LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande)

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1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande) Allo scopo di interpolare un istogramma di un carattere statistico X con una funzione continua (di densità), si può far ricorso nell analisi statistica alla distribuzione normale o distribuzione di Gauss come modello teorico di riferimento. Ciò, in particolare, quando il numero delle classi dell istogramma è elevato e l ampiezza di ogni classe piccola. Ad esempio, la figura che segue si riferisce alla distribuzione empirica della statura di 700 maschi di età -18 anni; l istogramma può essere interpolato con una curva normale con media μ = 17.8 cm e varianza σ = 56.7 cm (deviazione standard σ = 7.53 cm): Statura di 700 maschi di età -18 anni Densità statura In realtà, la variabilità di alcuni caratteri biologici (peso, statura, pressione arteriosa, glicemia, temperatura corporea, ) dipende dall apporto di molteplici fattori genetici e ambientali e le loro distribuzioni sono tanto più vicine alla distribuzione normale quanto più grande è il numero di fattori che entrano in gioco. La densità di un carattere X distribuito normalmente è individuata dalla funzione: 1 (x μ) σ f ( x) = e π σ ed è caratterizzata dai due parametri di media μ e varianza σ. La figura seguente rappresenta la curva di una distribuzione normale con μ =5 e sull asse orizzontale sono evidenziati i valori di μ + σ =.5, μ = 5 e μ + σ = 7.5 : σ = 6.3 e La curva normale risulta: 1

2 simmetrica rispetto alla retta parallela all asse verticale e passante per la media, ovvero, presi due punti qualsiasi sull asse orizzontale equidistanti dalla mediana (=media), uno a sinistra e l altro a destra, la funzione di densità assume per essi lo stesso valore; asintotica rispetto all asse delle ascisse, cioè per valori sempre più distanti dalla media l ordinata della curva tende a zero; crescente nell intervallo (, μ ) e decrescente nell intervallo ( μ,+ ); la crescita è meno veloce fino a μ σ (punto di flesso) e più rapida da tale valore a μ ; si ha un massimo in μ e poi l andamento è decrescente con ritmo più veloce dal massimo a μ + σ (punto di flesso). Un significato importante assume l area al di sotto della curva tra i valori X=x 1 e X=x : Area tra x 1 e x = Frequenza % dei valori di X compresi tra x 1 e x = P(x 1 <X x ) L area totale al di sotto della curva è uguale a 1 e si può osservare che: P(X>x 1 ) = 1 P(X x 1 ) e P(x 1 <X x ) = P(X x ) P(X x 1 ). La media è il parametro di posizione, nel senso che, al variare del suo valore, la curva non cambia nella forma ma subisce una traslazione rispetto all asse orizzontale; nella figura sono rappresentate tre distribuzioni di pesi aventi la stessa varianza ma media diversa: La varianza è il parametro di scala: al suo variare cambia la forma della curva di distribuzione. In particolare, per bassi valori di σ, l area sotto la curva è concentrata intorno alla media, mentre per alti valori di σ, la curva è schiacciata rispetto all asse orizzontale; nella figura sono riportate tre distribuzioni di pesi aventi ugual media, ma varianze diverse:

3 Evidentemente esiste un numero infinito di distribuzioni normali diverse tra loro, ottenute al variare dei due parametri. Tutte queste distribuzioni diverse possono essere ricondotte ad un unica distribuzione standard: la distribuzione normale standard, avente media μ = 0 e varianza σ =1. All uopo va considerata la trasformazione (standardizzazione): Z = X μ, σ e Z è la variabile normale standardizzata e ha densità f ( z) = e π Graficamente: 1 z. Per il calcolo delle aree al di sotto della curva normale standardizzata si può far ricorso ad un programma informatico (ad esempio all ambiente R) o a tavole della distribuzione normale standardizzata (come quella riportata in Appendice). In merito alle aree, un risultato importante è schematizzato nella figura che segue: 3

4 Esempio 1. Una popolazione di maschi si distribuisce normalmente secondo la statura (X) con media μ = 173 cm e deviazione standard σ = cm. Determinare la frequenza relativa degli individui: 1. con statura maggiore di 00 cm;. con statura compresa tra 175 e 190 cm; 3. con statura minore di 156 cm. Per rispondere alle domande poste è necessario procedere alla standardizzazione dell altezza e utilizzare la tavola riportata in Appendice. 1. standardizzando x = 00 cm: z = =.08, si ha: P(X>00) = P(Z>.08) = 1 P(Z.08) = (ricercando all interno della tavola nell incrocio tra la riga del.0 e la colonna di 0.08) = = = 1.9% % di individui;. standardizzando 175 e 190 cm: z 1 = = 0.15 e z = = 1. 31, si ha: P(175<X 199)=P(0.15<Z 1.31)=P(Z 1.31) P(Z 0.15)= (valori interni alla tavola nell incrocio tra la riga di 1.3 e 0.01 e nell incrocio tra la riga di 0.1 e 0.05) = % di maschi; 4

5 3. standardizzando 156 cm: z = = 1.31, risulta: P(X 156)=P(Z 1.31)= (per la simmetria della curva) = P(Z >1.31) = 1 P(Z 1.31) = (valore interno alla tavola nell incrocio tra la riga 1.3 e la colonna 0.01) = % di individui. Sempre in riferimento all esempio considerato, ci si può chiedere: 4. qual è la statura massima del 10% degli individui più bassi; 5. qual è la statura minima del 5% degli individui più alti. Per rispondere alle due domande è necessario partire dai valori interni alla tavola (che sono valori di frequenze relative/probabilità). 4. Va determinato, anzitutto, il valore z 1 della variabile Z per il quale risulta P(Z z 1 )=10%=0.1. Per la simmetria della curva (vedi grafico) risulta che: P(Z z 1 ) = P(Z>z )=1 P(Z z ).Osservando all interno della tabella di Appendice, il valore z di Z al quale corrisponde una probabilità di 0.90 (data da 1 0.1) è pari a 1.8 (riga di 1. e colonna di 0.08). Pertanto, sempre per la simmetria, si ha: z 1 = 1.8 e, per la standardizzazione, il valore x 1 della variabile X corrispondente a z 1 è dato da (x 1 173)/= 1.8 x 1 = 156 cm. Tale valore è proprio la massima altezza del 10% degli individui più bassi. 5. In questo caso il valore z 1 di z è tale che P(Z>z 1 ) = 5% = 0.05 e va determinato in modo che risulti 1 P(Z z 1 ) = Dall interno della tavola si evince che il valore di Z al quale corrisponde una probabilità del 95% è pari a z 1 = (media dei valori di Z corrispondenti al probabilità di e ). Il valore x 1 dell altezza di ottiene da: (x 1 173)/= x 1 = 194 cm, che rappresenta proprio la statura minima del 5% degli individui più alti nella popolazione presa in esame. Esempio. In una data popolazione è noto che l HDL-colesterolo si distribuisce normalmente con media μ = 57 mg/100ml e deviazione standard σ = 5 mg/100ml. Determinare la percentuale di soggetti della popolazione con a) HDL maggiore di 60 mg/100ml, b) HDL compreso tra 40 e 45 mg/100ml, c) HDL minore di 58 mg/100ml, d) HDL tra 55 e 58 mg/100ml. (risultati: a) 7.43%, b) 0.79%, c) 57.93%, d) 3.47%). 5

6 APPENDICE 6

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