26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

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1 ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di un forz clcolo dello spzio percorso.. Integrle Indefinito Prolem inverso del clcolo dell derivt: not l derivt di un funzione clcolre l funzione stess. 1 lcolo delle ree re dei poligoni: È l situzione più semplice in qunto qulunque poligono può essere scomposto in tringoli e l su re ricondott ll re di un rettngolo equivlente. re del Rettngolo = h st ricoprire l superficie del rettngolo con qudrtini di re unitri 2 lcolo delle ree Poligoni regolri Scomponendoli in tringoli congruenti è fcile clcolre l re re di un Esgono l 3 1

2 lcolo delle ree Poligoni Irregolri st scomporli opportunmente in tringoli re di un Poligono qulsisi 4 lcolo delle ree re del erchio Il clcolo dell re è molto più complesso in qunto non è possiile scomporre il cerchio in tringoli. E possiile però clcolre l re per pprossimzioni successive: Indichimo con l clsse dei poligoni regolri inscritti nel cerchio, di 3, 4, 5, 6, n lti rispettivmente e con 3, 4, 5, n le reltive ree; e con l clsse dei poligoni regolri circoscritti l cerchio di 3, 4, 5, 6, n lti e con 3, 4, 5, n le rispettive ree. Se S è l re del cerchio (incognit) srà sempre: n S n 5 lcolo delle ree e pssndo l limite di infiniti lti : llor: L re del cerchio è ugule l limite comune, qundo il numero lti, l qule tendono le successioni formte dlle ree dei poligoni inscritti e circoscritti l cerchio 6 2

3 Integrle efinito - lcolo delle ree re del Trpezoide Voglimo clcolre l re dell figur mistiline determint dl digrmm di un funzione = f() definit e continu nell intervllo [, ] 7 Possimo determinre l re pprossimndol con dei rettngoli inscritti e dei rettngoli circoscritti Utilizzndo lo stesso metodo usto per il cerchio. ividendo in n prti l intervllo [, ], vremo n rettngoli di se h = ( )/n Indichimo con s n = Σ rerett.inscritti L re del plurirettngolo inscritto 8 nlogmente possimo determinre l re S n del plurirettngolo circoscritto Indichimo con S n = Σ rerett.circoscritti L re S del trpezoide srà sempre compres tr s n e S n Σ rerett.inscritti S Σ rerett.circoscritti 9 3

4 umentndo il numero dei rettngoli l pprossimzione di S srà sempre più precis. onsiderndo un numero di rettngolini vi vi crescente vremo due successioni di ree di plurirettngoli inscritti s 1, s 2, s n, e di plurirettngoli circoscritti S 1, S 2, S n, che convergono ll re del trpezoide Teorem 1. Se = f() è continu e positiv in [, ], llor le successioni delle ree s 1, s 2, s n, e S 1, S 2, S n, convergono llo stesso limite S ugule ll re del trpezoide 10 Integrle efinito - lcolo delle ree Possimo finlmente giungere l concetto d integrle definito Integrle efinito t l funzione =f() definit e continu in [, ], dopo ver diviso l intervllo in n prti, indichimo con m i = min f() e con M i = m f() nell intervllino i-esimo di mpiezz h Rett circo. = M i h Rett inscr. = m i h M i m i s n =replurirett inscr. = Σ m i h S n =replurirett circo. = Σ M i h i h 11 Integrle efinito - lcolo delle ree llor,indicndo con f(ε i ) il vlore dell funzione in un punto qulsisi dell intervllo i-esimo, tenendo conto del teorem del confronto e del teorem 1 M i f(ε i ) m i ε i vremo che: 12 4

5 Integrle efinito - lcolo delle ree llor, possimo dre l seguente definizione: ef. t l funzione =f() definit e continu in [, ], si dice Integrle definito di f() reltivo ll intervllo [, ] il limite e si indic con 13 Proprietà dell Integrle definito Integrle efinito - Proprietà Proprietà di linerità Proprietà di dditività 14 Teorem dell Medi Integrle efinito - Proprietà Se = f() è un funzione continu nell intervllo chiuso e limitto [, ] llor esiste lmeno un punto c (, ) tle che: f(c) f(c) ioè esiste sempre un rettngolo di se e ltezz ugule f(c) vente l stess re del rettngoloide. c c 15 5

6 Integrle efinito - lcolo dell integrle Funzione Primitiv Il clcolo dell integrle come lim Σ è estremmente complesso e per null conveniente, occorre llor trovre un ltro sistem per clcolrlo. imo isogno di vedere il concetto di primitiv e il teorem di Torricelli-rrow Il prolem del clcolo dell Primitiv è il prolem inverso del clcolo dell derivt: clcolre l primitiv signific: dt l derivt f() di un cert funzione non not F() clcolre l funzione =F(), quindi F () = f() 16 Integrle efinito - lcolo dell integrle erivt F()? f() ef. iremo che F() è un primitiv dell funzione =f() in [, ] sse Primitiv F() è derivile in [, ] e risult: F () = f() [, ] 17 Integrle efinito - lcolo dell integrle Primitive, lcuni esempi: Primitiv (2) = inftti ( 2 ) = 2 Primitiv (cos) = sen --- inftti (sen) = cos Primitiv (1/) = ln --- inftti (ln) = 1/ Primitiv (1/cos 2 ) = tg --- inftti (tg) = 1/cos 2 Osservimo nche che: ( 2-1) = quindi Primitiv (2) = 2 1 ( 2 +5) = quindi Primitiv (2) = 2 +5 ( 2 +) = quindi Primitiv (2) =

7 Integrle efinito - lcolo dell integrle Oss Se F() è un primitiv di f() llor nche G() = F() + c c R è un primitiv di f() e vicevers se F() e G() sono primitive di f() llor G() = F() + c llor un funzione mmette infinite primitive che differiscono per un costnte rele e costituiscono un fmigli di infinite curve otteniili per trslzione secondo l sse. 19 Integrle efinito - lcolo dell integrle ef L insieme di tutte le primitive di un funzione = f() si chim INTEGRLE INEFINITO di f(), si indic col simolo: e si legge Integrle indefinito di f() in d 20 Integrle efinito - lcolo dell integrle llor, riprendendo gli esempi precedenti 21 7

8 Integrle efinito - Proprietà Teor. di Torricelli- rrow (funzione Integrle) Si = f() funz. continu nell intervllo [, ], considerimo un punto vriile (, ) l vrire di l integrle ssume vlori vriili, cioè è un funzione di che indicheremo con F() e chimeremo funzione integrle f() 22 Integrle efinito - Proprietà In prticolre Se = se = vremo llor il seguente Teor. di Torricelli- rrow Se = f() è continu in [, ] llor l funzione integrle è derivile e risult: F () = f(); cioè F() è un primitiv di f(). 23 im Integrle efinito - Proprietà onsiderimo l intervllino [, +h]: vremo + h L incremento di F() (re del rettngoloide di se, +h) è: 24 8

9 Integrle efinito - lcolo dell integrle semplificndo e, per il teorem dell medi: d cui, vremo il rpporto incrementle e, pssndo l limite per h 0, ioè l derivt di F() = f() 25 lcolo dell Integrle efinito Formul di Newton-Leiniz Finlmente possimo clcolre l integrle definito Integrle efinito - Proprietà onsiderndo l funzione integrle vremo: cui c = G() e per = e per = 26 Integrle efinito - Proprietà Teorem fondmentle del clcolo integrle L integrle definito di un funzione continu =f(), clcolto nell intervllo [, ], è ugule ll differenz tr i vlori che un qulunque primitiv di f() ssume gli estremi superiore e inferiore dell intervllo d integrzione. 27 9

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