CONVERSIONE BINARIO DECIMALE NB: Convertire in decimale il numero binario N = N =

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1 NOTAZIONE BINARIA, OTTALE, ESADECIMALE CODIFICA DI NUMERI INTERI RELATIVI 1

2 CONVERSIONE BINARIO DECIMALE Convertire in decimale il numero binario N = N = NB: = (32) (16) (8) (4) (2) (1) (1/2) (.5) (1/4) (.25) (1/8) (.125) (1/16) (.0625) 2

3 CONVERSIONE DECIMALE BINARIO Dato un numero decimale (p.es ), è necessario distinguere la parte intera dalla parte frazionaria: N = I.F (es: I=57, F=0.6875) Regola pratica per la conversione della parte intera? I = C n *2 n? + C n-1 *2 n-1? C 1 *2 1? + C 0 3

4 Per convertire la parte intera I di un numero N decimale in notazione binaria basta dividerla ripetutamente per 2 e scrivere ordinatamente i valori dei resti ottenuti, a partire dalla posizione meno significativa Es: decimale binario = /2 4

5 ERRORE TIPICO: considerare la prima cifra ottenuta come la più significativa: otterrei che vale 39! NB: nel dubbio, ragionare!!! Se continuassi il procedimento di divisioni successive aggiungerei zeri; questi non pesano solo se corrispondono alle posizioni più significative ( 0 0xyz )! 5

6 Metodo più pratico di conversione da decimale intero a binario ESEMPIO: convertire in binario = [ ] [ ] NB: almeno per valori non troppo elevati, conviene abituarsi ad utilizzare questo metodo. 6

7 ESEMPI STANDARD Quanto vale il numero n -1 n Esempi con 8 cifre: = = = 127 7

8 Regola pratica per la conversione della parte frazionaria Dato un numero decimale, sia F la sua parte frazionaria.? F = C -1 *2-1? + C -2 *2-2? C -n *2 -n 8

9 Regola pratica per la conversione della parte frazionaria Per convertire la parte frazionaria F di un numero decimale N in binario basta: - moltiplicare la parte frazionaria per 2 - scrivere il valore della parte intera ottenuto nella posizione più significativa - ripetere il procedimento sulla parte frazionaria ottenuta La conversione ha termine quando si ottiene una parte frazionaria nulla (ciò non è sempre garantito, cfr. p.es. il caso dei numeri periodici) 9

10 ESERCIZIO convertire in binario Parte intera = (vedi prima) Parte frazionaria =

11 ERRORE TIPICO: considerare la prima cifra ottenuta come la meno significativa: = > 0.75 NB: se continuassi il procedimento di moltiplicazioni successive aggiungerei zeri; questi non pesano solo se corrispondono alle posizioni meno significative ( 0.xyz0 0 )! 11

12 ESERCIZIO Convertire in binario il numero decimale Parte intera: Parte frazionaria: 137 = Quindi =

13 NB: l esempio precedente dimostra che un numero limitato in base 10 (0.025) può non essere limitato in base 2 ( ) Altro esempio: convertire in binario =

14 Operazione aritmetica di addizione è l unica che ci servirà concretamente valgono le stesse regole e proprietà dell addizione in base 10 si può svolgere in colonna : in particolare, si sommano le cifre binarie ottenendo un numero binario; se questo ha due cifre, la cifra più significativa è il riporto (1) 0 NB: 1+1 =2 10 =

15 ESEMPIO = (1)0 (1)1 15

16 Notazioni ottale ed esadecimale Oltre al sistema binario e decimale, vi sono altri sistemi convenienti per la rappresentazione dell informazione (anche se in ogni caso nel calcolatore le informazioni sono codificate in binario): Sistema ottale (b = 2 3 = 8) Sistema esadecimale (b = 2 4 = 16) 16

17 Sistema ottale base = 8 cifre = 0,1,2,3,4,5,6,7 ES: = 5 * * * * * * 8-3 NB: le conversioni da decimali ad ottali possono essere fatte con il metodo delle moltiplicazioni e divisioni successive. Tipicamente però le conversioni si effettuano tra ottali e binari 17

18 18

19 Esercizio (conversione binario ottale) Convertire in notazione ottale il numero binario

20 ERRORE TIPICO: Convertire in notazione ottale il numero binario Invece = 5*64 + 6* /8 = che sicuramente non può essere rappresentato con una parte intera di soli 8 bit!!! PARTIRE SEMPRE DAL PUNTO DI RADICE, EVENTUALMENTE COMPLETANDO LE CIFRE CON DEGLI ZERI PER OTTENERE LE TERNE: xxx xxx. yyy yyy 20

21 L esercizio quindi va risolto così: infatti risulta = 2*64 + 7* /8 = e = =

22 ESERCIZIO (conversione ottale binario) Convertire in binario il numero in notazione ottale ERRORE TIPICO: CONVERTIRE IN infatti = 1/8 mentre = 1/2 22

23 Sistema esadecimale base = 16 cifre = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F [10] [11] [12] [13] [14] [15] ES: 97A.6E1 16 = 9 * * * * * *

24 Binario esadecimale Esempi di conversione A Esadecimale binario E ATTENZIONE!!! PARTIRE SEMPRE DAL PUNTO DECIMALE!!! xxxx. xxxx xxxx 24

25 Codifica di numeri interi relativi I numeri interi (con segno) sono rappresentati in una o più celle di memoria: sia n il numero di bit a disposizione. Esistono vari tipi di codifica: In valore assoluto e segno In complemento a 2 In complemento a 1 Polarizzazione o eccesso 25

26 Codifica in complemento a 2 Idea: con n cifre 2 n numeri, p.es. da 0 a 2 n 1 Metà per i positivi e metà per i negativi, come in figura +2 n n-1 Rapp."normale C. A 2: 2 n - N 2 n Numeri positivi Numeri negativi 26

27 Data una parola di lunghezza n: i numeri positivi sono rappresentati normalmente (rappresentazione binaria dei numeri positivi); il bit più significativo è pari a 0 i numeri negativi si ottengono come complemento a 2 del numero positivo N corrispondente, ovvero come 2 n -N; il bit più significativo è pari a 1 I valori rappresentabili vanno: da - 2 n-1 a + 2 n-1-1 in pratica da - (2 n-1-1) a + 2 n-1-1 CI SONO 2 REGOLE SEMPLICI PER DETERMINARLO 27

28 Complemento a 2 Dato un numero N rappresentato in base 2 da n cifre il suo complemento a 2 è dato da C 2 = 2 n - N Esempio con 8 bit: N = (84) C 2 = Regole pratiche equivalenti: 1) partendo dal bit meno significativo e procedendo verso sinistra, si lasciano immutati tutti i bit fino al primo 1 compreso, poi si invertono gli altri 2) si complementano tutti i bit (complemento a uno) e si aggiunge 1 28

29 ESERCIZIO Rappresentare in complemento a due con 8 bit il numero decimale = quindi -67 = Con la regola del complemento a uno: =

30 ERRORE TIPICO: dimenticarsi che la rappresentazione in C.a 2 è relativa ad un numero di bit fissati!!! Es. Rappresentare in C. a 2 con 8 bit il numero decimale = 11 2 quindi 3 = 01 ma questo risulta un numero positivo!!! Svolgimento corretto: 3 = (8 bit) -3 =

31 ALTRO ERRORE TIPICO: complementare sempre e comunque, anche i numeri positivi! ES: Rappresentazione in complemento a due con 6 bit del numero decimale = anche codificato in compl. a 2!!! 31

32 Estensione del segno Estendiamo il segno per rappresentare un numero su n=k + d bit anziché su n=k bit su n = 4 bit su n = 8 bit 32

33 Aritmetica in complemento a 2 Addizione: L'addizione di due numeri rappresentati in complemento a 2 dà il risultato corretto trascurando il riporto (a patto che il risultato sia entro il range dei numeri rappresentabili). Sottrazione: Si riconduce sempre all addizione: somma del complemento a 2. Overflow: Si manifesta quando il risultato non è rappresentabile con i bit a disposizione. Due regole equivalenti per determinarlo 33

34 REGOLA 1 PER DETERMINARE SE C E OVERFLOW - Se gli addendi hanno segno discorde non è possibile avere overflow: MAX (+) 0 MIN (-) N1 N2 Somma compresa tra N1 (positivo) ed N2 (negativo), quindi sicuramente rappresentabile! - Se gli addendi hanno segno concorde, cfr. il segno del risultato: + e +: deve risultare +, altrimenti overflow! e : deve risultare, altrimenti overflow! 34

35 Regola equivalente per l overflow Con una rappresentazione su n bit, si ha overflow se i riporti generati nelle due posizioni più significative (n-1 e n-2 in figura) sono diversi n-1 n (ovvero: c è riporto generato in una posizione ma non nell altra) 35

36 Esempi (n=6: -32 x 31) = 26 + (-13) = +13 [no overflow] = -13 [13: ] = (-13) = -38 [overflow] [25: ] = -13 [13: ]

37 Esercizio (Appello del 23 set 2003) Rappresentare i numeri 51 e 98 (in base 10) in notazione binaria in complemento a due con 8 bit. Eseguire la somma algebrica dei numeri così ottenuti e commentare il risultato. [3] Soluzione Conversione nella notazione binaria dei numeri (valori assoluti) 51 = = ( ) ( ) Rappresentazione in complemento a due: -51 = =

38 Somma algebrica: = Risultato: Commento (= dire se c è overflow e spiegare perché nel dettaglio): - riporto generato in posizione 7: NO - riporto generato in posizione 8: SI Poiché i riporti generati nei bit di posizione 7 e 8 sono diversi ho un caso di overflow Spiegazione equivalente: dalla somma di due numeri negativi ottengo un numero positivo. 38

39 ERRORI TIPICI: Dire che c è overflow perché i bit di posizione più significativa sono diversi. In questo caso si ha incidentalmente overflow (risultato ) ma la risposta è da ritenersi sbagliata, perché occorre considerare i riporti! Motivare la risposta con l intervallo di rappresentazione (il risultato non è rappresentabile): il metodo indicato deve essere eseguibile dal calcolatore, il quale non ragiona in decimale! Usare invece la regola dei riporti o, alternativa equivalente, la regola dei segni! 39

40 Esercizio (Appello dell 11 set 2003) Rappresentare i numeri 54 e 44 (in base 10) in notazione binaria in complemento a due con 8 bit. Eseguire la somma algebrica dei numeri così ottenuti e commentare il risultato. [3] Soluzione Conversione nella notazione binaria dei numeri (valori assoluti) 54 = = ( ) (32+8+4) Rappresentazione in complemento a due dei numeri (con 8 bit) -54 = =

41 Somma algebrica: = e quindi il risultato è Commento: Non c è overflow perché i riporti generati nelle posizioni 7 e 8 sono uguali (1 e 1). Spiegazione equivalente: dalla somma di due numeri negativi si ottiene correttamente un numero negativo. [NB: il risultato è pari a = 98 10, che è proprio 54 44] 41

42 ERRORE COMMESSO DA ALCUNI Dimenticarsi del numero di bit (8): 54 = = = = e sommando: = risultato che non ha alcun senso!!! (NB: in questo caso l esercizio è valutato 0 punti!) 42

43 Esercizio (Appello del 9 dic 2002) Rappresentare i numeri 96 e 69 (in base 10) in notazione binaria in complemento a due con 8 bit. Eseguire la somma algebrica dei numeri così ottenuti e commentare il risultato. [4] Soluzione Rappresentazione in complemento a due con 8 bit: 96 = = Somma algebrica: =

44 Commento: Ho overflow perchè i riporti sono diversi (ho soltanto il riporto nel bit 7). Spiegazione equivalente: il risultato ha il bit di segno pari a 1 (rappresenta un numero negativo) ma è ottenuto dalla somma di due positivi!. ERRORE TIPICO: complementare i due numeri che in realtà sono positivi (NB: in questo caso l esercizio è valutato 0 punti). 44