Lezione 10. Prestazioni statiche dei sistemi di controllo

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1 zion Prtazioni tatich di itmi di controllo

2 Error a tranitorio aurito prtazioni tatich di un itma di controllo fanno rifrimnto al uo comportamnto a tranitorio aurito oia alla ituazion in cui il itma dopo un tranitorio dovuto alla variazion di uoi inri i è portato in una condizion di rim In particolar armo intrati in quta condizion all rror tra il nal di rifrimnto la variabil controllata Prrquiito dl itma di controllo ncario pr potr parlar di prtazioni tatich è vidntmnt l aintotica tabilità dl itma in anllo chiuo Prndrmo in conidrazion il unt itma di controllo uppoto aintoticamnt tabil: d y y n Fi : Sitma di controllo Si orvi ch con una rilaborazion formal dllo chma a blocchi è poibil mttr dirttamnt in vidnza l rror tra y y: n d y y Fi : Sitma di controllo con in vidnza l rror Pr lo tudio dll prtazioni tatich è ufficint rifriri ad un inim di nali di inro ritrtto ai coiddtti nali canonici com lo calino la rampa la parabola cc Infatti ai fini dlla valutazion dll rror a rim ono dl tutto irrilvanti l vntuali variazioni tranitori ubit dal nal di inro dl qual rivt intr olo il comportamnto aintotico (t ) P Rocco - Dipn di utomatica z -

3 t (c) t (c) Fi 3 : Equivalnza tra nrici nali nali canonici ai fini dlla valutazion dll prtazioni tatich Endo il itma di controllo linar potrmo valutar paratamnt l fftto ull rror dovuto al nal di rifrimnto d ai diturbi (principio di ovrappoizion dli fftti) P Rocco - Dipn di utomatica z -

4 P Rocco - Dipn di utomatica z - 3 Error dovuto al nal di rifrimnto a funzion di trafrimnto dal rifrimnto y all rror è la unt: E Y Scriviamo la funzion di trafrimnto d anllo nlla unt forma: ( ) ( ) ( ) T i i k k τ calcoliamo il valor it dll rror utilizzando il torma dl valor final (applicabil ndo il itma aintoticamnt tabil): [ ] ( ) ( ) t E Y T Y Y Y t i i k k τ S y (t) ca(t) riulta: < S y (t) ram(t) riulta: S y (t) par(t) riulta: 3 3 Prtanto pr valori nativi dl tipo dlla funzion di trafrimnto d anllo l rror è mpr infinito o tutt al più nl cao dll inro a calino pari all ampizza ta dllo calino in inro: i tratta di ituazioni di nun intr pratico Pr valori dl tipo

5 maiori o uuali a zro i può compilar la unt tablla: ca(t) ram(t) par(t) Si orvi ch quando l rror aum un valor finito non nullo o è tanto più piccolo quanto maior è il valor dl uadano d anllo Empio Sia: ( ) Il itma in anllo chiuo è aintoticamnt tabil com i ricava immdiatamnt dall analii dl polinomio carattritico in anllo chiuo Poiché il tipo di val i ha rror a tranitorio aurito nullo con rifrimnto a calino infinito con rifrimnto a parabola mntr con inro a rampa l rror a rim è pari all ampizza dlla rampa divio P Rocco - Dipn di utomatica z - 4

6 Error dovuto al diturbo in lina di andata Dallo chma di Fi i ottin la funzion di trafrimnto dal diturbo d all rror : E ( ) D ( ) ( ) part il no i tratta dlla ta funzion di trafrimnto prnt tra il rifrimnto l rror Prtanto tutti i riultati dlla dicuion prcdnt poono ancora r utilizzati pur di tnr conto dl cambiamnto di no Si poono tuttavia prntar di cai in cui il diturbo non ntra nllo chma a blocchi dl itma di controllo com raffiurato in Fi oia dirttamnt in ucita alla funzion di trafrimnto dl proco Pr potr utilizzar ancora la tablla dll prtazioni tatich occorr allora riportar il diturbo in ucita conidrando uno chma analoo a qullo di Fi in cui il diturbo in ucita è tal da dar li ti fftti a tranitorio aurito dl diturbo ffttivo Si conidrino i unti du cai: a) Il diturbo ntra nl itma di controllo paando attravro un itma di funzion di trafrimnto H: d H y y dh y y Fi 4 : Sitma di controllo con diturbo filtrato Dtti H H uadano tipo di H il diturbo riportato in ucita d H quivalnt ali fftti tatici al diturbo ffttivo d avrà traformata: H DH ( ) D ( ) H Si orvi infatti ch li vntuali poli o zri di H non nll oriin non hanno alcun fftto ul comportamnto a rim ( ) b) Il diturbo ntra nl itma di controllo a mont dl proco oia dl itma di funzion di trafrimnto G (diturbo di carico): P Rocco - Dipn di utomatica z - 5

7 d y y R G dg y y Fi 5 : Sitma di controllo con diturbo di carico Dtti G G uadano tipo di G il diturbo riportato in ucita d G quivalnt ali fftti tatici al diturbo ffttivo d avrà traformata: D G G ( ) D ( ) G Empio Con rifrimnto alla Fi 4 ia: 6 3 R ( ) 5 G ( ) dt 3ca t 4 a funzion di trafrimnto d anllo riulta: 3 3 ( ) 4 Il polinomio carattritico è: χ( ) ( ) ( ) d ha l du radici a part ral nativa il ch comporta ch il itma in anllo chiuo è aintoticamnt tabil Il diturbo d G riportato in ucita ha traformata: 6 D ( ) ( ) D G Prtanto: dg t 8ram t Poiché il tipo dlla funzion di trafrimnto d anllo val d il uadano 3 dalla tablla i ottin: P Rocco - Dipn di utomatica z - 6

8 Error dovuto al diturbo in lina di rtroazion Dallo chma di Fi i ottin la funzion di trafrimnto dal diturbo n all rror : E N F Calcoliamo il valor it dll rror utilizzando il torma dl valor final: t [ E ] N t S n(t) ca(t) riulta: S n(t) ram(t) riulta: S n (t) par(t) riulta: N N 3 Si può compilar la unt tablla: ca(t) ram(t) par(t) Quindi l rror i mantin finito olo pr diturbo a calino dov prò è pari all ampizza dl diturbo to pr tipo maior o uual a n cota olo lrmnt pr tipo uual a zro (i ricorda ch dv r un numro lvato pr arantir rror piccolo ul rifrimnto ul diturbo in lina di andata) E allora vidnt ch in prnza di un traduttor con rror tatico il itma di controllo non può arantir a rim una prciion milior di qulla dl traduttor P Rocco - Dipn di utomatica z - 7

9 Ercizi Ercizio c o Con rifrimnto al itma rtroazionato di fiura i valuti l rror a tranitorio aurito quando: ( ) ( ) c o (t) ca(t) Ercizio Con rifrimnto al itma rtroazionato di fiura i valuti l rror a tranitorio aurito quando: ( ) : a) c o (t) ca(t) b) c o (t) ram(t) c) c o (t) ca(t) par(t) Ercizio 3 Si valuti l rror a tranitorio aurito nl unt chma di controllo: y o R d G y in cui: 5 G ( ) R ( ) y o (t) ram(t) d(t) ca(t) P Rocco - Dipn di utomatica z - 8

10 Ercizio 4 Con rifrimnto al unt chma di controllo: d c H y o R G y in cui: G ( ) H ( ) R ( ) ( ) i dtrmini il paramtro c in modo tal ch l rror a tranitorio aurito prodotto da un diturbo: d(t) ca(t) ia nullo Ercizio 5 Sapndo ch la ripota allo calino di un itma di controllo aum l andamnto riportato di uito: 8 c t individuar l prion corrtta dlla funzion di trafrimnto d anllo tra qull riportat di uito: ( ) ( ) 3 ( )( ) 4 P Rocco - Dipn di utomatica z - 9

11 Traccia dll oluzioni Ercizio Poiché il itma in anllo chiuo non è aintoticamnt tabil com i ricava facilmnt dal critrio di Bod non ha no parlar di rror a tranitorio aurito (l rror divr) Ercizio Il itma in anllo chiuo è aintoticamnt tabil (dal critrio di Bod) a funzion di trafrimnto d anllo ha tipo uadano Dall tabll i ricava: a) b) c) (prval il contributo dlla parabola) Ercizio 3 a funzion di trafrimnto d anllo val: RG ( ) d ha tipo uadano Il itma in anllo chiuo è aintoticamnt tabil (dal critrio di Bod) Il diturbo d i può riportar in ucita ali fftti tatici quival al nal: dg t 5ram t Dall tabll i ricava: Contributo d rror dovuto a y o : y o 5 Contributo d rror dovuto a d G : d 5 rror complivo a tranitorio aurito val quindi: 49 Ercizio 4 Il itma di funzion di trafrimnto H è aintoticamnt tabil a funzion di trafrimnto d anllo val: RG pr cui il itma in anllo chiuo è aintoticamnt tabil (dal critrio di Bod) a funzion di trafrimnto dal diturbo d all rror val: E D H cg P Rocco - Dipn di utomatica z -

12 Dal torma dl valor final i dduc ch pr rndr nullo l rror a tranitorio aurito dv r oddifatta la condizion: H cg da cui: H c G Ercizio 5 I diarammi di Bod dl modulo dll 4 funzioni di trafrimnto ono riportati in fiura: 5 5 db -5 db w (rad/) -5 w (rad/) db -5 db - - w (rad/) -4 w (rad/) In tutti i cai il itma in anllo chiuo è aintoticamnt tabil a ripota allo calino dl itma in anllo chiuo vidnzia una dinamica con cotant di tmpo pari a a pulazion critica dovrà quindi r pari a rad/ il ch clud la la 4 Poiché la ripota vidnzia anch rror a tranitorio aurito nullo la funzion di trafrimnto d anllo dv prntar un intrator il ch clud anch la 3 a funzion di trafrimnto corrtta è quindi la P Rocco - Dipn di utomatica z -