Formulario Meccanica

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1 Formulario Meccanica Cinematica del punto materiale 1 Cinematica del punto: moto nel piano 3 Dinamica del punto: le leggi di Newton 3 Dinamica del punto: Lavoro, energia, momenti 5 Dinamica del punto: Lavoro, energia, 7 Dinamica dei sistemi di punti materiali Dinamica del corpo rigido 7 Verde: nuove aggiunte. Rosso: parti incerte. 8 Cinematica del punto materiale Moto rettilineo Velocità media: Velocità istantanea: Eq del moto: υ m x t x x 1 t t 1 dx x( t) x + v( t t ) Moto uniformemente accelerato Accelerazione media: a m υ υ 1 t t 1 υ t Accelerazione istantanea: Eq del moto: a i dυ d x x( t) x + υ ( t t ) + 1 a ( t t ) υ ( t) υ at υ ( t) υ + a( x x ) Accelerazione: a υ υ 1 x Moto verticale di un corpo Tempo caduta: t c υ 1 g + υ 1 g + h g Velocità al suolo: υ c υ 1 + gh

2 -- con punto lanciato in lato Posizione: υ ( t) υ gt (fino al vertice) x( t) x + υ t 1 gt -- velocità in funzione della posizione υ ( x) g( h x) υ ( x) υ 1 + g( h x) υ ( x) ± υ gx Moto armonico semplice Differenziale: Eq del moto: d x + ω x ( ) A cos( ωt + ϕ) x t Pulsazione : ω k m π T π v Periodo: T π ω π m k Frequenza: v 1 T ω π 1 π Accelerazione: k m υ ( t) dx ω Acos ( ωt + ϕ ) a( t) dυ d x ω Asin( ωt + ϕ) ω x( t) -- velocità in funzione della posizione ( ) υ ( x) υ + ω x x υ ( x) ω ( A x ) (NB: con riferimento al centro) Moto rettilineo smorzato esponenzialmente dυ Differenziale: kυ -- velocità in funzione della posizione υ ( t) υ e kt

3 υ ( x) υ k( x x ) Velocità e accelerazione in funzione della posizione Integrale: x a( t)dx 1 υ 1 υ x Moto relativo rettilineo Eq del moto: x 1, ( t) x ( t) x 1 ( t) (NB: vale lo stesso per l accelerazione) Cinematica del punto: moto nel piano Moto circolare Velocità angolare media: Velocità angolare ist: Posizione: ω m θ t ω i dθ Accelerazione: a υ θ ( t) θ + ωt R ω R Moto parabolico Per il moto parabolico si può utilizzare la scomposizione in due moti: (moto verticale e moto rettilineo uniforme) Gittata: x G υ cos θtgθ υ g Tempo di volo: t G υ sinθ g cosθ sinθ g υ sinθ g Altezza max. ( ) y M υ y x M sin θ g Dinamica del punto: le leggi di Newton Leggi di newton L impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la variazione della quantità di moto. In assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale rimane costante, ovvero si conserva. Quantità di moto e impulso hanno la stessa unità di misura: Newton per secondo. legge di Newton: F m a dυ d x con massa costante: F dp

4 3 legge di Newton: F A,B F B,A Quantità di moto: p m υ me k Teorema dell impulso: J m( υ υ ) m υ (NB: se la massa è costante) Valore medio forza: F m p t Risultante delle forze La risultante vettoriale delle forze descrive il moto e l accelerazione di un corpo a cuo sono applicate più forze insieme. Risultante: R F i Si parla infatti di indipendenza delle azioni simultanee in quanto ogni forza agisce singolarmente.su un un corpo in equilibrio statico possono agire contemporaneamente forze la cui risultante è nulla Reazioni vincolari In generale una reazione vincolare non è determinabile a priori ma va calcolata caso per caso dall esame delle condizioni fisiche. Risultante: R + N Forza peso Forza peso: Sensazione peso: P m g N m ( a g) Forza di attrito radente ( ) Attrito radente statico: F as F max µ s N Attrito radente dinamico: F ad µ d Nu υ ( u υ versore velocità) Piano inclinato Componente verticale: mg cosθ N Componente orizzontale: Equilibrio statico: mg sinθ ma a g sinθ tgθ µ s forza elastica Forza di richiamo: F kx Accelerazione: a F m k m x ω x Pulsazione : ω k m π T π v Periodo: T π ω π m k

5 Risonanza: v 1 T 1 π k m (frequenza naturale) Frequenza : v 1 T ω π 1 π forza di attrito viscoso Attrito viscoso: F bυ b m k ( ) Accelerazione: a bυ m υ t ( ) g k forze centripete kt ( 1 e ) Forza: F N m a N m υ Pendolo semplice Tensione filo: T F mg r k m Differenziale: d θ + g θ (per piccole oscillazioni) L Periodo: T π ω π L g Legge oraria: Velocità angolare: Velocità lineare: Tensione filo: s Lθ Lθ sin( ωt + ϕ) ω dθ ωθ cos ( ωt + ϕ ) υ ds L dθ Lωθ cos ( ωt + ϕ ) T F m gcosθ t ( ) + υ ( t) tensione dei fili Corde e carrucole singole hanno la sola funzione di deviare l angolo di incidenza di una forza senza modificarne l intensità. Dinamica del punto: Lavoro, energia, momenti L Lavoro potenza energia cinetica Lavoro: W F s F s cosθ F T s Se l angolo di incidenza della forza è concorde con lo spostamento allora abbiamo un lavoro motore se viceversa il punto viene frenato allora abbiamo un lavoro resistente, se la forza è ortogonale alla traiettoria allora abbiamo un lavoro nullo. Il lavoro è l integrale di linea della forza lungo la traiettoria.

6 Potenza: P dw F dr F υ F Tυ Energia cinetica: Lavoro forza peso: E k E k 1 mυ p m ( p quant. di moto) W ( mgz B mgz A ) E p,b E p,a E p (energia pot.) Lavoro forza elastica: W E p E p 1 ( kx energia pot. elastica ) Il lavoro è espresso come l opposto della variazione dell energia potenziale tra la posizione finale e iniziale. Lavoro attrito radente: W µ d N ds Lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo. Energia potenziale: W E p,a E p,b E p B A Energia pot. peso: Energia pot. elastica: E p, peso mgz E p,el 1 kx Forze non conservative non possiedono una energia potenziale conservazione dell energia meccanica Energia meccanica: E k,a + E p,a E k,b + E p,b Energia meccanica: E m E k + E p In presenza di forze conservative l energia meccanica si conserva. In presenza di forze non conservative l energia meccanica varia e la sua variazione è appunto uguale al lavoro delle forze non conservative Momento angolare. Momento della forza Momento angolare: Momento della forza: Teo. momento angolare: L r p r mυ M r F dl M La derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza se entrambi i momenti sono riferito allo stesso polo fisso in un sistema di riferimento inerziale. dl L costante: L costante Il momento angolare di un punto materiale riamane costante nel tempo, si conserva, se il momento delle forze è nullo. Teo. Momento dell impulso: t M L L fin L in

7 B t t Lavoro: W M ( r F) r F r J L A Dinamica del punto: Lavoro, energia, Le leggi fisiche non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento. Lo spazio è dunque omogeneo e isotropo. Dinamica dei sistemi di punti materiali Sistemi di punti. Forze interne e forze esterne Risultante delle forze: ( E F i F ) ( I ) i + F i Se l angolo di incidenza della forza è concorde con lo spostamento allora abbiamo un lavoro. Posizione: r i velocità: accelerazione: a i F i Momento angolare: Quantità di moto: L i r i p i Energia cinetica: E k,i 1 Quantità di moto totale: p p i Momento angolare totale: L L i r i Energia cinetica totale: E k E k,i Posizione centro di massa: r CM r i Coordinate cartesiane: x CM x i i 1 m i Velocità del centro di massa: Teo. Moto centro di massa: Teo. Energia cinetica: Lavoro forze non conservative: υ CM dr CM dr i R ( E) ma CM m dυ CM d W ( E) + W ( I ) E k,b E k,a E k i P m ( mυ CM ) dp E m,b E m,a ( E k + E p ) B ( E k + E p ) A W nc

8 Centro forze parallele: r c OC Centro di gravità, baricentro: r C Momento della forza peso: F i gr i g F i r i m i i r i M OC mg r CM mg r CM Dinamica del corpo rigido Sistemi di punti. Forze interne e forze esterne Nel corpo rigido tutte le possibili coppie di punti si trovano ad una distanza immutabile, si tratta ovviamente di una condizione ipotetica. Leggi fondamentali: Densità: Densità superficiale: Densità lineare: R ma CM, m dl ρ dm dv ρ s dm ds ρ l dm dl, E k W Posizione centro di massa: r CM 1 V r dv Risultante forza peso: Risultante momento: Energia potenziale: F p mg M r CM mg E p mgz CM Moti di traslazione: Quantità di moto: Energia cinetica: p mυ CM E k E k,cm 1 mυ CM Equazione del moto: Momento angolare: Eq. Dinamica base moto rot: R ma CM L r CM p M dl rotazioni Rigide attorno ad un asse fisso Momento angolare: L z L iz ( R i )ω I z ω i

9 ( ) Momenti inerzia asse z: I z R i x i + y i Asse principale di inerzia: L I z ω, L L z, L 1 Calcolo energia cinetica: E k m 1 i i m R i i ω 1 I zω i Lavoro: Potenza istantanea: Processione momento angolare: Energia cinetica: W E k 1 I zω fin P dw I z α M z E k L z I z M dθ mω 1 I zω in Lavoro: W m z dθ Mom. Inerzia corpo continuo. I R dm teorema di Huygens-Steiner e König Teorema H-S: I I c + ma Teorema K: E k 1 I z ω + 1 mυ CM Pendolo composto Periodo: con l I z mh moto di puro rotolamento Velocità centro di massa: υ CM ω r ωr Accelerazione centro di massa: a CM αr Legge del moto centro di massa: F + R + mg ma CM F Accelerazione: a CM m 1+ I mr F Forza resistente: f a + mr Diseguaglianza attrito: F µ s mg 1+ mr I F lim momento angolare momento dell impulso Impulso angolare: t I M L t t 1 ( ) L( t 1 ) L

10 ( ) Momento dell impulso: M r F r F r J L proprietà elastiche dei solidi Carico specifico: σ F S Allungamento lineare unitario: Modulo di Young: Legge di Poisson (sezione): Scorrimento: ε l l E σ ε ε 1 E σ l l r r v l vε v σ l E σ Gθ Modulo di rigidità: G E 1+ v ( ) 1 E Pendolo di torsione: M π G r 4 θ kθ (k costante) l θ θ Lavoro momento esterno: W M ( θ)dθ k θdθ 1 kθ Compressione uniforme: V V Costante beta: β Costante beta nei gas: β p 1 β p F S E (con v coeff. Di Poisson) 3( 1 v) (con v coeff. Di Poisson)