Funzioni - Parte I. 1 Denizione di Funzione. Antonio Lazzarini. Prerequisiti : Relazioni. Equazioni di Primo Grado.

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1 Funzioni - Parte I Antonio Lazzarini Prerequisiti : Relazioni. Equazioni di Primo Grado. Denizione di Funzione Siano A e B due insiemi qualsiasi. Denizione (Funzione). Una relazione denita in A X B si dice unzione da A in B se per ogni x A esiste ed é unico un elemento y B tale che la coppia (x, y). L'insieme A si dice dominio della unzione, l'insieme B codominio della unzione. Se la coppia (x, y) si scrive usualmente y = (x) ed y si dice immagine di x tramite e x si dice controimmagine di y. Per indicare che é una unziona da A a B si scrive : A B Esempio. A = {, 2,, 4, } B = {7, 8, 9, 0,,, 4,, 6} = {(, 7), (2, 8), (, 9), (4, 0), (, )}. é una unzione. Osserviamo per prima cosa che é ettivamente una relazione (é un sottinsieme di A X B). Inoltre se scegliamo un qualsiasi elemento x di A osserviamo che esiste ed é unico l'elemento y di B tale che (x, y). In questo caso possiamo scrivere 7 = () 8 = (2) e cosí via. Osserviamo anche che é importante che ogni elemento di A abbia un'immagine; non é invece importante utilizzare tutti gli elementi di B. g = {(, 7), (2, 8), (, 9), (4, 0), (, ), (, 4)}. g é una relazione, ma non é una unzione da A in B perché esiste un elemento di A (il numero ) che ha due immagini (7 e 4). h = {(, 7), (2, 8), (, 9), (4, 0)}.h é una relazione, ma non é una unzione da A in B perché esiste un elemento di A (il numero ) che non ha immagine. Denizione 2. Siano A e B due insiemi qualsiasi e sia : A B una unzione da A in B. L'insieme (A) = {(x) x A} si dice immagine di A tramite.

2 In sostanza l'immagine di A tramite é il sottoinsieme di B che contiene le immagini degli elementi di A. Esempio 2. Consideriamo la unzione : N N cosí denita: x 2x, cioé associa ad ogni numero naturale il suo doppio. É chiaro che l'immagine di N tramite é l'insieme dei numeri pari. 2 Funzioni Iniettive. Funzioni Suriettive. Biiezioni Siano A e B due insiemi qualsiasi. Denizione (Funzione Iniettiva). Sia : A B una unzione da A in B. Diremo che é iniettiva se manda elementi distinti di A in elementi distinti di B. Detto altrimenti: diremo che é iniettiva se ogni volta che accade che (x) = (y) allora si riesce a dimostrare che x = y. In altre parole: una unzione iniettiva usa non piú di una volta gli elementi del codominio (cioé li usa o 0 volte oppure sola volta). Esempio. : {2,, 4, } {, 2,, 4} cosí denita: Questa unzione non é iniettiva perché ci sono due elementi distinti (2 e ) che hanno la stessa immagine (). : Q Q tale che x x 2. Dimostriamo che é iniettiva. Per arlo dobbiamo ar vedere che quando (x) = (y) allora x = y, ció equivale a mostrare che se l'immagine di due elementi del dominio coincide i due elementi del dominio coincidono; detto altrimenti: non ci sono elementi diversi del dominio con la stessa immagine. Partiamo allora assumendo che (x) = (y). Dunque x 2 = y 2 da cui (aggiungendo 2 ad entrambi i memebri) x = y e quindi (dividendo per ) x = y. Se una unzione é assegnata tramite una rappresentazione graca per stabilire se é iniettiva dobbiamo controllare gli elementi del codominio: se ad ogni elemento arriva al massimo una reccia la unzione é iniettiva se esiste anche un solo elemento a cui arrivaron due recce la unzione non é iniettiva (perché ci sono due elementi distinti del dominio con la stessa immagine). 2

3 Esempio 4. (Le seguenti immagini sono tratte da G.Prodi, N. Tani Introduzione all'algebra - Ghisetti e Corvi) La seguente unzione non é iniettiva: Figura : Funzione Non Iniettiva perché all'elemento m arrivano due recce (ci sono due elementi distinti del dominio con la stessa immagine) Questa unzione é iniettiva: Figura 2: Funzione Iniettiva perché ad ogni elemento del codominio arriva al massimo una reccia (ripeto: non é importante utilizzare tutti gli elementi del codomonio. Nel caso delle unzioni iniettive é importante che nessuno di loro sia usato due o piú volte.)

4 Denizione 4 (Funzione Suriettiva). Sia : A B una unzione da A in B. Diremo che é suriettiva se ogni elemento di B é il corrispondente di un qualche elemento di A. In altre parole: una unzione é suriettiva se ogni elemento del codominio é utilittazo una o piú volte dalla unzione. Esempio. : {2,, 4, } {,, 4} cosí denita: Questa unzione é suriettiva perché ogni elemento del codiminio ha almeno una controimmagine. : {2,, 4, } {, 2,, 4} cosí denita: Questa unzione non é surittiva perché esiste un elemento del codominio (il 4) che non ha controimmagini. Se la unzione é rappresentata gracamente per stabilire se é suriettiva basta controllare che ad ogni elemento del codominio arrivi almeno una reccia (cioé si deve are attenzione che nessun elemento del codominio resti senza recce; é importante che ad ogni elemento arrivi una o piú recce). Denizione (Funzione Biiettiva). Sia : A B una unzione da A in B. Diremo che é biiettiva se é contemporaneamente iniettiva e suriettiva. In altre parole una unzione é biiettiva se ogni elemento del codomnio ammette una ed una sola controimmagine, cioé la controimmagine deve esistere e deve essere unica. Esempio 6. : Q Q tale che x x 2. Abbiamo giá dimostrato che é iniettiva. Dimostriamo che é suriettiva. Scegliamo un qualsiasi elemento del codominio, y. Dobbiamo dimostrare che esiste x nel dominio tale che y = (x) cioé y = x 2. Osserviamo che y é noto (lo abbiamo scelto), mentre x no. Risolvendo la semplice equazione si ha x = y+2. Quindi abbiamo dimostrato che scelto y a caso esiste x Q (che in questo caso é y+2 ) tale che y = (x). La unzione é suriettiva. Poiché é anche iniettiva é una biiezione. 4

5 Se la unzione é rappresentata gracamente per stabilire se é biiettiva basta controllare che ad ogni elemento del codominio arrivi una ed una sola reccia (cioé si deve are attenzione che nessun elemento del codominio resti senza recce e contemporaneamente che a nessun elemento arrivi piú di una reccia). Osservazione. É molto importante acquisire una certa dimestichezza nel riconoscere le proprietá delle unzioni (e nello stabilire se una relazione é una unzione!). Al termine di questa prima dispensa sulle unzioni propongo una serie di esercizi per raorzare queste capacitá. La prossima dispensa introdurrá ulteriori concetti sulle unzioni: la unzione inversa e la unzione composta. Esercizio. Dopo aver stabilito se le seguenti relazioni sono unzioni stabilire se sono iniettive, suriettive, biiettive: : N N x : R R x : R R x : R R x x x 2 x x+2