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1 Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 4 Marzo 0 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Su u collettvo d dvdu soo stat rlevat caratter X Peso( kg) e Altezza ( cm) otteamo la seguete dstrbuzoe d frequeza coguta: X Tot Tot 3 5 a) Rcostrure la successoe dell altezza b) Calcolare la meda e la medaa dell altezza c) Calcolare l peso medo per gl dvdu che hao u altezza d 65 cm d) Calcolare l coeffcete d correlazoe leare tra peso e altezza SOLUZIONI a) 65; 65; 65; 70; 75 b) Essedo N5 la medaa è la modaltà che occupa l terzo posto ella successoe ordata: Me65 MEDIA DI (ALTEZZA): 5 ( 65 3) c) Il peso medo degl dvdu co altezza par a 65 cm è j / ,6 d) Il coeffcete d correlazoe leare, a dffereza della covaraza, o dpede dall utà d msura delle osservazo e permette d cofrotare dverse dstrbuzo doppe. ρ ( ) cov,

2 - ρ X - ρ X Tra la e la X sussste u perfetto legame leare e due caratter soo cocord - ρ X - Tra la e la X sussste u perfetto legame leare e due caratter soo dscord - ρ X 0 I due caratter soo dpedet, oppure se la loro relazoe o è leare MEDIA DI X: VARIANZA D X 5 70 k ( ) ( 60 70) + ( 70 70) + ( 80 70) SCARTO QUADRATICO MEDIO DI X , 94 MEDIA DI 68 VARIANZA D k ( ) J J J ( 65 68) 3+ ( 70 68) + ( 75 68) SCARTO QUADRATICO MEDIO DI X 6 4 COVARIANZA (X;): cov (, ) I alteratva la covaraza tra e s può calcolare come segue: X jj j

3 cov (, ) COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE cov, 0 ρ 8, , 5 6

4 ESERCIZIO La seguete tabella rporta dat del prezzo (mglaa d euro) e poteza (kw) d 0 auto moovolume a beza. X: poteza : prezzo 3,6 4, 7, 8,0 5,9 3,9 7 5,8 7,3 5, a) Stmare la retta d regressoe che poe la l prezzo () fuzoe della poteza (X). b) Valutare la botà d adattameto del modello a dat osservat. c) Dsegare l grafco d dspersoe e traccare la retta stmata. d) A quale delle 0 automobl corrspode l resduo pù elevato ( valore assoluto). e) Se l prezzo delle automobl fosse espresso euro e o mglaa d euro cosa accadrebbe alle stme de parametr della retta d regressoe. f) L dce d regressoe per questa retta spega pù del 90 % della varabltà totale? SOLUZIONI Quado s aalzzao due (o pù) caratter quattatv s può cercare d dvduare ua fuzoe che descrva modo dettaglato la relazoe che emerge tra dat. S ha così u modello d regressoe, ossa ua relazoe statstca tra la varable dpedete e le altre varabl dpedet (chamate ache varabl esplcatve). Tale modello può avere dvers scop: descrttvo, terpretatvo e prevsvo. Ua relazoe statstca tra ua varable dpedete X e ua varable dpede può essere descrtta dall equazoe: α + β X + ε cu α+βx defsce l cotrbuto della varable esplcatva X al valore della varable dpedete metre ε rappreseta l cotrbuto d tutt gl altr fattor grado d fluezare la rsposta (varable dpedete ). Il modello d regressoe leare s dce semplce quado s cosdera ua sola varable esplcatva (o dpedete). α e β corrspodoo all tercetta e al coeffcete agolare d ua retta sul pao e soo chamat coeffcet d regressoe. Occorre a questo puto defre u metodo d stma de coeffcet d regressoe α e β. I altr term, occorre dvduare ua retta che per og resttusca u valore d che sa pù vco possble a valor osservat. Il metodo de mm quadrat cosste el rcercare le stme d α e β medate a e b che redoo mma la somma de quadrat de resdu e (dffereza tra l valore osservato e l valore forto dalla retta d regressoe ˆ). Le stme de MINIMI QUADRATI de coeffcet d regressoe soo date da: b ( ) ( ) d e v ( ) ( ) ( ) c o d, cov, var a b ˆ a + b

5 X X X 08 3, ,76 350, , ,64 78, , ,84 946, , ,00 440, , ,8 667, , , 93, , ,00 9, , ,64 00, , ,9 34, , ,04 85, ,3 4945, , 87, 8, , 6 38, , , 56 cov, 494, 5 6 8, 7 7 5, 8 7, , 6 ( 75, ) 3, 56 7, 68 a) Stma della retta d regressoe che poe la fuzoe d X: cov, 8 7, 6 b 0, 8 var 3, 5 6 a b 8, 7 0, 8 75,, 36 ˆ, , 8 b) Botà d adattameto del modello a dat osservat. Il coeffcete d determazoe R dca la porzoe d varabltà d spegata dalla varable esplcatva X attraverso l modello d regressoe: R ( ) cov ;

6 Il coeffcete d determazoe vara tra 0 e : vale 0 asseza d relazoe statstca d tpo leare tra le osservazo; vale preseza d perfetta dpedeza leare (al crescere d R dmuscoo le dstaze de put osservat dalla retta d regressoe). 38, 7 ( 8, 7) 3, 66 7, cov ;, R 0, , 6 3 7, 6 8 c) Grafco d dspersoe e retta d regressoe d) Determazoe del resduo pù elevato Data la retta d regressoe ˆ a + b s defsce resduo (e) la dffereza tra l valore osservato e l valore forto dalla retta d regressoe ˆ : e. ˆ ˆ 08 3,60 7,90 4, ,0 3,05,5 55 7,0 3,05 4,5 80 8,00 0,05 -, ,90 6,50-0, ,90 6,4 -,5 76 7,00 8,93 -, ,80 8,93-3,3 76 7,30 8,93 -, ,0 3,33,87 Guardado alla tabella de resdu rportata d seguto, s osserva che alla prma auto corrspode l maggor resduo. S ot che la somma de resdu vale zero (a meo d ua pccola dffereza dovuta alle approssmazo.

7 e) Retta d regressoe co prezz espress euro. Etramb coeffcet d regressoe vegoo moltplcat per 000 ˆ f) Proporzoe d varabltà d spegata dalla varabl esplcatva No, la porzoe d varabltà d spegata dalla varable esplcatva X è par al 77,5% (R ).

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b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso ESERCIZIO Co rfermeto a dvers modell d auto del medesmo segmeto d mercato e cldrata s soo rlevat dat sul prezzo d lsto mglaa d euro (X), la veloctà massma dcharata km/h (Y) ed l peso kg (Z). I dat soo

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