Quindi L'OPERAZIONE DI ESTRAZIONE DI RADICE È L'OPERAZIONE INVERSA DELL'ELEVAMENTO A POTENZA.

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1 I RADICALI. DEFINIZIONE DI RADICE (esercizi pg. 8) Si dice rdice qudrt (cuic, qurt, quit,... ) di u umero rele 0, quel umero rele 0 che elevto l qudrto (l cuo, ll qurt, ll quit,... ) dà come risultto. () def. DEFINIZIONE : (, 0) Quidi L'OPERAZIONE DI ESTRAZIONE DI RADICE È L'OPERAZIONE INVERSA DELL'ELEVAMENTO A POTENZA. Esempi: def. si legge : "se e solo se, per defiizioe" 8 perché 8; 8 perché 8 ; 0,09 0, perché (0,) 0,09 U simolo del tipo viee chimto "rdicle". Vle dire, "rdice" è il risultto, "rdicle" è il simolo dell'operzioe di estrzioe di rdice. Il umero viee detto "idice". Il umero viee detto "rdicdo". L'idice è u umero turle, mggiore o ugule. Se l'idice vle, l rdice è ugule l rdicdo: INDICE RADICALE RADICANDO () Domd: m o è estremmete le (e privo di iteresse) u rdicle co idice? Sì, sez ltro è le! M o è privo di iteresse, perché i rdicli co idice si rivelo ssi utili i fii di u'esposizioe più sitetic dell teori. L'idice viee di orm sottiteso. Ossi, ziché scrivere si us scrivere : () Acor qulche esempio: L covezioe è dvvero vtggios, dto che l rdice qudrt è di gr lug l più utilizzt perché 0 000; perché ; perché ; 0,00 0, perché 0, 0, Osservimo (gli esempi riportti lo illustro ee) che se il rdicdo è mggiore di il vlore dell rdice è miore del rdicdo stesso m (IMPORTANTE!) se ivece è miore di (compreso fr 0 e ) il vlore dell rdice è mggiore del rdicdo stesso.. DUE IDENTITA' VERAMENTE FONDAMENTALI Dll defiizioe dt di estrzioe di rdice si trggoo direttmete e immeditmete le idetità: () ( ) () Idice ed espoete soo uguli: l rdice e l potez, operzioi iverse l u dell ltr, si compeso, quidi si possoo semplificre Ache qui, potez e rdice, operzioi iverse fr loro, si compeso, d cui l semplificzioe Dovremo teerle sempre preseti, quli "pietre miliri" del ostro discorso. I prticolre, le utilizzeremo el corso dell dimostrzioe di lcui teoremi.

2 . RADICANDO E RISULTATO POSITIVI. MA PERCHE'? E' importte ridire che i quest ostr sistemzioe teoric SIA IL RADICANDO CHE LA RADICE SONO NUMERI POSITIVI O NULLI: 0, 0. A e riflettere, tle impostzioe potree essere cotestt. Ascoltimo come rgio Giio il cotesttore. LE DUE OBIEZIONI DI GIANNINO Siccome l operzioe di estrzioe di rdice viee pest come l ivers dell'elevmeto potez, secodo me, che soo Giio: I) qudo l'idice è dispri, è logico che si poss che estrrre l rdice di u umero egtivo: d esempio, trovo del tutto giustificto scrivere 8, perché i effetti ( ) 8; II) qudo l'idice è pri e il rdicdo positivo, è logico che l'operzioe mmett DUE possiili risultti, opposti fr loro (e NON u solo risultto positivo): d esempio, 9 ± 7 perché ( + 7 ) 9 m che ( 7) 9. Le rgometzioi di Giio soo giuste ed itelligeti! Tuttvi RISPOSTA DELLA COMUNITA MATEMATICA A GIANNINO Allo scopo di fissre u'impostzioe teoric che coset di evitre eccessive compliczioi, è estremmete coveiete, qudo si iizi studire l'operzioe di estrzioe di rdice, supporre positivi (i seso "lrgo": 0 ) si il rdicdo che il risultto. I questo modo, iftti, l trttzioe fil sez'ltro più "lisci". I u secod fse, qudo si termi lo studio di questi rdicli co rdicdo e risultto positivi (che i testi chimo geerlmete "rdicli ssoluti"), si procede qulche semplicissim itegrzioe dell teori (oi fremo questo l prgrfo 7), per poter ccettre che operzioi come 8 ; 0,0000 0, ecc. (rdicli co idice dispri, rdicdo egtivo e risultto egtivo). Ivece co idice pri e rdicdo egtivo l'estrzioe di rdice è u operzioe impossiile (NOTA): IMPOSSIBILE ; IMPOSSIBILE ecc. Nessu umero rele, iftti, può fre d risultto i situzioi come queste, perché essu umero dell isieme, se elevto d espoete pri, dà u risultto egtivo. NOTA - Slvo poi ridiscutere qudo viee itrodotto l isieme dei umeri complessi ; leggi il riqudro fico Nel cso, ifie, di idice pri e rdicdo positivo (es. 9 ), si cotiu sempre d ssegre ll'operzioe, coveziolmete, u UNICO risultto, quello positivo: 9 7 e NON 9 ± 7 ; e NON ± Quest covezioe è uiverslmete ccettt motivo di tutt u serie di icoveieti che si verreero crere qulor si decidesse ivece di mmettere il "doppio risultto". M desso proseguimo co lo studio dei rdicli ssoluti, quelli i cui il rdicdo e il risultto soo sempre positivi ( 0 ). Scriveremo, per revità, soltto rdicli, m itederemo sempre, fio l prgrfo compreso, rdicli ssoluti. L isieme è l isieme dei umeri reli, e cotiee si i umeri iteri che quelli co l virgol, si i rzioli che gli irrzioli, si i positivi che i egtivi. Cotiee, isomm, tutti i umeri rppresetili su di u umer lie, che soo poi i umeri comuemete utilizzti. I prticolri cotesti, di mtemtic pur o di Fisic o di Igegeri, itervegoo che ltri umeri, quelli dell isieme. Sorpredete! Ne riprleremo!

3 . LA PROPRIETA' INVARIANTIVA DEI RADICALI (esercizi pg. 9) () ossi: k mk m PROPRIETA ' INVARIANTIVA se il rdicdo è u potez, il cui espoete è semplificile co l idice, è possiile effetture l semplificzioe: il vlore del rdicle o cmierà; e vicevers, leggedo d destr verso siistr: il vlore di u rdicle o cmi se si moltiplico si l idice che l espoete del rdicdo per uo stesso itero positivo k; o, i ltre prole, se si moltiplic l'idice per u itero positivo k, e cotemporemete si elev il rdicdo ll'espoete k. Dimostrzioe dell () Il rgiometo dimostrtivo si s su di u proprietà dei umeri reli dell qule ci serviremo i seguito che per ltre dimostrzioi, e che quidi ppre opportuo deomire co u termie coveziole. Chimeremo quest proprietà pricipio E ( E come Elevmeto potez ). Il Pricipio E Se elevdo d uo stesso espoete p * {0} {,,,,... } due umeri reli POSITIVI O NULLI, si ottegoo risultti uguli, llor si er prtiti d umeri uguli p p y y (,y umeri reli o egtivi, p umero turle o ullo) Predimo duque seprtmete il primo e il secodo memro dell ugugliz () che voglimo dimostrre, ed elevimoli etrmi ll'espoete k. Se così fcedo otterremo risultti uguli, e dedurremo che ervmo prtiti d umeri uguli, cioè che l () è corrett. ( ) k k mk mk idetità () k m m m k mk idetità () k OK!!! I vi rtù del "pricipio E", l () è corrett. Esempi: ; ( y z ) 9 8 y z 8 9 y z ; Poiché, elevdo il e il m. dell ugugliz () d dimostrre l medesimo espoete k, si è otteuto lo stesso risultto mk, rest stilito, i virtù del pricipio E, che l () è corrett. quidi, direttmete: quidi, direttmete: (NOTA) ; 8 y z (NOTA ) Ricordimo l idetità (): + y ( + y) y z (NOTA ) NOTA - L ppliczioe dell proprietà ivritiv el seso dell moltipliczioe si rede ecessri i determite circostze, d esempio qudo, per l moltipliczioe o divisioe di due rdicli, occorre prelimirmete portre i rdicli i gioco llo stesso idice. NOTA - ATTENZIONE BENE! Semplificzioi idice-espoeti di questo tipo si possoo fre qudo rdicdo compioo ESCLUSIVAMENTE moltipliczioi e/o divisioi, metre sreero ERRORE GRAVE i presez di ddizioi e sottrzioi! 0 + NO, PER CARITA'!!! Ad esempio, + 7,8... metre +

4 . PRODOTTO E QUOZIENTE DI RADICALI (esercizi pg. 9) Vlgoo le uguglize: (7) (8) Esse possoo essere lette così: (7) il prodotto di due rdicli veti lo stesso idice è u rdicle che h per idice lo stesso idice, e per rdicdo il prodotto dei rdicdi; (8) il quoziete di due rdicli veti lo stesso idice è u rdicle che h per idice lo stesso idice, e per rdicdo il quoziete dei rdicdi. Leggedo l (7) e l (8) d destr verso siistr, otteimo (7') (8') ossi: (7') l rdice di u prodotto è ugule l prodotto delle rdici dei sigoli fttori; (8') l rdice di u quoziete è ugule l quoziete delle rdici del dividedo e del divisore. Dimostrzioe di (7), (8), (7'), (8'). Bsterà dimostrre, ovvimete, l (7) e l (8). Dimostrimo l (7); l tecic dimostrtiv per l (8) è idetic. Duque, cosiderimo i due memri dell (7) ed pplichimo il "pricipio E", utilizzdo come espoete cui elevre mo i memri: ( ) idetità (), due volte idetità () Poiché, elevdo il e il memro dell ugugliz (7) d dimostrre l medesimo espoete, si è otteuto lo stesso risultto, rest stilito, i virtù del pricipio E, che l (7) è corrett. Ricordimo l idetità (): Esempi: ; ; y : y y: y Se voglimo moltiplicre o dividere due rdicli co idici diversi, dovremo prim portrli llo stesso idice pplicdo l proprietà ivritiv. Come idice comue coverrà ssumere il m.c.m. degli idici, detto "miimo comue idice". Esempi: ( + ) ( ) ( + ) OCCHIO!!! Atteto o cdere i u tipico errore! I geerle, NON è vero che ± ± NO, PER CARITA'!!! Ad esempio, 9+ metre

5 . TRASPORTO DI UN FATTORE DENTRO E FUORI DAL SEGNO DI RADICE L cte mostr che vle l'ugugliz (esercizi pg. ) (9) (, 0) Esempi: U fttore POSITIVO, che moltiplic u rdicle, può essere ftto FILTRARE SOTTO IL SEGNO DI RADICE, PURCHE LO SI ELEVI d u espoete ugule ll'idice. 8 0; ( ) ( ) ( ) ( ) Sovete è ivece utile, i fii del clcolo, percorrere il CAMMINO INVERSO; ossi, ESTRARRE UN FATTORE d u rdicle il cui rdicdo è u prodotto. Ciò è possiile solo se uo dei fttori del prodotto che st rdicdo è elevto d u espoete mggiore o ugule ll'idice dell rdice. A tle scopo (estrzioe di u fttore dl sego di rdice) o è ecessrio imprre regole prticolri (NOTA); sterà procedere "per tettivi", poedosi sempre, cose ftte, l seguete domd: "e se desso riportssi detro il fttore che ho estrtto, ritroverei l'espressioe di prtez?" I cso di rispost ffermtiv, tutto è OK! NOTA. L regol - o idispesile, ripeto - diree che u fttore itero d u rdicle, e vete espoete o iferiore ll idice, può essere estrtto dl sego di rdice co espoete ugule l QUOZIENTE dell divisioe iter ESPONENTE:INDICE, e rimere ll itero dell rdice co espoete ugule l RESTO dell stess divisioe. Es.: 7 7 y y ; ; ; 8 PSST... Gurd pure gli " esercizi svolti" di pg.! 7. RADICE DI UN RADICALE (esercizi pg. ) (0) k k Dimostrzioe di (0). Col "Pricipio E": k k k k k ( ) k ( ) idetità idetità k () () k idetità () L rdice di u rdicle è u rdicle che h per rdicdo lo stesso rdicdo, e per idice il prodotto degli idici. Poiché, elevdo il e il memro dell ugugliz (0) d dimostrre l medesimo espoete k, si è otteuto lo stesso risultto, rest stilito, per il pricipio E, che l (0) è corrett. Ricordimo l idetità (): Esempi: 8 ; ; 8. POTENZA DI UN RADICALE (esercizi pg. ) () k k Per elevre potez u rdicle, st elevre quell'espoete il rdicdo, mteedo ivrito l'idice. I ltre prole: u espoete estero può essere ftto "filtrre sotto il simolo di rdice". Dim. di (): lscit l lettore. Col "Pricipio E", elevdo llo stesso espoete mo i memri. Esempi: ( 7 ) 7 7 8; ( ) 9 (NOTA ) (NOTA ); NOTA - Si cpisce llor che si può semplificre direttmete l idice co l espoete estero, fcedo poi filtrre questo ll itero soltto ll fie: NOTA - Nell eseguire si può pesre ll ppliczioe dirett dell defiizioe di rdice qudrt (qul è quel umero che elevto l qudrto dà come risultto? Evidetemete, è ); oppure u semplificzioe che f divetre l idice ugule, quidi f scomprire il rdicle (per defiizioe, u rdicle co idice lsci ivrito il rdicdo e pertto è come se o ci fosse):

6 7 9. SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI (esercizi pg. ) Premess I Alger, u espressioe costituit dl prodotto di u rdicle per u fttore estero viee chimt cor, per estesioe, rdicle. Quidi, vegoo chimte rdicli, d esempio, le espressioi segueti: Defiizioe ; y ; ( + ) + Qudo imo u coppi di espressioi dell form, y dicimo che simo i presez di due "rdicli simili". Pertto: due rdicli si dicoo "simili" se ho ugul idice e ugul rdicdo ( se differiscoo l più per il fttore estero) Esempi: e soo rdicli simili; + y e + y soo rdicli simili. L somm lgeric di due o più rdicli simili è u rdicle simile i dti, vete per coefficiete l somm lgeric dei coefficieti: () + y (+ y) L () o ecessit di dimostrzioe: è iftti evidete che il secodo memro è otteiile dl primo medite u rccoglimeto fttor comue. Esempi: + ; ( + ) + y y y y [ ] ; ( + ) ( ) ( + ) ( ) Ivece, se due rdicli NON soo simili, l loro somm lgeric dev'essere lscit idict (NON si possoo ridurre i lcu modo d u uico rdicle). Esempi: + STOP! + STOP! OCCHIO!!! Ed eccoti lcui ltri esempi di espressiocie i cui compioo somme lgeriche di rdicli: ) ) ( + ) 9 + y y y y y c) d) + + e) f) ( ) ( + )( ) ( + )

7 8 0. ESPRESSIONI TIPO MONOMI, POLINOMI, PRODOTTI NOTEVOLI Osservzioe prelimire, ovvi m fodmetle: qudo u rdice qudrt è elevt l qudrto, l rdice scompre e rime solo il rdicdo. Lo stesso vviee se u rdice qudrt è moltiplict per sé stess. 7 7; Nell prtic del clcolo, si possoo trccire delle rre di semplificzioe (oi, egli esercizi svolti di questo testo, o sempre le imo riportte si per rgioi grfiche che per lscire questo compito, se lo ritiee, l lettore): Ed ecco qulche esempio svolto. ) 9 ) ( + ) c) d) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( 0 ) e) ( ) f) g) ( )( ) h) ( ) ( ) ( ) ( ) i) + y + y + y + y + + y y + y + y + ( + y)( y) + y ( + y) j) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k) l) ( ) ( ) ( )

8 Fi or tu qulcuo di questi ESERCIZI: ) ( ) ) ( + ) ) ( ) ) ( + )( ) ) ( + )( ) ) ( )( + ) 7) ( + )( ) 8) ( + )( ) 9) ( )( + ) 0) ( + ) ) ( ) ) ( + ) ) ( ) ) ( + ) ) ( ) ) ( + ) 7) ( + )( ) 8) ( + )( ) 9) ( + 7)( + ) 0) ( 0 ) ) ( + + )( + ) ) ( + )( ) ) ( ) ) ( + )( ) ) ( + ) ) ( + ) 7) ( + ) 8) ( ) 9) ( + ) 0) ( ) ) ( ) ) ( + ) ) ( ) ) ( )( + + ) ) ( + + ) ) ( )( + )( + ) 7) ( )( + ) 8) ( ) 9) ( ) 0) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) ) ( + y )( y + ) ) ( + )( + ) ) ( + )( ) ) ( y) 7) 8) ( )( ) RISULTATI ) ) ) + ALTRI ESERCIZI pg ) 8 ) ) ) 7) 8) 9) 0) + ) ) 7 + ) 8 0 ) + ) ) + 7) 8) 9) ) 0 0 0( ) ) + ( + ) ) ) + ) ) ) + 0 7) 8 + 8) 78 9) 7 + 0) 9 ) 8 98 ) + + ) ( ) ( ) 7) + 8) ) ) + + ) ) ( ) + ) ) ) + + ) + ) y + y ) ) y 7) ( ) + 8) 9)

9 0. L AGGETTIVO IRRAZIONALE Ripssimo izitutto lcue cose già viste i pssto. U umero è detto RAZIONALE se è esprimiile come frzioe, ossi come rtio, rpporto, fr due iteri: 7 es. ; ; + + ; 0,7 ;,,... ; ecc. ecc IRRAZIONALE i cso cotrrio. Sppimo che qudo si trsform u frzioe i umero decimle, eseguedo l divisioe, si ottiee sempre u umero decimle fiito, oppure periodico; NON si potrà mi otteere u umero decimle illimitto o periodico. Bee! Ciò implic llor che i umeri co l virgol illimitti o periodici soo tutti irrzioli. Dl puto di vist isiemistico, gli iteri soo cosiderti come csi prticolri di rzioli (d es., /); l isieme costituito d tutti i umeri rzioli, più che tutti i umeri irrzioli, viee detto isieme dei umeri REALI e idicto co uo dei due simoli oppure (, + ). Qudo si prl di umeri reli, ci si riferisce di orm i "reli reltivi". L isieme dei reli ssoluti ( sez sego) può essere idicto co. Il simolo per idicre l isieme dei RAZIONALI è (dl tedesco Quotiet Quoziete, rpporto). Per idicre l isieme degli IRRAZIONALI si utilizz di solito l operzioe di differez isiemistic, scrivedo (i prtic, se dll isieme dei umeri reli oi toglimo gli elemeti di, ossi i rzioli, otteimo l isieme dei o-rzioli o irrzioli). Qudo si dice umeri rzioli, sez specificre ltro, si itede "rzioli reltivi"; se si desider idicre l isieme { reli (reltivi)} dei rzioli ssoluti ( sez sego), l posto di si scrive. { rzioli (reltivi)} Ad esempio, si dimostr che soo irrzioli: irrzioli (reltivi) i decimli illimitti o periodici, come imo già sottolieto { iteri (reltivi)} le rdici qudrte degli iteri che o soo qudrti perfetti, come,,,,... le rdici -esime degli iteri che o soo -esime poteze perfette, come, 8,... il umero π, che esprime il rpporto fr u circoferez e il suo dimetro, o che, voledo, l misur dell circoferez, se come uità di misur si prede proprio il dimetro. L prim dimostrzioe dell irrziolità di π si deve l frcese J. Lmert ( metà del XVIII secolo). { } L isieme è rppresetile sopr u rett, el seso che, pres u umer lie ( rett dott di origie, orietmeto e uità di misur ), d ogi puto corrispode uo e u solo umero rele (detto sciss di quel puto) e vicevers d ogi umero rele corrispode uo e u solo puto (detto immgie di quel umero). I ogi itervllio, che piccolissimo, dell umer lie, trovimo sempre ifiiti puti co sciss rziole ed ifiiti ltri puti co sciss irrziole. Esistoo ifiiti umeri rzioli, ed esistoo pure ifiiti umeri irrzioli; però, i u certo seso, i umeri irrzioli soo più ifiiti cor dei rzioli (l loro umerosità h u grdo di ifiito mggiore). Affscite! Se vuoi pprofodire, puoi cliccre qui o dre ll pgi 0 di questo volume. Adimo or ll dimostrzioe del ftstico, importtissimo TEOREMA Il umero è irrziole, ossi: o esiste essu frzioe ( frzioe i seso stretto: rpporto fr due iteri ) l qule, elevt l qudrto, di come risultto.

10 Questo eucito si dimostr rgiodo per ssurdo. Suppoimo, per ssurdo, che esist u frzioe l qule, elevt l qudrto, di come risultto. Dett, per fissre le idee, m tle frzioe, vremo: m. Riducimo l frzioe m/ i miimi termii, se già o lo è; otterremo u frzioe p/q, co p e q primi fr loro (cioè: privi di divisori comui; i ltre prole: o più semplificili), tle che p q. Si potrà scrivere quidi l seguete cte di deduzioi: p p p q il umero p è pri p è PARI q q esiste u INTERO p' tle che p p' p' q p' q q p' il umero q è pri q è PARI Or, el corso di tle cte imo dedotto che p e q soo etrmi PARI, cioè etrmi divisiili per, metre ervmo prtiti dl presupposto che l frzioe p/q fosse ridott i miimi termii, vle dire o più semplificile. Ricpitolimo: suppoedo che esistesse u frzioe m/ tle che (m/ ), simo perveuti coclusioi ssurde. No esiste perciò lcu frzioe che elevt l qudrto di. Poiché il primo umero di cui fu scopert l'irrziolità fu, l'ggettivo "irrziole" fiì per essere storicmete collegto co l'ide dell presez di u rdice! Precisimo meglio. I) Dicedo che u'espressione è "irrziole", si itede ffermre che cotiee il sego di rdice. Ad esempio, l'espressioe è "irrziole". Osservimo che u espressioe come + può meritrsi l'ggettivo "irrziole" per etrmi i motivi: ) pest come espressioe, cotiee il sego di rdice; ) pest come umero, o è esprimiile sotto form di rpporto fr due iteri: iftti, se per ssurdo lo fosse, si vree m m m + (per due opportui iteri m, ) e e seguiree impossiile i quto, come imo visto, o è esprimiile come rpporto fr due iteri. A proposito, co riferimeto i umeri: ) sommdo u irrziole co u rziole si ottiee sempre u irrziole (pes ll es. prec. +); ) sommdo due umeri rzioli si ottiee sempre u umero rziole (ovvimete); c) sommdo due irrzioli si può otteere, secod dei csi, u irrziole oppure u rziole. Esempi: + m ( ) + ( ) II) Qudo si dice che u'equazione è "irrziole", si itede ffermre che cotiee lmeo u volt l'icogit sotto il sego di rdice. Ad esempio, l'equzioe + 0 è irrziole. CONTROESEMPIO - Osservimo che ivece l'equzioe 0 NON è irrziole: si trtt semmi di u equzioe " coefficieti irrzioli". III) Qudo si dice che u FUNZIONE è "irrziole", si itede ffermre che i ess l vriile idipedete compre lmeo u volt sotto rdice. NUMERO IRRAZIONALE: umero o esprimiile come rpporto (ltio: rtio) fr due iteri ESPRESSIONE IRRAZIONALE: espressioe coteete il sego di rdice EQUAZIONE IRRAZIONALE: equzioe i cui l'icogit compre lmeo u volt sotto rdice FUNZIONE IRRAZIONALE: fuzioe i cui l vr. idipedete compre lmeo u volt sotto rdice

11 . RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE L esperiez mostr che i precchi csi (o sempre, m co grde frequez), (esercizi pg. ) qudo i u frzioe compre il SEGNO DI RADICE DENOMINATORE, tle sego di rdice dà fstidio : può essere scomodo i fii dell vlutzioe del vlore umerico del risultto, o per le esigeze del clcolo letterle, oppure può ifluire egtivmete sull compttezz e/o elegz dell espressioe. E spesso coveiete, duque, operre sull frzioe (sez lterre, eiteso, il vlore), i modo d cccir vi il sego di rdice dl deomitore. Tle procedimeto prede il ome di rziolizzzioe del deomitore. Esso si effettu pplicdo l PROPRIETÀ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI, ossi moltiplicdo si sopr che sotto per uo stesso umero, d scegliersi opportumete ( d scegliersi i modo tle che, u volt eseguite le moltipliczioi, il uovo deomitore o coteg più il sego di rdice). Due esempi: ( ) ( ) ( 7) 7 Il fttore per cui moltiplicre mo i termii dell frzioe, ode elimire il sego di rdice dl deomitore, prede il ome di fttore rziolizzte. Pssimo or i rsseg le csistiche più rilevti di rziolizzzioe. ; y y y y y y Regol : ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) Regol : c d c d c ± c d c d d ; y y y t y y t yt yt yt yt y y t yt y t t Regol : m p k m p k c c m pc k (m, p, k < ) m p k m p k c c c c NOTA NOTA: se così o fosse, si estrrreero izitutto uo o più fttori e ci si ricodurree questo cso

12 ( + ) L ultimo esempio illustr l Regol : Qudo deomitore imo l somm lgeric di tre termii co rdicli qudrtici, prim di tutto si rggruppo due fr i termii etro pretesi, poi si moltiplic per l espressioe che permette di otteere il prodotto otevole ( + )( ), teedo presete che i questo cso occorroo DUE FASI SUCCESSIVE per completre l rziolizzzioe. Vedimo u ltr situzioe log: ( ) ( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( + 0 ) Questo cso, izzrro m rilevte, si ffrot el modo seguete: si trtt l espressioe ( + 7) come u iomio ( + ) che verrà moltiplicto per u opportu espressioe, i modo d otteere come risultto + e mdr vi così le rdici cuiche. M quest espressioe è il triomio ( + )! Iftti è oto che ± ( ± )( + ). Duque, el ostro esempio, Acor due rziolizzzioi del medesimo tipo: ( ) ( + + ) ( + + ) Regol : + + ± + ±

13 . RADICALI DOPPI (esercizi pg. ) Si dice rdicle doppio u espressioe dell form α ± γ β A volte (o sempre!) u rdicle doppio si può trsformre ell somm lgeric di due espressioi che o cotego più rdici qudrte sovrpposte. SPEZZAMENTO DI UN RADICALE DOPPIO PER TENTATIVI L ide di spezzre, se possiile, u rdicle doppio, prte d u osservzioe. Qudo si esegue il qudrto di u iomio el qule uo o etrmi i termii cotego rdici qudrte, si icotro situzioi come quelle che seguoo: vle dire: iizilmete si ottegoo tre termii (qudrto del primo / doppio prodotto / qudrto del secodo), m el pssggio successivo questi tre termii si riducoo due, per il ftto che i due qudrti, o coteedo più l rdice, possoo divetre per somm lgeric u termie solo. Rime poi il doppio prodotto, che coserv l rdice. I defiitiv, duque, dl qudrto di u iomio se di rdici qudrte si ottiee u ltro iomio, co: u termie sez rdice (proveiete dll somm dei qudrti) e u termie che preset cor l rdice (proveiete, questo, dl doppio prodotto). M llor, di frote d u rdicle doppio α ± γ β, oi possimo sperre che l espressioe sotto l rdice qudrt priciple, α ± γ β, risulti essere proprio il risultto dello sviluppo di u opportuo qudrto di iomio. Se dovesse verificrsi questo cso fortuto, scriveremmo α ± γ β (... ±...) e el pssggio dopo mderemmo vi l rdice semplificdol co l espoete. Vedimo QUALCHE ESEMPIO. Predimo il rdicle doppio: 7 +. Il ostro oiettivo è di riuscire scrivere doppio prodotto Se doppio prodotto, srà prodotto e si trtt quidi di determire due umeri che io come prodotto e come somm dei qudrti 7. (, ) (, ) (, ) oppure prodotto oppure oppure... Fr le vrie possiilità doimo cercre (se esiste) quell per cui l somm dei qudrti è 7; e di coseguez provdo fre i clcoli, vedimo che l coppi che f l cso ostro srà (, ) d cui, filmete: 7 + ( + ) +. Ce l imo ftt! E spezzto!!!

14 L esempio che segue è più complicto, per u pio di rgioi. 0 doppio prodotto 0 0 NOTA prodotto d cui le possiilità ( 0, ) opp. ( 0, ) opp. (, ) opp. (, ) seoché, disgrzitmete: ; ; ; NOTA Sì, è vero, rigorosmete sree doppio prodotto 0, m è più comodo per oi pesre l VALORE ASSOLUTO dei termii; tto, ll fie, metteremo il sego i mezzo. Tuttvi, possimo trovre ltre coppie co prodotto 0 se spezzimo i ;,. i defiitiv, vedimo che l coppi cerct è Duque scrivimo 0 ( ) e questo puto sremmo molto soddisftti, se qulche scoccitore, purtroppo rgioe, o ci dicesse ivece che IL NOSTRO RISULTATO E SBAGLIATO! Il ftto è che è u umero NEGATIVO :,7,, 7< 0 e u umero egtivo, per quto imo detto rigurdo i segi, o può mi essere il risultto dell estrzioe di u rdice qudrt! Niete pur sterà scmire l ordie dei termii, i modo d fr sì che l se del qudrto si positiv, prim di mdr vi l espoete co l rdice: > 0 0 Or è tutto OK. SPEZZAMENTO DI UN RADICALE DOPPIO TRAMITE FORMULA Per spezzre (tetre di spezzre) u rdicle doppio, esiste che u pposit FORMULA (difficilott): () + ± ± Per esercizio, cotrolle tu stesso l vlidità verificdo che, se si elev l qudrto il secodo memro, si ottiee il rdicdo del rdicle primo memro, ossi ± Esempio: NOTA NOTA: è idispesile, se si vuole pplicre l formul, ricodursi izitutto ll situzioe cui l formul si riferisce: ± SENZA fttore fuori d. I prtic, se c è u fttore fuori d, questo fttore v ftto immeditmete filtrre ll itero; solo questo puto l formul srà pplicile. M esiste u CRITERIO per stilire priori se u rdicle doppio è spezzile oppure o? Rispost ffermtiv: lo spezzmeto di u rdicle doppio si può effetture se e soltto se il umero presete ell formul è u QUADRATO PERFETTO. Se o lo è, doimo pure l impres: il rdicle doppio o si potrà spezzre, é co l formul, é per tettivi.

15 . ESPRESSIONI VARIE CON RADICALI (esercizi lle pgg. -7) Presetimo qulche esempio svolto. ) ) c) Doimo moltiplicre i primi due rdicli, dopo verli portti llo stesso idice; ell ultimo rdicle, ivece, scompoimo i fttori il rdicdo: potedosi rccogliere, si potrà estrrre u fttore. L estrzioe di u fttore, qudo è possiile, è qusi sempre coveiete egli esercizi coi rdicli ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) rdicli simili Izitutto rccoglimo ed estrimo u fttore: ( ) ( + ) + ( + ) ( ) 7 ( + )( ) ( + ) ( ) + Comicimo svolgere i clcoli deomitore, poi vedremo. ( ) coviee spezzre il rdicle quoziete di rdicli co lo stesso idice +

16 d) Questo esercizio si prest d essere eseguito i due modi ltertivi: rziolizzdo le prime due frzioi ( ) ( + ) + + oppure scompoedo i fttori il deomitore dell terz frzioe ( + )( ) ( ) ( + ) + ( + )( ) + e) + : + + I quest ltr espressioe, è decismete poco coveiete rziolizzre: coverrà ivece fre il deomitore comue etro ciscu pretesi. + : : f) Qui si potrà procedere rziolizzdo, e spezzdo i rdicli doppi. ( + ) ( )

17 . ESERCIZI SUI RADICALI ) DEFINIZIONE DI RADICE, IDENTITA FONDAMENTALI 8 Nei csi i cui il risultto o si todo, evit l mcchiett procededo ivece per tettivi. Ad esempio, per clcolre (meglio: pprossimre) il umero 0 fio ll prim cifr decimle, puoi fre così: > 0 QUINDI < 0 <,,0, 7,0, 8,09, 9,, 0, > 0 QUINDI, < 0 <, ) 8 ) ) 9 ) ) 7 ) 7 7) 8 0 8) 9) 0) ) ) ) 9 ) 0000 ) ) 900 7) 9 8) 9) 8 7 0) 000 ) 00 ) ) 89 9 ) 8 79 ) 0 ) 0 7) 0 8) 00 9) 000 0) 0 ) ) 0 ) 0,09 ) 0, ) 0,008 ) 0, 7) 0, 8) ( 9 ) 9) 0) ) ) ) ) 0 0 ) 9/ ) ) 7) 8 8) 9) 9 0) 8 7 ) ( 7) ) 0 ) ) 9 ) Può l rdice qudrt di u umero essere mggiore del umero stesso? 7) Può l rdice cuic di u umero essere mggiore dell rdice qudrt dello stesso umero? 8) Quli umeri coicidoo co l propri rdice qudrt? 9) Quli soo quei due umeri che ho l proprietà di essere uguli l doppio dell propri rdice qudrt? 0) Complet le segueti telle. 0 0, 0, 9 0 () 0 0,..., ,0 0,000 0,00000 (),... () (),... () 0,... fio ll cifr decimle () solo l prte iter () vlore estto o pprossimzioe riteut degut RISULTATI, RISPOSTE ) ) ) 7 ) ) ) 7) 0 8) im poss. 9) 0) ) ) ) ) 0 ) ) 0 7) 8) 9) 0 0) ) ) 0 ) 7 ) 9 ),... ),... 7) 7,7... 8),... 9),7... 0),... ) 8,... ),7... ) 0, ) 0, ) 0, ) 0,... 7) 0,... 8) 9 9) 0) ) 8 ) ) ) ) / ) / 7 7) / 8) / 9) / 0) / ) ) + 7 ) 0 ) ) im poss. ) Sì, se il umero di prtez è compreso fr 0 e 7) Come per il ) 8) 0 e 9) 0 e 0) 0 0, 0, ,... 0,7...,...,7...,...,...,..., ,0 0,000 0,00000,... 7,... 0,...,... 70, , 0,0 0,00,...,...,... 0,... 7, ,... 0, ,0

18 9 ) PROPRIETA INVARIANTIVA (risultti ll pgi successiv) )... ) ) ) OSSERVAZIONE IMPORTANTE Per semplicità, lddove compioo espressioi letterli, sei utorizzto supporre 0 l espressioe stess e più i geerle l se di ciscu potez i gioco. Quest vvertez vle che per tutti gli esercizi successivi. Soltto el prgrfo 7 lsceremo cdere quest ipotesi di comodo.... ) ) 0... t ) y ) c 8... Semplificre, ove possiile: 9) 8 y 0) 0 8 ) ) ) ) + ) y ) y 7) + y 8) ) 8 ) ) k k 0) 0 + t+ t ) 8 ) 9 ) 7) 8) ) 0 ) 9) 0 0 ) 9) 9+ 0) 8+ ) ),7 ) ( ) ) 9) 0) ) y 9) 9 0) ) ) y ) + 0) ) 7 ) 8 ) 0 y 8) 0 t 9) 0 + t 9 y ) 8 9 y ) ) 8 ) 9 7) ( 7 ) 8) 9 ) 9 9 ( ) + 8 7) 9 + ) ) y + + ) + ) ( ) ( ) c) PRODOTTI, QUOZIENTI DI RADICALI Vi gli svolgimeti dei umeri ) 7 ) ) 7) 8) 9) y y 70) 7) t t t 7) 7) y + y 7) y + y 7) 0 : 7) 77) 80) 8) 8) 8) 9 88) : 8) 89) ) : 79) 8) + y : + y y 8) 87) 8 + : + 9 9

19 RISULTATI 0 ) PROPRIETA INVARIANTIVA ) 9 ) ) 0 t t ) 8 ) 8 c c ) + ( + ) 7) 9 8) 8 y 8 y Semplificre, ove possiile: 9) y 0) ) ) ) o semplif. ) y ) y ) 7) o semplificile 9) 0) 7 ) ) ) 9 8) o semplificile ) ) k ) 9 7) y 8) t 9) o semplif. 0) + t ) ) ) y ) y ) y ) STOP 7) 8) 9) STOP 0) ) ) STOP ) ) ) ) 7) 7 8) 9) 0) ) 9 ),7 ) ) 9) 0) ) ) 7 ) + 7) STOP 8) ) ( ) ) ( )( ) c) PRODOTTI, QUOZIENTI DI RADICALI ) ) ) + 7) 8) 00 9) y 70) 7) t 7) 7) y 7) + 7) 7) 77) ( y) ( y) 78) 79) 8 80) 8) 00 8) 8) 8 8 8) 8) 8 8) 87) + 88) 89) 0 y ( + y)

20 d) PORTARE IL FATTORE ESTERNO SOTTO RADICE Svolgimeti dl. l. ) ) 0 ) ) ( + k) 9) ( ) k + k 8 ) + k k + k 0) k ) + c ) ) 7) 9 k 8) k ) ( ) (risultti ll pgi successiv) e) ESTRARRE UN FATTORE DAL SEGNO DI RADICE Svolgimeti dl. 8 l. 9 ESERCIZI SVOLTI: estrrre u fttore d u rdicle, il cui rdicdo o cotiee lettere Estrrre u fttore d 8 Scompogo 8 i fttori primi e ottego 7 8 d cui: Estrrre u fttore d 0 Si vede occhio che il più grde qudrto perfetto coteuto come fttore el 0 è. Allor, i u ttimo: L ricerc del fttore qudrto perfetto (o cuo perfetto, ecc.) più grde è, ei csi semplici, il metodo più rpido (oltre che il più divertete): 88 ; 7 ; ) ) 0 ) ) 7 0 7) + y 8) 9) 8 0) ) 0 ) 98 ) ) 97 ) 0 ) 8 7) 000 8) 9) 0) ) 0 ) ) ) 7 ) 9 8 ) + 7) k k 8) 88 9) 0 0) ) ) 78 ) 000 ) 9 ) cd e 0 ) 8) + 9) f) RADICE DI UN RADICALE Svolgimeti dl. 9 l ) ) ) ) t ) + ) ) 7) 8) + ) y 9) k k w 0) Port izitutto detro el rdicle, el ) g) POTENZA DI UN RADICALE Svolgimeti dl. 7 l. 80 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( 7 ) ) ( ) 7) ( ) 8) ( ) 9) ( ) 70) ( ) 7) ( c ) 7) ( ) 7) 7) 77) ( 8 ) 78) ( ) 8 79) ( ) y 7) m 7) ) + + +

21 RISULTATI d) PORTARE IL FATTORE ESTERNO SOTTO AL SEGNO DI RADICE ) 80 ) ) ) 0 7) 8) 9 + c ) 7 8 9) ( + ) ) + k k 0) k+ ) ) + k k + ) k k + NOTA + < 0 > 0 NOTA: u fttore estero si può portr detro solo se è positivo e) ESTRARRE UN FATTORE DAL SEGNO DI RADICE ) ) ) ) 7) rime così 8) 9) 0) ) ) 7 ) 9 ) 8 ) 0 ) 7) 0 8) 9) 0) ) ) ) opp. ) ) 8) 9) 0) ) 8 ) k 7) ) ) 0 ) ) cde cd e ) ( ) + + 7) ( + ) 8) 9) ( ) f) RADICE DI UN RADICALE 0) ) 8 ) t ) 0 + ) k w ) ) 7) 8) y 9) 0) ) 8 g) POTENZA DI UN RADICALE ) ) ) ) 9 ) 7) ( ) 8) 9) 70) 7) c 7) 7) 7) 77) 8 78) y 79) + 80) ( + ) 7) m m 7) + ( + )

22 h) SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI Svolgimeti dl. l. Risultti: pg. succ. ) + ) ) 9) ) ) ) + + 7) ) ) ( ) c + ( + ) c ) ) + ) ) ) ) 9) ) ) ( ) 0) ) 9 + ( + ) ) t+ + 9t+ 9 + t+ ) 8 + ) + 8 i) OPERAZIONI TIPO PRODOTTI NOTEVOLI Svolgimeti dl. l. ) ( + ) ) ( )( ) 7) ( + )( ) 8) ( + )( ) 9) ( + ) 0) ( ) ) ( + ) ) ( ) ) ( + )( + ) ) ( + + )( + ) ) ( + ) ) ( + )( ) 7) ( y) 8) ( + ) 9) + 0) ( ) ) ( + ) ) ( + ) ) ( c) ) ( + + ) ) ( ) ) ( + )( ) 7) ( + + ) 8) ( + ) 9) ( )( ) + ) ( ) ) ( + )( ) + ( + ) ) ( + ) ( ) ) ( ) ) ( ) l) RAZIONALIZZAZIONE Svolgimeti dl. 7 l. 89 ) ) 7) 8) + 0 0) ) ) ) ) ) 7 7) 8) 9) ) ) 7) 7) 7) ) 77) 9 t 78) 79) t + 8) 8) c 8 8) 8) + c ) 87) 88) 89) + ( ) 9) + ) + 7) + 80) y + y 8) 90)

23 RISULTATI h) SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI ) 7 ) ) + ) 9) ( ) ) ( ) ) STOP! + 7) 7 8) ( ) + + 0) c ) ) ) ( 7) ) + 7 ) ) 7) 8) ( ) + 9) 0) ) t + + t + ) i) OPERAZIONI TIPO PRODOTTI NOTEVOLI ) 7 0 ) + ) 0 + 7) 8) 9) + 0 0) ) ) + ) ) ) ( ) 8) + ) ( ) ) 8 + 7) y + y ) 0) ) + ) ) + ) ( c c) ) 7) 9) + 0) l) RAZIONALIZZAZIONE + ) ) ( ) ) 7 8 ) ) + ) ( + )( ) 7) 0) + 7 ) + ) 7) 7 70) ) ) ) 0 ) 8) + 7 ) 7 ) 8 8) ( )( ) + ( + ) + 9) 7) + 9) ) + + 7) + 7) 7) ) + t 78) + 79) + 7) ) ( + + y) 8) c + 8) 8) 0 8) ) ( 8)( ) + 88) 9 8) + 7 8) ) 90) + +

24 ) POVERO PIERINO, NON NE AZZECCA UNA VUOI CORREGGERE GLI ERRORI TREMENDI CHE IL COMPAGNO HA COMMESSO? ) + ) y y c) d) e) + 8 f) g) h) i) + 8 l) + y + y m) QUALCHE QUESITO PESCATO SU INTERNET Dl sito Rdicl Epressios-Multiple Choice ) Simplify 80 ) 0 ) 8 c) d) 0 ) Simplify 8 y y ) y ) y y c) y y d) y ) Fid the result of 8 ) ) c) d) ) Simplify + ) + ) + c) d) D Simplify the epressio ) 7 ) ) c) 0 d) 7) 7 ) 7 ) 8 c) 7 d) 7 8) ) 7 7 ) 7 7 c) 8 7 d) 7 9) 8 + ) ) + c) d) + 0) ( 9 ) ) 8 ) 7 c) + 8 d) 7 8 Correggi gli errori: ) ) + ( + ) ) RISPOSTE: ) + ) y y c) d) STOP e) + 8 f) g) h) + 9 STOP i) + STOP l) + y STOP m) STOP cdc7c89d0d ) L somm di due rdici qudrte NON è ugule ll rdice qudrt dell somm ) L rdice di u somm NON è ugule ll somm delle rdici. Ivece: ( + ) ) Sglit l semplificzioe file

25 m) RADICALI DOPPI Svolgimeti dl. l. ) ) ) 9+ ) + ) co l formul o co il trucchetto (più serimete, si dice rtificio ): ecc. ) + 7) 7 8) + 9) 8 0) ) 7 0 ) + ) ) t ) ESPRESSIONI VARIE Svolgimeti dl. l. ) 7) 0) ) t t t+ t t+ ) : 8) Semplific, verificdo, ll fie, che si trtt di u umero leggermete superiore 8 y y y 9) k p p k 8 8 ) ) ) + 8 ) ( + ) + ( ) ) ( + m m)( + m + m)( + m + m) ) 9) ) + + y y + y + y y + ( + )( ) ) ) ) 8) + 0) 8) + + ) ) + Ruffii + 8 7) ) ) ) + w + w w ) ) ) 0) + + : + + : + + ) 7) 8) Rziolizz: + 9) Rziolizz: + +

26 0) Scompoi i fttori e semplific: ) Semplific c c + 7 ) Scompoi i fttori e semplific: verificdo, ll fie, che si trtt di u umero prossimo π, o) ESERCITAZIONI CONCLUSIVE Correzioe A) Correzioe B) A) B) ) ) 7) 9 9 0) ) ( ) : ) ) ( + ) ( ) 9) ( + ) ) ) 8) t t ( t 7) RISULTATI ) ) + ) : ) 9) + ( ) ) ) ( + + ) ) ) + 7) ) ) ) 7 + ) + ) ) 0 + 7) 8) + + 9) 0) No è spezzile : iftti, e NON è u qudrto perfetto. ) ) + ) ) ( t )( t ) ( ) t + ),9,0 7) 8) ) + t t y y + y + y 9) kp p + k 0) 0 ) 0 ) ) ( ) + ) ) ) m 7) 0 8) 9) y 0) ) ) 0) ) ) ) 9) ( )( ) ) + ) 0 ) ) 7) 8) 9) 0 ) w ) ) 0 ) 7) 8) c + ) + ) + ) ) ) 7) 0 8) 9) + 7 0) ) ) + ) + ) ) ) 7) 8) t 9) 70) 7) 7) 7) + ( ) ) +, +,7,

27 8. EQUAZIONI E SISTEMI DI PRIMO GRADO CON COEFFICIENTI IRRAZIONALI Ecco qulche esempio. ) + 7 (OSSERVAZIONE) Ache : ; ; OSSERVAZIONE Si preferisce scrivere l posto di ziché ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( )

28 ) 9 y + y y y + y y ( y ) y + + y y y ( + ) + y( ) y + ( + ) + y( ) y + y+ y + y + ( y+ )( + ) + y( ) y+ y + y y y y+ y ; y y+ + y y ESERCIZI ) + 0 ) 7 7) ( + ) 8) 9) 8 + 0) ) ( ) ( ) ) ) ( ) + ( + ) ) ) 7) 9) + y y 0 7 y y y y ) 8) 0) y + y 0 + y 0 y + y + y + y SOLUZIONI ) ) 7 7) 8) + 9) 0) + ) ) ) + + ) ) 7) 9) y y y 7 ) 8) y + y + 0) y

29 0 7. DAI RADICALI ASSOLUTI AI RADICALI IN E dopo quest prim fse i cui, per redere più semplice l'impostzioe dell teori, ci simo limitti cosiderre rdicli rdicdo positivo ( 0 ), simo or proti per ccettre, i certi csi (e precismete: qudo l'idice è dispri) che u rdicdo egtivo. I defiitiv: I) Se INDICE è DISPARI: + il rdicdo potrà essere positivo, egtivo o ullo; il vlore del rdicle, ossi il risultto dell'estrzioe di rdice, vrà lo stesso sego del rdicdo, quidi srà, rispettivmete, positivo, egtivo o ullo. Esempi: 8 ; ; 0 0; 0,... (otre che è 0 0 ; i geerle, si h sempre + + ) II) Se INDICE è PARI: il rdicdo dovrà essere positivo o ullo, ltrimeti l rdice o si potree estrrre (operzioe impossiile; e riprleremo, comuque, qudo itrodurremo l isieme dei umeri complessi ); il vlore del rdicle, ossi il risultto dell'estrzioe di rdice, srà QUEL NUMERO POSITIVO O NULLO che, elevto ll'espoete, riproduce il rdicdo. Iftti l comuità mtemtic h deciso, per diversi ottimi motivi, che o de itedersi, tto per fre u esempio, 9 ±, esì 9. Esempi: Quidi, ricpitoldo (IMPORTANTISSIMO!!!): IN CASO DI INDICE PARI, SIA IL RADICANDO CHE IL RISULTATO SONO POSITIVI ( 0 ): il rdicdo, perché ltrimeti l operzioe sree impossiile; il risultto, per CONVENZIONE. 9 (e NON ± ); e NON ; 0 0; IMPOSSIBILE ± OCCHIO, ALLORA! L equzioe h DUE soluzioi, m il simolo idic l sol soluzioe POSITIVA! Quell egtiv si idicherà co e si potrà scrivere, i form comptt, che le soluzioi dell equzioe dt soo i due umeri ± ( + +, ) Si può verificre che tutte le regole di clcolo imprte per i rdicli ssoluti ( i rdicli rdicdo positivo sui quli imo sto fio l pr. precedete l ostr trttzioe) cotiuo vlere che per i rdicli i, ossi per quell fmigli di rdicli mplit che si ottiee ccettdo pure i rdicli co idice dispri e rdicdo egtivo. Per quto rigurd i rdicli co idice pri, ci soo lcue delicte questioi di sego che costrigoo, i certi csi, d itrodurre u simolo di vlore ssoluto. Di questo rgometo si occup il prgrfo successivo.

30 8. RADICALI E VALORI ASSOLUTI Cosiderimo l espressioe. Ess h sigificto quluque si il sego di (quidi: si per >0, che per < 0 o 0), perché, quluque si il sego dell se, u qudrto è sempre positivo o ullo (mi egtivo) e perciò l rdice qudrt di u qudrto si può sempre estrrre. Chiedimoci or: è sempre giusto scrivere? Beh, è giusto solo se 0, perché se ivece il umero è egtivo, sree sglito!!! Ad es., el cso, l ugugliz o fuzio, perché vle + e o. ( ) Riflettedo ee, l'ugugliz che vle si per 0 che per < 0, è l seguete: () MOLTO IMPORTANTE l itroduzioe del simolo di VALORE ASSOLUTO! Osservimo che ivece co u rdice d idice dispri (d esempio, u rdice cuic) NON vremmo dovuto itrodurre le stghette di vlore ssoluto; isomm, vle, quluque si il sego del umero rele, l'ugugliz () (ricordimo cor u volt che el cso di u rdicle co idice dispri, si il rdicdo che il risultto possoo essere positivi, ulli o egtivi e il risultto h sempre lo stesso sego del rdicdo). Alogmete, vremo, quluque si il sego del umero : () ( 0) L () è ricvile dll () co l cte. Ache qui, i situzioi ffii che però portio u rdice cuic l posto dell qudrt, le stghette o vo itrodotte: (7) Osservzioe - E' chiro che ell () e ell () possimo fre meo delle stghette di vl. ssoluto i tutti quei csi i cui si s per certo che il umero idicto co è 0. Acor: il rdicle h sigificto si qudo, soo etrmi positivi, si qudo soo etrmi egtivi. M l'ugugliz vle soltto el primo cso ( 0, 0). L'ugugliz che vle che co, etrmi egtivi è (8) Il prolem o sussiste co idice dispri: quluque sio i segi di,, è sempre (9) Geerlizzdo, si vede che vle l seguete comod REGOLA: LE STANGHETTE DI VALORE ASSOLUTO VANNO INTRODOTTE NEI CASI IN CUI, OPERANDO CON UN RADICALE AD INDICE PARI, A PARTIRE DA UN FATTORE DI GRADO PARI SI PASSA AD UNO O PIU FATTORI DI GRADO DISPARI per effetto di u semplificzioe idice-espoete (proprietà ivritiv) o dell'estrzioe di u fttore dl sego di rdice o dello "spezzmeto" di u rdicle co l regol per l rdice di u prodotto o di u quoziete. Il simolo di modulo ( di vlore ssoluto) si può evitre, i questi csi, solo se il umero che dree fiire etro le stghette è 0.

31 9. SIGH! I PARAGRAFI 7) E 8) CI COSTRINGEREBBERO A RIMETTERE IN DISCUSSIONE I RISULTATI DI ALCUNI DEGLI ESERCIZI FATTI! Negli esercizi co rdicli proposti lle pgie precedeti, c er u ivito d dottre u ipotesi di comodo : per semplicità, lddove compioo espressioi letterli, sei utorizzto supporre 0 l espressioe stess e più i geerle l se di ciscu potez i gioco. E giuto or il mometo di lizzre cos ccd se si lsci cdere quest supposizioe. D qui i vti, i TUTTO il ostro corso di Mtemtic, il modo di utilizzre i rdicli verrà geerlizzto i DUE modi: ) psseremo d operre coi rdicli i e o più solmete coi rdicli ssoluti ) e simultemete doeremo, pputo, l ipotesi che tutte le poteze i gioco sio se 0. Adimo duque ripredere lcui esercizi già svolti e vedimo come si devoo modificre i risultti, se si prte dlle premesse )+). Cosiderimo d esempio l espressioci 0 + t+ t (pg. 9,. 0). Si trttv di semplificre, trmite l proprietà ivritiv, e il risultto dichirto er + t. M or, per le uove premesse )+), dovremo scrivere ivece, itroducedo il vlore ssoluto, 0 + t+ t 0 ( + t) + t. Riflettimo: poiché il vlore ssoluto di u umero è ugule ) l umero stesso, se questo è positivo ( 0) ) ll opposto del umero, se questo è egtivo e poiché il umero + t è 0 qudo t, metre è < 0 qudo t <, i defiitiv vremo: t qudo t + t+ t + t + t + t + t qudo t < U ltro esercizio (pg.,. 9) termiv col pssggio ( ) ( ). Or il pssggio file verree ivece effettuto come segue: el cso ( ) el cso < () qudo è 0, cioé co, vremo ( ) qudo è < 0, cioé co <, vremo ( ) + Ripesimo pure l semplice esercizietto (pg. 9,. 7). Qui ivece ull cmi, emmeo co le uove premesse ) + ), perché se fi dll iizio trovimo, vuol dire che fi dll iizio si suppoe 0 (ltrimeti l rdice qudrt o sree eseguiile). Duque rime piemete cofermt l cte (se è positivo, ). E 9 7 7? (pg. 9,. ) Beh, qui se è positivo, llor lo è che il rdicdo, se è egtivo lo è che il rdicdo. M i u cotesto di rdicli i, tutto questo o ci iteress: co idice dispri, il rdicdo può vere sego qulsisi, e l semplificzioe co l ivritiv qudo l idice è dispri o richiede mi il vlore ssoluto. Quidi è, che or, giusto scrivere Ivetimo ifie u espressioe d hoc per dre u ide di situzioi più complicte: se 7 ( ) + ( 7) se < se < Appre chiro d tutto questo o semplice discorso il motivo per cui fio d or vevmo sempre utorizzto lo studete servirsi dell ipotesi di positività delle si di tutte le poteze i gioco: se iftti, cro lettore, ti vessimo fi dll iizio sottoposto il crico di queste difficoltà, ti vremmo proilmete idotto sviluppre per i rdicli u irreversiile tipti, che sperimo di vere evitto. E sufficiete, mio prere, l ifritur dt i quest pgi, sez ulteriori esercizi, perché tu si poi i grdo di ffrotre le prolemtiche esposte, ei cotesti i cui si potro ripresetre (es. limiti, studio di fuzioe ).

32 QUESITI L digole di u cuo misur metro. Quti metri misur il lto del cuo? A) B) C) D) essuo dei vlori precedeti è estto Correzioe: Trovto su Éigme mthémtique. / d'euro cetimes; l rcie crrée de / /; l rcie crrée de ; doc / d'euro cetimes!!! Cos è che o fuzio? Dll eccellete sito del prof. Lwrece Spector d New York, ecco (clicc sull frecci) le lezioi che rigurdo i rdicli:. Esse iizio el modo seguete. Vle dvvero l pe di dre u occhit! HERE ARE THE FIRST te squre umers d their roots: Dvvero ello questo sito, pprofodito e ricco di esercizi rispost scost ; fcedo pssre il puttore del mouse sull pposito spzio, ecco che l rispost estt viee mostrt. Squre umers Squre roots We write, for emple, "The squre root of is ". This mrk is clled the rdicl sig (fter the Lti rdi root). The umer uder the rdicl sig is clled the rdicd. I the emple, is the rdicd. Prolem. Evlute the followig. To see the swer, pss your mouse over the colored re. To cover the swer gi, click "Refresh" ("Relod"). Do the prolem yourself first!

33 0. ESPONENTI FRAZIONARI Come è e oto, u potez co espoete itero è defiit come u prodotto di fttori tutti uguli fr loro (tti fttori uguli ll se qute soo le uità dell espoete):,, Si itroducoo poi gli espoeti e 0; oi imo scritto che le rispettive defiizioi ( u umero elevto è ugule sé stesso ) 0 ( u umero elevto 0 è ugule, co l sol eccezioe 00 idetermit ) vegoo scelte i questo modo perché soo le uiche che coseto ll proprietà sottrttiv degli espoeti di cotiure vlere (poi, co tli def., si dimostr che cotiuo d essere vlide tutte le vecchie proprietà). Avremmo che potuto itrodurre i uovi espoeti rgiodo sull opportuità che essi risultssero comptiili co l dditiv degli espoeti: isomm, se desidero che si i, d es., +, è evidete che dovrò ccettre l def. e se desidero che risulti è ovvio che dovrò dottre l defiizioe 0. Le defiizioi degli espoeti egtivi: soo motivte, sostzilmete, dll esigez che si ested che questi l vlidità delle vecchie proprietà, + così che (tto per fre u esempio), se desiderimo che risulti ver l ugugliz 0, simo ecessrimete codotti porre, per defiizioe,. Dto che l ppetito vie mgido, ci possimo chiedere se posso vere u seso (e u utilità) che gli espoeti frziori. Ad esempio, che defiizioe srà logico stilire per u scrittur come? Beh, voledo ttriuire quest scrittur u sigificto comptiile co le proprietà già dimostrte vlide i u mito di espoeti iteri, dovrà, i prticolre, risultre per cui l scrittur i esme dovrà idicre quel umero il cui cuo è m questo umero è l rdice cuic di! def. Duque si porrà, per defiizioe, e, i geerle,. Poi, sempre ell ottic di dottre defiizioi tli che o si perd l vlidità di essu delle vecchie proprietà, si poe m def. m NOTA : il deomitore divet l'idice, il umertore l'espoete! e ifie m def. m m Duque, per fre qulche esempio specifico, NOTA : prim di tutto, l egtività dell ' espoete trsferisce l potez dll ' ltr prte dell lie di frzioe co espoete che viee reso positivo, poi si pplic l defiizioe precedete 8, y y, z, 8 8, oche z RICAPITOLIAMO le defiizioi dte: def. m def. m m def. m m I defiitiv le POTENZE AD ESPONENTE FRAZIONARIO o soo ltro che u modo ltertivo di rppresetre i RADICALI!

34 Co gli espoeti frziori, qulche prolemtic isorge qulor l se dell potez si <0. Ad esempio, per l scrittur ( 8) / si potreero scrivere etrme le ctee 8 8 ; ( 8) ( 8) ( 8) + Per questo motivo, i geerle gli espoeti frziori m/ vegoo utilizzti solo co m ed primi fr loro. Qulche testo, e qulche softwre, sceglie ivece di impiegrli esclusivmete qudo l se è positiv ( 0 se l espoete frziorio è positivo, > 0 se l espoete è egtivo). LA CONSERVAZIONE DELLE PROPRIETA Per le poteze espoete frziorio sopr itrodotte, si può dimostrre che coservo l loro vlidità proprio tutte le proprietà che si er ituti d pplicre co espoete itero, essu esclus. Tli dimostrzioi si effettuo utilizzdo le già dimostrte proprietà dei rdicli. Verifichimo, tto per fre u esempio, che cotiu vlere l dditiv degli espoeti (ccotetdoci di cosiderre il cso i cui questi o sio egtivi): m p mq + p mq p m p m q p q mq q p q mq p q + + q mq+ p q q q q Compredimo questo puto che u espressioe coi rdicli potree che essere trsformt i espressioe co espoeti frziori, svolt utilizzdo le proprietà delle poteze, e mgri coclus ritordo i rdicli. U esempio: Prov rifre l espressioe pplicdo le proprietà dei rdicli: uscirà il medesimo risultto! 8 Dài, u ltro! : : : : LE POTENZE AD ESPONENTE FRAZIONARIO E IL COMPUTER Di solito i u softwre scietifico l elevmeto potez si idic co l cceto circoflesso ^ m ATTENZIONE! Occorre che sper utilizzre i modo opportuo le PARENTESI! Ad esempio, se lvordo co u softwre mtemtico o co u foglio elettroico io digito ^/, o otterrò, esì /! Per otteere devo digitre iftti ^( /), i quto se scrivo ^/ il softwre eleverà ll espoete, poi dividerà per. E per otteere + si digit ( ^+ ) ^( /), o che sqrt( ^ + ) [ sqrt SQure RooT] ESERCIZI Vi lle risoluzioi ) Determi il vlore delle segueti espressioi umeriche: ) ) ) ) 9) ) 7 8 ) + 7) 7 8) 8 0) ) Esegui le segueti espressioi co rdicli trsformdo i poteze co espoete frziorio: ) ) 8 ) ( )( ) + ) y 9y y ) ) 7) + 0 8) ( t+ ) ( t+ ) RISULTATI ) 7 ) 0 ) ) ) ) / / 7) 8) 9) / 0) / 9 ) ) 8 ) ) ) ) y 7) 8) t+ t+