Meccanica dei Solidi. Vettori
|
|
- Giulietta Rosati
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope Lezione 2 Vettori
2 Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero (intensità), nche d un direzione e d un verso Rppresentzione grfic Il vettore è rppresentile per mezzo di un frecci, l cui lunghezz è proporzionle ll intensità
3 Esempi: Distnz orientt Distnz orientt (o spostmento) d un punto A d uno B B Velocità di un punto mterile Accelerzione di un punto mterile A Forz
4 Due vettori sono eguli se hnno gli stessi: Uguglinz tr vettori intensità (modulo) direzione verso In lcuni csi è importnte nche il punto di ppliczione (o l rett di zione) del vettore (vettori pplicti). E il cso delle forze.
5 Rppresentzione simolic Nell mito del Corso, il vettore è indicto con un letter minuscol in grssetto (d esempio, ). L intensità del vettore viene indict con l stess letter in corsivo (d esempio, ). L intensità di un vettore h spesso un dimensione fisic: Spostmento o Distnz = [ L] Velocità = [ L T -1 ] Accelerzione = [ L T -2 ] Forz = [ M L T -2 ]
6 Invrinz del vettore un grndezz vettorile non è influenzt dll scelt del sistem di riferimento Rppresentzione grfic Le leggi dell fisic devono godere dell proprietà di indipendenz dl sistem di riferimento. Perciò sono spesso espresse fcendo riferimento vettori e tensori (che vedremo dopo)
7 Somm di vettori Due vettori dello stesso tipo (forze, spostmenti, velocità, ecc.) sono ddizionili. L somm di due vettori e è un vettore c c = + c Se il vettore è rpresentto con un frecci vente origine coincidente con l punt del vettore, il vettore c è rppresentto d un frecci che unisce l inizio del vettore con l punt del vettore. Il modulo del vettore c non è pri, in genere, ll somm dei moduli dei vettori e
8 Proprietà dell Somm Proprietà commuttiv + = + c Il risultto dell somm di due vettori non dipende dll ordine dei vettori
9 Proprietà ssocitiv d = + + c = c = ( + ) + c = + ( + c) d L somm di tre vettori, e c è pri ll somm dei vettori ( + ) e c, o dei vettori + ( + c)
10 Differenz di due vettori L differenz di due vettori e è un vettore c c = = + (- ) pri ll somm del vettore, e di un vettore (- ) vente stess direzione e modulo del vettore, m verso opposto. c -
11 Prodotto di un vettore per uno sclre Il prodotto del vettore per uno sclre k è il vettore c: vente: c = k L stess direzione di ; k > 0 c Modulo pri c = k Verso ugule d se k > 0 c k < 0 Verso opposto se k < 0
12 Vettore unitrio (o versore) Un vettore di lunghezz (intensità) unitri viene detto vettore unitrio o versore û. Un vettore, vente l stess direzione e lo stesso verso di û, può essere posto pri : = û û z k in cui è il modulo di I versori di un sistem di ssi crtesini x, y e z si indicno con i, j e k x i j y
13 Componenti del vettore: Con riferimento d un tern crtesin x, y, z (con versori i, j e k), è possiile definire le tre componenti (proiezioni), x, y e z, di un vettore. z z Risult: x y y = x i + y j + z k x k Applicndo Pitgor: 2 = x 2 y 2 z Versori degli ssi i j
14 Componenti del vettore: Le componenti del vettore sono pri : x y z = cos( α ) x = cos( α ) y = cos( α ) z α x z α z α y y in cui con α si sono indicti gli ngoli formti d con gli ssi coordinti. I tre coseni sono detti coseni direttori di x Versori degli ssi k j i
15 Somm di due vettori E fcile dimostrre che il vettore c, somm dei vettori e, vrà componenti: z c c x = x + x c y = y + y x y z y c z = z + z x
16 Nel cso dei vettori si definiscono due prodotti: prodotto sclre e prodotto vettorile Prodotto sclre Il prodotto sclre tr due vettori e è uno sclre s pri : s = = cos(θ) θ Ovvimente risult = Proprietà commuttiv
17 Prodotto sclre Il prodotto sclre tr due vettori e : s = = cos(θ) può essere nche interpretto come il prodotto tr il modulo di e l proiezione ( cos(θ)) di su θ o vicevers
18 Proprietà del prodotto sclre Θ = π/2 Il prodotto sclre tr due vettori ortogonli è ovvimente nullo (cos (π/2) = 0) = 0 Per θ < π/2, il prodotto sclre è positivo Θ < π/2 > 0 Per θ > π/2, il prodotto sclre è negtivo Θ > π/2 < 0
19 Proprietà del prodotto sclre Proprietà distriutiv: ( + c) = + c c Inftti, l somm delle proiezioni di e c è pri ll proiezione del vettore somm ( + c) c ( + c) ( + c) = + c
20 Prodotto sclre Il prodotto sclre tr due vettori e può essere scritto: z ( i + j + k) ( x y Poichè z x i + y j + z k) i i = j j = k k = 1 e x y z y i j = j k = i k = 0 x = x x + y y + z z
21 Il prodotto sclre si utilizz, d esempio, per clcolre il lvoro W effettuto d un forz F per uno spostmento s: Nel cso di spostmento lungo un percorso curvilineo, si può definire il lvoro infinitesimo dw = F ds = F ds cos(θ) Il lvoro W è dto dll integrle curvilineo lungo il percorso s W = F s = F s cos(θ) W = F ds s θ F ds F
22 Prodotto vettorile Il prodotto vettorile tr due vettori e è un vettore c c = ortogonle l pino cui pprtengono i vettori e, di modulo pri : c = sen(θ) c Per convenzione il vettore c vrà verso tle che l tern di vettori, e c risulti levogiro come in figur. Di conseguenz = - ( ) θ
23 Prodotto vettorile Il prodotto vettorile tr i versori i, j e k di un tern di ssi ortogonli x, y e z risult: i i = j j = k k = 0 k j i j = k j i = -k j k = i k j = -i k i = j i k = -j i
24 Prodotto vettorile c Sviluppndo il prodotto vettorile tr vettori e si ottiene c = = θ = ( y z - z y )i + ( z x - x z )j + ( x y - y x )k z y x
25 Prodotto vettorile Il prodotto vettorile gode dell proprietà distriutiv ( + c) = ( ) + ( c) c Il prodotto vettorile non gode dell proprietà ssocitiv ( c) ( ) c
26 Cmpi vettorili Spesso si f riferimento grndezze esprimili ttrverso vettori che vrino nello spzio e, eventulmente, nel tempo ttrverso un funzione vettorile: = (x,y,z,t) Si trtt di cmpi vettorili. Esempi: Velocità di filtrzione dell cqu nel terreno; Flusso di clore in un continuo Ecc. Cmpi stzionri Un cmpo vettorile si dice stzionrio (o permnente) se il vettore vri nello spzio, m non nel tempo. Un cmpo vettorile è non stzionrio qundo l funzione vri nel tempo. Richimi di Anlisi I e II. Opertori divergenz e grdiente
27 Notzione indicile Spesso, per comodità, si f riferimento d un sistem ortogonle di ssi crtesini individuti come x 1, x 2, x 3, con versori i 1, i 2, i 3 x 3 Con quest notzione le componenti del vettore sono indicte on 1, 2, x 2 In notzione indicile il simolo i è utilizzto per indicre sinteticmente tutte e tre le componenti. x 1
28 Convenzione dell somm Nell notzione indicile l ripetizione del pedice equivle sommre x 3 Esempio i i = x 1 3 x 2 kk = Vlid per i tensori
29 Rotzione del sistem di riferimento Le componenti v i del vettore v reltive l nuovo sistem x i sono pri : x 3 x 3 v x 2 v i = ij v j x 2 In cui vj sono le componenti del vettore reltive l sistem x j, ed ij sono i coseni direttori di x i rispetto x j x 1 x 1
30 Vettori pplicti Un vettore pplicto è costituito d un vettore u e un punto di ppliczione A. Si può indicre con: (A, u) M T x 3 T h θ u Si definisce Momento polre di un vettore pplicto (A, u) rispetto d un punto T il vettore M T M T = (A-T) u A Il modulo M T srà pri : x 2 M T = u h x 1
31 Risultnte e Momento risultnte di un sistem di vettori pplicti Considerndo un sistem di vettori pplicti (A i, u i ) si definisce risultnte R dei vettori u i il vettore M Ti T u i x 3 R n = u i 1 Si definisce Momento risultnte dello stesso sistem rispetto d un punto T il vettore M T M Tj A j A i u j n M T = M Ti 1 x 2 x 1
32 Coppi di vettori pplicti Si definisce coppi di vettori pplicti il sistem costituito d due vettori (A 1, u) e (A 2, -u), vente risultnte R nullo M A 2 u R = 0 x 3 e momento risultnte vettore M, indipendente dl polo: -u A 1 M = (A 1 -A 2 ) u x 2 x 1
33 Equivlenz di sistemi di vettori pplicti Due sistemi di vettori Σ e Σ si dicono equivlenti se hnno lo stesso risultnte R = R e lo stesso momento risultnte M T = M T rispetto d ogni generico polo T E possiile dimostrre che due sistemi di vettori con ugule risultnte R ed ugule momento rispetto d un polo O, vrnno ugule momento rispetto d ogni ltro polo T: M T = M O + (O-T) R = M O + (O-T) R= M T
34 Equivlenz di un sistem di vettori pplicti Ogni sistem di vettori Σ è equivlente l suo risultnte R n = u i 1 pplicto in un punto T e d un coppi pri l Momento dei vettori clcolto rispetto T n M = T M T i 1
Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori
A Richimi sui vettori Richimimo lcune definizioni e proprietà dei vettori, senz ssolutmente pretendere di drne un trttzione mtemticmente complet. Lvoreremo sempre in uno spzio crtesino (euclideo) tre dimensioni,
DettagliAnno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti
Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei
DettagliDeterminare la posizione del centro di taglio della seguente sezione aperta di spessore sottile b << a
Determinre l posizione del centro di tglio dell seguente sezione pert di spessore sottile
DettagliVettori - Definizione
Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello
DettagliOperazioni sui vettori
2 perzioni sui vettori I vettori in fisic sono utili per descrivere tluni fenomeni collocti nello spzio tre dimensioni che usulmente percepimo (tre dimensioni regolte dll geometri euclide), per i quli
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
DettagliSuperfici di Riferimento (1/4)
Superfici di Riferimento (1/4) L definizione di un superficie di riferimento nsce dll necessità di vere un supporto mtemtico su cui sviluppre il rilievo eseguito sull superficie terrestre. Tle superficie
DettagliCinematica ed equilibrio del corpo rigido
inemtic ed equilirio del corpo rigido Spostmenti virtuli Lvori virtuli ed equilirio Determinzione sttic Numero dei vincoli e determinzione pprofondimenti: lvoro virtule pprofondimenti: forze e momenti
DettagliCap. 4 - Algebra vettoriale
Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Cpitolo 4 Algebr vettorile 4.1. Grndezze sclri Si definiscono sclri quelle grndezze fisiche che sono descritte in modo completo d un numero con l reltiv unità di misur.
DettagliControlli Automatici. Trasformate L e Z e schemi a blocchi. Esercizi sulle trasformate L e Z
Controlli Automtici Trsformte L e Z e schemi blocchi Esercizi sulle trsformte L e Z Esercizi sulle trsformte L e Z Proposte di esercizi e soluzioni in tempo rele trsformt L di y(t) dt trsformt Z di y(i)
DettagliIntroduzione e strumenti
Controlli utomtici Introduzione e strumenti Convenzioni generli ed elementi di bse Dll equzione ll rppresentzione grfic L lgebr dei blocchi Clcolo di funzioni di trsferimento di schemi interconnessi 2
Dettagli8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.
8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso
DettagliDefiniamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori.
Prof. A. Di Mro I versori Definimo or lcni vettori prticolrmente importnti detti versori. Un versore è semplicemente n vettore di modlo nitrio. Normlmente gli ssi, e z vengono ssociti i versori i ˆ, ˆj,
DettagliErasmo Modica. : K K K
L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce
DettagliTeorema della Divergenza (di Gauss)
eorem dell ivergenz (di Guss) i un dominio tridimensionle regolre, l cui frontier è un superficie chius orientt con cmpo normle unitrionˆ uscente d. e F(,,z) F (,,z) i F (,,z) j F (,,z) k è un cmpo vettorile
DettagliLE GRANDEZZE FISICHE. estensive. Grandezze. intensive non dipendono dalla quantità di materia temperatura, peso specifico
LE GRANDEZZE FISICHE estensive dipendono dll quntità di mteri mss, volume, lunghezz Grndezze intensive non dipendono dll quntità di mteri tempertur, peso specifico LA MISURA DI UNA GRANDEZZA FISICA Per
DettagliCinematica ed equilibrio del corpo rigido
omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione inemtic ed equilirio del corpo rigido rtteristiche di sollecitione efiniione delle crtteristiche Esempio 1: trve rettiline Esempio : struttur
DettagliOperazioni sulle Matrici
Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici F. Cliò Addizione e Sottrzione Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin Addizione
DettagliI Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes
I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve
DettagliF (r(t)), d dt r(t) dt
Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,
DettagliPROGRAMMAZIONE DI FISICA PRIMO BIENNIO CLASSI SECONDE
PROGRAMMAZIONE DI FISICA PRIMO BIENNIO CLASSI SECONDE Nel pino di lvoro sono indicte con i numeri d 1 5 le competenze di bse che ciscun unit' didttic concorre sviluppre, secondo l legend riportt di seguito.
DettagliLEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione
LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2
DettagliI.3. I vettori: quando i numeri non bastano
I.3. I vettori: qundo i numeri non stno Gli sclri: qundo i numeri stno I vettori: 1 più 1 f d 0 2 Le componenti di un vettore Le operzioni tr vettori ttrverso le componenti Scomposizione di un vettore
DettagliEllisse riferita al centro degli assi
Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm
DettagliFLESSIONE E TAGLIO (prof. Elio Sacco)
Cpitolo FLESSIONE E TALIO (prof. Elio Scco). Sollecitzione di flessione e tglio Si esmin il cso in cui l risultnte delle tensioni genti sull bse dell trve x = L consist in un forz tglinte V, tlechev e
DettagliCompitino di Fisica II del 14/6/2006
Compitino di Fisic II del 14/6/2006 Ingegneri Elettronic Un solenoide ssimilbile d un solenoide infinito è percorso d un corrente I(t) = I 0 +kt con k > 0. Se il solenoide h un lunghezz H, rggio, numero
DettagliSorgenti di campo magnetico. Esempio 1. Soluzione 1. Campo magnetico generato da un lungo filo rettilineo percorso da corrente
Cmpo mgnetico generto d un lungo filo rettilineo percorso d corrente Sorgenti di cmpo mgnetico Ingegneri Energetic Docente: Angelo Crone Il cmpo mgnetico dovuto d un filo rettilineo è inversmente proporzionle
DettagliMaturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +
Dettagli8 Controllo di un antenna
8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno
DettagliDifferenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
Dettaglib a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.
Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()
Dettagli26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di
DettagliPROVE PER L ESAME. Peso specifico. Ricordando che ps = P/V e quindi P = ps V, rispondi alle seguenti domande:
PROVE PER L ESAME PROVE PER L ESAME Un tomo di ferro h numero tomico e peso tomico 5. Qunti elettroni contiene? Qunti protoni? Qunti neutroni? [Contiene elettroni e protoni. Il numero di neutroni ugule
DettagliAnno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde
Anno Tringoli rettngoli e teorem delle orde 1 Introduzione In quest lezione impreri d pplire i teoremi di Eulide e di Pitgor e sopriri quli prtiolrità nsondono i tringoli rettngoli on ngoli prtiolri. Infine,
DettagliRapporti e proporzioni numeriche
Rpporti e proporzioni numeriche Rpporti. Per rpporto tr due numeri e b, di cui il secondo diverso d zero, s intende il quoziente estto dell divisione dei due numeri dti, cioè :b oppure /b. Ad esempio dire
DettagliProiettività della Retta e del Piano.
Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo
DettagliEsercizi sulle serie di Fourier
Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre
Dettagliv 0 = 2,4 m/s T = 1,8 s v = 0 =?
Esercitzione n 4 FISICA SPERIMENTALE I (C.L. Ing. Edi.) (Prof. Gbriele Fv) A.A. 00/0 Dinic del punto terile. Un corpo viene lncito lungo un pino liscio inclinto di rispetto ll orizzontle con velocità v
DettagliIntegrali curvilinei e integrali doppi
Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di
DettagliCOGNOME..NOME CLASSE.DATA
COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione
DettagliElementi di matematica utilizzati in questo corso
Mtemtic di Bse Elementi di mtemtic utilizzti in questo corso Frzioni Proprietà delle potenze Potenze di dieci e notzione scientific Mnipolzione, semplificzione di espressioni lgeriche Soluzione di equzioni
DettagliI vettori. Grandezze scalari: Grandezze vettoriali
Grndee sclr: I ettor engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee ettorl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
Dettagli{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }
Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri
Dettagli2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
DettagliCORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato
Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls
DettagliAUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.
AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert
DettagliEquazioni parametriche di primo grado
Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,
DettagliIntegrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
DettagliPOTENZA CON ESPONENTE REALE
PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero
DettagliAnno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune
Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile
DettagliJune 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2
June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 1. Introduzione ll topologi e ll struttur di R 2 e R 3. [3, Prgrfi 1 e 2, Cpitolo 2] L esperienz dell Anlisi A ci insegn che, per poter definire limiti, derivte etc,
Dettagli2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
. Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche
DettagliFUNZIONI IPERBOLICHE
FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,
DettagliNote sul moto circolare uniforme.
Note sul moto circolre uniforme. Muro Sit e-mil: murosit@tisclinet.it Versione proisori, ottobre 2012. Indice 1 Il moto circolre uniforme in sintesi. 1 2 L ide di Hmilton 2 3 Esercizi 5 3.1 Risposte.......................................
DettagliAnalisi e Geometria 1
Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )
DettagliIntegrale definito. Introduzione: il problema delle aree
Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,
DettagliVettori e coordinate cartesiane
ettori e coordinte crtesine ettori nel pino crtesino Aimo già incontrto i ettori e li imo usti per indicre uno spostmento: se un punto si muoe nel pino dll posizione A ll posizione B, lo spostmento AB
Dettaglix = x(t) y = y(t) t [a, b]
Dt un curv continu. Curve ed integrli di line : t [, b] i punti () = (x(), y()) e (b) = (x(b), y(b)) si chimno primo e secondo estremo dell curv, rispettivmente. L curv si dice chius se () = (b). L curv
DettagliLezione 1 Insiemi e numeri
Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi
DettagliINTERVALLI NELL INSIEME R
INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"
Dettagli3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo continuo
Fondenti di Autotic 3. Modellistic dei sistei dinici tepo continuo Esercizio 1 (es. 10 del Te d ese del 18-9-2002) Si consideri il siste dinico elettrico riportto in figur, i cui coponenti ssuono i seguenti
DettagliIntroduzione alla Fisica. Ripasso di matematica Grandezze fisiche Vettori
Introduzione ll Fisic Ripsso di mtemtic Grndezze fisiche Vettori L fisic come scienz sperimentle Studio di un fenomeno OSSERVAZIONI SPERIMENTALI MISURA DI GRANDEZZE FISICHE IPOTESI VERIFICA LEGGI FISICHE
DettagliIntegrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
DettagliUNITA DI MISURA. distanze
Unità di misur. ppunti di Topogrfi UNIT DI MISUR distnze L unità di misur bitulmente impiegt per esprimere le distnze è il metro. Per grndezze molto piccole è opportuno ricorrere i sottomultipli, centimetro
DettagliELEMENTI MECCANICI ROTANTI CON FUNZIONE DI IMMAGAZZINAMENTO O TRASFERIMENO DI ENERGIA
Freni e frizioni ELEMENTI MECCANICI ROTANTI CON FUNZIONE DI IMMAGAZZINAMENTO O TRASFERIMENO DI ENERGIA 1. forz di ttuzione del meccnismo. coppi trsmess 3. perdit di energi 4. incremento di tempertur 1
DettagliNome Cognome. Classe 1D 29 Novembre 2010 Verifica di Fisica formula Nome grafico
Noe Cognoe. Clsse D 9 Novebre 00 erific di Fisic forul Noe grfico Proporzionlità qudrtic invers = ) icordndo i possibili legi tr due grndezze,, coplet l seguente tbell ) Specific il significto dei prefissi
DettagliTEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.
TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione
DettagliIl moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto che avviene su una retta con accelerazione costante. a = costante
Prof.. Di Muro Moto rettilineo uniformemente ccelerto ( m.r.u.. ) Il moto rettilineo uniformemente ccelerto è un moto che iene su un rett con ccelerzione costnte. Dll definizione di ccelerzione t t t t
DettagliNote di geometria. Prof. Domenico Olanda. Anno accademico
1 Note di geometri Prof. Domenico Olnd Anno ccdemico 008-09 Prefzione Questo testo rccoglie lcune lezioni di geometri d me svolte negli nni ccdemici 008-009 per gli studenti del corso di lure in Mtemtic
DettagliQuadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)
Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +,4 4 + +,4 4 +,4 4 + 4,4 4.
Dettaglidr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche
1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici
DettagliCLASSI PRIME 2013/14
LICEO SCIENTIFICO STATALE G.B. GRASSI CLASSI PRIME 2013/14 INDICAZIONI DI LAVORO PER LA SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO IN FISICA Liceo scientifico e liceo delle scienze pplicte In relzione lle esigenze del secondo
Dettagli( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.
DettagliEsercizi su spazi ed operatori lineari
Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni
Dettagliacuradi Luca Cabibbo e Walter Didimo Esercizi di Informatica teorica - Luca Cabibbo e Walter Didimo 1
curdi Luc Cio e Wlter Didimo Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 1 espressioni regolri e grmmtiche regolri proprietà decidiili dei linguggi regolri teorem di Myhill-Nerode notzioni sul
Dettagli1. Elementi di analisi funzionale Esercizi
. Elementi di nlisi funzionle Esercizi http://www.cirm.unibo.it/~brozzi/mi/pdf/mi-cp.-ese.pdf.. Spzi vettorili.. Spzi vettorili normti.-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm (
DettagliIl problema delle aree. Metodo di esaustione.
INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.
DettagliLiceo Scientifico E. Majorana Guidonia Quaderno di lavoro estivo Matematica
Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Numeri Nturli Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Come si indic l insieme dei numeri nturli {0,,,,, }? L insieme dei numeri nturli si indic con l letter N. Quli
DettagliEquivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali
Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO INTRODUZIONE Per trsformzione geometric pin si intende un corrispondenz iunivoc fr i punti di un pino, ossi un funzione iiettiv che ssoci d ogni punto P del pino un
DettagliStrutture algebriche
Strutture lgeriche Leggi di composizione L operzione di ddizione nell insieme dei nturli ssoci ogni coppi (m; n) di numeri nturli ncor un numero nturle s, risultto dell operzione. L ddizione costituisce
DettagliSUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi
SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.
DettagliEsercitazione Dicembre 2014
Esercitzione 10 17 Dicembre 2014 Esercizio 1 Un economi chius è crtterizzt di seguenti dti: A = 400 M = 250 γ = 1.5 (moltiplictore dell politic fiscle) β = 0.8 moltiplictore dell politic monetri z = 0.25
DettagliFacoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.
Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione
DettagliTeoremi di geometria piana
l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem
Dettagli7.5. BARICENTRI 99. Esempio 7.18 (Baricentro di una lamina ellissoidale omogenea). Consideriamo la lamina ellissoidale omogenea in figura.
7.5. BAICENTI 99 P J Q Gli ssi HJ e PQ (che isecno i lti opposti del rettngolo) sono ssi di simmetri mterile. il ricentro dell lmin coincide con l intersezione dei due ssi: G, G H Esempio 7.18 (Bricentro
DettagliIngegneria Elettrica Politecnico di Torino. Luca Carlone. ControlliAutomaticiI LEZIONE II
Ingegneri Elettric Politecnico di Torino Luc Crlone ControlliAutomticiI LEZIONE II Sommrio LEZIONE II Sistemi lineri e proprietà di unicità Concetto di Stilità Stilità intern ed estern Criterio di Routh
DettagliLa Cinematica Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio 20 cm con frequenza di 5,0 Hz.
Un punto mterile si muove luno un circonferenz di rio cm con frequenz di 5, Hz. Clcolre l velocità tnenzile ed il numero di iri compiuti in s. R L velocità tnenzile l clcolimo ttrverso l su definizione:
Dettagli1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati
Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste
DettagliTeoria in pillole: logaritmi
Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del
DettagliAppunti di Elettrotecnica
Appunti di Elettrotecnic Premess Il presente opuscolo non può e non vuole essere considerto sostitutivo del libro di testo, vuole semplicemente essere un supporto, per rmmentre gli studenti lcuni degli
DettagliOttica ondulatoria. Interferenza e diffrazione
Ottic ondultori Interferenz e diffrzione Interferenz delle onde luminose Sorgenti coerenti: l differenz di fse rest costnte nel tempo Ond luminos pin che giunge su uno schermo contenente due fenditure
DettagliCOME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia
COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze
Dettagli5. Funzioni elementari trascendenti
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite
DettagliLa parabola con asse parallelo all ady
L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin
DettagliRACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI
RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI PROPRIETÀ DEI NUMERI INTERI, SCOMPOSIZIONI, ECC.. Se A è ugule e B è ugule, qunto vlgono m.c.m. ed M.C.D. dei numeri A e B? 0 e. Se si moltiplicno due numeri
DettagliOttavio Serra. Baricentri
Ottvio err Bricentri Bricentro geometrico di un tringolo (All letter, ricentro signific centro del peso Vedremo tr poco il perché di questo nome) L dimostrzione seguente risle Euclide FIG Considero le
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico
DettagliELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di un Rett Dt un rett orientt (verso di percorrenz positivo d sinistr verso destr per rette orizzontli; dl sso verso l lto per
Dettagli