Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria M2 (Alunni di Seconda Media)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria M2 (Alunni di Seconda Media) Quesito Risposta esatta A B C D E D A B A B Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [Ma qual è il distacco?] (vale 4 punti) Antonio è partito mezz ora prima di Claudia. Nicola è partito venti minuti dopo Antonio. Maria è partita cinque minuti prima di Claudia. Vittorio è partito quindici minuti dopo di Antonio. Se tutti i ragazzi, camminano con la stessa andatura e fanno lo stesso tragitto, quando arrivano alla fine del tragitto quale sarà il distacco tra il primo arrivato ed il quarto arrivato? A) 25 minuti; B) 1 quarto d ora C) mezz ora; D) 20 minuti E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) 25 minuti Secondo le informazioni i ragazzi arriveranno rispettando quest ordine: Antonio; Vittorio (dopo 15 minuti); Nicola (dopo 20 minuti); Maria (dopo 25 minuti) e, infine, Claudia, dopo 30 minuti. Il distacco tra il primo (Antonio) ed il quarto (Maria) sarà 25 minuti. Quesito 2 [Raccolta delle olive!!] (vale 4 punti) Cinque persone impiegano, lavorando allo stesso ritmo, 6 giorni per la raccolta di 60 quintali di olive. Quanto impiegherebbero tre persone per compiere lo stesso lavoro? A) un mese; B) 10 giorni; C) 16 giorni; D) 20 giorni; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 10 giorni. Il problema si può risolvere in tanti modi!! Se cinque persone, in 6 giorni raccolgono 60 q di olive, allora le stesse cinque persone raccoglieranno in un giorno una quantità pari alla sesta parte di 60 q cioè 10 q. Ma se cinque persone, in un giorno raccolgono 10 q di olive, allora una sola persona, ammesso che tutti lavorano allo stesso ritmo, raccoglierà la quinta parte di 10 q cioè 2 q di olive. A questo punto il problema, praticamente è risolto. Se in un giorno una persona raccoglie 2 q di olive, allora, in un giorno, tre persone ne raccoglieranno q(2x3) = 6 q. Alla fine occorreranno 10 giorni a tre persone per finire la raccolta delle olive: q(6x10) = 60 q. Quesito 3 [ Qual è il numero mancante?] (vale 4 punti) Qual è il numero mancante nella seguente successione: 25; 28;??; 37; 43; 50. A) 28; B) 30; C) 32; D) 34; E) Nessuno dei precedenti. Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 1

2 Risposta esatta: C) 32. Passando dal primo numero al successivo l aumento è di 3. Passando dal secondo numero al successivo l aumento non si conosce!! Passando dal terzo numero al successivo l aumento non si conosce!! Passando dal quarto numero al successivo l aumento è di 6. Passando dal quinto numero al successivo l aumento è di 7. Quindi nelle due righe l aumento (che non si conosce) dovrà essere rispettivamente di 4 e di 5. Infatti: 28+4 = 32; Poi: 32+5 = 37 che ritroviamo al quarto posto nella successione. Continuando con la stessa regola (il numero da aggiungere va via via aumentando sempre di 1). Verifichiamo l esattezza degli ultimi due numeri della successione: 37+6= 43; 43+7 = 50. Quesito 4 [La pulizia è bella, ma quanto costa!!!!] (vale 4 punti) Il comune di Vattelaapesca ha affidato la pulizia delle strade alla Ditta Nitidor & Lucente. Questa ditta si è impegnata, con due spazzatrici (autobotti speciali dotate di spazzole rotanti), ad effettuare il lavaggio e la spazzolatura delle strade del Centro Storico per tutti i giorni dell anno, dalle ore 4 alle ore 7 del mattino. Questo servizio costa al giorno per ogni spazzatrice. Quanto viene a spendere, quel comune, per tutto il 2010? A) ; B) ; C) ; D) ; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: D) Se una spazzatrice costa al giorno, due spazzatrici costeranno il doppio, cioè al giorno. Se il costo della spazzolatura e lavaggio delle strade costa a quel comune al giorno, nel 2010, la spesa sarà uguale a (365x240.00) = Quesito 5 [Frutta.in equilibrio!!!] (vale 5 punti) Si sa che 4 banane pesano come una fetta di cocomero mentre 2 banane pesano come una fetta di zucca. Una zucca intera è formata da 4 spicchi e un cocomero intero è formato da 8 fette. Sei pere pesano come tre fette di zucca. In una bilancia a due piatti, quante pere devo mettere su un piatto se sull altro piatto ci sono una zucca intera e due fette di cocomero? A) 8 pere; B) 12 pere; C) 4 mele; D) 3 mele; E) Nessuna delle precedenti. Risposta giusta: E) 16 pere Le alternative C) e D) si escludono subito in quanto il quesito chiedeva quante pere (escludendo una frutta diversa!!!). La B) è sbagliata: una zucca intera è equivalente ad 8 pere, mentre 2 fette di cocomero sono equivalenti ad un altra zucca. In tutto ci vogliono 8+8 pere cioè 16 pere. Non resta che l alternativa E). Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 2

3 Quesito 6 [Mi raccomando!!!.. non fate crollare questa piramide!!!!] (vale 5 punti) In questa piramide i numeri sui mattoni sono messi in moto tale che un numero è il risultato della somma dei numeri scritti sui due mattoni immediatamente sottostanti. Per esempio,il numero del mattone E è la somma dei numeri che stanno sui due mattoni H ed I. Nel mattone indicato con la lettera G che numero dobbiamo mettere? A=983 B C=500 D=239 E = F= G H I L=109 A) 97; B) 119; C) 239; D) 142; E) Nessuno dei precedenti. La risposta giusta è la D) = 142. Si parte dall alto: B= A-C = =483; E= B-D= = 244; F = C-E = =256; I=F-L = = 147; H = E-I= = 97; G=D-H = = 142; A=983 B=483 C=500 D=239 E=244 F=256 G=142 H=97 I=147 L=109 Quesito 7 [Una somma di cui non si vuole sapere il risultato] (vale 5 punti) Sapendo che: ha per risultato un numero con 15 cifre; ha per risultato un numero con 16 cifre; ha per risultato un numero con 18 cifre; ha per risultato un numero con 19 cifre; ha per risultato un numero con 21 cifre; ha per risultato un numero con 23 cifre; ha per risultato un numero con 24 cifre; ha per risultato un numero con 26 cifre; questa somma: quante cifre avrà: A) 26; B) 49; C) 50; D) 162; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) 26. In questa somma = è quello che vale di più e anche se ci fossero dei riporti non farebbero mai alzare la prima cifra a sinistra (quella che vale di più) = = = = = = = = In una somma con addendi aventi un numero di cifre non uguali, assorbe molto di più l addendo con più cifre. Naturalmente non è necessario il calcolo (è stato riportato solo a titolo esemplificativo). Quesito 8 [Maschio o femmina???] (vale 5 punti) Nella famiglia di Pasquale ci sono due figli, dei quali uno è maschio (Pasquale, appunto); qual è la probabilità che l altro figlio sia femmina? A) 1 su 2; B) 2 su 3; C) 3 su 4; D) 4 su 5; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 2/3 Indichiamo con M il figlio maschio e con F il figlio femmina. Con M-M indichiamo due figli (appartenenti a quella famiglia) entrambi maschi, sia il primogenito che il secondogenito. Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3

4 Con M-F indichiamo due figli (appartenenti a quella famiglia) uno maschio, il primogenito ed una femmina, il secondogenito. Con F-M indichiamo due figli (appartenenti a quella famiglia) uno femmina, il primogenito ed uno maschio, il secondogenito. Con F-F indichiamo, infine, due figli (appartenenti a quella famiglia) uno femmina, il primogenito ed uno femmina, il secondogenito. Siccome sappiamo che in quella famiglia già c è una maschio (M) dei quattro casi possibili: M-M, M-F, F-M, F-F l ultimo è da scartare perché non c è un maschio che sappiamo esserci. Restano perciò tre casi possibili: M-M, M-F, F-M. Non sapendo il sesso del primogenito, abbiamo due casi in cui ad un maschio (M) si accoppia una femmina (F): M-F ed F-M. Abbiamo perciò due casi su tre possibili. Quindi la risposta B) è quella giusta. La risposta ½ sarebbe stata esatta solo nel caso avessimo detto che Pasquale era il primogenito!!! Quesito 9 [Ritrovate le lettere!!!] (vale 6 punti) A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z Tenendo conto dell ordine che le lettere hanno nell alfabeto italiano, nella serie: A - O D R quali sono le due lettere che mancano? Attenzione: quando si arriva alla 21 a lettera (la Z) si ricomincia da capo (dalla A), o viceversa. A) G-U; B) D-U; C) F-T; D) G-V; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) G-U. Il criterio scelto è quello di saltare undici lettere alla volta, procedendo in avanti. Partendo dalla A e saltando 11 lettere (B, C, D, E, F, G, H, I, L, M, N) si arriva alla O. Dalla lettera O, saltando sempre 11 lettere (P, Q, R, S, T, U, V, Z, A, B, C) si arriva alla D. Dalla lettera D, saltando sempre 11 lettere (E, F, G, H, I, L, M, N, O, P, Q) si arriva alla R. Dalla lettera R, saltando 11 lettere (S, T, U, V, Z, A, B, C, D, E, F) si arriva alla G. Ed infine, saltando altre 11 lettere (H, I, L, M, N, O, P, Q, R, S, T) si arriva alla U. Quindi le lettere mancanti sono, nell ordine: G-U che corrisponde all alternativa A). Nota Bene: Si otteneva lo stesso risultato (con un criterio leggermente più complicato) saltando otto lettere alla volta, ma andando all indietro. Ricordiamo che una successione incompleta (di lettere, di numeri, ecc.) ha più criteri di formazione che la soddisfano (individuabili con maggiore o minore difficoltà). Tra questi, poi, è preferibile scegliere quello più facile o che si conosce meglio. Quesito 10 [Pensa, pensa.il numero giusto!!!] (vale 6 punti) Pensa un numero. Moltiplicalo per 4. Moltiplica ancora il risultato per 3. Dividi il numero, così ottenuto, per 6. Se moltiplichi il risultato così ottenuto per 5, quale dei seguenti numeri puoi ottenere come risultato finale? A) 404; B) 240; C) 204; D) 264; E) 412. La risposta esatta è la B) 240. Qualsiasi sia il numero pensato, dopo aver effettuato le operazioni indicate dal problema, il numero ottenuto deve essere per forza un multiplo di 10 (4x3:6x5 =12:6x5=2x5=10). Tra i numeri indicati solo 240 è un multiplo di 10. Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 4

5 Quesito 11 [I listelli di Peppino Mastro Appiccica.] (vale 6 punti) Il falegname Peppino Mastro Appiccica ha una serie di listelli di legno di uguale lunghezza. Siccome sono lunghissimi, prima li divide in tre parti uguali. Esamina attentamente i pezzi così ottenuti e ne scarta 15 perché li trova difettosi. Divide ciascuno dei listelli rimasti in due parti uguali ed esegue ancora un controllo sui pezzi ottenuti. Dopo averne scartati 30, si ritrova con 180 listelli buoni. Quanti listelli aveva all inizio Mastro Appiccica? Risposta esatta: 40. Basta rifare le operazioni andando all indietro. Se Mastro Appiccica, alla fine si ritrova con 180 listelli buoni, vuol dire che prima che ne scartasse 30, i listelli erano 30 in più cioè (180+30) = = 210. Ma 210 è il risultato della divisione in due parti dei listelli ritenuti idonei dopo la prima operazione di divisione. Quindi dopo la prima operazione e dopo lo scarto, i listelli rimasti sono 210:2 = 105, a cui bisogna aggiungere i 15 scartati dopo la prima operazione di taglio: = 120 sono il risultato dei listelli iniziali tagliati ciascuno in tre parti. Siccome sono il risultato della divisione in tre parti uguali di ciascuno dei listelli originari, questi erano la terza parte di 120, cioè 40 (120:3 = 40). Quesito 12 [Ma qual è la distanza da un capolinea all altro?..!!] (vale 6 punti) Il trenino che fa servizio nella Città dei Ragazzi, che si trova nella Provincia della Città degli Adulti, ha in tutto 25 fermate. La distanza tra una fermata e quella successiva è sempre la stessa: 200 metri. Partendo dal capolinea (prima fermata) fino all altro capolinea (venticinquesima ed ultima fermata), quanti chilometri percorre quel trenino? Risposta esatta: 4.8. Dalla prima all ultima fermata (la venticinquesima), il trenino percorre esattamente 24 tratti di binario lunghi ciascuno 200 metri. Perciò il trenino percorre 4800 metri. (24x200) che corrispondono a 4.8 km. Quesito 13 [La lumaca con i freni rotti] (vale 8 punti) Una lumaca sta salendo un muro alto 12 metri. Il primo giorno sale di 3 metri, ma, durante la notte, scivola in giù di 1 metro. Nel secondo giorno, essendo più allenata, sale di 4 metri, ma, durante la notte, essendo più stanca, scivola giù di due metri. La stessa cosa avviene nei giorni successivi: sale di giorno (per poi scivolare di notte), sempre di un metro in più rispetto ai metri percorsi il giorno precedente. Dopo quanti giorni, la lumaca, arriverà in cima al muro? Risposta esatta: 4 giorni Ricapitolando: 1 giorno sale di 3 m e scivola poi di 1 m; all inizio del 2 giorno si trova a 2 m di altezza. 2 giorno sale di 4 m e scivola poi di 2 m; all inizio del 3 giorno si trova a 4 m di altezza. 3 giorno sale di 5 m e scivola poi di 3 m; all inizio del 4 giorno si trova a 6 m di altezza. 4 giorno sale di 6 metri e scivola poi di 4 metri; ecc. ecc. Siccome nel quarto giorno percorre 6 metri, alla fine della giornata arriverà in cima al muro. Essendo arrivata, nella notte del quarto giorno non potrà più scivolare in giù!!! Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5

6 Quesito 14 [Che numero mettiamo al posto della X?] (vale 8 punti) In questa tabella sono indicati otto di sedici numeri interi tutti diversi. La somma dei numeri posti nelle 4 caselle di ogni riga, nelle 4 caselle di ogni colonna e nelle 4 caselle di ognuna delle due diagonali è sempre la stessa e vale 50. Qual è il numero da inserire nella casella grigia (al posto della X)? X Risposta esatta: 5 Sommando i tre numeri presenti nella prima colonna otteniamo: ( ) = 40. Il numero da inserire nella casella C-1 sarà allora 10 (50-40). Sommando i tre numeri presenti nella seconda colonna otteniamo: ( ) = 42. Il numero da inserire nella casella D-2 sarà allora 8 (50-42). Sommando i tre numeri presenti nella terza riga otteniamo: ( ) = 39. Il numero da inserire nella casella C-3 sarà allora 11 (50-39). Sommando i tre numeri presenti nella diagonale (che collega le due caselle A-1 a D-4) otteniamo: ( ) = 45. Il numero da inserire nella casella D-4 (al posto della X sarà allora 5 (50-45). FINE A 14 9 B C D Fig. 1 A 14 9 B C D Fig Fig. 3 Per una verifica (che ci fa stare più tranquilli), procedendo nello stesso modo troviamo i numeri mancanti (che per il nostro problema non era necessario). Eseguendo le somme come indicato in fig. 3 verifichiamo che le dieci somme, indicate dalle frecce, danno come risultato sempre 50. Inoltre i numeri risultano essere consecutivi (da 5 fino a 20). Quesito 15 [Quanti 2 occorrono?] (vale 12 punti) Volendo scrivere tutti i numeri minori di 800, che finiscono per 2, quante volte dovrò adoperare la cifra 2? Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6

7 Risposta esatta: 98 Infatti abbiano 80 numeri che presentano il 2 al posto delle unità: 2, 12,. 82, , 112, 122,.192, 202, 212,.792. Abbiamo 8 numeri che presentano il 2 al posto delle decine (22, 122, 222, 322,.. 722) Abbiamo dieci numeri che presentano il 2 al posto delle centinaia (202, ). In tutto ( ) = 98. A solo titolo esemplificativo riportiamo i numeri: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162, 172, 182, , 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, , 312, 322, 332, 342, 352, 362, 372, 382, 392, 402, 442, 422, 432, 442, 452, 462, 472, 482, , 512, 522, 532, 542, 552, 562, 572, 582, , 612, 622, 632, 642, 652, 662, 672, 682, 692, 702, 712, 722, 732, 742, 752, 762, 772, 782, 792 Quesito 16 [Aprite bene gli occhi!!!] (vale 12 punti) Quanti quadrati vedete nella figura? Risposta esatta: I quadrati sono in tutto 47. I quadrati 1x1 sono in tutto 21 (vedi fig. 1); i quadrati 2x2 sono in tutto 8 (vedi fig. 2); i quadrati 3x3 sono in tutto 3 (vedi fig. 3); i quadrati 4x4 sono in tutto 4 (vedi fig. 4); i quadrati 5x5 sono in tutto 5 (vedi fig. 5); i quadrati 6x6 sono in tutto 6 (vedi fig. 6); Ricapitolando i quadrati presenti nella figura sono: [ ] = 29+18= 47. Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 7

8 Fig quadrati 1x1; Fig. 2-8 quadrati 2x2; [2x3+2] Fig. 3 3 quadrati 3x3; Fig. 4-4 quadrati 4x4; Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 8

9 Fig. 5-5 quadrati 5x5; Fig. 6-6 quadrati 6x6. Soluzioni_M2_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 9