SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 1 Elementi di base, classificazione dei fenomeni statistici, distribuzioni di frequenza e relative rappresentazioni

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1 SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 1 Elementi di base, classificazione dei fenomeni statistici, distribuzioni di frequenza e relative rappresentazioni grafiche ESERCIZIO nr. 1 Le famiglie residenti al civico nr. 3 di Via Giovanni Pascoli in una certa città italiana sono state classificate rispetto al titolo di godimento della loro abitazione; i dati grezzi cosí ottenuti sono i seguenti: Affitto Affitto Proprietà Proprietà Proprietà Affitto Altro Affitto Proprietà Proprietà Proprietà Affitto Altro Affitto Proprietà Proprietà Affitto Affitto Proprietà Proprietà Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti: 1. si identifichi la popolazione statistica presa in esame e se ne specifichi la numerositá La popolazione statistica presa in esame é: U: famiglie residenti al civico nr. 3 di Via Giovanni Pascoli in una certa cittá italiana. Poiché ad ogni unitá statistica della popolazione considerata corrisponde un solo dato grezzo, la numerositá N di U corrisponde al numero dei dati grezzi riportati dal testo dell esercizio, ossia: N = Si identifichi il fenomeno statistico di interesse, precisandone la natura ed esplicitandone la scala delle modalità utilizzata ai fini della relativa rilevazione Il fenomeno statistico di interesse é: X: titolo di godimento dell abitazione. Poiché le relative modalitá sono rappresentate da attributi, X é un fenomeno qualitativo; inoltre, poiché tra le relative modalitá non é possibile istituire un ordinamento obiettivo ed universalmente riconosciuto, ma soltanto personale o casuale, X é di tipo categoriale. In definitiva, il fenomeno statistico di interesse é di tipo qualitativo categoriale. La scala delle modalitá con cui X é stato rilevato su U é dunque di natura qualitativa sconnessa ed é la seguente:

2 {x 1 = Affitto, x 2 = Proprietá, x 3 = Altro }; si noti che l ordine con cui sono state elencate le modalitá di X coincide con l ordine con cui esse si sono presentate nella rilevazione di X su U; trattasi dunque di un ordinamento dettato da motivazioni assolutamente personali: qualunque altro ordinamento sarebbe stato assolutamente indifferente. 3. Si espliciti la variabile statistica in questione La variabile statistica in questione é rappresentata dall insieme delle coppie: X = {(x i, f i ), i = 1, 2, 3 : 3 f i = 20}, i=1 ove f i rappresenta la frequenza assoluta associata alla modalitá x i di X, i = 1, 2, 3. Pertanto, tramite il conteggio del numero di famiglie in affitto (ossia il numero di volte con cui la modalitá Affitto figura nei dati grezzi), del numero di famiglie proprietarie dell appartamento in cui vivono (ossia il numero di volte con cui la modalitá Proprietá figura nei dati grezzi) e del numero di famiglie con altro titolo di godimento dell abitazione (ossia il numero di volte con cui la modalitá Altro figura nei dati grezzi), risulta: X = {(x 1 = Affitto, f 1 = 8), (x 2 = Proprietá, f 2 = 10), (x 3 = Altro, f 3 = 2)}. Si noti che il conteggio effettuato ha esaurito la totalitá delle famiglie costituenti la popolazione statistica presa in esame; infatti: 3 i=1 f i = f 1 + f 2 + f 3 = = 20. Equivalentemente, in formato tabellare: x i f i Affitto 8 Proprietá 10 Altro 2 N = 20 Si supponga ora che la rilevazione del titolo di godimento dell abitazione presso le famiglie residenti al civico nr. 1 della stessa via nella stessa città italiana abbia prodotto i seguenti dati grezzi: Affitto Affitto Proprietà Affitto Altro Altro Affitto Proprietà Proprietà Affitto Altro Proprietà Proprietà Affitto Altro Proprietà Affitto Proprietà Affitto Proprietà Proprietà Affitto Altro Affitto Proprietà Affitto Affitto Affitto Affitto Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti:

3 4. si confrontino le distribuzioni di frequenza del fenomeno in questione nelle due popolazioni considerate La seconda popolazione statistica presa in esame é: U 2 : famiglie residenti al civico nr. 1 di Via Giovanni Pascoli in una certa cittá italiana. Operando come esplicitato al punto 1, ossia contando il numero dei dati grezzi riportati dal testo dell esercizio, la numerositá di U 2 risulta: N 2 = 29. Poiché U e U 2 presentano numerositá differenti, il confronto delle distribuzioni di frequenza di X nelle due popolazioni considerate deve essere basato sulle frequenze relative. Ció premesso, la distribuzione di frequenza relativa di X su U risulta come segue: x i f i p i = f i /N Affitto 8 p 1 = f 1 /N = 8/20 = 0.4 Proprietá 10 p 2 = f 2 /N = 10/20 = 0.5 Altro 2 p 3 = f 3 /N = 2/20 = 0.1 N = 20 1 Con riferimento a U 2, tramite il conteggio del numero di famiglie in affitto, del numero di famiglie proprietarie dell appartamento in cui vivono e del numero di famiglie con altro titolo di godimento dell abitazione, si perviene alla determinazione della distribuzione di frequenza di X su U 2, conseguentemente, dividendo per N 2, alla distribuzione la frequenza assoluta e la frequenza relativa associate alla modalitá x i di X in U 2 (i = 1, 2, 3), le distribuzioni di frequenza in questione risultano come segue: di frequenza relativa; indicate rispettivamente con f (2) i e p (2) i x i f (2) i p (2) i = f (2) i /N 2 Affitto 14 p (2) 1 = f (2) 1 /N 2 = 14/29 = /N 2 = 10/29 = /N 2 = 5/29 = N 2 = 29 1 Proprietá 10 p (2) 2 = f (2) Altro 5 p (2) 3 = f (2) Si rende ora necessario esplicitare un piccolo accorgimento (senza entrare troppo nel dettaglio della questione) circa la determinazione del valore numerico delle frequenze relative. Come ben noto, le frequenze relative associate alle diverse modalitá di X hanno somma pari a 1, pertanto i valori numerici riportati per esse nella tabella devono effettivamente avere somma pari a 1. Nella determinazione della distribuzione di frequenza relativa di X su U non é sorto alcun problema poiché i valori numerici delle frequenze relative non sono risultati caratterizzati da un numero di cifre dopo la virgola talmente elevato da non potersi riscrivere tutto quanto su un foglio. Al contrario, il problema sorge con riferimento a U 2. É opportuno, a tal proposito, seguire i presenti accorgimenti:

4 a. decidere il numero di cifre dopo la virgola da mantenere nella scrittura del valore (nel prosieguo, ove necessario, ció verrá esplicitato direttamente dal testo dell esercizio): in questa sede si é supposto di mantenere 3 cifre dopo la virgola; a questo punto si aprono tre strade: b1. se la prima cifra dopo la virgola scartata (nel nostro caso la quarta) é maggiore di 5, allora l ultima cifra dopo la virgola riportata nella scrittura del numero (nel nostro caso la terza) deve essere aumentata di 1 (approssimazione per eccesso): cosí si é operato nel presente caso con riferimento all approssimazione di 1 = f (2) 1 = 14 N 2 29 = , p (2) ove 2 é la terza cifra dopo la virgola (ossia l ultima che si intende mantenere nella scrittura del numero) e 7 (maggiore di 5) é la prima cifra dopo la virgola da non considerare: nell approssimazione del numero, 2 deve dunque essere aumentato di 1, divenendo 3, cosicché p (2) 1 = 0.483; in maniera analoga, con riferimento a: 2 = f (2) 2 = 10 N 2 29 = , p (2) 4 é la terza cifra dopo la virgola (ossia l ultima che si intende mantenere nella scrittura del numero) e 8 (maggiore di 5) é la prima cifra dopo la virgola da non considerare: nell approssimazione del numero, 4 deve dunque essere aumentato di 1, divenendo 5, cosicché p (2) 2 = 0.345; b2. se la prima cifra dopo la virgola scartata (nel nostro caso la quarta) é minore di 5, allora l ultima cifra dopo la virgola riportata nella scrittura del numero (nel nostro caso la terza) rimane immutata (approssimazione per difetto): cosí si é operato nel presente caso con riferimento all approssimazione di: 3 = f (2) 3 = 5 N 2 29 = , p (2) ove 2 é la terza cifra dopo la virgola (ossia l ultima che si intende mantenere nella scrittura del numero) e 4 (minore di 5) é la prima cifra dopo la virgola da non considerare: nell approssimazione del numero, 2 deve dunque rimanere immutato, cosicché p (2) 3 = 0.172; b3. se la prima cifra dopo la virgola scartata (nel nostro caso la quarta) é uguale a 5, allora l ultima cifra dopo la virgola riportata nella scrittura del numero (nel nostro caso la terza) deve essere aumentata di 1 se dispari e lasciata immutata se pari. Qualora la somma dei valori numerici delle frequenze relative cosí approssimati non risultasse pari a 1 nonostante l applicazione delle suddette regole, si rende necessario mantenere almeno una cifra dopo la virgola in piú rispetto a prima. Ad esempio, se nel presente caso si fossero mantenute solo due cifre dopo la virgola, si sarebbe ottenuto: p (2) 1 = 0.48, p (2) 2 = 0.34, p (2) 3 = 0.17,

5 la cui somma non é 1, bensí Al contrario, se si fosse mantenuta una sola cifra dopo la virgola, si sarebbe ottenuto: p (2) 1 = 0.5, p (2) 2 = 0.3, p (2) 3 = 0.2, la cui somma é effettivamente 1; nel presente caso, peró, nell ottica del confronto richiesto dal testo dell esercizio, si é preferito mantenere un numero di cifre dopo la virgola maggiore di uno. Si noti infine che é buona norma seguire le regole di approssimazione sopra esplicitate ogniqualvolta si abbia a che fare con numeri con cifre dopo la virgola, non soltanto nel calcolo delle frequenze relative. Ció premesso, é possibile concludere che le famiglie in affitto risultano in quota superiore nel civico nr. 1 (48% circa contro il 40% del civico nr. 3), le famiglie proprietarie di appartamento risultano in quota superiore nel civico nr. 3 (50% contro il 34% circa del civico nr. 1), mentre le famiglie con altro titolo di godimento dell abitazione risultano in quota superiore nel civico nr. 1 (17% circa contro il 10% del civico nr. 3). Si noti che se ai fini del presente confronto si fosse fatto ricorso alle frequenze assolute anziché alle frequenze relative, si sarebbe erroneamente concluso che un ugual parte di famiglie di residenti nei due civici é proprietaria del proprio appartamento (f 2 = 10). 5. Si rappresentino in uno stesso grafico le distribuzioni di frequenza relativa del fenomeno statistico considerato nelle due popolazioni prese in esame La distribuzione di frequenza (assoluta, relativa o percentuale) di un fenomeno statistico di tipo qualitativo può essere rappresentata graficamente tramite un diagramma a barre (verticali o orizzontali) o tramite un grafico a torta. Stante la richiesta del quesito, ossia la rappresentazione in uno stesso grafico delle distribuzioni di frequenza relativa di X su U e U 2, si deve escludere il grafico a torta e optare per il diagramma a barre (il motivo di tale scelta risulterá piú chiaro al termine dello svolgimento dell esercizio nr. 2, nel quale verrá richiesta la realizzazione di un grafico a torta). Considerato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si identifichi dunque nell asse delle ordinate (asse verticale) l asse lungo il quale andremo a rappresentare le frequenze relative associate alle modalità del fenomeno (nel caso di barre verticali); lungo l asse delle ascisse (asse orizzontale) si individuino invece dei segmenti di ugual ampiezza disgiunti che rappresentino le modalità del fenomeno: stante la natura categoriale del fenomeno in esame, l ordine con cui vengono elencate le relative modalità lungo l asse è del tutto irrilevante. Tali segmenti identificano nel grafico le basi delle barre, ossia rettangoli aventi altezze di lunghezza pari alle frequenze relative associate alle modalità del fenomeno. Ció premesso, il diagramma a barre vertcali della distribuzione di frequenza relativa di X su U risulta come segue:

6 Figura 1: Diagramma a barre della distribuzione di frequenza relativa del titolo di godimento dell abitazione delle famiglie residenti al civico nr. 3 di Via Giovanni Pascoli in una certa cittá italiana Analogamente, il diagramma a barre verticali della distribuzione di frequenza relativa di X su U 2 risulta come segue: Figura 2: Diagramma a barre della distribuzione di frequenza relativa del titolo di godimento dell abitazione delle famiglie residenti al civico nr. 1 di Via Giovanni Pascoli in una certa cittá italiana Infine, rappresentando l una contiguamente all altra le barre corrispondenti alle frequenze relative associate ad una stessa modalitá di X nelle due popolazioni in questione, si ottiene la rappresentazione grafica richiesta dal testo del quesito:

7 Figura 3: Diagramma a barre della distribuzione di frequenza relativa del titolo di godimento dell abitazione delle famiglie residenti ai civici nr. 3 e 1 di Via Giovanni Pascoli in una certa cittá italiana ESERCIZIO nr. 2 Si supponga che agli abitanti in età lavorativa di un certo paese italiano sia stato richiesto di esprimere il proprio parere circa la gestione da parte della Chiesa Cattolica dei contributi ad essa destinati negli ultimi anni grazie all 8 per mille della dichiarazione dei redditi. I risultati della rilevazione sono stati sintetizzati come segue: {(per niente soddisfatto, 74), (poco soddisfatto, 891), (così così soddisfatto, 148), (abbastanza soddisfatto, 1916), (molto soddisfatto, 1423)} Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti: 1. si precisi quale sintesi dei dati grezzi è stata proposta, si identifichi il fenomeno statistico di interesse, precisandone la natura e si identifichi la popolazione statistica considerata, determinandone la numerositá La sintesi dei dati grezzi proposta dal testo dell esercizio é la variabile statistica in questione, ossia: 5 X = {(x i, f i ), i = 1,..., 5 : f i = N}, o, equivalentemente, la distribuzione di frequenza del fenomeno statistico X nella popolazione U, che puó essere rappresentata in formato tabellare come segue: i=1

8 x i per niente soddisfatto 74 poco soddisfatto 891 cosí cosí soddisfatto 148 abbastanza soddisfatto 1916 molto soddisfatto 1423 N = 4452 f i Il fenomeno statistico di interesse é: X: parere circa la gestione dei contributi destinati negli ultimi anni alla Chiesa Cattolica grazie all 8 per mille della dichiarazione dei redditi. X é di tipo qualitativo ordinale: tra le relative modalitá, rappresentate da attributi, vi é infatti un ordinamento obiettivo ed universalmente riconosciuto; in effetti, nel testo dell esercizio, l esplicitazione della variabile statistica é avvenuta elencando i livelli di soddisfazione dal piú basso al piú elevato. La popolazione statistica considerata é: con numerositá: U: abitanti in etá lavorativa di un certo paese italiano, N = 5 f i = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = = i=1 2. Si costruiscano tutte le distribuzioni di frequenza compatibili con la natura del fenomeno statistico in questione (ove necessario, si mantengano tre cifre dopo la virgola) Stante la natura qualitativa ordinale di X, oltre alle distribuzioni di frequenza assoluta e relativa, devono essere altresí determinate le distribuzioni di frequenza cumulata assoluta e relativa; mantenendo per il calcolo delle frequenze relative tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio, si ottiene: x i f i p i F i = i j=1 f j Φ i = i j=1 p j per niente soddisfatto poco soddisfatto cosí cosí soddisfatto abbastanza soddisfatto molto soddisfatto N = Con riferimento alla determinazione dei valori numerici delle frequenze relative riportati in tabella, si noti che:

9 p 1 = f 1 /N = 74/4452 = p 2 = f 2 /N = 891/4452 = p 1 = (appross. per eccesso), p 2 = (appross. per difetto), p 3 = f 3 /N = 148/4452 = p 3 = (appross. per difetto), p 4 = f 4 /N = 1916/4452 = p 4 = (appross. per difetto), p 5 = f 5 /N = 1423/4452 = p 5 = (appross. per eccesso); in effetti, sulla base di tali approssimazioni: 5 p i = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = = 1. i=1 Con riferimento alla determinazione dei valori numerici delle frequenze cumulate riportati in tabella, si noti che: F 1 = 1 f j = j=1 = f 1 = 74; 2 F 2 = f j = f 1 + f 2 = j=1 = F 1 + f 2 = = 965; 3 F 3 = f j = f 1 + f 2 + f 3 = j=1 = F 2 + f 3 = = 1113; 4 F 4 = f j = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = j=1 = F 3 + f 4 = = 3029; 5 F 5 = f j = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = j=1 = F 4 + f 5 = = 4452 = N. Infine, con riferimento alla determinazione dei valori numerici delle frequenze cumulate relative riportati in tabella, si noti che: Φ 1 = 1 p j = j=1 = p 1 = 0.017; 2 Φ 2 = p j = p 1 + p 2 = j=1 = Φ 1 + p 2 = = 0.217;

10 3 Φ 3 = p j = p 1 + p 2 + p 3 = j=1 = Φ 2 + p 3 = = 0.250; 4 Φ 4 = p j = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = j=1 = Φ 3 + p 4 = = 0.680; 5 Φ 5 = p j = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = j=1 = Φ 4 + p 5 = = 1. Equivalentemente, i valori delle frequenze cumulate relative possono essere determinati a partire dai valori delle corrispettive frequenze cumulate assolute attraverso i rapporti, i = 1,..., 5. F i N 3. Ricorrendo alle frequenze cumulate, si completino le seguenti affermazioni: a. il... % degli abitanti in etá lavorativa ha espresso un parere non superiore ad abbastanza soddisfatto Poiché la dicitura non superiore equivale alla dicitura minore o uguale, quanto richiesto per completare l affermazione corrisponde a: Freqrel(X abbastanza soddisfatto ) 100, ossia alla frequenza cumulata relativa associata alla modalitá x 4 di X moltiplicata per 100, dunque: Φ = = 68%. b. il... % degli abitanti in età lavorativa ha espresso un parere inferiore a poco soddisfatto Quanto richiesto per completare l affermazione corrisponde a: Freqrel(X < poco soddisfatto ) 100; si noti che la condizione X < poco soddisfatto equivale alla condizione X = per niente soddisfatto, pertanto: Freqrel(X < poco soddisfatto ) 100= Freqrel(X = per niente soddisfatto ) 100 = Φ = = 1.7%. c. il... % degli abitanti in età lavorativa ha espresso un parere superiore a poco soddisfatto Quanto richiesto per completare l affermazione corrisponde a: Freqrel(X > poco soddisfatto ) 100; poiché le frequenze relative sommano a 1, risulta: Freqrel(X > poco soddisfatto ) 100= (1 Freqrel(X poco soddisfatto )) 100 = = (1 Φ 2 ) 100 = ( ) 100 = = 78.3%.

11 Per chi non fosse convinto, si noti che la condizione X > poco soddisfatto equivale alla condizione X = cosí cosí soddisfatto o abbastanza soddisfatto o molto soddisfatto, pertanto: Freqrel(X > poco soddisfatto ) 100 = =Freqrel(X = cosí cosí soddisfatto ) Freqrel(X = abbastanza soddisfatto ) Freqrel(X = molto soddisfatto ) 100 = = (p 3 + p 4 + p 5 ) 100 = (1 (p 1 + p 2 )) 100 = (1 Φ 2 ) 100. d. il... % degli abitanti in età lavorativa ha espresso un parere non inferiore ad abbastanza soddisfatto Poiché la dicitura non inferiore equivale alla dicitura maggiore o uguale, quanto richiesto per completare l affermazione corrisponde a: Freqrel(X abbastanza soddisfatto ) 100; poiché le frequenze relative sommano a 1, risulta: Freqrel(X abbastanza soddisfatto ) 100= (1 Freqrel(X cosí cosí soddisfatto )) 100 = = (1 Φ 3 ) 100 = ( ) 100 = = 75%. Per chi non fosse convinto, si noti che la condizione X abbastanza soddisfatto equivale alla condizione X = abbastanza soddisfatto o molto soddisfatto, pertanto: Freqrel(X abbastanza soddisfatto ) 100 = =Freqrel(X = abbastanza soddisfatto ) Freqrel(X = molto soddisfatto ) 100 = = (p 4 + p 5 ) 100 = (1 (p 1 + p 2 + p 3 )) 100 = (1 Φ 3 ) Si rappresenti graficamente la distribuzione di frequenza relativa ricorrendo al grafico a torta Come accennato in sede di risoluzione del quesito nr. 5 dell esercizio nr. 1, una seconda possibile rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza di un fenomeno di tipo qualitativo (categoriale o ordinale) é il grafico a torta. Nel grafico a torta, la generica modalitá x i di X, i=1,...,5, occupa una porzione di cerchio (detta settore circolare) caratterizzata da angolo al centro (angolo avente vertice nel centro del cerchio) di ampiezza α i soddisfacente la seguente relazione: α i 360 = f i N, ossia tale da occupare una porzione dell angolo giro (di ampiezza 360 gradi) uguale al peso che la modalitá x i di X occupa in U, dunque uguale al rapporto tra la corrispettiva frequenza assoluta f i e N. Moltiplicando a sinistra e a destra del simbolo di uguaglianza nella precedente relazione per 360 e ricordando che p i = f i, si ha dunque: N Nel presente caso, risultano: α i = 360 p i.

12 α 1 = 360 p 1 = = 6.12, α 2 = 360 p 2 = = 72, α 3 = 360 p 3 = = 11.88, α 4 = 360 p 4 = = 154.8, α 5 = 360 p 5 = = Si noti che le ampiezze degli angoli cosí determinate esauriscono l ampiezza dell angolo giro, infatti: 5 α i = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 + α 5 = = 360. i=1 Osservando che Il grafico a torta richiesto é dunque il seguente: Figura 4: Grafico a torta della distribuzione di frequenza relativa del parere circa la gestione dei contributi destinati negli ultimi anni alla Chiesa Cattolica grazie all 8 per mille della dichiarazione dei redditi nella popolazione in etá lavorativa di un certo paese italiano

13 ESERCIZIO nr. 3 Si supponga che il numero di punti di ristoro di una catena di fast-food italiana risulti distribuito nelle province del Nord Italia, del Centro Italia e del Sud Italia/Isole come segue: Nord Italia Centro Italia Sud Italia/Isole Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti: 1. si precisi quale sintesi dei dati grezzi è stata proposta, si identifichi il fenomeno statistico di interesse, precisandone la natura e si identifichino le popolazioni statistiche considerate, determinandone le numerositá La sintesi dei dati grezzi proposta dal testo dell esercizio é la distribuzione di frequenza di X su U 1, U 2, U 3, ove: X: numero di punti di ristoro di una catena di fast-food italiana identifica il fenomeno statistico di interesse e U 1 : province del Nord-Italia, U 2 : province del Centro-Italia, U 3 : province del Sud-Italia/Isole, rappresentano le popolazioni statistiche considerate. Si noti che X é di tipo quantitativo discreto: le relative modalitá sono infatti rappresentate da numeri che identificano il risultato del conteggio dei punti di ristoro della catena di fast-food in questione nelle varie province italiane; X é rilevato con scala di modalitá di tipo rapporto, infatti il valore zero é indicativo dell assenza del fenomeno, ossia dell assenza di punti di ristoro in una certa provincia italiana. Le popolazione statistiche prese in esame risultano caratterizzate da numerositá: 6 N 1 = f i = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = = 47 i=1 con riferimento a U 1, 6 N 2 = f i = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = = 26, i=1 con riferimento a U 2 e 6 N 3 = f i = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = = 37 i=1 con riferimento a U 3.

14 2. Nelle province di quale parte d Italia la catena di fast-food in questione risulta più frequentemente presente con almeno 4 punti di ristoro? E in quale parte con meno di 2 punti di ristoro? (Qualora necessario, si mantengano due cifre dopo la virgola) Si noti che il quesito richiede un confronto tra le distribuzioni di frequenza di X nelle tre popolazioni prese in esame. Poiché le tre popolazioni statistiche considerate hanno numerositá differenti, ai fini del confronto richiesto dal quesito é necessario ricorrere alle frequenze relative. Indicate con p (1) i, p (2) i, p (3) i le frequenze relative associate alla modalitá x i di X rispettivamente in U 1, U 2, U 3, i = 1,..., 6 (notazione analoga per le frequenze assolute), le distribuzioni di frequenza relativa di X su U 1, U 2, U 3, mantenendo due cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio, risultano: x i p (1) i = f (1) i /N 1 p (2) i = f (2) i /N 2 p (3) i = f (3) i /N 3 0 4/47=0.08 2/26=0.08 6/37= /47=0.13 5/26=0.19 3/37= /47=0.23 3/26=0.12 8/37= /47=0.28 5/26= /37= /47=0.15 6/26=0.23 2/37= /47=0.13 5/26=0.19 8/37= Pertanto, per identificare la parte d Italia nelle cui province la catena di fast-food in questione presenti piú frequentemente almeno 4 punti di ristoro, essendo la dicitura almeno equivalente alla dicitura maggiore o uguale, é necessario confrontare tra le tre popolazioni statistiche in esame la seguente quantitá: Freqrel(X 4) =Freqrel(X = 4)+Freqrel(X = 5) = p 5 + p 6. Ció premesso, in U 1 risulta: Freqrel(X 4) = p (1) 5 + p (1) 6 = = 0.28, ossia, in termini percentuali, nel 28% delle province del Nord Italia la catena di fast-food in questione é presente con almeno 4 punti di ristoro; in U 2 risulta: Freqrel(X 4) = p (2) 5 + p (2) 6 = = 0.42, ossia, in termini percentuali, nel 42% delle province del Centro Italia la catena di fast-food in questione é presente con almeno 4 punti di ristoro; infine, in U 3 risulta: Freqrel(X 4) = p (3) 5 + p (3) 6 = = 0.27, ossia, in termini percentuali, nel 27% delle province del Sud Italia/Isole la catena di fast-food in questione é presente con almeno 4 punti di ristoro. In conclusione, la catena di fast-food in questione risulta piú frequentemente presente con almeno 4 punti di ristoro nelle province del Centro-Italia. Al contrario, se si fosse

15 fatto ricorso alle frequenze assolute, si sarebbe erroneamente concluso a favore del Nord Italia (Freq(X 4) = 13 contro 11 e 10 rispettivamente nel Centro Italia e nel Sud Italia/Isole), popolazione nella quale le frequenze assolute in questione risultano di maggior entitá rispetto alle altre due popolazioni poiché caratterizzata da numerositá maggiore. Analogamente, per identificare la parte d Italia nelle cui province la catena di fastfood in questione presenti piú frequentemente meno di 2 punti di ristoro, é necessario confrontare tra le tre popolazioni statistiche in esame la seguente quantitá: Freqrel(X < 2) =Freqrel(X = 0)+Freqrel(X = 1) = p 1 + p 2. Ció premesso, in U 1 risulta: Freqrel(X < 2) = p (1) 1 + p (1) 2 = = 0.21, ossia, in termini percentuali, nel 21% delle province del Nord Italia la catena di fast-food in questione é presente con meno di 2 punti di ristoro; in U 2 risulta: Freqrel(X < 2) = p (2) 1 + p (2) 2 = = 0.27, ossia, in termini percentuali, nel 27% delle province del Centro Italia la catena di fast-food in questione é presente con meno di 2 punti di ristoro; infine, in U 3 risulta: Freqrel(X < 2) = p (3) 1 + p (3) 2 = = 0.24, ossia, in termini percentuali, nel 24% delle province del Sud Italia/Isole la catena di fast-food in questione é presente con meno di 2 punti di ristoro. In conclusione, la catena di fast-food in questione risulta piú frequentemente presente con meno di 2 punti di ristoro nelle province del Centro-Italia. Nuovamente, se si fosse fatto ricorso alle frequenze assolute, si sarebbe erroneamente concluso a favore del Nord Italia (Freq(X < 2) = 10 contro 7 e 9 rispettivamente nel Centro Italia e nel Sud Italia/Isole), identificando addirittura il Centro Italia come parte d Italia nella quale meno frequentemente la catena di fast-food presenta meno di 2 punti di ristoro. 3. Si rappresenti graficamente la distribuzione di frequenza relativa del fenomeno statistico in questione nella/e popolazione/i statistica/che identificata/e al punto 2 La popolazione statistica a cui fa riferimento il testo del quesito é evidentemente U 2. Ció premesso, essendo X fenomeno quantitativo discreto, ai fini della rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza relativa di X su U 2 é opportuno il ricorso al diagramma a bastoncini. Considerato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si identifichi dunque nell asse delle ordinate (asse verticale) l asse lungo il quale andremo a rappresentare le frequenze relative associate alle modalità del fenomeno; lungo l asse delle ascisse (asse orizzontale) si rappresentino invece le modalità del fenomeno; stante la natura quantitativa discreta del fenomeno in esame, a differenza di quanto sottolineato in sede di trattazione del diagramma a barre, a ciascuna modalitá, rappresentata da un valore numerico, corrisponderá sull asse delle ascisse un punto ben preciso. Dai

16 punti sull asse delle ascisse identificanti le modalitá di X si elevino dunque dei segmenti di lunghezza pari alle corrispettive frequenze relative su U 2, ottenendo cosí i bastoncini in questione. In definitiva, il diagramma a bastoncini della distribuzione di frequenza relativa di X su U 2 risulta come segue: Figura 5: Diagramma a bastoncini della distribuzione di frequenza relativa del numero di punti di ristoro di una catena di fast-food italiana nelle province del Centro Italia ESERCIZIO nr. 4 Il Preside dell Istituto Tecnico Industriale Enrico Fermi di una certa città italiana teme che i social networks possano sottrarre troppo tempo allo studio dei suoi allievi. Decide dunque di sottoporre gli studenti dell istituto di cui è a capo ad un intervista finalizzata a conoscere per quanto tempo (espresso in ore) essi utilizzino mediamente al giorno i social networks. I risultati della rilevazione sono stati sintetizzati come segue: {(0 0.25, 47), ( , 115), (0.5 1, 224), (1 2, 371), (2 3, 68), (3 5, 18)}

17 Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti: 1. si precisi quale sintesi dei dati grezzi è stata proposta, si identifichi il fenomeno statistico di interesse, esplicitandone la natura e si identifichi la popolazione statistica considerata, determinandone la numerositá La sintesi dei dati grezzi proposta dal testo dell esercizio é evidentemente la variabile statistica di interesse, ossia: X = {(x i, f i ), i = 1,..., 6 : 6 f i = N}, i=1 o, equivalentemente, la distribuzione di frequenza del fenomeno statistico X nella popolazione U, che puó essere rappresentata in formato tabellare come segue: Il fenomeno statistico di interesse é: f i x i : x l x L N = 843 X: tempo medio giornaliero di connessione ai social networks espresso in ore. X é di tipo quantitativo continuo: le relative modalitá sono rappresentate da intervalli di valori aventi un unitá di misura; X é rilevato con scala di modalitá di tipo rapporto, infatti il valore zero é indicativo dell assenza del fenomeno, ossia dell assenza di utilizzo dei social networks. La popolazione statistica considerata é: U: studenti dell Istituto Tecnico Industriale Enrico Fermi di una certa città italiana, con numerositá: N = 6 f i = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = = 843. i=1 2. Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando la risposta Il quesito richiede di etichettare come vera o falsa ciascuna delle tre affermazioni proposte sulla base del confronto tra le frequenze associate agli intervalli di valori citati. Si noti, peró, che gli intervalli di valori che rappresentano le modalitá di X in U sono

18 caratterizzati da ampiezze differenti e il confronto tra frequenze associate ad intervalli di differente ampiezza puó dare luogo a conclusioni fuorvianti: le frequenze associate ad intervalli piú ampi possono infatti risultare maggiori delle frequenze associate ad intervalli meno ampi proprio a causa della maggior ampiezza dei corrispondenti intervalli. Ai fini della risoluzione del quesito, é dunque necessario determinare le ampiezze degli intervalli in questione (a tal proposito, si ricorda che l inclusione o meno di un estremo dell intervallo é assolutamente ininfluente ai fini del calcolo della relativa ampiezza) e depurare le frequenze dalle differenti ampiezze degli intervalli di valori a cui corrispondono: in altri termini, si rende necessario determinare le densitá di frequenza degli intervalli in questione, che risultano come segue:. Ció premesso: x i : x l x L f i x L x l ϕ i = f i x L x l = /0.25 = = /0.25 = = /0.5 = = 1 371/1 = = 1 68/1 = = 2 18/2 = 9 N = 843 a. nell istituto superiore considerato l utilizzo dei social networks tra un quarto d ora e mezz ora al giorno è più frequente che tra una e due ore al giorno É vera; infatti, notando che un quarto d ora e mezz ora equivalgono rispettivamente a 0.25 ore e 0.5 ore, risulta: ϕ 2 = 460 > 371 = ϕ 4 ; si noti invece che sulla base del confronto tra le frequenze f 2 e f 4 si sarebbe tratta la conclusione opposta, in virtú della maggior ampiezza di x 4 rispetto x 2. b. L utilizzo dei social networks tra una e due ore al giorno è più frequente che tra due e tre ore al giorno É vera; infatti risulta: ϕ 4 (= f 4 ) = 371 > 68 = ϕ 5 (= f 5 ); nel presente caso é dunque indifferente confrontare ϕ 4 con ϕ 5 o f 4 con f 5, poiché gli intervalli di valori a cui si riferiscono presentano medesima ampiezza. c. La connessione ai social networks per non più di un quarto d ora al giorno è meno frequente che tra due e tre ore al giorno É falsa; infatti, notando che la dicitura non piú di un quarto d ora equivale alla dicitura minore o uguale ad un quarto d ora, risulta: ϕ 1 = 188 > 68 = ϕ 5 ; si noti invece che sulla base del confronto tra le frequenze f 1 e f 5 si sarebbe tratta la conclusione opposta, in virtú della maggior ampiezza di x 5 rispetto x 1.

19 3. Si rappresenti l istogramma della distribuzione di frequenza relativa del fenomeno statistico in questione nella popolazione presa in esame (ove necessario, si mantengano tre cifre dopo la virgola. Essendo X fenomeno quantitativo continuo ed assumendo distribuzione uniforme delle frequenze nei rispettivi intervalli, ai fini della rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza relativa di X su U 2 si deve ricorrere, come suggerito dal testo del quesito, all istogramma. Non essendo le frequenze direttamente confrontabili, in quanto associate ad intervalli di differente ampiezza, considerato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, lungo l asse delle ordinate (asse verticale) andremo a rappresentare le densitá di frequenza relativa associate alle modalità del fenomeno (confrontabili, a differenza delle frequenze); lungo l asse delle ascisse (asse orizzontale) rappresentiamo come di consueto le modalità del fenomeno; stante la natura quantitativa continua del fenomeno in esame, ciascuna modalitá sará rappresentata da un intervallo ben preciso, ossia l intervallo di valori che la rappresenta. Dall intervallo sull asse delle ascisse che rappresenta la generica modalitá di X si elevi dunque un rettangolo di altezza pari alla corrispettiva densitá di frequenza relativa su U 2, ottenendo cosí una serie di 6 rettangoli l uno accostato all altro; si noti che, cosí facendo, la frequenza relativa di x i su U 2 si identifica nell area del rettangolo avente come base x i, i = 1,..., 6: ció realizza dunque l obiettivo di associare la frequenza a tutti gli infiniti punti del corrispondente intervallo, come assunto dall ipotesi di distribuzione uniforme. Ció premesso, mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio, le distribuzioni di frequenza relativa e di densitá di frequenza relativa di X in U risultano come segue: x i : x l x L f i p i = f i p x N L x i l x L x l /843 = /0.25 = /843 = /0.25 = /843 = /0.5 = /843 = /1 = /843 = /1 = /843 = /2 = N = Si noti che ai fini della determinazione delle densitá di frequenza relativa si sarebbe potuto equivalentemente ricorrere alle corrispettive densitá di frequenza determinando i rapporti ϕ i, i = 1,..., 6. N In definitiva, l istogramma della distribuzione di frequenza relativa di X su U risulta come segue:

20 Figura 6: Istogramma della distribuzione di frequenza relativa del tempo medio di connessione ai social networks degli studenti dell Istituto Tecnico Industriale Enrico Fermi di una certa città italiana