CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA

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1 CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA Con calcolo combinatorio si indica quel settore della matematica che studia i possibili modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamenti; permette quindi di rispondere alle domande del tipo «in quanti modi?» oppure «quanti sono?». Col termine probabilità si indica la possibilità che un certo evento si verifichi, cioè che diventi realtà. La regola operativa per calcolare la probabilità che un dato evento (E) si verifichi è: P E = casi favorevoli casi possibili Dove per contare i casi favorevoli all evento e i casi possibili, è a volte necessario ricorrere al calcolo combinatorio.

2 Calcolo combinatorio: definizioni e regole di calcolo. Fattoriale di un numero: il fattoriale di un numero naturale n, che si scrive n!, è dato dal valore di quel numero moltiplicato per tutti gli interi precedenti fino ad arrivare a 1: n! = n(n-1)(n-2) 1. Per esempio, 5! = 5x4x3x2x1= 120

3 Supponiamo di avere n elementi (persone, numeri, lettere, caramelle un qualsiasi gruppo di oggetti), e di dover creare dei gruppi con questi elementi. Per esempio: in quanti modi possono sedersi sei persone a tavola? In quanti modi posso estrarre a caso due persone perché siano rappresentanti di classe? Quanti numeri di 5 cifre tutte dispari ci sono? Se lancio una moneta 20 volte, in quanti modi posso ottenere 10 volte croce? Per rispondere, bisogna innanzi tutto tenere conto di alcune caratteristiche fondamentali dei gruppi che dobbiamo creare, che portano a identificare diverse regole di calcolo. Tali caratteristiche sono: Devo selezionare solo alcuni elementi da quel gruppo, oppure li devo considerare tutti? L ordine degli elementi del gruppo è importante oppure no? Cioè, un gruppo con gli stessi elementi in ordine diverso, è un gruppo effettivamente diverso? E possibile che all interno di un gruppo un elemento venga ripetuto?

4 PERMUTAZIONI (considero tutti gli n elementi) DISPOSIZIONI (k elementi su n, l ordine conta) COMBINAZIONI (k elementi su n, l ordine non conta) semplici: n! semplici: n! n k! semplici: n! k! n k! con ripetizione: n! r 1! r 2! r 3! con ripetizione: n k con ripetizione: (n + k 1)! k! n 1!

5 Quindi, per decidere che forma usare, i dobbiamo porre alcune domande: DEVO UTILIZZARE TUTTI GLI n ELEMENTI DELL INSIEME? NO. Possono essere disposizioni o combinazioni. L ORDINE CONTA? SI. Allora sono permutazioni. POSSO RIPETERE GLI ELEMENTI? SI: sono disposizioni. POSSO RIPETERE GLI ELEMENTI? NO: sono combinazioni. POSSO RIPETERE GLI ELEMENTI? Una volta riconosciuto se si tratta di combinazioni, disposizioni o permutazioni, devo sempre chiedermi se posso ripetere gli elementi (con ripetizione) oppure no (semplici).

6 PERMUTAZIONI (considero tutti gli n elementi) DISPOSIZIONI (k elementi su n, l ordine conta) COMBINAZIONI (k elementi su n, l ordine non conta) In quanti modi possono sedersi 6 persone su 6 poltrone al cinema? In quanti modi tre persone possono alternarsi sul podio, in un gara con 10 partecipanti? In quanti modi posso estrarre a caso due persone per un interrogazione? Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? Quanti numeri di 5 cifre dispari ci sono? In quanti modi posso distribuire 10 caramelle uguali a tre bambini?

7 Teoremi sulla probabilità Consideriamo solo eventi indipendenti (cioè il verificarsi dell uno non influenza il verificarsi dell altro) ed equiprobabili (non ci sono casi truccati o che si possono verificare con più facilità). Intersezione di due eventi: è la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente: un evento E anche l altro (per esempio, pescare da un mazzo una figura di picche): P E 1 E 2 = P(E 1 ) P(E 2 ) Unione di due eventi: è la probabilità che si verifichi un evento OPPURE un altro (esempio, roulette: rosso o pari): P E 1 E 2 = P E 1 + P E 2 P(E 1 E 2 ) (se due eventi non possono verificarsi insieme sono incompatibili es: sia rosso che nero)

8 Evento complementare Un evento E si definisce complementare di E se il verificarsi di uno esclude che si verifichi l altro, e l unione di E ed E è la somma di tutti i casi possibili. Esempio: evento E = lancio un dado ed esce 4 evento E = lancio un dado ed esce 1, oppure 2, oppure 3, oppure 5, oppure 6 = non esce 4. P E = 1 P(E) utile perché a volte è più facile calcolare la probabilità dell evento complementare.

9 In un vassoio ci sono 100 caramelle: 35 all arancia, 33 alla menta e 32 al limone. Se ne estraggo una, che probabilità c è che non sia alla menta? E = menta E = non menta P E = P E = = = = 0,67 Oppure: non menta = 35+32=67 P E = non menta =

10 Se lancio una moneta 6 volte, quante probabilità ho di fare esattamente 4 volte testa? Casi possibili Qual è l insieme di partenza? Quello che contiene gli esiti di ogni lancio: testa o croce. n = 2. Devo prendere tutti gli elementi? No, potrei avere solo teste o solo croci. L ordine conta? Si, perché l evento testa croce è diverso da croce testa. Posso ripetere? Si, può venire più volte testa o croce. sono disposizioni con ripetizione, n k = 2 6 = 64

11 Se lancio una moneta 6 volte, quante probabilità ho di fare esattamente 4 volte testa? Casi favorevoli Qual è l insieme di partenza? Stavolta è quello che contiene il numero di teste e di croci richiesto: 4 teste e 2 croci. Devo considerare tutti i suoi elementi? Si, per fare 6 lanci devo considerarli tutti e 6 (TTTTCC). L ordine conta? Si. Posso ripetere? Si, perché ho 4 elementi uguali (T) e 2 elementi uguali (C). sono permutazioni con ripetizione: 6! = 6 5 4! 2!4! 2 4! = 15

12 A questo punto, P(4T) = 15 Questo vale per ogni esercizio di questo genere: Casi possibili su n lanci: n k = 2 lanci/monete ; Casi favorevoli alla richiesta: num. lanci! num. teste! numcroci! 64 Analogamente, se si tratta di lanciare un dado varie volte, il numero di casi possibili è n k = 6 lanci Infatti i 6 numeri che fanno parte dell insieme «esito del lancio» si possono ripetere e possono non uscire tutti. I casi favorevoli dipendono dalla richiesta.

13 Tirando contemporaneamente 5 dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere 5 numeri pari? 1 10 ; 1 25 ; 1 32 ; 1 6 ; (1 6 )5 Ogni lancio è indipendente dal precedente e dal successivo. Quindi, devo considerare la probabilità che in un lancio esca un numero pari: essa è ½. Poi, considero che la richiesta è un caso di intersezione di eventi: pari nel primo lancio E nel secondo E nel terzo quindi la probabilità richiesta è: = 1 32 E se avessi voluto usare casi favorevoli / casi possibili sui 5 lanci, ricavandoli usando il calcolo combinatorio? So che i casi possibili sono 6 numero.lanci, però NON posso calcolare i casi favorevoli, perché devo considerare di scegliere 5 elementi su 3 dei 6 in maniera selettiva. Però posso comunque rispondere: noti i casi possibili, escludo l ultima perché troppo bassa, la prima e la seconda perché 10 e 25 non sono multipli di 6 5, e resta la scelta fra due, ma 1/6 è troppo alta.

14 Determinare quante sono le parole di 7 lettere (anche prive di senso) che si possono formare usando solo le lettere A, C, G, T. devo usare tutti gli n elementi (le lettere)? No, niente nel testo lo rende obbligatorio. AAATTGG andrebbe bene. l ordine conta? Si, perché la parola TAAATGG è diversa dalla precedente pur avendo gli stessi elementi. posso ripetere? Si, altrimenti con 4 lettere mai potrei formare una parola di 7! DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE, n k = 4 7 Attenzione: n = 4, sono gli elementi (le lettere) dell insieme di partenza, e k=7, elementi dei gruppi che formo.

15 Tredici persone si stringono la mano. Ciascuna stringe la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di mano totali? 13; 78; 26; 156; 169. come prima cosa escludiamo 13 e 26 (sono poche, se consideriamo che una persona stringe 12 mani). escludiamo anche 169, che è 13x13: se ogni persona stringe 12 mani, 13x13 è troppo. devo considerare tutti gli elementi? No, perché le strette avvengono fra due persone alla volta. n = 13, k = 2. l ordine conta? No: la stretta fra me e paolo e quella fra paolo e me non sono due strette diverse, ma la stessa stretta che va considerata una volta sola. posso ripetere un elemento? No, perché vorrebbe dire che una persona stringe la mano a se stessa. COMBINAZIONI SEMPLICI n! k! n k! = 13! 2! 11! = ! 2 11! = = 13 6 = 78 2

16 Quanti sono i numeri naturali di 4 cifre dispari distinte? 20; 5; 60; 625; 120 devo considerare tutti gli n elementi? No. Infatti, le cifre dispari sono 5 (1,3,5,7,9), se formo numeri di 4 cifre una resta esclusa. l ordine conta? Si! Il numero 7539 è diverso dal numero 5937! posso ripetere gli elementi? No. Lo dice chiaramente il testo: cifre distinte. DISPOSIZIONI SEMPLICI: n! n k! = 5! 5 4! = 5! 1! = = 120

17 Lanciando contemporaneamente due dadi regolari a 6 facce, qual è la probabilità che la somma sia 4? i casi favorevoli sono solo tre: 2+2, 3+1, 1+3 i casi possibili sono 6 n.lanci = 6 2 : infatti, lanciare due dadi contemporaneamente è la stessa cosa che lanciarne uno due volte. Allora P E = 3 36 = 1 12 I casi favorevoli potevo contarli solo a mano, perché la richiesta (somma 4) rendeva specifiche le possibilità di esito.

18 Da un mazzo di 40 carte (10 picche, 10 fiori, 10 cuori, 10 quadri) se ne estraggono 3. Qual è la probabilità di avere tre carte di fiori, se non rimetto le carte estratte nel mazzo? 3 ; 9 ; ; 7 10 ; La probabilità di ottenere nella prima estrazione la carta di fiori è = 1 4. La probabilità che nella seconda estrazione esca una carta di fiori è 9 39 (non ho rimesso la carta nel mazzo). La probabilità che nella terza estrazione esca una carta di fiori è 8 38 = 4 19 (non ho rimesso la carta nel mazzo). La probabilità richiesta è un intersezione delle tre: stesso seme nella prima E nella seconda E nella terza estrazione: = = 3 247

19 4 italiani, 3 francesi e 5 tedeschi devono sedersi ad uno stesso tavolo. Le persone di stessa nazionalità devono rimanere vicine. In quanti modi si può fare? Devo tenere in considerazione che devo lasciare vicine persone della stessa nazionalità. Quindi mi chiedo: in quanti modi possono sedersi all interno dello stesso gruppo? Devo tenere tutti gli elementi (persone), e non posso ripetere un elemento (persona!), quindi sono permutazioni semplici: Italiani 4!, francesi 3!, Tedeschi 5! In quanti modi posso sistemare i tre gruppi? 3! (sono sempre disposizioni semplici). gruppi di nazionalità x rotazione dei gruppi = 4! 3! 5! x(3!)

20 Logica proposizionale La logica proposizionale si propone di formalizzare e quindi analizzare i ragionamenti che, nel nostro linguaggio naturale, possono es25/03/2014sere formulati ricorrendo ad affermazioni (quindi niente esclamazioni, domande, ecc.) composte fra loro usando particelle come: e, o, sia...sia, né né, ma non, o...o, e/o. Non possiamo prendere in considerazioni frasi dal significato ambiguo o soggettivo.

21 «Il cioccolato con le nocciole è più buono del cioccolato bianco» «Pioverà domani?» «Il fratello di Marco è più alto di Luca» Solo l ultima è una proposizione, cioè una affermazione che descrive un fatto a cui è possibile attribuire un valore di verità. Attraverso la logica possiamo attribuire (o no) valore di verità ad affermazioni complesse a partire dalla verità di quelle più semplici che le compongono.

22 Gli elementi che fanno parte di un sistema logico sono essenzialmente di due tipi: Atomi (o oggetti), che possono essere numeri, frasi, o altri oggetti, nei quali non vogliamo, o non possiamo, distinguere elementi più semplici. Predicati: i predicati esprimono proprietà che uno o più atomi possono avere.

23 I vari elementi del sistema possono essere collegati tra loro mediante i seguenti operatori: (non importa il simbolo, ma il significato!!) CONNETTIVI LOGICI: = uguaglianza negazione (non) congiunzione (e) disgiunzione (o) implicazione (se, allora) QUANTIFICATORI: Ǝ esiste almeno uno Ǝ! esiste un solo per ogni Attenzione: Dire TUTTI non ammette eccezioni. Dire NESSUNO non ammette eccezioni. «alcuni», «quasi tutti», «quasi nessuno», «qualcuno» ammettono eccezioni.

24 NEGAZIONE: Data una proposizione, la sua negazione è la proposizione che è vera quando essa è falsa e viceversa. Proposizione: «tutti i gatti sono neri» Negazione: «non tutti i gatti sono neri», «c è almeno un gatto non nero», «nessun gatto è nero». NB: per negare, mi basta una eccezione.

25 CONGIUNZIONE: date due proposizioni, la congiunzione è la proposizione che è vera quando entrambe sono vere e falsa altrimenti. «per essere ammessi al concorso, bisogna essere diplomati E maggiorenni» «per poter salire sulla giostra, è necessario essere più alti di 1,50m E avere più di 10 anni»

26 IMPLICAZIONE (condizioni necessarie, condizioni sufficienti) Se «A», allora «B»: A B (cioè «A» implica «B») A condizione sufficiente per B B condizione necessaria per A «A» se e solo se «B»: A B (cioè «A» implica «B» e viceversa) A condizione necessaria e sufficiente per B

27 CONDIZIONE SUFFICIENTE: A è sufficiente per B equivale a dire che "se A è vera, allora B è vera", oppure che "ogni qualvolta si avvera A, si avvera anche B". Mi basta avere A per sapere che c è B, ma B potrebbe esserci anche senza A. CONDIZIONE NECESSARIA: B è necessaria per A se vale la formulazione "se B non è vera, allora A non è vera". Se ho A, sono sicura di avere anche B, dato che A senza B non c è. «essere padre» implica essere «biologicamente maschio»: A condizione sufficiente per B B condizione necessaria per A Essere padre è condizione sufficiente per essere biologicamente maschio. Essere biologicamente maschio è condizione necessaria per essere padre. B può esserci senza A: si può essere «biologicamente maschio» senza «essere padre». Essere biologicamente maschio non è condizione sufficiente per essere padre.

28 CONDIZIONE SUFFICIENTE: A è sufficiente per B equivale a dire che "se A è vera, allora B è vera", oppure che "ogni qualvolta si avvera A, si avvera anche B". Mi basta avere A per sapere che c è B, ma B potrebbe esserci anche senza A. CONDIZIONE NECESSARIA: B è necessaria per A se vale la formulazione "se B non è vera, allora A non è vera". Se ho A, sono sicura di avere anche B, dato che A senza B non c è. «essere modenese» implica «essere emiliano»: Essere modenese è condizione sufficiente per essere emiliano. Essere emiliano è condizione necessaria per essere modenese. Posso essere emiliano senza essere modenese «essere emiliano» implica essere «modenese»: è FALSA! Essere emiliano non è condizione sufficiente per essere modenese. Essere modenese non è condizione sufficiente per essere emiliano

29 Condizione sufficiente, ma non necessaria, affinché al Liceo Pitagora l'anno scolastico si concluda con una festa è che le interrogazioni terminino entro la fine del mese di maggio. Determinare quale delle seguenti situazioni è INCOMPATIBILE con l'affermazione precedente. A) Nel 2008 le interrogazioni sono terminate a marzo, e poi non c'è stata la festa B) Nel 2006 uno studente è stato interrogato il 4 giugno, e poi c'è stata la festa C) Nel 2003 uno studente è stato interrogato il 4 giugno, e poi non c'è stata la festa D) Nel 2010 uno studente è stato interrogato il 3 aprile, e poi non c'è stata la festa E) Da quando esiste il Liceo Pitagora la festa c'è stata ad anni alterni cosa significa sufficiente ma non necessaria? sufficiente: se «concludo le interrogazioni a maggio» è vera, «faccio la festa» è vera. Ogni volta che le interrogazioni si concludono a maggio, la festa c è. non necessaria: se «concludo le interrogazioni a maggio» è falsa, «faccio la festa» può essere vera o falsa. (infatti, se fosse necessaria, non concludere le interrogazioni implicherebbe non fare la festa, ma dato che NON è necessaria, non so con certezza cosa accade se le interrogazioni non sono concluse). ALLORA LA RISPOSTA CORRETTA E LA A.

30 Quale di questi ragionamenti è corretto da un punto di vista deduttivo: A) Carlo frequenta la prima elementare. La maggioranza dei bambini che frequentano la prima elementare ha sei anni, quindi Carlo ha sei anni Errata. La maggior parte non vuol dire tutti, Carlo potrebbe essere nella minoranza. B) Carlo ha 4 anni. I bambini sopra 4 anni sono biondi. Quindi Carlo non è biondo Errata. Non so nulla sui bambini sotto ai 4 anni. C) Carlo ha 4 anni. I bambini di 4 anni sono tutti biondi. Quindi Carlo è biondo. Corretta. Se «tutti» sono biondi, Carlo non è un eccezione, ed è biondo. D) Carlo ha 4 anni. I bambini sopra 4 anni non sono biondi. Quindi Carlo è biondo. Errata. Non so nulla sui bambini sotto ai 4 anni E) se Carlo avesse sei anni e frequentasse la prima elementare, e se tutti gli altri bambini di quella classe fossero biondi, Carlo sarebbe biondo. Errata. «tutti gli altri» non è «tutti in generale», quindi Carlo potrebbe essere un eccezione.

31 INSIEMISTICA Dati gli insiemi A e B, possiamo definire: Intersezione di A e B: gli elementi in comune fra A e B. (esempio: A = donne, B = biondi: intersezione = donne bionde) Unione di A e B: gli elementi di A più gli elementi di B (quelli di solo A + quelli di solo B + quelli che appartengono all intersezione). (donne more + uomini biondi + donne bionde) Differenza fra A e B: gli elementi che appartengono ad A ma NON a B. (donne more) A e B sono disgiunti se non hanno elementi comuni. (A= donne B =pennuti)

32 Identificare le proposizioni semplici contenute in quelle più complesse. Identificare le implicazioni. «non tutti» = «alcuni», quindi «non tutti» è incompatibile con «tutti», e anche con «nessuno». Per abbattere una certezza basta una sola eccezione: per negare tutti, e nessuno mi basta almeno uno. Controllare che la risposta che consideriamo esatta corrisponda a tutte le implicazioni e renda vere tutte le proposizioni semplici (compatibilità). Concentrarsi sulle richieste. Controllare con dei controesempi la risposta che consideriamo esatta. Attenzione ai giri di parole.

33 A quale delle seguenti affermazioni equivale la frase: Non tutti i miopi portano gli occhiali? A) Nessun miope porta gli occhiali B) Tutti i miopi portano gli occhiali C) Non vi è un miope che non porti gli occhiali D) C è almeno un miope che non porta gli occhiali E) Tutti i miopi evitano di portare gli occhiali «non tutti» = «alcuni lo fanno e altri no» Quindi, non lo fanno tutti: la B non va bene, e neanche la C, che dice la stessa cosa. Però alcuni lo fanno, e allora la A non va bene. La E è uguale alla A. Quella corretta è la D.

34 Alberto, Carlo, Roberto, Paolo e Sergio sono nati in cinque città diverse: Amsterdam, Cagliari, Roma, Pavia, Siracusa. Alberto e Sergio mentono sempre mentre Paolo non mente mai. (queste sono proposizioni vere) Alberto afferma di essere nato ad Amsterdam e che Sergio è nato a Siracusa. Paolo afferma di essere nato a Pavia e riferisce che Alberto gli ha detto di essere nato a Cagliari. Dove può essere nato Alberto? Alberto: «sono nato ad Amsterdam» FALSA Alberto NON è nato ad Amsterdam. Paolo: «sono nato a Pavia e Alberto mi dice di essere nato a Cagliari» VERA Alberto NON è nato a Cagliari; Alberto NON è nato a Pavia. Alberto può essere nato a Siracusa o a Roma

35 Paolo è così amico di Giuseppe e di Claudio che quando lui va alle feste ci vanno anche i suoi due amici. Data la frase precedente, quale delle seguenti affermazioni è certamente vera? A) Ieri c era una festa alla quale Paolo non è andato, quindi anche Giuseppe e Claudio non c erano B) Ieri Claudio è andato ad una festa, quindi c è andato anche Paolo C) Giuseppe e Claudio ieri erano ad una festa, quindi c era anche Paolo D) Paolo ieri è andato ad una festa, quindi sicuramente c erano anche Giuseppe e Claudio E) Giuseppe ieri era ad una festa, quindi sicuramente c è andato anche Claudio Cosa so: «Paolo alla festa» implica «Giuseppe e Claudio alla festa» Cosa significa: Se Paolo è a una festa ci sono i suoi amici. (Paolo condizione sufficiente) COERENTE CON D. Se non ci sono Giuseppe e Claudio, non c è Paolo (G&C condizioni necessarie, se loro non ci sono vuol dire che lui non c è) Se Paolo non c è, non posso sapere se ci sono Claudio e Giuseppe: vanno sempre alle feste quando c è lui, ma non sappiamo cosa fanno quando lui non c è. (Paolo non è condizione necessaria, G&C non sono sufficienti). ESCLUDO LA A, LA B e LA C Non posso sapere cosa fanno Claudio e Giuseppe uno rispetto all altro. ESCLUDO LA E LA RISPOSTA CORRETTA E LA D.

36 In un cinema ci sono 200 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono i film di genere fantasy. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere fantasy? A) Di cinquanta B) Di cento C) Di nessuno D) Di dieci E) Di quaranta la richiesta è: quanti sono gli elementi che di sicuro appartengono all intersezione dei tre insiemi (italiani, donne e amanti del fantasy). Prima di tutto devo quindi chiedermi se tale intersezione esiste obbligatoriamente (con certezza!); devo cioè domandarmi se esiste almeno una possibilità che gli insiemi siano disgiunti (niente certezza) oppure se tale possibilità non esiste < 200, quindi è possibile che i tre insiemi non abbiano elementi in comune; cioè non è obbligatorio che l intersezione esista. Data la richiesta «con certezza», LA RISPOSTA CORRETTA E LA C. se avessero chiesto «al massimo di quanti si può affermare che potrebbero..», la risposta sarebbe stata 40 (cioè tutti gli italiani sono anche donne che amano il fantasy. Non di più perché non ci sono abbastanza italiani)

37 In un cinema ci sono 100 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono i film di genere fantasy. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere fantasy? A) Di cinquanta B) Di cento C) Di nessuno D) Di dieci E) Di quaranta > 100, quindi (al contrario di prima) sono sicura che ci sono persone con più di una caratteristica. Quindi, per capire se è possibile che non esista l intersezione richiesta (è quello che esclude la certezza) devo chiedermi se è possibile che un insieme sia disgiunto dall unione degli altri due (due caratteristiche ma non tre) = 100, quindi può essere che dei 40 italiani nessuno ami il fantasy, e quindi l intersezione non esiste con certezza < 100, quindi può essere che dei 40 italiani nessuno sia donna, e quindi l intersezione non esiste con certezza > 100, quindi almeno 10 persone sono donne che amano il fantasy. Però, supponendo che siano 10, restano 90 persone che hanno solo una caratteristica, e il 40 italiani possono essere fra questi. LA RISPOSTA ESATTA E ANCORA LA C.

38 In un cinema ci sono 70 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono i film di genere fantasy. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere fantasy? A) Di cinquanta B) Di cento C) Di nessuno D) Di dieci E) Di quaranta > 70, quindi sono sicura che ci sono persone con più di una caratteristica. Quindi, per capire se è possibile che non esista l intersezione richiesta (è quello che esclude la certezza) devo chiedermi se è possibile che un insieme sia disgiunto dall unione degli altri due (due caratteristiche ma non tre) = 100, quindi per rispettare il vincolo di 70 persone, posso dire che (almeno) 30 sono italiani che amano il fantasy. supponiamo quindi che 30 persone abbiano due caratteristiche: ne restano 40 che ne hanno una sola. ipotizzando che queste 40 siano tutte donne (ragioniamo sempre al limite), per arrivare a 50 ne restano comunque 10 che devono ricadere nelle 30 persone che sono italiane e amano il fantasy. LA RISPOSTA ESATTA E LA D. (al minimo, con certezza, 10. potrebbero essere di più, potrei avere 40 donne italiane che amano il fantasy e i restanti 30 non italiani, ma non posso saperlo.)

39 Tutti i piccioni mangiano le fave alcuni uccelli non mangiano le fave dunque... non sono piccioni. S individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo: A) le fave B) alcuni uccelli C) alcuni piccioni D) alcune fave E) tutti gli uccelli Non è un piccione chi non mangia le fave, perché tutti i piccioni le mangiano. Chi non mangia le fave? Alcuni uccelli. Allora «alcuni uccelli non sono piccioni». La B. A e D non hanno senso. Le fave non sono piccioni e non sono uccelli, sono quelle che vengono mangiate. Anche la C non ha senso, i piccioni sono piccioni. La E è sbagliata perché sono solo alcuni, gli uccelli che non mangiano fave, non tutti.

40 Mario è nato martedì 8 febbraio. Stella è nata mercoledì 8 marzo, nello stesso anno. Di quale anno potrebbe trattarsi? A) 1976 B) 1973 C) 1970 D) 1979 E) 1982 La risposta è legata al fatto che l anno sia bisestile o meno. Infatti, quando febbraio ha 28 giorni (multiplo di 7) i giorni della settimana hanno, a marzo, gli stessi numeri progressivi. Quindi, in un anno NON bisestile, a martedì 8 febbraio segue martedì 8 marzo. Se invece i giorni sono 29, si avrà mercoledì 8 marzo. Quale di questi anni è bisestile, quindi? Un anno è bisestile se il suo numero è divisibile per 4, con l'eccezione degli anni secolari (quelli divisibili per 100) che non sono divisibili per 400. A questo punto, l unico divisibile per 4 è 1976.

41 Quando prende il treno, Carlo arriva sempre in ritardo a destinazione. Quale delle seguenti affermazioni può essere dedotta dalla frase precedente? A) Carlo è arrivato in ritardo, quindi ha preso il treno B) Carlo è arrivato in orario, quindi non ha preso il treno C) Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in ritardo D) Carlo è arrivato in orario, quindi ha preso il treno E) Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in orario L affermazione mi dice che: «prendere il treno» è condizione sufficiente per «ritardo». Non è però necessaria: Carlo arriva sempre in ritardo se è in treno, ma può arrivare in ritardo anche in altri casi ( quando, non solo quando ). la A e la E non vanno bene perché presuppongono il treno come condizione «necessaria» al ritardo. la C e la D sono in contraddizione con l affermazione, quindi le escludo. quella corretta è la B.

42 Si legga la seguente cronaca elettorale: A ha conseguito il 36,4% dei voti, mentre in lieve flessione rispetto alle elezioni del 2005 appare B (fermo al 28,5); C ha quasi raddoppiato i consensi (20,9) e D, al battesimo delle urne, si attesta al 14,2. Quale è l'unico risultato delle elezioni del 2005 che sia compatibile col quadro appena delineato? A) A 18,3 - B 41,4 - C 40, 3 B) A 63,3 - B 26,2 - C 10,5 C) A 58,3 - B 30,7 - C 11,0 D) A 43,3 - B 30,3 - C 10,9 - D 15,5 E) A 36,4 - B 32,4 - C 20,7 - D 10.5 Le informazioni utili (cioè di confronto col 2005) sono solo tre: Nel 2005 D non c era. escludo D ed E C ha quasi raddoppiato, quindi nel 2005 deve aver ottenuto poco più del 10,45%. escludo la A, restano B e C B ha leggermente diminuito rispetto al C.

43 Ad una festa partecipano 8 studenti, i quali complessivamente possiedono 17 cellulari. Determinare quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera. A) Almeno un ragazzo possiede almeno 3 cellulari B) C'è un unico ragazzo che possiede almeno 3 cellulari C) Almeno un ragazzo possiede esattamente 3 cellulari D) C'è un unico ragazzo che possiede esattamente 3 cellulari E) Nessun ragazzo possiede più di 3 cellulari Valutiamo il caso più estremo: un ragazzo ha tutti e i 17 i cellulari. Essendo possibile, escludo la E. Distribuiamoli considerano il numero minimo di cellulari ciascuno se li distribuiamo equamente : sono in 8, ne hanno 2 a testa, e un solo ragazzo ne ha 3. Ovviamente, potrebbe poi succedere che qualcuno ne abbia solo uno o nessuno: in questo caso, o più di una persona ne ha 3, o una persona ne ha più di tre. In ognuno di questi casi, almeno una persona ne ha 3 come minimo, e questa è l unica cosa che posso dire con certezza. Questo è compatibile con la A, che è in effetti la risposta corretta. Non posso dire «uno solo ne ha almeno 3» (B), perché potrebbe essere Questo esclude anche la D (uno solo esattamente 3) Non posso dire «almeno uno ESATTAMENTE 3» (C) perché potrebbe essere Questo esclude anche la E, di nuovo. (nessuno più di tre). ricordare che basta una eccezione a demolire una affermazione. «certezza logica» non è per forza «la cosa più sensata». Anzi

44 L analisi dei risultati di un test ha evidenziato che, per ognuna delle 70 domande proposte, c'è stato almeno un candidato che ha fornito la risposta corretta. Determinare quale delle seguenti situazioni è compatibile con questa analisi. A) Tutti hanno risposto in maniera errata alla domanda 47 B) Esiste un candidato che ha risposto in maniera errata a tutte le domande C) Nessuno ha fornito una risposta alla domanda 53 D) Nessuno ha risposto correttamente alla domanda 70 E) Almeno due domande hanno ricevuto risposte errate da parte di tutti i concorrenti Rendiamo più semplice l affermazione: «per ogni domanda, c è stata almeno una risposta corretta» (che NON vuol dire «ogni candidato ha dato almeno una risposta corretta») A, C, D non sono compatibili perché affermano che una domanda non abbia avuto risposta corretta. E non è compatibile perché comporta che addirittura due o più domande non abbiano avuto neanche una risposta corretta. B invece è compatibile, perché un candidato può aver sbagliato tutto, questo non da informazioni su cosa hanno fatto gli altri: è possibile che le altrui risposte comprendano almeno una risposta corretta per ogni domanda.

45 Di solito Laura pota le rose nel mese di novembre, ma lo scorso anno ha dimenticato di farlo. Ha aspettato, invece, che terminasse il gelo invernale per poi potarle nel mese di marzo. Quest estate Laura ha avuto la più abbondante fioritura di rose che si fosse mai vista nel suo giardino. Quindi, il gelo fa bene alle rose. Quale delle seguenti risposte costituisce il passaggio logico errato nel brano precedente? A) Si presuppone che il gelo abbia causato l abbondante fioritura di rose B) Si presuppone che non ci siano gelate nel mese di marzo C) Si presuppone che le rose debbano essere potate D) Si presuppone sulla base di un solo caso che una tarda potatura faccia bene a tutte le piante in generale E) Si presuppone che il mese di novembre e il mese di marzo siano gli unici mesi in cui si può effettuare la potatura Analizziamole tutte, e vediamo quali sono, innanzi tutto, passaggi logici davvero fatti nel testo. A «QUINDI il gelo fa bene alle rose» è una deduzione del testo, ma è corretta? B non è vero, ha aspettato che salisse la temperatura e poi le ha potate a marzo. Non c è scritto «dato che a marzo non ci sono gelate». C parla di un abitudine di Laura, ma non dice che lo fa perché «si deve». D non si fa collegamento fra il ritardo e la potatura, né si parla di altre piante. Però, il fatto che un solo caso non basta per una deduzione logica è vero, e supporta la scelta della A. E non è vero, e in fatti si specifica che Laura lo fa «di solito» a novembre, una sua abitudine e non una condizione obbligatoria. E anche marzo è casuale, dopo il gelo.

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