Matematica II. Risolvere o integrare una e.d. significa trovarne tutte le soluzione, che costituiscono il cosidetto integrale generale.

Transcript

1 Definizione Si dice equazione differenziale di ordine n nella funzione incognita y = y (x) una relazione fra y, le sue derivate y,..., y (n), e la variabila indipendente x Risolvere o integrare una e.d. significa trovarne tutte le soluzione, che costituiscono il cosidetto integrale generale. Esempio y + y = 0 e una e.d. di ordine 2. La funzione y(x) = cos x è una soluzione in quanto sostituendo si trova y + y = cos x + cos x = 0 invece la f ne y (x) = x 3 non è soluzione in quanto si trova y + y = 6 x + x 3 0 Definizione Una e.d. di ordine n si dice lineare se è lineare nel complesso di y, y,..., y (n), ovvero se si presenta cosi: y ( ) + a n-1 (x) y (n-1) a o (x) y = b (x) dove i coefficienti a i (x) e il termine note b (x) sono funzioni note di x. Se b (x) = 0, l equazione si dice omogenea, altrimenti si dice non omogenea. Esempio 1) y 4 xy = sin x è lineare non omogenea 2) y 7yy = 12 x non è lineare 3) y 4 xy = 0 è lineare omogenea Equazioni differenziali lineari del primo ordine E.d. lineare del primo ordine nella funzione incognita y(x) si presenta come segue: y + a(x) y = b (x) (*) dove a (x) e b (x) sono due funzioni note di x. Distinguiamo due casi Caso 1. L equazione (*) è omogenea, cioè b (x) = 0. Politecnico di Torino Pagina 1 di 7

2 Posto A (x) è una qualunque f ne primitiva di a (x) (tale cioè che a (x) = da ( x ) ), si ha dx dy da( x) + y = 0 dx dx dy da( x) = y dx dx dx y dy = da( x) y ny = A (x) + lnk y ln = A(x) k y k = e A(x) y = k e A(x) dove k è una costante arbitraria, cioè può assumere qualsiasi valore reale. Esempio1. y 2xy = 0 a(x) = 2x A(x) = ( 2xdx ) = x L integrale generale è pertanto y (x) = k e x2, k costante arbitraria 2 Caso 2 L equazione (*) non è omogenea, cioè b(x) 0 Posto H(x) una primitiva di b(x) e A(x), si dimostra che l integrale generale è y(x) = (H(x) + k) e A(x) dove A(x) è, come nel caso 1, una primitiva di a(x), e k è una costante arbitraria. Esempio 2. Si consideri l equazione differenziale y 2xy = 2x Si ha A(x) = ( 2 x) dx = x2 Inoltre b(x) = 2x, e quindi 2 2 A( x) x x H(x) = bxe ( ) dx= 2xe dx= e + k L integrale dell equazione è quindi Politecnico di Torino Pagina 2 di 7

3 x 2 x 2 x 2 y(x) = ( e + k) e = 1 + ke dove k è una costante arbitraria. Esempio 3. Si risolva l equazione differenciale y 5y = 26 cos x Soluzione L equazione è lineare non omogenia del primo ordine L integrale generale è quindi. y (x) = (H (x) + k) e A(x) dove A (x) è una primitiva di a (x) = 5 H (x) una primitiva di b (x) e A(x) b (x) = 26 cos x A (x) = ( 5) dx = 5x H (x) = 26 cos x e 5x dx = e 5x (sin x 5 cos x) Pertanto y(x) = (e 5x (sin x 5 cos x) + k) e 5x y(x) = sin x 5 cos c + k e 5x k constante arbitraria. Equazioni diferenziali lineari del secondo ordine Esse si presentano come segue: y + 2a(x) y + b (x) y = c (x) dove a (x), b (x), c (x) sono funzioni note di x. Noi ci limiteremo a considerare il caso in cui le funzioni a(x) e b(x) sono costanti. Caso 1. L equazione è omogenea, cioè c (x) = 0 Per trovare l integrale generale consideriamo l equazione algebrica associata z a z + b = 0 (*) e poniamo = a 2 b Politecnico di Torino Pagina 3 di 7

4 Si dimostra che: (i) Se > 0 l integrale generale è zx y (x) = h e 1 + k e zx 2 h, k costante arbitrarie z 1, z 2 le due radici reali e distinte dell equazione (*) (ii) Se = 0 l integrale generale è y(x) = (h + kx) e zx 1 h, k costante arbitrarie z 1 la radice reale doppia dell equazione (*) (iii) Se < 0, posto ω = radice quadrata positiva di, l integrale generale è y(x) = e ax (h sin ωx + k cosωx) dove, h e k sono duo costanti arbitrarie. a = R e {z 1, z 2 } Esercizio Trovare l integrale generale delle seguenti e.d. a) y 6y + 8y = 0 z 2 6z + 8 = 0 z 1 = 2, z 2 = 4 y(x) = he 2x + ke 4x, h e k sono costanti arbitrarie. b) y 6y + 9y = 0, L equazione algebrica da risolvere z 2 6z + 9 = 0, Essa ha la soluzione z 1 = 3 la soluzione doppia L integrale generale è allora y (x) = (h + k x) e 3x, con h e k costanti arbitrarie c) L equazione differenziale y 6 y + 10 y = 0 L equazione algebrica da risolvere è z z + 10 = 0 z 1,2 = ± 4 = 3± i 2 Essa ha = = 1 < 0 Politecnico di Torino Pagina 4 di 7

5 La radice quadrata positiva di = 1 è ω = 1; a = R e {z 1,2 } = 3 e quindi, l equazione differenziale ha l intregrale generale y(x) = e 3x (h sinx + k cosx), h, k costanti arbitraie Caso 2 L equazione è non omogenea, cioè c (x) 0 In questo caso si dimostra che l integrale generale è y = y 1 + y o, dove y 1 l integrale generale dell equazione omogenea associata y o un integrale particolare dell equazione non omogenea. In pratica si sa trovare un integrale particolare y o solo in alcuni casi: Ad esempio si sa come operare quando si abbia c (x) = e αx P n (x), dove α una costante; P n (x) = b o x n b n, polinomo di grado n. Si considera in primo luogo l equazione algebrica z a z + b = 0 (*) e si vede se il numero α siddisfa o no la (*). Si può provare che: (i) Se α non è radice di (*), vi è un integrale particolare del tipo y o = e αx Q n (x) (ii) Se α è radice di (*), vi è un in integrale particolare del tipo y o = x e αx Q n (x) (iii) Se α è radoce doppio di (*), vi è un integrale particolare del tipo y o = x 2 e αx Q n (x) Q n (x) = q o x n q n è un polinomo incognito di grado n, dove n è il grado di P n (x) La ricerca pratica del polinomo Q n (x) si effettua nel modo indicato nell esempio seguento: Esempio 1. Troviamo l integrale generale dell equazione differenziale lineare non omogenea: y 6 y + 9 y = e 3x 5 x L equazione algebrica di secondo grado da risolvere è z 2 6 z + 9 = 0 z 1 = 3 Politecnico di Torino Pagina 5 di 7

6 la soluzione doppia e quindi l equazione differenziale omogenea ha l integrale y (x) = (h + k x) e 3x, h e k costanti arbitrarie tipo Poiché 3 è radice doppia dell equazione algebrica vi è un integrale particolare dell y o = x 2 e 3x Q 1 (x) = x 2 e 3x (c x + d) = e 3x (c x 3 + d x 2 ) Poiché si ha: y o = e 3x [3c x 3 (3c + 3d) x dx] y o = e 3x [9c x 3 + (18c + 9d) x 2 + (6c + 14d) x + 2d] Sostituendo nell equazione differenziale si ottiene: e 3x [(9c x 3 + (18c + 9d) x 2 + (6c + 14d) x + 2d] 6 e 3x [3c x 3 + (3c + 3d) x 2 + 2dx] e 3x (c x 3 + d x 2 ) = e 3x 5x Se ne deduce: 0c = 0 0c + 0d = 0 6c + 2d = 5 2d = 0 Quindi d = 0 c = 5 6. Si ha pertanto l integrale y o = 5 6 x3 e 3x. L integrale generale è y = 5 6 x3 e 3x + (h + k x) e 3x. Esempio 3. Si trovi l integrale generale dell equazione differenziale Soluzione y 10 y + 24 y = 24 x x + 20 y 10 y + 24 y = 0 Politecnico di Torino Pagina 6 di 7

7 Dalla corrispondente equazione algebrica z 2 10 z + 24 = 0 avente radici: z 1 = 4, z 2 = 6 risulta che l integrale generale dell equazione omogenea associata è y (x) = h e 4x + k e 6x, h e k costanti arbitrarie Il termine noto è b (x) = 24 x x + 20 = e o (24 x x + 20) Poiché 0 non è radice dell equazione z 2 10 z + 24 = 0 Si può trovare una soluzione particolare del tipo y = a x 2 + bx + c Sostituendo nell equazione differenziale, si ottiene: 2a 10 (2 ax + b) + 24 (ax 2 + bx + c) = 24x x ax 2 + ( 20 a + 24 b) x + 2a 10 b + 24 c = x x + 20 e quindi il sistema in a, b, c: 24a = 24 2a+ 24b = 52 2a 10b+ 24c = 20 cioè la soluzione particolare y o = x 2 + 3x + 2 e l integrale generale è y = he 4x + ke 6x + x 2 + 3x + 2 a = 1 b = 3 c = 2 Politecnico di Torino Pagina 7 di 7