani e rette nello spazio. 17 Gennaio 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio

Dettagli

Copyright Esselibri S.p.A.

Copyright Esselibri S.p.A. .2. Risoluzione di triangoli qualsiasi In questo paragrafo estenderemo le funzioni goniometriche anche ad angoli retti ed ottusi, per potere risolvere triangoli qualsiasi. er fare ciò ovviamente vogliamo

Dettagli