Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità

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1 Lezione n.2 Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità. Teorema del generatore equivalente di tensione (Teorema di Thévenin) e di corrente (Teorema di Norton). sercizio (Thevenin).2 sercizio (Norton) 2. Teoremi di non amplificazione delle tensioni e delle correnti 3. Teoremi di reciprocità 3. forma 3.2 forma 3.3 forma 4. Una lezione aggiuntiva sul T. del generatore equivalente n questa lezione introduciamo tre teoremi molto importanti. L importanza risiede nel fatto che essi descrivono delle proprietà che caratterizzano il comportamento dei circuiti e, allo stesso tempo, introducono degli efficaci strumenti di analisi. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0

2 . Teorema del generatore equivalente di tensione (Teorema di Thevenin) e di corrente (Teorema di Norton) Vale per un qualsiasi sottocircuito dinamico purché lineare e tempo invariante. Noi lo introduciamo considerando un sottocircuito costituito unicamente da generatori ideali e resistori. Vedremo poi nel seguito come quanto trovato in questo caso si estende ad un sottocircuito avente anche condensatori e induttori. Serve a semplificare un sottocircuito presente in un circuito. l teorema del generatore equivalente fornisce uno strumento che può essere utilizzato per semplificare l analisi di un circuito. nfatti consiste nel sostituire ad una sottocircuito un circuito molto semplice ad esso equivalente. n generale il sottocircuito di partenza può essere costituito da resistori, condensatori, induttori e generatori. Tuttavia, per introdurre il teorema, considereremo sottocircuiti costituiti da soli resistori e generatori. Una volta compreso, in questo caso semplice, come si procede, sarà possibile estendere il teorema ai circuiti dinamici in regime sinusoidale utilizzando il metodo dei fasori e, generalizzando ancora di più, ai circuiti dinamici in generale usando le impedenze operatoriali (argomento che tratteremo nella lezione n.7). Sottoliniamo il fatto che questo importante teorema vale per circuiti lineari e tempo invariante. Consideriamo il circuito rappresentato in Fig.. Questo è costituito da due sottocircuiti collegati attraverso i morsetti e. l circuito N R è costituito da soli generatori ideali di tensione e corrente e da resistenze, viceversa il circuito N S può essere un generico circuito dinamico. Quello che richiediamo è che il circuito N R abbia come bipoli passivi unicamente delle resistenze. N S N R i(t) v(t) Fig. _ Circuito nel quale vogliamo introdurre i circuiti equivalenti. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 2

3 l valore della tensione v(t) e della corrente i(t) dipendono da entrambi i sottocircuiti N R e N S. Ognuno dei due sottocircuiti imporrà ai morsetti - una relazione caratteristica tensione-corrente e il valore della tensione v(t) e della corrente i(t) si determina considerando simultaneamente le due relazioni caratteristiche. l circuito N R visto ai morsetti - avrà una sua caratteristica tensione-corrente, cioè una relazione funzionale tra la tensione v(t) e la corrente i(t). ssendo i resistori nel circuito N R lineari ci aspettiamo che la relazione funzionale tensione-corrente sia di tipo affine, cioè: v(t) = R eq i (t) + g(t), () dove R eq rappresenta un coefficiente avente le dimensioni, di una resistenza e dipendente dalle resistenze presenti nel circuito e dove g ( t) rappresenta una funzione dipendente dai generatori presenti nel circuito N R. Si tenga presente che sul sottocircuito N R visto dai morsetti - abbiamo fatto la convenzione dell utilizzatore e quindi non dobbiamo meravigliarci del segno positivo considerato davanti alla resistenza R eq. Poiché il nostro sottocircuito N R è statico (non ci sono elementi dinamici) e questo si riscontra anche dalla caratteristica () possiamo sottintendere la dipendenza dal tempo e procedere nel seguito con grandezze costanti (lettera maiuscola). Cominciamo allora con il considerare la relazione () in un regime stazionario. V = R eq + V 0. (2) V V 0 cc Fig. 2 Retta di carico del sottocircuito N S. La relazione caratteristica (2) la possiamo rappresentare nel piano V- attraverso la sua curva caratteristica che in questo caso chiamiamo retta di carico. n Fig.2 Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 3

4 abbiamo rappresentato tale retta. Osserviamo che questa interseca gli assi in due punti notevoli. Quando sostituiamo al circuito N S un corto circuito (vedi Fig.3) abbiamo che la tensione V si annulla e la corrente assume il valore cc che rappresenta la cosiddetta corrente di corto circuito; quando colleghiamo il circuito N S ad un circuito aperto (vedi Fig. 4) abbiamo che la corrente si annulla e che la tensione V assume valore V 0 che rappresenta la cosiddetta tensione a vuoto. R eq è la pendenza della retta di Fig.2. Questa resistenza rappresenta la resistenza equivalente di N R vista ai morsetti - quando al suo interno sono stati spenti i generatori. Diciamo che, non conoscendo la natura interna del circuito N R siamo in grado di individuare la sua retta di carico se misuriamo la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito ai morsetti -, oppure se conosciamo la resistenza equivalente del circuito e la tensione a vuoto o se, infine, conosciamo la resistenza equivalente e la corrente di corto circuito. Lavorando sulla retta di carico o ponendo V=0 nella (2) otteniamo la immediata relazione cc = - V 0 /R eq. (3) Dalla (3) possiamo riscrivere la relazione caratteristica (2) come V = R eq ( - cc ). (4) chiaro che ai morsetti - misuriamo una tensione a vuoto o una corrente di corto circuito non nulle se in N R vi sono generatori. N R =0 V 0 Fig.3 Tensione a vuoto ai morsetti - del circuito N R. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 4

5 N R cc Fig.4 Corrente di corto circuito ai morsetti - del circuito N R. l fatto che la caratteristica tensione-corrente del sottocircuito N R ha l espressione (2) o (4) suggerisce di costruire un circuito semplice (perché semplice è la caratteristica!) che simuli il comportamento di N R realizzando la sua stessa caratteristica (2). l teorema del generatore equivalente asserisce che esistono due circuiti equivalenti ad N R che realizzano questo proposito. bbiamo rappresentato in Fig.5 e in Fig.6 rispettivamente il circuito equivalente secondo Thévenin e il circuito equivalente secondo Norton. Si tratta nei due casi rispettivamente di un generatore reale di tensione e di un generatore reale di corrente. ntrambi hanno per resistenza la resistenza equivalente R eq. Nel primo caso il generatore ideale di tensione eroga una tensione pari alla tensione a vuoto V 0 ; mentre nel secondo caso il generatore ideale di corrente eroga una corrente pari alla corrente di corto circuito cc. Si osservi come sono stati scelti il verso della tensione del generatore di Fig. 5 e il verso della corrente del generatore di Fig.6. Vedremo poi che questi due circuiti sono (ovviamente!) anch essi tra di loro equivalenti. V R R eq V 0 V Fig.5 Circuito equivalente secondo Thevenin. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 5

6 R R eq V cc Fig.6 Circuito equivalente secondo Norton. Per convincerci di quanto afferma il teorema, cominciamo con il calcolare la relazione caratteristica tensione V- corrente vista ai morsetti - dei semplici circuiti rappresentati in Fig.5 e in Fig.6. Cominciamo dal circuito equivalente secondo Thévenin. pplicando la seconda legge di Kirchhoff all unica maglia del circuito di Fig.5 si ha: V 0 + V R V = 0. (5) Sostituendo la relazione caratteristica del resistore V R = R eq si ha V= R eq + V 0. (6) quindi abbiamo visto che il circuito di Fig.5 realizza la caratteristica (2). Consideriamo il circuito equivalente secondo Norton di Fig.6. pplicando la legge di Kirchhoff al nodo si ha: - cc - R = 0. (7) Sostituendo poi la relazione caratteristica R = V/R eq del resistore si ha V= R eq - R eq cc. (8) quindi abbiamo dimostrato che il circuito di Fig.6 realizza la caratteristica (4). Le relazioni (6) e (8) bastano a dimostrare il teorema. Nel primo caso, infatti, basterà scegliere il generatore di tensione di valore pari alla tensione a vuoto che si misura ai morsetti -. Nel secondo caso, invece, il valore del generatore di corrente sarà pari alla corrente di corto circuito valutata ai morsetti -. Paragonando la (6) e la (8) si ricava che i circuiti di Fig.5 e Fig.6 sono equivalente se si sceglie Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 6

7 V 0 = -R eq cc. (9) Per finire osserviamo che i due circuiti sono del tutto equivalenti! Converrà utilizzarne uno piuttosto che un altro a seconda se conviene calcolare la tensione a vuoto o la corrente di corto circuito.. sercizio (Thevenin) Vogliamo determinare il circuito equivalente di tensione visto dalla resistenza R 2 del circuito di Fig 7. Si osservi che il circuito che vogliamo esaminare è quello di Fig. della Lezione n.0. J R 2 R 3 R R 4 R 5 Fig. 7 Circuito resistivo con due generatori. dati del problema sono: =0Volt; J=3; R =0Ω; R 2 =20 Ω; R 3 =30 Ω; R 4 =4 Ω; R 5 =5 Ω. La prima cosa da fare è scollegare la R 2 dal circuito di Fig.7. Consideriamo quindi il circuito di Fig. 8. n questo circuito abbiamo evidenziato i morsetti e. Conviene considerare la resistenza equivalente parallelo R 45 =20/9 Ω come in Fig. 9. l calcolo del circuito equivalente secondo Thevenin consiste nel calcolo della resistenza equivalente vista dai morsetti e il calcolo della tensione a vuoto esistente tra i morsetti. Cominciamo con il calcolo della resistenza. Dall Fig. 9 vediamo che il corto circuito derivante dalla presenza del generatore di tensione spento mette fuori gioco la resistenza R ; pertanto la resistenza equivalente risulta: R eq =R 3 +R 45 =30+20/9=290/9 Ω. (0) Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 7

8 J V 0 R 3 R R 4 R 5 Fig. 8 Calcolo del circuito equivalente visto dai morsetti e. R 3 R R 45 Fig. 9 Calcolo della resistenza equivalente vista dai morsetti e. Per il calcolo della tensione a vuoto dobbiamo utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti nel circuito di Fig. 8. Possiamo scrivere: V 0 =V 0J +V 0. () circuiti da considerare per la determinazione delle due tensioni sono rispettivamente quello di Fig. 0 per V 0J e quello di Fig. per V 0. Cominciamo con il calcolo di V 0J. Osserviamo che la resistenza R è cortocircuitata e quindi ha tensione nulla, inoltre in R 4 non c è corrente in quanto i morsetti sono aperti; quindi la tensione V 0J è pari alla caduta di tensione sul resistore R 3 : V 0J =V R3 =R 3 J=90Volt. (2) Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 8

9 Procediamo con il calcolo di V 0. Osserviamo che non vi è passaggio di corrente in R 3 ed R 4 e quindi la tensione in è pari alla caduta di tensione sul resistore R nonché alla tensione del generatore di tensione : V 0 = =0Volt. (3) Quindi dalla (), (2) e (3) abbiamo: V 0 =00Volt. J V 0J R 3 R V R3 R 4 Fig. 0 Calcolo della tensione a vuoto con generatore di tensione spento. V 0 R 3 R V R R 4 Fig. Calcolo della tensione a vuoto con generatore di corrente spento. Si potrebbe ora calcolare la tensione su R 2 utilizzando il circuito equivalente appena individuato rappresentato in Fig. 2! Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 9

10 R 2 V 0 R eq Fig. 2 Circuito equivalente..2 sercizio (Norton) Vogliamo determinare il circuito equivalente di corrente visto dalla resistenza R 4 del circuito di Fig 3. n seguito vogliamo calcolare la tensione su R 4 utilizzando il circuito equivalente trovato J R 2 R 3 R R 4 R 5 Fig. 3 Circuito resistivo con due generatori. dati del problema sono: =0Volt; J=3; R =0Ω; R 2 =20 Ω; R 3 =30 Ω; R 4 =4 Ω; R 5 =5 Ω. L esercizio svolto lo trovate negli esercizi online sul sito. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 0

11 2. Teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti Un importante proprietà delle reti di bipoli passivi in regime stazionario è il cosiddetto teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti. l teorema di non amplificazione delle tensioni asserisce che, se ho una rete con un solo lato attivo G (generatore ideale di tensione o di corrente) e tutti gli altri componenti sono bipoli statici passivi (Fig. 3), il potenziale dei due morsetti e a cui è connesso il generatore, sono l uno il massimo e l altro il minimo potenziale tra tutti quelli della rete. Tutti gli altri nodi della rete avranno, quindi, valore del potenziale compreso tra quello massimo e quello minimo ai morsetti dell unico generatore. G Fig.3 Circuito statico con un solo generatore attivo. l teorema di non amplificazione delle correnti afferma che la corrente che attraversa l unico bipolo attivo G è quella in valore assoluto maggiore o uguale di tutte le altre. Sottoliniamo il fatto che questi due teoremi valgono per circuiti aventi un unico generatore ideale e, per elementi passivi unicamente statici, cioè resistori. Osserviamo che questi due teoremi introducono una relazione d ordine tra le grandezze elettriche presenti nel circuito. due teoremi si possono dimostrare ma non lo faremo in questo corso. 3. Teoremi di reciprocità Questo teorema vale per qualsiasi circuito lineare costituito da generatori ideali, resistori, condensatori, induttori e trasformatori (vedremo nella Lezione n.6 cosa è un trasformatore). un teorema molto importante che viene spesso richiamato per dimostrare proprietà matematiche del modello che descrivono il circuito. Per esempio il fatto che la matrice H introdotta per le equazioni di stato nella Lezione n.4 è simmetrica o antisimmetrica. Vedremo nella Lezione n.5 che per i doppi bipoli useremo questo teorema per mostrare la simmetrie delle matrici di coefficienti che caratterizzano il sistema. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0

12 Noi lo introduciamo per circuiti resistivi perché la dimostrazione, che utilizza il teorema di Tellegen, risulta molto agevole in questo caso. Ma si può dimostrare che il teorema vale anche in regimi dinamici. Dato un circuito resistivo passivo, supponiamo che sia alimentato da due generatori. Consideriamo dunque la Fig. 4. G G 2 Fig. 4 Circuito reciproco. sistono tre forme per questo teorema a seconda del tipo di generatori considerati. 3. forma due generatori sono generatori di tensione. Consideriamo pertanto la Fig. 5. Le due correnti nei lati in cui sono presenti i generatori possiamo esprimerle come somma di due contributi, ognuno dipendente da un solo generatore. 2 2 Fig. 5 Circuito usato per la prima forma del teorema di reciprocità. pplichiamo il principio di sovrapposizione e lasciamo lavorare un generatore alla volta come abbiamo rappresentato in Fig. 6. Per la sovrapposizione degli effetti la Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 2

13 corrente in ognuno dei due lati dei generatori è la sovrapposizione di due termini, ognuno dovuto ad uno dei due generatori funzionante da solo. Si ha: = + 2, (4a) dove: 2 == 0 = e 2 =. == 0 2 = (4b) == 0 = e 22 = 2. == 0 2 (a) (b) Fig. 6 Sovrapposizione degli effetti sul circuito di Fig. 5. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 3

14 l teorema afferma che il rapporto tra causa (il generatore ) ed effetto (la corrente nel lato del generatore spento 2 ) nel circuito (a) di Fig. 6 è uguale al rapporto tra causa (il generatore 2 ) ed effetto (la corrente nel lato del generatore spento 2 ) nel circuito (b) di Fig. 6. Si ha in formula 2 2 = 0 = 2 = 0 2 = 2 2. (5) l teorema introduce una simmetria tra causa ed effetto. Questa simmetria dipende dal fatto che causa ed effetto nei due casi sono poste alternativamente nei medesimi lati. Questo teorema è un teorema topologico, dipende cioè dalla topologia del circuito piuttosto che dalla natura dei bipoli. La sua dimostrazione si basa, infatti sul teorema di Tellegen. Vediamola nel caso della forma e lasciamola per esercizio nelle altre due. Consideriamo, a tale scopo, i due circuiti di Fig. 6. vendo stessa configurazione topologica possiamo applicare il teorema di Tellegen. Consideriamo per prima il prodotto delle correnti del circuito (a) per le tensioni del circuito (b). Possiamo scrivere: l i= i i v i 2 = 0 (7) Consideriamo poi il prodotto delle correnti del circuito (b) per le tensioni del circuito (a). Possiamo scrivere: l i= i i 2v i = 0 (8) Ora possiamo eguagliare l espressioni al primo membro delle (7) e (8) tra di loro essendo entrambe nulle per il teorema di Tellegen: l l i v = i 2v. (9) i i 2 i i= i= i Nella (9) possiamo tirare fuori dalla sommatoria i termini relativi ai rami e 2. vremo: l i v2 + i2v22 + i v = i v + i v + ii 2vi. (20) i i i= 3 i= 3 Nella (20) possiamo osservare che: l Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 4

15 le sommatorie sono uguali perché all interno della scatola i circuiti abbiamo supposto siano uguali i = v 2 = 0 i 2 = 2 v = 22 2 i 2 = 2 v = i 22 = 22 v 2 = 0 Sostituendo tutte le posizioni appena fatte nella (20) otteniamo la (5) e quindi abbiamo dimostrato il teorema. 3. forma due generatori sono generatori di corrente. Consideriamo pertanto la Fig. 7. Le due tensioni nei lati in cui sono presenti i generatori di corrente possiamo esprimerle come somma di due contributi, ognuno dipendente da un solo generatore. pplichiamo il principio di sovrapposizione e lasciamo lavorare un generatore alla volta. Questa volta consideriamo le tensioni e spegniamo i generatori di corrente ponendo al loro posto dei circuiti aperti. Scriviamo; V = V + V 2 V 2 = V 2 + V 22 (2a) (2b) J J 2 V V 2 Fig. 7 Circuito usato per la seconda forma del teorema di reciprocità. n questo caso il teorema afferma che : Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 5

16 V 2 V = 2. (22) J 2 J 3. forma due generatori sono uno di tensione e l altro di corrente. Consideriamo pertanto la Fig. 8. Questa volta gli effetti da considerare sono rispettivamente la corrente al lato e la tensione al lato 2. chiaro che si poteva considerare la configurazione duale. Vale a dire: generatore di corrente al lato e generatore di tensione al lato 2. = + 2 V 2 = V 2 + V 22 (23a) (23b) 2 J 2 Fig. 8 Circuito usato per la prima forma del teorema di reciprocità. n questo caso l uguaglianza si verifica a meno di un segno negativo. Si ha infatti: J 2 2 V2 =. (24) Nel caso in cui avessimo considerato i generatori invertiti nei due lati avremmo ottenuto: V =. (25) J Si osservi che nella prima forma il rapporto considerato (5) ha le dimensioni di una conduttanza. Nella seconda forma ha le dimensioni di una resistenza (vedi la (22)) e infine nella terza forma (vedi le (24) e (25)) il rapporto è a-dimensionale. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 6

17 4. Una lezione aggiuntiva sul T. del generatore equivalente N R V Fig. 9 Circuito di cui vogliamo il circuito equivalente. v(t) = r( i(t)), i(t) = g(v(t)). (26) Le (26) sono le relazioni caratteristiche equivalenti del sottocircuito visto ai morsetti -. Per un circuito lineare e tempo-invariante queste sono rispettivamente: V = R + V 0, = V/R- cc ; con cc = - V 0 /R eq. (27) Come determinare R, V 0 e cc? Se non posso accedere all interno del sottocircuito allora dovrò misurare in qualche modo le grandezze all esterno, cioè ai morsetti -. limento la porta con un generatore di corrente e misuro la tenzione ai morsetti con un voltmetro come in Fig. 20. Quando il nostro generatore di corrente erogherà corrente nulla allora il voltmetro misurerà la tensione a vuoto V 0. limento la porta con un generatore di tensione V e misuro la corrente che attraversa il generatore di tensione con un amperometro come in Fig. 2. Quando il nostro generatore di tensione erogherà tensione nulla allora l amperometro misurerà la corrente di corto circuito cc. Come calcolo la resistenza R? Utilizziamo il circuito di Fig. 20. La tensione che misura il voltmetro dipende dai generatori interni e dal generatore di corrente opportunamente posto tra i morsetti -. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 7

18 V=V int +V. (28) N R V Fig.20 Calcolo della tensione a vuoto. N R V Fig.2 Calcolo della corrente di corto circuito. La (28) rappresenta una sovrapposizione degli effetti. Ognuna delle due componenti va valutata quando i generatori non interessati sono spenti. Pertanto V int =V 0 in quanto corrisponde al circuito di Fig. 20 quando il generatore di corrente =0 e V =R eq dove R eq rappresenta la resistenza equivalente vista dai morsetti - del sottocircuito reso passivo. bbiamo rappresentato la sovrapposizione degli effetti in Fig.22. Osserviamo che avremmo potuto seguire il ragionamento duale utilizzando il circuito di Fig. 2. Si osservi che l utilizzo del voltmetro e dell amperometro non deve introdurre rispettivamente un lato con un passaggio di corrente e una caduta di tensione. n altre parole la corrente deviata nel voltmetro deve essere trascurabile rispetto alla corrente del generatore di corrente e la tensione dell amperometro deve essere trascurabile rispetto a quella del generatore di tensione. Ciò si realizza con, rispettivamente, una Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 8

19 resistenza elevatissima interna al voltmetro e una resistenza piccolissima interna all amperometro. N R =0 V 0 V + N R V Fig.20 Calcolo della relazione caratteristica del sottocircuito. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti /0 9