Cenni sul calcolo combinatorio

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1 Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati:,.., Es: quanti numeri di 4 cifre diverse tra loro si possono formare con le dieci cifre del sistema decimale? Intanto, ci dà anche i numeri che cominciano per zero. Tali numeri sono in realtà di 3 cifre e dobbiamo dunque sottrarli al numero appena calcolato. Ma come ragioniamo? Prendiamo le nove cifre rimaste diverse dallo zero e calcoliamo tutte le disposizioni della classe tre. Infatti, se ad ognuno dei numeri così ottenuti poniamo davanti lo zero, abbiamo proprio tutti i numeri che dobbiamo eliminare., Dunque:,, Disposizioni con ripetizione Le disposizioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi, anche ripetuti, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per il loro ordine., Quante sono le possibili colonne del totocalcio? Si tratta di 3 simboli 1,x,2 che si dispongono con ripetizione a 13 a 13, dunque:, Quante disposizioni di 5 elementi, anche non distinti, si possono formare, tali che i primi due posti siano indicati da due cifre e gli ultimi tre da lettere?,, Permutazioni semplici Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono per il loro ordine:. Quanti numeri di 6 cifre distinte possiamo scrivere utilizzando gli elementi dell insieme 2,3,4,7,8,9? 6! Quanti anagrammi si possono ottenere con le lettere della parola CANTO? 5!

2 Permutazioni circolari Si hanno quando gli elementi non sono in fila bensì disposti intorno ad una circonferenza. Esempio: Le permutazioni circolari di n elementi sono: n 1 Cinque ragazzi hanno a disposizione 5 sedie. In quanti modi possono sedersi se le sedie sono disposte intorno ad un tavolo rotondo? Se le sedie fossero in fila: 5! 120. Poiché i ragazzi sono attorno al tavolo permutazioni circolari: 4!24. Permutazioni con ripetizione Le permutazioni con ripetizione di n elementi, di cui h,k, ripetuti, sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono per l ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti:,,. Quanti possibili anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con la parola MATEMATICA? n10 10 lettere la M si ripete 2 volte h2 la A si ripete 3 volte k3 la T si ripete 2 volte r2,, 10! 2! 3! 2! Calcolare il numero dei modi in cui 5 sedie possono essere occupate da 3 persone. Si tratta delle permutazioni di 5 elementi le sedie di cui tre distinti quelle occupate e due ripetuti quelle vuote, dunque: La funzione n! Si definisce la funzione fattoriale come segue: Vale la relazione: 5! 2! ,.

3 n! e le disposizioni A questo punto sarà possibile esprimere le disposizioni semplici tramite la funzione fattoriale. Sarà: Infatti:, 1 1 Combinazioni semplici, 1. 1 Le combinazioni semplici di n elementi distinti di classe k kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento. Poiché,,, si avrà:,, Esempio: Quanti terni possibili si possono fare al gioco del lotto? Interessa l uscita di tre numeri e non l ordine con cui escono ed inoltre ogni terno differirà da un altro per almeno un numero, dunque:, Si può inoltre banalmente dimostrare che:, ed ancora:,,

4 Esercizi 1. In quanti modi si possono affidare tre mansioni avendo a disposizione cinque dipendenti? In quanti modi diversi otto persone possono sedersi in cinque posti? Quanti numeri di quattro cifre diverse si possono formare con le nove cifre dell insieme 1,2,3,4,5,6,7,8,9? Quanti numeri di cinque cifre diverse si possono formare con le dieci cifre decimali tieni conto che i numeri non possono iniziare per 0? Calcola quante sigle diverse di cinque elementi, tutti diversi, si possono formare con le ventuno lettere dell alfabeto e con le dieci cifre decimali, sapendo che i primi tre posti devono essere occupati dalle lettere e gli ultimi due dalle cifre Ad un torneo di calcio partecipano 16 squadre. Quante partite si devono effettuare tra girone di andata e di ritorno, sapendo che tutte le squadre si devono incontrare? Quanti numeri di tre cifre, anche ripetute, si possono formare con gli elementi dell insieme 3,5,6,7,8? In un urna si hanno dieci palline numerate da 1 a 10. Calcola quante terne ordinate si possono ottenere estraendo una pallina per tre volte, rimettendola ogni volta nell urna dopo l estrazione, tali che il primo numero sia divisibile per tre Quanti numeri di tre cifre, anche ripetute, si possono formare con gli elementi dell insieme 0,3,5,6,7,8? Ad una gara partecipano otto concorrenti. In quanti modi può presentarsi la classifica finale? Quanti numeri di dieci cifre diverse si possono scrivere con le dieci cifre decimali? Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con le parole MONTE, STORIA e RESIDUO. 120, 720, 5040 Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con le parole MENTE, STESSA e TRATTATIVA. 60, 120, Quanti terni e quanti ambi si possono fare con i novanta numeri del lotto? , Calcola quante sono le cinquine che contengono due numeri prefissati Calcola in quanti modi si possono estrarre quattro carte da un mazzo di quaranta In quanti modi si possono estrarre cinque carte di fiori da un mazzo di cinquantadue carte? 1287

5 Qualche esempio di test 1. Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre dispari distinte? a. 625 b. 5 c. 60 d. 120 e Quanti sono i numeri naturali formati da al più quattro cifre dispari distinte? a. 120 b. 205 c. 30 d. 625 e Quanti sono i numeri naturali formati da tre cifre significative distinte? a. 648 b. 504 c. 720 d. 120 e Quanti ambi si possono formare con 90 numeri differenti? A B C D E Disponendo di 6 lettere, tutte diverse, il numero di parole, anche prive di significato, con 4 lettere che si possono formare potendo ripetere 2 o 3 o4 volte la stessa lettera è: A. 4 4 B. 4 6 C. 6 4 D. 6 6 E Una coppia vuole avere due figli dello stesso sesso. Quanti figli deve avere per essere sicura che almeno due siano dello stesso sesso? A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 E. Quesito senza soluzione univoca o corretta

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