APPUNTI DI COSTRUZIONI

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1 APPUNTI DI COSTRUZIONI MURI DI SOSTEGNO A GRAVITA ING. EMANUELE SPADARO N.B. In questa dispensa si fa riferimento al modulo E e al manuale tecnico della collana MODULI DI COSTRUZIONI di C. Farroni e R. Zedda edito da Arnoldo Mondadori Scuola 1

2 MURI DI SOSTEGNO Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso senza presenza d acqua e di sovraccarico) 1) si calcola: sin ( ) K A sin( ) sin( ) sin sin( ) 1 sin( ) sin( ) K A = coefficiente di spinta attiva; = angolo di attrito interno della terra (vedi Tabella TER pag. 85 e Tab. materiali insilabili pag. 14 del manuale tecnico di C. Farroni e R. Zedda); = angolo d inclinazione della superficie del terreno, da contenere, rispetto all orizzontale; = angolo d inclinazione della parete interna del muro rispetto all orizzontale; = angolo di attrito fra terra e muro (1/ /3 ). N.B. nel caso particolare in cui = = e = per il calcolo di K A si utilizza la seguente formula: k A tg (45 ) ) si calcola: S = ½ h t K A t = peso specifico della terra (vedi Tab. Ter /3 pag. 85); h = altezza del muro. fig. 1 La spinta si applica all altezza h * dalla base del muro. In assenza di sovraccarico h * = 1/3 h. Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso con presenza d acqua) 1) si calcola K A come sopra; ) si calcola: acqua = 1000 dan/m 3 ; t * = t - acqua

3 3) si calcola: 4) si calcola: 5) infine si calcola: S S * = ½ h t* K A ; acqua acqua h ; S = S * + S acqua. Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso con presenza di sovraccarico) 1) si calcola K A come sopra; ) si calcola: q h' t h = altezza di terra corrispondente al sovraccarico q; 3) si calcola: S 1 h h' (1 ) h t K A La spinta si applica all altezza h * dalla base del muro. In presenza di sovraccarico: h * h h 3 h' ( ). 3 h h' Metodo grafico di PONCELET per il calcolo della spinta della terra scala 1 : m fig. 3

4 si procede nel seguente modo: 1. si disegna il paramento interno del muro e la superficie del terrapieno;. si traccia il segmento AC che formi con l orizzontale; 3. si trova il punto medio O del segmento AC e si traccia il semicerchio che va da A a C; 4. si traccia il segmento BF che formi l angolo + con AB, paramento interno del muro; 5. si traccia FG perpendicolare ad AC; 6. si punta il compasso in A e con apertura AG si traccia l arco di cerchio GE; 7. si traccia ED (di lunghezza J) parallelo a BF; 8. si traccia DH (di lunghezza n) perpendicolare ad AC; 9. si misurano J ed n in centimetri del disegno e moltiplicandoli per m (denominatore della scala del disegno) e dividendoli per 100 si ottengono valori reali espressi in metri; 10. applicando la seguente formula si trova la spinta S: S = ½ Jn t. N.B. se siamo in presenza di sovraccarico sul terrapieno al posto di h si mette h tot = h + h q h h 3 h' dove come gia detto h'. Mentre la spinta si applica ad h * ( ) 3 h h' t Metodo numerico di PONCELET per il calcolo della spinta della terra fig. 3 1) si calcola: AB = h : sin; 4

5 ) applicando il teorema dei seni al triangolo ABF si calcola: AB AF sin( ) ; sin( ) 3) applicando il teorema dei seni al triangolo ABC si calcola: AB AC sin( ) ; sin( ) 4) applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo AGC (un cateto è medio proporzionale fra la sua proiezione sull ipotenusa e l ipotenusa stessa): 5) per differenza si calcola: AE AF AC ; CE = AC AE; 6) applicando il teorema dei seni al triangolo CDE si calcola: CE CD sin( ) sin( ) ; 7) applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HDC si calcola: n = CDsin( - ); 8) applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HDE si calcola: 9) infine si calcola: n J ; sin( ) S = ½ Jn t. N.B. se siamo in presenza di sovraccarico sul terrapieno al posto di h si mette h tot = h + h q h h 3 h' dove come gia detto h'. Mentre la spinta si applica ad h * ( ). 3 h h' t Calcolo della spinta col metodo di Rankine (winkler e Levy) Si usa per: terreni incoerenti ( = 0 e quindi la spinta S è orizzontale); paramento interno sempre verticale ( = 90 ); il calcolo della spinta S è analogo a quello di Poncelet, con la differenza che BF (della fig. 3) forma con AB l angolo + e non +. 5

6 VERIFICHE SUI MURI DI SOSTEGNO La circolare Ministeriale L.L. P.P. n 30483/88 prevede per i muri di sostegno le seguenti verifiche: Ribaltamento; schiacciamento; traslazione sul piano di posa (o verifica allo scorrimento); stabilità globale. Delle quali le prime tre sono obbligatorie. La circolare Ministeriale prevede. inoltre, opportune opere di drenaggio e giunti tecnici. Verifica al ribaltamento La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica al ribaltamento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro ruoti intorno al punto O più a valle del muro), si debba avere: = grado di stabilità; M s = momento stabilizzante; M r = momento ribaltante. M M S r 1,5 fig. 4 Per il calcolo del momento ribaltante la formula, ricavata dalla precedente figura 4 è la seguente: M r = S h * sin( - ) (b o h * cotg) cos( - ) (1). 6

7 Per il calcolo del momento stabilizzante la formula, ricavata dalla figura 5 è la seguente: M s = P e b e + P 1 b 1 + P i b i + P t b t () fig.5 P e = ½ s e h1 c b e = /3 s e P 1 = ah1 c b 1 = s e + ½ a P i = ½ s i h1 c b i = s e + a + 1/3 s i P t ½ s i h1 t b t = s e + a + /3 s i t = peso specifico della terra c = peso specifico del materiale con cui è fatto il muro (di norma calcestruzzo) Verifica allo schiacciamento La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica allo schiacciamento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro sprofondi), si debba avere: v t,max v = grado di stabilità; = tensione ammissibile del terreno; t,max = tensione massima sul terreno. 7

8 La procedura operativa per effettuare la verifica si può riassumere nei seguenti punti: 1. si calcola: P = P e + P 1 + P i + P t + Scos( - ) (3). si calcola: M s M r u P (u è la distanza fra il punto O e il centro di pressione, che è il punto d intersezione fra la retta d azione della risultante P-S e la base del muro.) a. se: u b o /3 si ha che il centro di pressione è esterno al nocciolo centrale d inerzia, questo è un caso da evitare perché non tutto il terreno sotto il muro reagisce. si calcola: t,max P 3 u 100 b. se: u = b o /3 si ha che il centro di pressione è sul nocciolo centrale d inerzia, questo è un caso accettabile. si calcola: P t,max (4) b 100 o c. se: b o /3 u /3b o si ha che il centro di pressione è interno al nocciolo centrale d inerzia, questo è il caso migliore. si calcola: P 6 e t,max (1 ) b o 100 b o (6) e = b o / u (6) N.B. u, e, b o nelle formule a b c vanno messi in cm. Verifica allo scorrimento La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica allo scorrimento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro trasli sul piano di posa), si debba avere: P f 1,3 S sin( ) = grado di stabilità; f = tang coefficiente di attrito. Per esso si assumono di norma i seguenti valori: f = 0,70 f = 0,60 f = 0,50 muratura su muratura muratura su sabbia muratura su terreno compatto asciutto 8

9 VERIFICHE SU MURI AVENTI FONDAZIONE La figura di riferimento è la seguente n. 6. La procedura è identica a quella esposta per i muri senza fondazione, alla quale si apportano le modifiche di seguito indicate: la (1) diventa: la () diventa: P e = ½ s e (h-z)1 c P 1 = a(h-z)1 c P i = ½ s i (h-z)1 c P t ½ s i (h-z)1 t P f = bz1 c M r = S h * sin( - ) b o + z e (h * - z)cotgcos( - ); M s = P e b e + P 1 b 1 + P i b i + P t b t + P f b f ; b e = z e + /3s e b 1 = z e + s e + ½ a b i = z e + s e + a + 1/3s i b t = z e + s e + a + /3s i b f = b/ t = peso specifico della terra c = peso specifico del materiale con cui è fatto il muro (di norma calcestruzzo); la (3) diventa: P = P e + P 1 + P i + P t + P f + Scos( - ) nella (4), (5) e (6) al posto di b o si mette b b = z e + s e + a + s i + z i PROGETTO A RIBALTAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO Di norma si porrà che: s i ed s e = (0,1 0,)h ed inoltre che: z al doppio del maggiore fra z i e z e fig. 6 Dalla condizione di verifica al ribaltamento intorno al punto O si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l incognita: Ax + Bx + C 0 9

10 risolvendo la quale si ottiene la dimensione per il muro. Operativamente si procede come segue: 1. si calcola: A = c h;. si calcola: B = (h z) c (s e + z e + s i ) + s i t + z c (s i + s e + z i + z e ) + 3Scos( - ); 3. si calcola: C = (h z) s i c ( s i /3 + s e + z e ) + s e c ( /3s e + z e ) + s i t ( /3s i + s e + z e ) + 3S(s e + 4. si calcola: z e )cos( - ) + h * sin( - ) + z c (s i + s e + z i + z e ) ; B x B 4 A C A si accetta naturalmente il solo risultato positivo e lo si approssima, sempre per eccesso, come indicato dalla seguente tabella 1: Dimensioni minime per la testa del muro Materiale del muro Dimensione minima in testa Approssimazione dei calcoli calcestruzzo 30cm ai 5cm superiori a partire dalle configurazioni muratura in mattoni di disposizioni degli elementi 5cm pieni di laterizio di laterizio note da tecnologia delle costruzioni muratura in elementi di pietra naturale 40cm ai 5cm superiori PROGETTO A SCHIACCIAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO (senza fondazione) Dalla relazione c di pag. 8 (condizione ideale b o /3 u /3b o ) considerando la prima disequazione (b o /3 u) che darà il valore minimo di b o possiamo scrivere: M s M r b o u P 3 si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l incognita: Ax + Bx + C 0 risolvendo la quale si ottiene x 1. Operativamente si procede come segue: 1. si calcola: A = c h/; 10

11 . si calcola: B = h c (s e - s i ) + P i + P t P e - 3Scos( - ); 3. si calcola: C = P i s e + P t (s e + s i ) - P e (s i - s e ) - 3Sh * sin( - ) - (s e + s i - h * cotg)cos( - ); 4. si calcola: B B 4 A C x1 A N.B. se h, s i ed s e sono in metri anche x sarà in metri. Dalla condizione di verifica allo schiacciamento: v t,max si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l incognita, risolvendo la quale si ottiene x. Operativamente: fig si calcola: x Pi Pe Pt 500 (s i s e ). 500 h c N.B. per le unità di misura mettere: P i in dan, in dan/cm, s i s e h in metri.. in definitiva si assumerà come dimensione del muro la maggiore fra x 1 e x sempre nel rispetto della tabella 1. 11

12 PROGETTO A SCHIACCIAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO (con fondazione) Di norma si porrà che: s i ed s e = (0,1 0,)h ed inoltre che: z al doppio del maggiore fra z i e z e Per semplicità di calcolo si suppone una fondazione a sezione rettangolare di peso: P f = (z i + s i z e + s e )z c Dalla relazione: fig. 8 M s M r u P P si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l incognita: risolvendo la quale si ottiene x 1. Operativamente si procede come segue: 1. si calcola: A = c h/; f b 3 Ax + Bx + C 0. si calcola: B = h c (s e - s i ) + P i + P t P e - 3Scos( - ) - P f ; 3. si calcola: C = P i s e + P t (s e + s i ) - P e (s i - s e ) - 3Sh * sin( -) - (s e + s i - h * cotg)cos( -) - P f (s i + s e ) 4. si calcola: B x Dalla condizione di verifica allo schiacciamento: 1 B 4 A C A v t,max 1

13 si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l incognita, risolvendo la quale si ottiene x. Operativamente: 5. si calcola: x Pi Pe Pt Pf 500 (s i s e ). 500 h N.B. per le unità di misura mettere: P i in dan, in dan/cm, s i s e h in metri. 6. in definitiva si assumerà come dimensione del muro la maggiore fra x 1 e x sempre nel rispetto della tabella 1 c 13