P (x ; y ; z) z p = Q p = quota. x p. P (x ; y) y p ALTIMETRIA

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1 z P ( ; y ; z) y z p = Q p = quota p o P ( ; y) y p ππ ALTIMETRIA

2 Introduzione Definizioni Quota Dislivello Pendenza Sfericità e rifrazione atmosferica Indice Livellazioni Livellazioni geometriche Livellazione tacheometrica Livellazione di alta precisione I.G.M.I. Livelli Rilievi plano - altimetrici Cenni di rappresentazione plano altimetrica del terreno DEM Digital Elevation Model

3 z P ( ; y ; z) Introduzione La Topografia permette di determinare, mediante rilievo, la posizione dei punti appartenenti alla superficie fisica. In particolare i metodi di rilievo planimetrico individuano la posizione del punto proiezione P sulla superficie di riferimento, mentre i metodi di rilievo altimetrico determinano la quota del punto P o y p y p π z p = Q p = quota P ( ; y)

4 B A C Q A Q B Q C Quota (Q) π = m A B C Si definisce quota del punto A, Q A, la distanza verticale condotta dal punto alla superficie di riferimento adottata (campo topografico) assunta di quota zero metri

5 distanza reale B A Q B Q A Quota (Q) B ( B ;y B ) A ( A ;y A ) Distanza orizzontale AB = [(X B - X A ) 2 + (Y B Y A ) 2 ] π

6 B A Q r(a) = m Q A = m Quota relativa di un punto π = m π = m Si definisce quota relativa di un punto, la distanza verticale del punto da una superficie di riferimento avente quota diversa da zero metri.

7 Dati due punti A e B di quota nota si definisce dislivello Δ AB la differenza di quota tra il punto B e il punto A (osservatore in A) Δ AB = Q B Q A Dislivello (Δ) tra due punti La differenza di quota tra il punto A e il punto B è invece definita dislivello Δ BA (osservatore in B) Δ BA = Q A Q B I due dislivelli hanno ovviamente stesso valore ma segno diverso

8 B Δ BA = Q A Q B = - 7 m Δ AB = Q B Q A = + 7 m A D Dislivello (Δ) tra due punti Q A = 25 m Q B = 32 m π = m A B D

9 Si definisce pendenza p AB il rapporto tra il dislivello Δ AB e la distanza orizzontale D p AB = Δ AB D La pendenza esprime la tangente dell angolo α e moltiplicata per cento, la pendenza in Pendenza (p) tra due punti percentuale (%). La pendenza è un numero puro. Si definisce pendenza p BA il rapporto tra dislivello Δ BA e la distanza orizzontale D. p AB = Δ AB D Il segno della pendenza (+/-) dipende da quello del dislivello

10 α = ang. di depressione Δ AB = Q B Q A = + 7 m A α = ang. di elevazione D = 132 m Q A = 25 m Q B = 32 m Pendenza (p) tra due punti π = m A D = 132 m B Se Q A = 25 m, Q B = 32 m e la distanza orizzontale D = 132 m si ottiene: p AB = Δ AB /D = (Q B Q A )/D = (32 25)/132 = = tang α. Moltiplicando per 100 tang α si ottiene la pendenza percentuale (p %) = 5.30 %

11 Dalla formula che esprime la pendenza tra due punti di quota nota: p AB = Δ AB /D è possibile ricavare, noto il dislivello e la pendenza, la distanza orizzontale tra i due punti D = Δ AB / p AB e, nota la distanza e la pendenza, il dislivello tra i due punti Pendenza (p) tra due punti. Formule inverse Δ AB = p AB D Ricordando inoltre che: Δ AB = Q B Q A possiamo scrivere: Q B Q A = p AB D e quindi ottenere: Q B = Q A + p AB D Nota quindi la quota di un punto A, la distanza orizzontale D e la pendenza p è possibile calcolare la quota del punto B

12 ESEMPIO 1 Noti D = 87 m Q A = m e Q B = m, determinare la pendenza p AB p AB = (Q B Q A )/D = ( )/87 = = % ESEMPIO 2 Pendenza (p) tra due punti. Formule inverse Noti p AB = - 3%, Q A = m e Q B = m, determinare la distanza orizzontale D D = Δ AB /p AB = (Q B Q A )/p AB = ( )/-0.03 = m ESEMPIO 3 Noti Q A = m, D = m e p AB = %, determinare la quota del punto B Q B = Q A + p AB D = = m

13 B C Δ AB = Q B - Q A A α Calcolo della quota di un punto posto su un segmento a pendenza costante Q A = 25 m Q C = m Q B = 37 m π = m d = 50 m A C D = 132 m B La pendenza p AB = (Q B Q A )/D = coincide con la pendenza p AC. Possiamo quindi scrivere: p AC = (Q C Q A )/d (Q C Q A ) = p AC d -----> Q C = Q A + p AC d = = m

14 Nei rilievi topografici la superficie di riferimento è rappresentata dal campo topografico, piano tangente alla sfera locale in un punto. Ciò significa che tutte le misure eseguite non sono riferite ai punti della superficie fisica ma alla loro proiezione sul piano. L errore che si commette nelle misure passando dalla sfera Sfericità e rifrazione atmosferica locale al piano topografico, risulta trascurabile nella misura della distanza, ma non nella misura della quota. Per quest ultima, l adozione di una superficie di riferimento piana, comporta errori non trascurabili, dovuti principalmente a due fattori: Sfericità della terra Rifrazione atmosferica

15 L errore di sfericità è quello che si commette nella determinazione della quota tra due punti, quando si trascura la sfericità della terra. L errore è di pochi millimetri per distanze intorno ai 100 metri; dopo i 300 metri è già superiore al centimetro, per arrivare a più di 1 metro per distanze di circa 4000 metri L errore può essere calcolato con la Errore di sfericità (e s ) A Q A B seguente formula: e s = d 2 /2R piano tangente A d e s Q B in cui: - d è distanza tra i due punti; R B - R = 6377 km = m è il raggio terrestre. Tale errore dovrà essere sempre sommato alla quota calcolata

16 L errore di rifrazione è dovuto alla diversa densità degli strati dell atmosfera terrestre. Il valore, che deve essere sottratto alla quota misurata, si ottiene dalla formula: e r = K d 2 /(2 R) Errore di rifrazione (e r ) con K = 0.14 è il coefficiente di rifrazione atmosferica, d è la distanza tra i punti considerati e R = 6377 km = m è raggio terrestre. L espressione dell errore totale di sfericità e rifrazione e t = e s + e r, si ottiene dalla formula: e t = d 2 /(2 R) (1 K)

17 Nella tecnica topografica, per determinare le quote dei punti, non si misurano direttamente le quote stesse, ma i dislivelli. L operazione di determinazione del dislivello tra due punti si chiama livellazione. Le Livellazioni livellazioni possono essere divise in Livellazioni a visuale orizzontale (geometriche) Livellazioni a visuale inclinata (tacheometriche e trigonometriche) Livellazioni senza visuale (GPS)

18 Le livellazioni a visuale orizzontale, note come livellazioni geometriche, vengono effettuate utilizzando livelli, strumenti medianti i quali è possibile realizzare linee di mira orizzontali. Si tratta di strumenti dotati di solo cerchio orizzontale in grado di ruotare attorno all asse verticale e adatti ad operare su terreni pianeggianti. Livellazioni geometriche Le livellazioni geometriche possono essere: semplici, quando il dislivello tra due punti si ottiene con un unica misura composte, quando un dislivello si ottiene dalla somma di dislivelli parziali e possono eseguirsi da un estremo dal mezzo

19 ε l B h A B Δ AB Livellazione geometrica semplice da un estremo A B h A = l B + Δ AB Δ AB = h A - l B La misura del dislivello può essere affetta dall errore ε (non perfetta orizzontalità della linea di mira), commessa durante la rettifica e la messa in stazione dello strumento Prof. Dagore Ristorini

20 l B l A B S Δ AB Livellazione geometrica semplice dal mezzo A Con questo tipo di livellazione, il livello è posto in una posizione intermedia, possibilmente alla stessa distanza, tra i due punti estremi A e B. Si collima per primo il segnale in A effettuando la lettura l A e successivamente, ruotando il cannocchiale si collima B effettuando la lettura l B. Il dislivello si ottiene dalla B Δ AB = l A l B Con questo metodo l errore di non perfetta orizzontalità dell asse di collimazione viene eliminato Δ AB = l A + ε (l B + ε) = l A l B e inoltre: - viene eliminato l errore dovuto alla necessità di determinare l altezza strumentale; - aumenta il dislivello che è possibile misurare; - raddoppia la distanza tra i due punti

21 l B h M B l M Δ MB h A M Livellazione geometrica composta da un estremo A Δ AM Δ AB Il dislivello totale Δ AB si ottiene sommando i due dislivelli parziali Δ AM e Δ MB Δ AB = Δ AM + Δ MB = h A l M + h M l B = (h A + h M ) (l M + l B ) = h - l in cui: - h = altezze strumentali; - l = altezze mira

22 l M l B B l A l M S 2 Δ MB = l M - l B Livellazione geometrica composta dal mezzo A S 1 Δ AM = l A - l M Δ AB = Δ AM + Δ MB Il dislivello totale Δ AB si ottiene sommando i due dislivelli parziali Δ AM e Δ MB Δ AB = Δ AM + Δ MB = l A l M + l M l B = (l A + l M ) (l M + l B ) = c - b in cui: - c = controbattute; - b = battute

23 X φ l B h A B Δ AB Livellazione tacheometrica A B Nella livellazione tacheometrica il cannocchiale dello strumento può essere inclinato. Per determinare il dislivello è necessario misurare la distanza D tra strumento e mira, l altezza strumentale h A, l altezza della mira da terra l B e l angolo verticale φ. Dalla figura risulta: ha + X = Δ AB + l B Δ AB = ha + X - l B X può essere calcolata con la funzione coseno nel triangolo rettangolo di cui sono noti D e φ. X = D cos φ La formula che permette di calcolare il dislivello diviene Δ AB = D cos φ + h A - l B

24 X φ l B h A B Δ AB Livellazione tacheometrica Attenzione A B Nel caso in cui il cannocchiale è posto in posizione orizzontale (angolo verticale φ = 100 c ) risulta cos φ = 0 e quindi D cos φ = 0, la formula che permette di calcolare il dislivello diviene Δ AB = ha l B che equivale ad una livellazione geometrica semplice da un estremo Nel caso in cui la distanza D tra i due punti supera i m, è necessario aggiungere al dislivello una correzione equivalente all errore di sfericità e rifrazione. La formula diviene quindi Δ AB = (D cos φ + ha l B ) + d 2 /(2 R) (1 K)

25 Per il calcolo delle quote dei punti, ci si può riferire a punti di quota nota, costituenti la livellazione di alta precisione dell IGMI Istituto Geografico Militare Italiano, la cui costruzione è iniziata nel 1950 ed è in continuo aggiornamento. Al momento della sua realizzazione la rete era costituita da circa punti (allo stato attuale sono più di 20000) detti capisaldi, materializzati lungo le più importanti linee di comunicazione. Di ogni caposaldo Livellazione di alta precisione IGMI è stata redatta una apposita monografia. I capisaldi sono divisi in: Prima categoria o nodali posti sulle intersezioni di più linee di livellazione Seconda categoria o fondamentali posti ogni 25 km Terza categoria o principali posti ogni 2 km Quarta categoria o di linea posti ad 1 km

26 Livellazione di alta precisione IGMI

27 Livello ottico meccanico LEICA Livello ottico meccanico TOPCON Livelli Livello laser GEOMAX Livello GEOMAX con GPS integrato

28 L appezzamento ABCD viene rilevato dal punto di stazione A, da cui risultano visibili gli altri punti. Orientato lo zero del cerchio orizzontale si misurano distanze, azimut e dislivelli. Fissato l orientamento del sistema cartesiano è possibile calcolare le coordinate planoaltimetriche dei vertici 0 c B Rilievo planoaltimetrico per coordinate polari A (AC) C (20) (AD) Libretto delle Misure Staz. Punti Angoli Distanze Dislivelli B 0 c A (20) C 30 c D 108 c D

29 X A = 0 m Y A = 0 m Y Rilievo planoaltimetrico per coordinate polari Esempio di calcolo Q A = 20 m X B = 0 m Y B = AB = m Δ AB = Q B Q A ----> Q B = Q A + Δ AB = = m X C = AC sen (AC) = sen 32 c.1610 = m Y C = AC cos (AC) = cos 32 c.1610 = m Δ AC = Q C Q A ----> Q C = Q A + Δ AC = = m X D = AD sen (AD) = sen 103 c.6250 = m Y D = AD cos (AD) = cos 103 c.6250 = m Δ AD = Q D Q A ----> Q D = Q A + Δ AD = = m O = A (20) B C Libretto delle Misure Staz. Punti Angoli Distanze Dislivelli B 0 c A (20) C 30 c D 108 c D X

30 Le poligonali aperte sono costituite da E una spezzata di cui si misurano tutte Δ DE le distanze e gli angoli nei vertici. Se il rilievo è planoaltimetrico dai punti di stazione dovranno essere misurati i Ĉ C Δ CD Dˆ D dislivelli sul punto precedente e quello Δ BC Rilievo planoaltimetrico per poligonazione successivo A B (25) Δ BA Bˆ STAZ. PUNTI C.O. DISTANZE DISLIVELLI B (25) C D A 0 c C 122 c B 0 c D 239 c C 0 c E 67 c

31 azimut (AB) = 100 c (BC) = (AB) + B ± 200 c = 22 c.3650 (CD) = (BC) + C ± 200 c = 61 c.5480 (DE) = (CD) + D ± 200 c = 328 c.7030 Y X e E Δ DE Rilievo planoaltimetrico per poligonazione Esempio di calcolo coordinate dei punti X A = 0 m Y A = 0 m X B = AB = m Y B = 0 m X C = X B + BC sen (BC) = m Y C = Y B + BC cos (BC) = m X D = X C + CD sen (CD) = m Y D = Y C + CD cos (CD) = m X E = X D + DE sen (DE) = m Y E = Y D + DE cos (DE) = m Quote Q A =Q B + Δ BA = = m Q C = Q B + Δ BC = = m Q D = Q C +Δ CD = = m Q E = Q D + Δ DE = = m Pendenza segmento AE AE = (X 2 E + Y E2 ) = m Δ AE = (Q E Q A ) = = m p AE = Δ AE /AE = = % Y e St. Punti C.O. Dist. Disliv. B (25) C D O = A (AB) = 100 c Δ BA B (25) (BC) Δ BC (DE) A 0 c C 122 c B 0 c D 239 c C 0 c E 67 c C (CD) D X

32 La rappresentazione plano - altimetrica del terreno può essere effettuata utilizzando le proiezioni quotate, Cenni di rappresentazione plano-altimetrica del terreno proiettando ortogonalmente i punti della superficie fisica sul piano orizzontale. Le proiezioni quotate utilizzate sono: piani quotati piani a curve di livello

33 Un piano quotato è una planimetria sulla quale vengono riportati i punti caratteristici del terreno rilevati planoaltimetricamente, la cui quota viene indicata tra parentesi accanto al punto stesso. I punti sono collegati tra loro in modo tale da formare una rete di triangoli Piani quotati piani ognuno dei quali si sovrappone il più possibile alla parte di terreno che rappresenta. Ogni lato del piano quotato costituisce un tratto a pendenza costante. I piani quotati non permettono una immediata comprensione dell andamento del terreno se non dopo un attenta lettura delle quote; per questo motivo si utilizzano per zone di limitata estensione

34 A (37.15) L (22.81) B (39.12) I (29.27) Piani quotati G (41.88) C (38.76) H (35.11) F (42.34) D (44.02) E (41.22)

35 Tagliando la superficie del terreno mediante un piano orizzontale si ottiene una superficie piana in cui contorno è rappresentato da una linea curva detta curva di livello. Una curva di livello o isoipsa è una linea chiusa o aperta generalmente ad andamento curvilineo che unisce punti di stessa quota Curve di livello La proiezione su di un piano orizzontale di tutte le curve di livello che possono essere generate dall intersezione di piani orizzontali posti a distanza costante origina una rappresentazione a curve di livello. La differenza di quota costante, dislivello, tra due isoipse adiacenti è definita equidistanza (e). L equidistanza si assume pari alla millesima parte del denominatore della scala planimetrica

36 26,880 23, Curve di livello scala 1:2000 distanza 1 cm = 20 m e = 2 m direttrici ogni 10 m ,120 66,310 scala 1:5000 distanza 1 cm = 50 m e = 5 m direttrici ogni 25 m

37 Rappresentazione a curve di livello in scala 1:1000

38 Il profilo longitudinale rappresenta su di un piano verticale l andamento altimetrico del terreno lungo una direzione assegnata. Per il suo disegno è necessario riportare sull asse delle X Profilo longitudinale (ascissa fondamentale) le distanze tra i punti evidenziati sulla rappresentazione a curve di livello e sull asse delle Y le quote dei punti stessi. Le scale di rappresentazione grafica coincidono con quelle della carta. Si ricorda che la scala delle quote (e) è pari ad 1/1000 di quella delle distanze

39 A B Q Profilo longitudinale A d 1 d 2 d B D

40 Accanto ai tradizionali metodi di rappresentazione bidimensionale (carte topografiche, tematiche, geologiche) si vanno diffondendo sempre più metodologie di rappresentazione tridimensionale. Un modello tridimensionale (modello 3D) è infatti più facile da capire di una rappresentazione codificata secondo le regole della cartografia tradizionale. Grazie alla nascita ed allo sviluppo dei personal computer, si possono realizzare modelli digitali tridimensionali sempre più complessi e realistici. Un rappresentazione della Terra DEM attraverso un modello matematico tridimensionale non è solamente utile per la presentazione dei dati ma anche per tutte le operazioni di derivazione ed analisi che con questa si possono realizzare.

41 Un Modello Digitale di Elevazione, anche noto come DEM, dall'inglese Digital Elevation Model, è la rappresentazione tridimensionale di una superficie, partendo dalle coordinate X, Y, Q di punti disposti sul terreno in maniera irregolare. Occorre specificare quale sia la superficie rappresentata: ad DEM e DTM esempio DEM della superficie della vegetazione, DEM della superficie delle acque. Nella gran parte delle applicazioni pratiche la superficie che interessa modellare è la superficie del suolo terrestre. In questo caso si parla più precisamente di Modello Digitale del Terreno o brevemente DTM, dall'inglese Digital Terrain Model. Un DTM quindi è un tipo particolare di DEM.

42 Ad oggi, ci sono cinque fonti principali di dati che vengono utilizzate per realizzare un DTM: Fonte dati DTM Digitalizzazione cartografia esistente (a curve di livello) Rilievi topografici tradizionali o con GPS Restituzione fotogrammetrica da foto aeree Scansione laser aerotrasportato Scansione con radar aerotrasportato o da satellite

43 Un DEM può essere modellato e visualizzato, partendo da una apposita banca dati contenente le coordinate planoaltimetriche dei punti, utilizzando una delle seguenti strutture: La creazione del modello DTM Griglia a maglie quadrate (GRID) Rete di maglie triangolari irregolari (TIN)

44 GRID L'insieme dei punti originali, irregolarmente distribuiti, viene trasformato in una griglia regolare (a maglie quadrate uguali). Nel DEM risultante ciascuna tripletta (, y, z) rappresenta un quadrato della griglia chiamato anche cella. Un file DEM di questo tipo si presta ad essere visualizzato in due dimensioni mediante un'immagine (ad es. bmp, tif) assegnando a ciascun piel dell'immagine un colore corrispondente all'elevazione GRIN e TIN della corrispondente cella del DEM. TIN (Triangulated Irregular Network) È anche possibile produrre modelli costituiti da un insieme di punti quotati collegati da segmenti a formare una rete continua di triangoli. La scelta dei punti può basarsi su vari metodi, così come il collegamento dei punti può avvenire secondo vari criteri che assicurino la continuità della superficie da rappresentare. La superficie di ogni triangolo è definita dall elevazione dei suoi tre vertici ed è piana.

45 TIN

46 GRIN e TIN

47 Il modello TIN consente di rappresentare la superficie vera con meno punti rispetto al modello GRID. Infatti la densità dei punti può essere adattata al livello di complessità locale della superficie: più punti per i terreni accidentati, meno punti per i terreni con pendenze che variano dolcemente. Il formato GRID non è adattabile, tende a semplificare troppo le superfici montuose e a rappresentare con sovrabbondante GRID o TIN? numero di punti quelle pianeggianti. I triangoli irregolari si prestano molto meglio delle maglie quadrate uguali a rappresentare aree ove le pendenze variano bruscamente (picchi, rotture nella pendenza come creste, strette valli, salti,...) o risultano particolarmente elevate (si pensi ad es. ad una rupe rocciosa pressoché verticale o addirittura in contropendenza). In aree come queste i lati del TIN possono allinearsi esattamente con le linee che segnano discontinuità di pendenza.

48 DEM DEM ottenuto da una cartografia a curve di livello in scala 1:5000 (e = 5 m) attraverso modello TIN _ da SIT Ambiente Regione Campania