Metodo vettoriale nella risoluzione di problemi di geometria elementare
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- Costanzo Volpi
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1 Metodo vettoriale nella risoluzione di problemi di geometria elementare Ercole Suppa 5 aprile 010 Sommario In questo articolo viene illustrato l impiego dei vettori nella risoluzione di problemi di geometria elementare. 1 Notazioni. Un vettore geometrico P Q è un oggetto avente un modulo (lunghezza del segmento P Q una direzione (quella individuata dalla retta P Q ed un verso (da P a Q. Il punto P è detto primo estremo (o coda del vettore P Q, il punto Q è detto secondo estremo (o punta. ue vettori si condiderano uguali (equipollenti se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. Fissato un qualsiasi punto O come origine il vettore OP è chiamato vettore posizione. La lunghezza del vettore P Q viene indicata con P Q. Spesso, per comodità nei calcoli, il vettore posizione OP viene indicato semplicemente con P. on questa notazione, presi due punti P, Q risulta P Q Q P. ercsuppa@tin.it 1
2 Problemi risolti. Presentiamo, ora, alcuni esempi che evidenziano come i vettori possano essere usati per risolvere alcuni tipi di problemi geometrici. Problema 1. (IMO 008, problema 1 Sia un triangolo acutangolo con ortocentro H. La circonferenza con centro il punto medio di e passante per H interseca la retta in 1 e. nalogamente, la circonferenza con centro il punto medio di e passante per H interseca la retta in 1 e, e la circonferenza con centro il punto medio di e passante per H interseca la retta in 1 e. imostrare che 1,, 1,, 1, giacciono su una medesima circonferenza. 1 N H M O 1 1 L Figura 1 Indichiamo con L, M, N i punti medi di,, (Figura. Se i sei punti 1,, 1,, 1, stanno su un cerchio, il centro di detto cerchio deve essere il circoncerchio O di. Per dimostrare la conciclicità dei 6 punti basta verificare che hanno tutti la stessa distanza do O. Ovviamente O 1 O, O 1 O, O 1 O, dunque per concludere è sufficiente provare che O 1 O 1, in quanto l altra uguaglianza O 1 O 1 si dimostra in modo analogo. Scegliendo O come origine dei vettori abbiamo H + +, L +
3 pplicando il teoerma di Pitagora al triangolo rettangolo OL 1 otteniamo: O 1 OL + L 1 OL + LH ( ( 8R In modo analogo si trova che ( 8R O1 e la dimostrazione è completa 3
4 Problema. ato un quadrilatero ed un punto M del suo piano dimostrare che i simmetrici di M rispetto ai punti medi dei lati sono vertici di un parallelogramma. E M S H P G F Q R Figura Siano E, F, G, H i punti medi di,,, rispettivamente e siano P, Q, R, S i simmetrici di M rispetto a E, F, G, H (Figura 6. bbiamo: ( + P M + ME M + M + M ed in modo analogo si trova che Q + M R + M S + M Pertanto P Q Q P RS Q P Essendo P Q RS, il quadrilatero P QRS è un parallelogrammo, avendo i lati opposti P Q ed RS uguali e paralleli.
5 Problema 3. Sia E un pentagono convesso e siano M, N, P, Q i punti medi dei lati,,, E rispettivamente. Se K ed L sono i punti medi di M e P Q determinare la lunghezza di KL sapendo che E k. P N K L M Q Figura 3 E Fissato un sistema di coordinate con origine nel punto, abbiamo M Pertanto, P +, + N, Q E + K M + N + +, L P + Q e, di conseguenza, KL E KL L K k E 5
6 Problema. Siano E, F, G, H i punti medi dei lati del quadrilatero, sia P F H EG, sia T il punto medio di e sia S il punto medio di. imostrare che P è il punto medio di T S. E T F H S P G Figura ato che: E + il punto medio di ST è, + G, S, T + che coincide con il punto medio di EG, dunque sta su EG. In modo analogo si prova che il punto medio di ST sta su HF. Pertanto il punto mdio di ST è proprio EG HF P. 6
7 Problema 5. Siano F G, E i quadrati costruiti esternamente ai lati, del triangolo. imostrare che E G E G H F Figura 5 etto H E G abbiamo E G cos( GHE 0 E G 0 altra parte, essendo E 0, G 0 risulta che E G cos( cos(π GE cos( GE ( ( E G E G + E + G + E G + E G cos( EG + cos( cos( ( 0 e questo prova che E G. 7
8 Problema 6. (Mathematical Reflection S1 Let be a quadrilateral. We consider the reflection of the lines,,, on the respective midpoints of the opposite sides,,,. Prove that these four lines bound a quadrilateral homothetic with and find the ratio and center of the homothety. Proposed by Francisco Javier García apitán and Juan osco Romero Márquez ' ' 1 O N M 1 ' ' Figura 6 onsideriamo un sistema di coordinate con origine nel baricentro O di. Siano 1, 1 le riflessioni di, rispetto al punto medio M di e siano, le riflessioni di, rispetto al punto medio N di, come mostrato in figura. hiaramente risulta M +, N +, quindi 1 +, +, 1 + (1 + ( Poichè giace sulle rette 1 1 e esistono opportuni numeri reali t, u tali che ( t 1 ( + u 8
9 ' ' 1 O N M 1 ' ' e, usando (1 e (, otteniamo ( + + t + ( + u (t u (t (u Poichè i vettori, e sono linearmente indipendenti otteniamo t u 1 alla (3, tenendo conto che O (3 ( + + +, segue + 3 O O 3 O e questo implica che è l immagine di tramite l omotetia di centro O e rapporto k 3. In maniera analoga si dimostra che,, sono rispettivemente le immagini di,, nell omotetia di centro O e rapporto k 3. Pertanto il quadrilatero è l immagine di sotto l omotetia di centro O e rapporto k 3.. 9
10 3 Problemi proposti. Esercizio 1. imostrare che se in un quadrilatero convesso vale l uguaglianza + + allora le sue diagonali e sono perpendicolari. Esercizio. Sui lati e di un triangolo, costruiamo dei quadrati. Indichiamo con K, L i centri di questi quadrati, e con il punto medio di. imostrare che il triangolo KL è rettangolo ed isoscele. Esercizio 3. Siano 1,, 3, quattro punti distinti di una circonferenza. Sia W i il cerchio dei 9 punti di j k l, dove {i, j, k, l} {1,, 3, }. imostrare che questi cerchi hanno un punto in comune. Esercizio. Sian,,, quattro punti distinti di un cerchio di centro O, tali che e sono perpendicolari, e sia T. imostrare che OT O + O + O + O. Riferimenti bibliografici [1] Kin-Yin Li, Vector geometry, Mathematical excalibur, vol 6-n.5-00 [] Mathematical Reflection 6(009,
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