Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo
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- Michele Casagrande
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1 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 603 Crema liberali@dti.unimi.it liberali Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. Programma parte. Circuiti in continua. (c)... (d) Leggi di Kirchhoff. (e) Risoluzione dei circuiti elettrici in continua. (f) Teorema di Tellegen. (g) Resistenze in serie e in parallelo. (h)... Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p.
2 Legge di Kirchhoff per le tensioni (/) In inglese: Kirchhoff Voltage Law o KVL Lungo qualsiasi maglia di un circuito, la somma algebrica di tutte le tensioni è pari a zero. Consideriamo positive le tensioni concordi con il verso di percorrenza della maglia, e negative le tensioni discordi con il verso di percorrenza. V k = 0 k maglia Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 3 Legge di Kirchhoff per le tensioni (/) V k = 0 k maglia V ma glia 3 V V 3 = 0 In questo esempio, V è concorde, mentre e V 3 sono discordi rispetto al verso di percorrenza della maglia. La scelta del verso di percorrenza della maglia è arbitraria; scegliere il verso opposto è come moltiplicare per tutti i termini dell equazione. V 3 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 4
3 Legge di Kirchhoff per le correnti (/) In inglese: Kirchhoff Current Law o KCL In qualsiasi nodo di un circuito, la somma algebrica di tutte le correnti è pari a zero. Consideriamo positive le correnti entranti nel nodo, e negative le correnti uscenti dal nodo. I k = 0 k nodo Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 5 Legge di Kirchhoff per le correnti (/) I I k nodo I 4 I I k = 0 I I I 3 I 4 = 0 In questo esempio, I e I sono entranti, mentre I 3 e I 4 sono uscenti dal nodo. Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 6 3
4 Risoluzione di un circuito elettrico Risolvere un circuito significa calcolare la tensione e la corrente per ogni bipolo. Per i circuiti in continua, si utilizzano: la legge di Ohm per i resistori; la legge di Kirchhoff per le tensioni alle maglie; la legge di Kirchhoff per le correnti ai nodi. Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 7 Esempio: risoluzione di un circuito Risolvere il circuito illustrato, calcolando la tensione e la corrente per ogni bipolo. V 0 = 4.5 V; R =. kω; = kω; =.5 kω. R V 0 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 8 4
5 Esempio (/3) Primo passo: definire per ogni bipolo il terminale positivo () e quello negativo ( ). In questo modo risultano fissati i versi delle tensioni e delle correnti. In ogni caso, adottare la convenzione degli utilizzatori. Per i bipoli simmetrici (come le resistenze), la scelta dei segni è indifferente. Per i bipoli non simmetrici (come i generatori), seguire il verso indicato per la tensione o per la corrente. V 0 V I I I I 3 0 R V 3 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 9 Esempio (/3) Secondo passo: identificare i nodi e le maglie del circuito. Questo circuito ha tre nodi (A, B, C) e tre maglie (,, 3). A B 3 V 0 R C Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 0 5
6 Esempio (3/3) Terzo passo: determinare il numero di incognite del circuito, che è anche il numero di equazioni indipendenti che bisogna scrivere. Per ogni resistenza, occorre calcolare la tensione e la corrente ( incognite per bipolo). Per ciascun generatore occorre calcolare una sola grandezza (la corrente per i generatori di tensione, e la tensione per i generatori di corrente). Per il circuito assegnato, il numero di incognite è 7 (cioè 4 correnti e 3 tensioni). Occorre scrivere 7 equazioni tra loro indipendenti nelle 7 incognite, e risolvere il sistema di equazioni. Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. Esempio (4/3) Quarto passo: scrivere le equazioni. Anzitutto, per ogni resistenza vale la legge di Ohm. Abbiamo le tre equazioni: V = R I = I V 3 = I 3 V 0 V I I I I 3 0 R V 3 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 6
7 Esempio (5/3) Legge di Kirchhoff per le correnti (KCL) ai nodi: I 0 I = 0 I I I 3 = 0 I 0 I I 3 = 0 Utilizziamo solo due di queste equazioni, perché la terza è dipendente dalle altre due. V 0 V A B I I I I 3 0 R C V 3 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 3 Esempio (6/3) Legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL) alle maglie: V V 0 = 0 V 3 = 0 V V 3 V 0 = 0 Utilizziamo solo due di queste equazioni, perché la terza è dipendente dalle altre due. 3 V 0 V R V 3 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 4 7
8 Esempio (7/3) Sistema di 7 equazioni in 7 incognite (V 0, R, e sono noti): V = R I Ohm = I V 3 = I 3 { I 0 I = 0 KCL I I I 3 = 0 { V V 0 = 0 KVL V 3 = 0 Il sistema può essere risolto con un metodo qualsiasi. Ad esempio, si possono sostituire le V date dalla legge di Ohm, ottenendo un sistema nelle 4 incognite I 0, I, I, I 3. Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 5 Esempio (8/3) 4 equazioni in 4 incognite: I 0 I = 0 I I I 3 = 0 R I I V 0 = 0 I 3 I = 0 L incognita I 0 compare solo nella prima equazione; quindi è possibile risolvere separatamente il sistema costituito dalle restanti tre equazioni. 3 equazioni in 3 incognite: I I I 3 = 0 R I I V 0 = 0 I 3 I = 0 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 6 8
9 Esempio (9/3) I I I 3 = 0 3 equazioni in 3 incognite: R I I V 0 = 0 I 3 I = 0 Ricavando dalla prima equazione I 3 = I I e sostituendo nelle altre due: { R I I V 0 = 0 equazioni in incognite: I I I = 0 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 7 Esempio (0/3) Dall ultima equazione si ricava I = I che sostituita nell altra equazione dà: R I I V 0 = 0 da cui si ricava la soluzione per l incognita I : I = V 0 R =. kω 4.5 V.5 kω kω.5 kω kω = 4.5 V =.5 ma 3 kω Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 8 9
10 Esempio (/3) Dopo avere ricavato I, si procede a ritroso, ricavando le altre incognite dalle equazioni del sistema: I = I =.5 ma.5 kω kω.5 kω =.5 ma I 3 = I I =.5 ma.5 ma= ma e così via, calcolando anche l ultima corrente (I 0 ) dall equazione I 0 I = 0, e le tre tensioni (V,, V 3 ) con la legge di Ohm. Un consiglio: per evitare errori di calcolo, è meglio ricavare la soluzione in forma simbolica, e solo alla fine sostituire i valori numerici. Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 9 Esempio (/3) La soluzione completa del sistema è: V = 3 V; =.5 V; V 3 =.5 V; I =.5 ma; I =.5 ma; I 3 = ma; I 0 =.5 ma. Si verifica immediatamente che: per i componenti passivi (resistori) i segni della tensione e della corrente sono concordi e la potenza è positiva (assorbita); per il generatore i segni di tensione e corrente sono discordi e la potenza è negativa (erogata). Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 0 0
11 Esempio (3/3) Calcolo della potenza dissipata: Resistenza R : P = V I = 7.5 mw Resistenza : P = I =.5 mw Resistenza : P 3 = V 3 I 3 =.5 mw Generatore V 0 : P 0 = V 0 I 0 =.5 mw La potenza erogata dal generatore è pari alla somma delle potenze assorbite dalle resistenze: infatti la somma algebrica delle potenze è: P P P 3 P 0 = 7.5 mw.5 mw.5 mw.5 mw=0 Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. Teorema di Tellegen In qualsiasi circuito, la somma algebrica delle potenze di tutti i bipoli è nulla. Infatti, poiché l energia si conserva, W = costante e P= dw dt = 0 Quindi la potenza totale è nulla. Questo risultato, noto come teorema di Tellegen, si scrive di solito nella forma: P= P k = V k I k = 0 k k dove la sommatoria è estesa a tutti i bipoli. Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p.
12 Serie di bipoli (/) Due bipoli sono detti in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente: I = I I I Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 3 Serie di bipoli (/) Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni, si ricava che per due bipoli in serie la tensione complessiva ai capi è data dalla somma delle tensioni di ciascun bipolo: I V= V A V V I Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 4
13 Parallelo di bipoli (/) Due bipoli sono detti in parallelo quando hanno la stessa tensione ai capi: V = V Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 5 Parallelo di bipoli (/) Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti, si ricava che per due bipoli in parallelo la corrente complessiva è data dalla somma delle correnti di ciascun bipolo: I= I I A I V I I B Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 6 3
14 Resistenze in serie Due resistenze in serie sono percorse dalla stessa corrente: I = I = I. V R I V V= V = R I I= (R )I R=R Le resistenze in serie si sommano Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 7 Resistenze in parallelo (/3) Due resistenze in parallelo hanno la stessa tensione ai capi: V = = V. I R I I I= I I = R V V= G VG V= (G G )V G= G G Le conduttanze in parallelo si sommano Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 8 4
15 Resistenze in parallelo (/3) I R I I R= G = G G = G= G G R R = = R R R R Attenzione: l ultimo passaggio è corretto, ma dà un risultato non generalizzabile nel caso di più di due resistenze in parallelo! Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 9 Resistenze in parallelo (3/3) Nel caso di tre resistenze in parallelo: R= G = G G G 3 = R = R R G= G G G 3 R R R = 3 = R R R e NON R R che dimensionalmente non è una resistenza! Elettronica I Leggi di Kirchhoff; risoluzione dei circuiti elettrici in continua; serie e parallelo p. 30 5
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