a l Soluzione Prima di tutto bisogna sostituire ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari: a l

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1 Comportmento enio dei terii Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto Poitenio di Torino Eserizio Dt struttur shemtizzt in figur ore e rezioni vinori. Dimensioni: 7 mm, 8 mm, mm; orze, 5 isovere prim in modo ettere. Souzione Prim di tutto isogn sostituire i vinoi e orrispondenti rezioni vinori: Srivimo e tre equzioni di equiirio : 5 mm oppure In entrmi i si i risutto fine ompresi i vori numerii è i seguente: 8 Conviene sempre verifire he somm vettorie dee forze ppite si ugue somm dee rezioni vinori 5 I disegni degi eserizi e non sono in s!

2 Comportmento enio dei terii Eserizio Dt struttur shemtizzt in figur ore e rezioni vinori. Dimensioni: 7 mm, 8 mm, mm; orze, 5 isovere prim in modo ettere. Souzione Sostituzione vinoi on rezioni vinori Srittur equzioni di equiirio Souzione: 6 nhe in questo verifi de somm dee rezioni vinori è positiv. Si noti he gi eserizi e sono in retà ugui. L eserizio inftti può essere risoto on o shem sempiemente dndo un vore ugue ed opposto forz. Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto

3 Comportmento enio dei terii Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto Poitenio di Torino Eserizio Dt struttur shemtizzt in figur ore e rezioni vinori. Dimensioni: 9 mm, 5 mm, 75 mm; orze, 5 isovere prim in modo ettere. Souzione Sostituzione vinoi on rezioni vinori Srittur equzioni di equiirio: Souzione: 4 nhe in questo so somm dee rezioni vinori è ugue somm vettorie dee forze ppite

4 Comportmento enio dei terii Eserizio d Dt struttur shemtizzt in figur ore e rezioni vinori. Dimensioni: 9 mm, 5 mm, 75 mm; orze, 5 isovere prim in modo ettere. Souzione Sostituzione vinoi on rezioni vinori Srittur equzioni di equiirio: Souzione: 6 nhe in questo so somm dee rezioni vinori è ugue somm vettorie dee forze ppite Si noti he gi eserizi e d sono in retà ugui. L eserizio d inftti può essere risoto on o shem d sempiemente dndo un vore ugue ed opposto forz. Poitenio di Torino Pgin 4 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

5 Comportmento enio dei terii Eserizio Con riferimento eserizio trire i digrmmi dee rtteristihe di soeitzione Souzione si onsider tern destrors Tgio 8 omento fettente 94 mm 8 mm Eserizio Con riferimento eserizio trire i digrmmi dee rtteristihe di soeitzione. Souzione si onsider tern destrors Tgio 88 6 omento fettente 6 mm 84 mm Poitenio di Torino Pgin 5 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

6 Comportmento enio dei terii Eserizio Con riferimento eserizio trire i digrmmi dee rtteristihe di soeitzione Souzione si onsider tern destrors Tgio 9 5 omento fettente 5 mm 9 mm Eserizio d Con riferimento eserizio d trire i digrmmi dee rtteristihe di soeitzione Souzione si onsider tern destrors Tgio 5 omento fettente 99 mm 5 mm Poitenio di Torino Pgin 6 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

7 Comportmento enio dei terii Eserizio Un trve di sezione rettngore 6x4 mm ung m, ppoggit e estremità, è soggett d un rio vertie di 6 he gise ne mezzeri. Core e mssime tensioni normi e tngenzii Souzione Coo dee rezioni vinori y x z z 6 y z y y y 6 y y y 6 I risutto ottenuto potev venire fimente intuito per simmetri rispetto mezzeri de geometri e dei rihi. Digrmmi di tgio e di momento fettente o sforzo norme è nuo su tutt trve T y y x xx 6 mm Coo dee tensioni L sezione più soeitt sezione di progetto è que di mezzeri, dove i momento fettente h i vore mssimo in moduo. I oo dee tensioni verrà effettuto soo in te sezione. Si utiizzno e formue: σ x zz mx W σ x zzmin W Poitenio di Torino Pgin 7 di Dt utim revisione // ssimo ossetto f f

8 Comportmento enio dei terii I moduo di resistenz fessione W f ve: W h f mm 6 6 d ui, nei punti di progetto de sezione, ioè quei in ui tensione è mssimminim si h σ x zz σ x mx 6 P zz min P Wf 4 Wf 4 Si noti he, poihè i momento x è negtivo ne nostro sistem di riferimento, tensione mssim di trzione si trov ne prte inferiore de sezione, mentre ne prte superiore e tensioni sono di ompressione. rigore in quest sezione non si potreero utiizzre e formue viste perhè simo in un zon di ppizione dee forze. E omunque onsuetudine in questi si non onsiderre gi effetti oi. e sezione onsidert i tgio risut nuo, o megio present un disontinuità. Se i si spost di un ε pioo piere d sezione di progetto, dove e tensioni di fessione possono onsiderrsi ugui quee de sezione di progetto, si trov un tgio non nuo. Coimo e tensioni dovute tgio in te sezione. Ty τ mx P 64 L tensione tngenzie mssim gise in orrispondenz de sse neutro, ioè in un punto diverso d dove gisono e tensioni normi mssime. Si noti inotre he e tensioni tngenzii sono moto pioe, i he pit qundo si hnno trvi snee. In questi si i oo dee tensioni dovute tgio è de tutto superfuo. Questo oo può invee essere importnte on i profiti prete sottie, in ui e tensioni tngenzii possono essere eevte. Eserizio 4 Un trve IPE UI 598 ung m è soggett i rihi inditi in figur. Determinre e tensioni genti su trve. 5 K 5 K x Crtteristihe de sezione:. mm J xx.8 6 mm 4 J yy.77 5 mm 4 Poitenio di Torino Pgin 8 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

9 Comportmento enio dei terii Souzione Coo dee rezioni vinori H V V H V 5k V V V 5k I risutto ottenuto potev venire fimente intuito per simmetri rispetto mezzeri de geometri e dei rihi. Digrmmi di Tgio e di omento fettente Si noti he i momento è ostnte ne zon ompres fr e due forze e he di onseguenz i tgio, he è derivt de momento, è nuo in quest zon. 5 k T y 5 k x 5 75 m 5 Coo dee tensioni Tensioni dovute momento fettente. Le sezioni dove e tensioni dovute momento fettente sono mssime sono quee omprese fr e diue forze. Le tensioni mssime si hnno nee pittnde ioè estremit de sezione e sono di trzione in sso e di ompressione in to. σ mx x 75 y mx 6 4 P J xx 8. 6 Tensioni dovute tgio. Trttndosi di un profito prete sottie onviene vutre e tensioni dovute tgio, nhe se trve risut sne. Vi sono tensioni dovute tgio soo nee due estremità de trve esterno dee due forze ppite. L tensione mssim si h ne nim in orrispondenz de ine d sse e ve: Poitenio di Torino Pgin 9 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

10 Comportmento enio dei terii Eserizio 5 T y.... τ mx s h sh s J P xx Un trve instrt ung 5 mm, di sezione irore 5 mm, è soggett d un momento torente z 6 m, d un rio distriuito in direzione vertie q di 7 /m diretto verso i sso, d un rio y verso to ed un rio in direzione orizzonte x, ppiti estremità ier de sezione. Core tensione idee ne punto più soeitto de trve. y x q y x 5 z z Souzione Si trtt di un proem tridimensione, he onviene seprre tre proemi: uno retivo omportmento torsione, uno ne pino yz e uno ne pino xz. Comportmento torsione L rezione vinore momento torente srà un momento torente ugue e ontrrio queo ppito. I digrmm di momento torente srà quindi: t 6 m Tutte e sezioni sono ugumente soeitte torsione. L tensione tngenzie mssim ve: τmx 6 t 6 6 π π 5 4 P D Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto

11 Comportmento enio dei terii Pino xz ezioni vinori i iy x x H i V ix x V ix x V ix i iy x iy x 6 m Digrmmi di tgio e di momento fettente T x ymx 6 m Pino yz ezioni vinori i H i q V iy y q V iy x q 65 ix y i ix x q / iy y q / 4.5 m H i V iy Digrmmi di tgio e di momento fettente. Per trire i digrmmi di tgio e momento onviene utiizzre un oordint oe ζ on origine estremità ier de menso. I digrmmi di tgio di tgio e di momento fettenete risutno: T y ζ y T y y qζ* T ymx T ymin 65 x x qζ / y ζ xmx 4.5 m omento fettente ompessivo e oo dee tensioni L situzione dei momenti è que indit in figur. Poihé sezione è irore onviene ore punto per punto i momento ompessivo on formu: Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto

12 Comportmento enio dei terii y x x y I vore mssimo de momento ompessivo si trov instro, dove sono mssimi entrmi i momenti x e y. mx 78. m L tensione norme è ot su se de momento ompessivo mssimo: σ mx 78 mx π π5 7 P D Ii digrmm disegnto non gie su un unio pino. Inftti i rpporto fr i momenti nei due pini non si mntiene ostnte. Questo è vero in genere qundo i digrmmi sui due pini seguono eggi diverse. L direzione in ui gise i tgio ompessivo: Ty ϕ rtg. 496 rd 8. 4 Tx differenz di qunto vviene ne so pino, non è ortogone direzione in ui gise i momento ompessivo: y ϑ rtg. 969 rd 555. x T y y T ϕ y y y ndmento τ medie ndmento σ T x x x θ x x Questo ftto omport he dove tensione di fessione è mssim minim tensione dovut tgio non è nu. Poihé e tensioni dovute tgio nee trvi snee sono omunque pioe rispetto e tensioni di fessione, esse vengono di norm trsurte. Si noti inotre he i vore fornito de formue di Jourwski fornisono soo i vore medio Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto

13 Comportmento enio dei terii de tensione ungo un ord, e non i vore e estremità, dove omunque e tensioni τ devono essere tngenti profio de sezione. L tensione idee, seondo ipotesi di Tres, ve: σ id mx σ 4 τ mx 9 P Eserizio 6 L figur iustr shemtimente un sse ferrovirio on i rihi d esso ppiti. Si noti he, us de geometri de onttto fr ruot e roti, se roti ppi un rio P in direzione vertie, srà presente nhe un rio orizzonte P pri d un ventesimo di P.ne nostro so 5. Core e tensioni genti ne trtto fr e due ruote. φ 9 φ k φ 6 k P P/ 5 5 P Souzione Shemtizzzione e oo dee rezioni vinori. I proem può essere shemtizzto ne modo indito in figur. Si noti he in orrispondenz degi ppoggi gisono due rihi normi he si equiirno e due oppie C pri rio ssie per i rggio di onttto de ruot: C P 5.46 m. P P C C P P P P C C P P V V Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto

14 Comportmento enio dei terii D ui V P P C C V P V P P C C V P P V k P V k ome ovvio per rgioni di simmetri. Digrmmi di sforzo norme, tgio e momento fettente. Equzioni per i digrmm di momento 5 P Per z < : k T k z P C P z Per z > : 5 m 7 m V P zv zc P C Tensioni ne trtto fr e due ruote dovute o sforzo norme. 4 4 σ 5 5. P π D π 6 Come si vede e tensioni dovute o sforzo norme in questo so sono insignifinti. Tensioni ne trtto fr e due ruote dovute momento fettente. σ mx 7 P σ mx 7 mx 68 min 68 P π D π 6 π D π 6 Tensioni ompessive In questo speifio so e tensioni dovute o sforzo norme sono trsurii, m in genere si deve riordre he e tensioni dovute o sforzo norme e quee dovute momento fettente si sommno gerimente. rigore quindi i punto più soeitto ne nostro so è queo in ompressione, mentre i punto de sezione in trzione risut eggermente srito. Le tensioni nei due punti estremi srnno quindi: σ σ σ P σ mx min σ mx min σ P Poitenio di Torino Pgin 4 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

15 Comportmento enio dei terii Eserizio 7 e figur è shemtizzto i rio di un prno formto d un trve orizzonte di sezione rettngore v inerniert in un muro e d un st he funge d tirnte. Core e tensioni genti. Sez. 4 6 Sez. P 5 Dti: m ;.5 m;.9 m mm; P 5 k Souzione Coo dee rezioni vinori. L struttur è formt d due orpi oegti on un ernier he non interrompe ontinuità de trve prinipe. Si possono quindi srivere e equzioni di equiirio dei due orpi presi seprtmente V H V C x y H C z V V C H C H P st eemento he sopport soo rihi normi, genti ungo sse de orpo. Sono ste tutti i orpi inernierti e estremità in ui i rihi sono ppiti soo in orrispondenz dee erniere. L risutnte dee forze ppite è dirett ungo sse de st. Tirnte st post in trzione. Puntone st post in ompressione. Poitenio di Torino Pgin 5 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

16 Comportmento enio dei terii V VC H HC HC VC V VC P H HC HC VC P isovendo queste equzioni si ottiene: H H P C H V V P C 7 V P VC Si noti he risutnte dee rezioni vinori e estremità de st è dirett ungo sse de st stess: V V tn α 6. tn β C 6. H H Digrmmi dee rtteristihe di soeitzione T y C m 45 m x Si noti he: su st gise soo uno sforzo norme di trzione; ne prte di trve viin muro gisono si un momento fettente si uno sforzo norme di ompressione; i digrmm di momento fettente de trve present un sto pri oppi ppit d H, ioè pri H m. Coo dee tensioni st. L uni rtteristi di soeitzione è o sforzo norme. L tensione ve: 995 σ P 48 8 Poitenio di Torino Pgin 6 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

17 Comportmento enio dei terii Trve. I moduo di resistenz fessione W f ve: W h s h s f mm Le tensioni mssime e minime ne sezione in ui si h i momento mssimo vgono: σ x. 6 P σ x mx min P Wf 488 Wf 488 e trtto fr e due erniere si h un momento fettente ed uno sforzo norme. Le tensioni dovute o sforzo norme vgono: σ 7P entre in questo trtto e tensioni minim e mssim ne sezione ppen preedente ernier vgono: σ x. 6 P σ x. 6 mx 97 min 97 P Wf 488 Wf 488 In quest sezione i punto più soeitto è queo in ompressione dove si h un tensione ompessiv pri 4 P. Eserizio 8 L figur iustr shemtimente ero di rinvio fr due ruote dentte denti diritti on ngoo di pressione di. I usinetto di sinistr è oto si su neo esterno si su neo interno e sopport eventui rihi ssii; i usinetto di destr è iero di muoversi ssimente. Spendo he i momento torente trsmesso è di m, ore e tensioni genti su ero. Dimetro primitivo φ Dimetro primitivo φ 8 t r t φ4 φ5 φ5 φ4 r Poitenio di Torino Pgin 7 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

18 Comportmento enio dei terii Souzione In primo uogo oorre ore e forze genti su ero. E noto he forz tngenzie gente su ruot è pri momento torente diviso i rggio primitivo e he forz rdie si ottiene motipindo forz tngenzie per tngente de ngoo di pressione. Si vrà quindi: t 4 t 5 Dp Dp 8 tn 456 tn 8 r t r t I usinetti possono essere shemtizzti on degi ppoggi. Tenendo onto dee dimensioni in figur shemtizzzione de ero è que riportt sotto uot uot 6 Le forze risutnti non stnno su un unio pino, quindi onviene somporre i proem fessione nei due pini tngenzie e rdie. Comportmento torsione I momento torente gise ne trtto fr e due ruote; i digrmm di momento torente srà quindi queo riportto ne figur. L t m 6 e tensioni nomini mssime dovute momento torente si srnno diverse nei due trtti on dimetro 4 e 5 mm: τmx φ4 t τmx φ π π 4 6 P 5 t π π 5 8 P D D Comportmento fessione ne pino rdie. Le forze rdii sono onordi; si h quindi seguente situzione: H r r r V r V r 6 Poitenio di Torino Pgin 8 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

19 Comportmento enio dei terii rezioni vinori Hr Vr r r 6 V r r 6 r 94 Vr r r 6 Vr r r 6 8 digrmmi di tgio e momento fettente T r fr 9 mm 8 mm Comportmento fessione ne pino tngenzie. Le forze tngenzii sono disordi; si h quindi seguente situzione: H t t V t V t 6 t rezioni vinori Ht Vt t t 6 V t t 6 t 45 Vt t r 6 Vr t t 6 5 Poitenio di Torino Pgin 9 di Dt utim revisione // ssimo ossetto

20 Comportmento enio dei terii digrmmi di tgio e momento fettente 5 T t 5 ft 5 mm mm Si noti he, per omodità, imo utiizzto in entrmi i si e onvenzioni di segno de pino yz. omento fettente ompessivo e oo dee tensioni di fessione. Poihé ero è sezione vriie onviene riportre in digrmmi distinti ndmento de momento fettente ompessivo, de moduo di resistenz e i digrmm dee tensioni dovute momento fettente ondo i vori nei punti signifitivi. In orrispondenz dee ruote non vengono svoti i oi dee tensioni, he sreero poo signifitivi. e te seguente sono riportti i oi nei vri punti oordint d estremo sinistro. Coord. rd. mm tng. mm tot mm D mm W f mm σ p sx dx sx dx sx dx sx dx sx dx isutno quindi i seguenti digrmmi, ottenuti on un fogio eettronio, m he sono fimente otteniii nhe mnumente. Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto

21 Comportmento enio dei terii mm Digrmm omento Tote mm mm Digrmm oduo di esistenz mm P 6 5 Digrmm Tensioni di essione mm Poitenio di Torino Pgin di Dt utim revisione // ssimo ossetto