Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2

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1 0 Marzo 00 Verifica di matematica roblema Si consideri l equazione ln( + ) 0. a) Si dimostri che ammette due soluzioni reali. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (; ) è assegnata la curva Γ di equazione: ln( + ) b) si studi e se ne tracci il grafico; c) si determini l equazione della curva Γ simmetrica di Γ rispetto alla retta (); d) si discuta, al variare del parametro reale k, l equazione: + k ln( + ) Quesiti ) Dai la definizione di primitiva di una funzione e determina fra tutte le primitive della funzione f ( ) 9 quella che si annulla per. ) Calcola il seguente integrale indefinito: cos d ) Da un cartone quadrato di lato a, si vuole ricavare una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo (senza il coperchio), ritagliando agli angoli quattro quadrati uguali e piegando i quattro rettangoli sporgenti. Determina il lato dei quadrati da ritagliare affinché la scatola risulti di volume massimo. ) Determina i parametri a e b in modo che la funzione punto di coordinate ; f ( ) abbia il massimo nel + a + b 5) Una particella si muove in un piano e le sue coordinate in funzione del tempo sono: cost sin t + Determina l equazione cartesiana della traiettorie e rappresentala in un sistema di riferimento. Verifica 0 Marzo 0 5G

2 Soluzioni verifica del 0 Marzo 00 roblema Si consideri l equazione ln( + ) 0. a) Si dimostri che ammette due soluzioni reali. L equazione può essere risolta graficamente: ponendo ln( + ), si tratta di vedere quante intersezioni ci sono tra la curva (parabola con vertice nell origine) e la funzione ln( + ) il cui grafico si ottiene dal grafico del logaritmo, dilatato verticalmente di e spostato a sinistra di (o equivalentemente si sposta a destra l asse verticale di ) Dal grafico si vede che ci sono due intersezioni, una delle quali corrisponde alla soluzione 0, l altra ad α con α Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (; ) è assegnata la curva Γ di equazione: ln( + ) b) si studi e se ne tracci il grafico; dominio: C.E. + > 0 D ( ; + ) Studio del segno e intersezioni f ( 0) 0 f ( ) 0 ln( + ) cioè, guardando il confronto grafico precedente bisogna stabilire per quali valori di la parabola è sopra alla funzione logaritmica, quindi per < 0 α Limiti agli estremi del dominio: ( ln( + )) + asintoto verticale lim + lim( + + ln( + )) + F. I.,per confronto tra infiniti lim )) lim ( ln( ln( + ) poiché lim + + lim non c è l asintoto obliquo. + Derivata prima + ' D ' D ' > 0 > punto di minimo f ( ) ln, 8 minimo Derivata seconda Verifica 0 Marzo 0 5G

3 '' + ( + ) ( + ) '' 0 ( + ) ( + ) > 0 D D c) si determini l equazione della curva Γ simmetrica di Γ rispetto alla retta (); oiché ( ) ln, 8 si tratta di trovare l equazione della funzione simmetrica rispetto alla retta ln La funzione da trovare si ottiene facendo la simmetrica di Γ rispetto all asse delle ascisse e traslando verso il basso di (ln ), quindi si ottiene: + ln( + ) + 8ln In generale, data una funzione f (), l equazione della simmetrica rispetto alla generica retta orizzontale k è data da f ( ) + k, infatti, i due punti e che si corrispondono nella simmetria hanno la seguente ' ' caratteristica: + ' k ' + k k In generale, data una funzione f (), l equazione della simmetrica rispetto alla generica retta verticale k è data da f ( + k), infatti, i due punti e che si corrispondono nella simmetria hanno la seguente k Verifica 0 Marzo 0 5G

4 caratteristica: ' + ' k ' ' + k d) si discuta, al variare del parametro reale k, l equazione: + k ln( + ) Discutere un equazione significa specificare quante soluzioni ci sono al variare del parametro. La discussione può essere fatta graficamente, sfruttando il grafico Γ. L equazione è infatti equivalente a: ln( + ) k, si possono confrontare le curve: ln( + ) e k (fascio di rette orizzontali) Dal grafico si deduce che se k < ln k > ln nessuna soluzione se k ln soluzioni coincidenti se k < ln soluzioni distinte 5 6 Quesito n. Dai la definizione di primitiva di una funzione e determina fra tutte le primitive della funzione f ( ) 9 quella che si annulla per. Data una funzione f (), la funzione F() è primitiva se F '( ) f ( ) La famiglia di funzioni di una funzione data è per definizione l integrale indefinito. ( 9 ) d (9 ) F C ( ) 9 d + C (9 ) + C 8 La particolare primitiva richiesta si annulla in, cioè F ( C ) 0; questo permette di determinare il valore della costante d integrazione C: (9 ) + C C 0 C 6 8 La funzione richiesta è dunque: (9 ) Quesito n. Calcola il seguente integrale indefinito: cos d cos cos d, ricordando l identità goniometrica fondamentale: ( sin ) cos d per la linearità dell integrale: (sin ) cos d (sin ) cos d sin / + C sin sin + C / Verifica 0 Marzo 0 5G

5 Quesito n. Da un cartone quadrato di lato a, si vuole ricavare una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo (senza il coperchio), ritagliando agli angoli quattro quadrati uguali e piegando i quattro rettangoli sporgenti. Determina il lato dei quadrati da ritagliare affinché la scatola risulti di volume massimo. osto lato dei quadrati asportati con 0 < < a si ottiene una scatola che ha come base un quadrato di lato (a-) e con altezza. Il suo volume sarà dato da: f ( ) ( a ) a 8a + 8. er determinare il massimo, basta studiare il segno della derivata prima all interno delle limitazioni: f '( ) 6a + a a- a 6a + a 0 a 0 a/ a a punto di massimo Quesito n. Determina i parametri a e b in modo che la funzione f ( ) abbia il massimo nel + a + b punto di coordinate ; er il teorema di Fermat, i punti di massimo interni ad intervalli di derivabilità sono punti stazionari, quindi le condizioni sono: f f ' 0 + a Dopo aver calcolato f '( ) ( + a + b) a 9 + a + b a b b + a 0 La funzione f ( ) presenta in effetti in un punto di + massimo, poiché f '( ) 0 / Verifica 0 Marzo 0 5G 5

6 Quesito n. 5 Una particella si muove in un piano e le sue coordinate in funzione del tempo sono: cost sin t + Determina l equazione cartesiana della traiettorie e rappresentala in un sistema di riferimento. + cost Esplicitando seno e coseno si ottiene: sin t + dall identità goniometrica fondamentale: + ( ) cioè ( + ) + ( ) si ricava l equazione di un ellisse con centro in (-;) e semiasse orizzontale a e verticale b Verifica 0 Marzo 0 5G 6

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