L invarianza della velocità della luce. Dai postulati della teoria della relatività alle equazioni di Lorentz. (2) R

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1 L inarianza della eloità della lue. Dai postulati della teoria della relatiità alle equazioni di Lorentz. Conferma sperimentale dell inarianza della eloità della lue. Relazioni tra spostamenti e eloità in un fissato interallo di tempo,tra spostamenti e interalli di tempo per un fissato alore della eloità. Relazioni tra due SRI in moto l uno rispetto all altro. Ipotesi di inarianza del tempo: trasformazioni di Galilei. Relazioni tra due SRI in moto l uno rispetto all altro, ipotesi di inarianza della eloità della lue: dalle trasformazioni di Galilei alle trasformazioni di Lorentz. Deriazione delle trasformazioni di Lorentz. Studio del fattore di ontrazione γ (). A B R () R R e R sono le posizioni rileate nei asi in ui l ipotesi = ost. sia era o falsa. R (1) B R A In alto sono rappresentate due onfigurazioni estremamente semplifiate di un sistema G.P.S. (Global Position System), a distanza di dodii ore l una dall altra, in ui due satelliti A e B geostazionari, dei quali è nota la posizione rispetto alla terra, trasmettono al rieitore R segnali elettromagnetii he trasportano informazioni relatie al tempo di emissione e un odie di rionosimento. Rileando il tempo di arrio si può alolare l interallo di tempo impiegato dal segnale e, moltipliando per il alore della eloità delle onde elettromagnetihe nel uoto, supposto ostante, si possono alolare le distanze AR e BR e, quindi, la posizione del rieitore R. In realtà il sistema è molto più omplesso e interessante ome appliazione della teoria della relatiità. Supponiamo, per esempio, he la eloità delle. E. sia ostante relatiamente al Sole. Se il suo alore dipendesse dalla eloità del rieitore R, he ambia istante per istante, nella onfigurazione (1) il segnale AR dorebbe iaggiare, rispetto a R, a una eloità > ( perhé gli andiamo inontro ), mentre, per il motio opposto, il segnale BR dorebbe iaggiare a una eloità <. Quindi, la distanza rileata moltipliando l interallo di tempo per dorebbe essere più piola per AR e più grande per BR, per ui la posizione rileata di R dorebbe essere più a sinistra di quella reale nel aso (1). Se tuttaia si onsidera la onfigurazione (), si ede he le posizioni di A e B s inertono rispetto al moto orbitale della terra, per ui, on le stesse onsiderazioni preedenti, la posizione di R dorebbe apparire più indietro rispetto al erso di rotazione. 1

2 Insomma, effettuando riliei interallati di dodii ore, si dorebbe registrare un osillazione delle posizioni, osa he non è mai stata erifiata. Ci sono, quindi, ottime ragioni sperimentali per ritenere he la eloità della lue sia indipendente dal sistema di riferimento. t=0 t=0+ t S Q S Q u q x x m P P u p Se P è un qualsiasi punto dello spazio riferito a S, il ettore P indiidua sia una posizione, sia uno spostamento. Il alore del tempo t indiidua sia un istante, sia un interallo di tempo t seondo la relazione t = 0 + t. Il rapporto P (1) u p = t ( inteso ome uno spostamento diiso un interallo di tempo) assume allora il signifiato di una eloità. Possiamo pensare, ad esempio, a una partiella m in moto on eloità ostante u p he attraersa l origine nell istante t=0 e il punto P nell istante t = 0 + t. Si apise subito he in questo modello, per ogni fissato istante e ogni fissato punto, le eloità sono determinate e proporzionali agli spostamenti. Stiamo supponendo, oiamente, he le partielle possano iaggiare a una eloità qualunque. Vieersa, supponendo fissato il modulo u delle eloità delle singole partielle, per ogni fissato punto P il rapporto () t p = P u assume il signifiato di un istante assoiato al punto P ( o di un interallo di tempo assoiato allo spostamento P). Prendiamo in onsiderazione due SRI S e S. S è in moto on eloità ostante rispetto a S. Nell istante t=0 si ha S =S.

3 t=0 t=0+ t S S=S S = u La relazione (1) P = P - dà la posizione P di un punto di S, note in S la sua posizione P e quella dell origine di S in un fissato istante t. Possiamo diidere entrambi i membri della (1) per t, interpretandoli ome spostamenti nel medesimo interallo di tempo, per ottenere la relazione () u = u - Una pallina m, ad esempio, attraersa l origine = nell istante t=0 on eloità ostante u e il punto nell istante t = 0 + t. Se nella () poniamo u=0 otteniamo u = -. Quindi, se S si muoe rispetto a S on eloità, allora S si muoe rispetto a S on eloità. u S è in moto on eloità ostante - rispetto a S. Nell istante t=0 si ha S=S. t=0 t=0+ t S S=S S - u u La relazione (1 ) P = P 3

4 dà la posizione P di un punto di S, note in S la sua posizione P e quella dell origine di S, in un fissato istante t. Possiamo diidere entrambi i membri della (1 ) per t medesimo interallo di tempo, per ottenere la relazione, interpretandoli ome spostamenti nel ( ) u = u + Abbiamo preso in onsiderazione due onfigurazioni spaziali istantanee di un sistema he eole nel tempo, in S e in S, mettendo in eidenza la perfetta simmetria delle formule di trasformazione degli spostamenti e delle eloità e la loro orrispondenza. Le ipotesi fisihe sottostanti sono: - L inarianza della distanza eulidea tra due punti - L inarianza degli interalli di tempo tra due istanti quando si onsiderino ambiamenti di SRI in moto on eloità ostante l uno rispetto all altro. Segliamo P, he eidentemente è un punto qualunque, allineato on e e, faendo ruotare opportunamente gli assi di S e S, portiamo x e x a oinidere, in direzione e erso, on. In questo aso la (1 ) e la () si possono sriere (3) x = x - t (4) u = u - Se, nell esempio preedente, sostituiamo alla pallina un punto di un impulso di lue he si propaga on eloità di alore ostante, diidendo entrambi i membri della (3) per, otteniamo (5) t = t x/ La (5) può essere interpretata ome una trasformazione da S a S relatia al tempo. S=S P = x P = x t = t =0 S S z z P = x P = x t=0+ t t =0+ t y y Dato he il ettore non ha omponenti lungo le direzioni y e z, risulterà y = y, z = z. Esaminiamo allora le formule di trasformazione ottenute utilizzando la (5), nel aso in ui S e S oinidono in t=0 e gli assi x e x sono sorapposti a. 4

5 (1) x = x t () y = y u - (*) (3) z = z (**)u = u 1 - (4) t = t x la (**), riaata diidendo la prima e la quarta delle (*), i dà la formula di trasformazione della eloità in ui u = u =. Inoltre, nella (**) u = ost. u = ost. Quindi un moto rettilineo uniforme in S si trasforma in un moto rettilineo uniforme in S. Questo dipende dal fatto he le equazioni di (*) sono di primo grado rispetto a x,y,z,t, ioè, ome si suol dire, le trasformazioni sono lineari in x,y,z,t. sseriamo anora he nella (**) u = 0 u = -. Cioè, se S si muoe rispetto a S on eloità, S si muoe rispetto a S on eloità. Se allora nella (*) sambiamo tra loro oordinate on apii e senza apii e on otteniamo x = x + t y = y (*) z = z t = t + x he dee essere interpretata ome trasformazione inersa di (*). D altra parte, operando algebriamente su (*), riaiamo x = γ (x + t ) y = y (*) z = z γ = t = γ (t + x ) Riassumiamo. La (* ) e la (* ) rappresentano entrambe la trasformazione inersa della (*) La (* ) perhé è la trasformazione da S a S, on S he si muoe rispetto a S on eloità. La (* ) perhé è stata riaata algebriamente. Formalmente le due trasformazioni dorebbero oinidere, ma questo non aade, perhé γ = 1 solo se =0. Quindi le (*) NN rappresentano le equazioni orrette della trasformazione. Imponiamo he siano soddisfatti i due prinipi: (1) Le leggi della fisia sono formalmente inarianti quando si passa da un SRI ad un altro ( prinipio di relatiità). 5

6 () Il alore della eloità della lue nel uoto, indiato on la lettera, è ostante in un SRI e inariante quando si passa da un SRI ad un altro. Notiamo in partiolare he: - Se un orpo ha eloità ettorialmente ostante in un SRI, tale sarà la sua eloità in ogni altro SRI. - Una trasformazione tra SRI inerziali dorà essere neessariamente lineare. S S x=t x =0 Poihé x =0 x-t = 0 la (*1), on la rihiesta della linearità, dienta (* 1) x = k(x t) Applihiamo la (*1 ) allo spostamento di un impulso luminoso. Esso attraersa l origine nell istante t = t =0 e il punto x al tempo t in S ( x al tempo t in S ). S=S t=0 S S x=t x =t t=0+ t 6

7 x = t = k(x t) k(t - x) Diidendo i due membri per e sriendo le due relazioni ome sistema abbiamo (*1) x = k(x t) () (*4) t = k(t x) Rimane da determinare k. Per ogni fissato k dee essere ostante. Quindi k dee dipendere solo da, aendosi k=1 per u=0. k = k() Se in () sostituiamo x on x e x on x essa si trasforma in ( ). () x = k( x t) t = k( t x) x = k(x + t) () t = k(t + x) L operazione effettuata onsiste nel ambiare ontemporaneamente il erso degli assi x di S e x di S. S S P=x P =x S S P=-x P =-x - In questo aso S si muoe rispetto a S on eloità, quindi le ( ) rappresentano le formule di trasformazione quando S si muoe rispetto a S on eloità. Il alore di k non è stato modifiato. Possiamo onludere he k() = k(-). 7

8 Riprendiamo la () dando a x e x l interpretazione di spostamenti, a t e t di interalli di tempo. Raogliamo t ai seondi membri della () per ottenere x = k(x t) () t = k(t x) x = kt(u ) t = kt(1 u) Da ui, diidendo e semplifiando u u = 1 u Se nella formula poniamo u=0, l origine di S, otteniamo u = -. Quindi possiamo affermare: Se S si muoe on eloità rispetto a S, allora S si muoe on eloità rispetto a S. Consideriamo adesso le formule inerse della () he possiamo ottenere in due modi: 1 ) La trasformazione da S a S, S in moto on eloità rispetto a S, on lo stesso alore di k. ) La trasformazione he si ottiene dalla ) espliitando x e t in funzione di x e t. Le due trasformazioni deono oinidere formalmente. Il aso 1 ) è stato già trattato e le formule sono date dalla ). Trattiamo il aso risolendo il sistema () rispetto a x e t. 8

9 Si ridue in forma normale risp. a x,t x = k(x t) (1) t = k(t x) Si moltiplia la seonda di ( 3 ) ( 5 ) k kx + k(1 (7 ) kt( kx kt = x x + kt = t Si moltiplia la seonda di (3) per kx kt = x k t = t kx ( 4 ) k(1 )x = x + t ) = x + t kx kt = x ( ) k x + kt = t (3) per e si somma si moltiplia e diide nella seonda di (6) per kt = x )x = x + t kx kt = x (6 ) kt( ) = Poniamo γ = (7) è formato dalle seonde equazioni di (4) e di (6) e si somma x + γ x = (x + t) k ( 8 ) γ t = ( x + t) k t Riportiamo la ( ) e la (8) he, ome già affermato, rappresentano entrambe la trasformazione inersa della () e quindi deono oinidere anhe formalmente. x = k(x + t) () t = k(t + x) x = (8) t = γ (x + t) k γ ( x + t) k on γ = Si ha: γ = k k γ = k Si può osserare he k(0)=1, in quanto S e S deono oinidere se sono in quiete l uno rispetto all altro. Allora k() dee essere positio, perhé quando 0, k() 1 on ontinuità. 1 1 γ = oppure γ = o anora γ = on β = Quindi k ( ) = γ, on 1-β 1-9

10 Infine abbiamo le equazioni della trasformazione di Lorentz, nel aso preso in esame, dal SRI S al sistema inerziale S in moto rispetto a S on eloità ostante. x = γ(x t) y = y z = z t = γ(t x) Riportiamo il grafio del fattore di ontrazione di Lorentz γ (β ) relatiamente a due interalli. La 1 funzione γ( β) = on β = 1-β è resente da 1 a + ( riportiamo solo alori positii di ) dapprima lentamente, poi in maniera estremamente rapida. Approfondiremo in seguito il signifiato fisio di questo omportamento. 10

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