Stabilità BIBO Risposta impulsiva (vedi Marro par. 2.3, vedi Vitelli-Petternella par. III.1, vedi es. in LabView) Poli sull asse immaginario

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1 Stabilità BIBO Risposta impulsiva (vedi Marro par..3, vedi Vitelli-Petternella par. III., vedi es. in LabView) Poli sull asse immaginario Criteri per la stabilità (vedi Marro Par. 4. a 4., vedi Vitelli-Petternella par. III.4 e III.5 ) Routh (vedi Marro par. 4. e 4., vedi Vitelli-Petternella par. III.5) Kharitonov Nyquist (vedi Marro par. 4.5, vedi Vitelli-Petternella par. VIII.4 ) (dopo la risposta Armonica) 3/9/ G.U -FdA-

2 BIBO: Bounded Input Bounded Output detta anche ILUL: Ingresso Limitato Uscita Limitata La Stabilita BIBO dato un sistema a riposo per il quale valga y(t)= per u(t)=, Si ha stabilità BIBO se applicando un ingresso limitato u(t) < M u, l uscita y(t) rimane limitata y(t) < M y CNES: z g( τ ) dτ M < z t z t z u Cioè la Risp. Impulsiva è sommabile Dim: y( t) = u( τ) g( t τ) dτ u( τ) g( t τ) dτ M g( t τ) dτ 3/9/ G.U -FdA-

3 E Quindi la G(s)? Dalla definizione z st st Gs () = gte () dt gt () e dt z Consideriamo s nel semipiano destro: Re[s] in modo che sia e st σt = e allora Gs () gt () dt z (quando Re[s]>) Quindi g(t) non può essere sommabile se G(s) ha poli nel semipiano destro (sarebbe possibile porre s=polo perche G(s) La stabilità richiede che G(s) abbia solo poli p.r.n. (vedi Marro pag.3 per la sufficienza) 3/9/ G.U -FdA- 3

4 E se ci sono poli : Re[p]=? Consideriamo un caso semplicissimo s ν α αt Osserviamo: s s Transitorio divergente Σ instabile CI=α ν = U integratore Y U: limitato e a valor medio nullo Y limitato s α U contiene Y contiene αt s U =α Quindi esiste un solo ingresso (il gradino) per cui l uscita diverge = Σ al limite di stabilita Osservazione: Sin(ωt) ω s + ω Risonanza!!!! 3/9/ G.U -FdA- 4

5 Quadro sulla Stabilita Risp. Impulsiva Evoluz. libera BIBO (ILUL) F(jω) f(t) per ogni ingresso poli Re< qualcuno con Re= semplice salvo un numero limitato di ingressi 3/9/ G.U -FdA- 5

6 In generale... Abbiamo visto che la stabilità dipende dalla parte reale dei poli della FdT: Re[poli]< => stabilità asintotica Re[poli]=, poli semplici => stabilità semplice Potremmo calcolare i poli: D(s)= calcoli complessi e con possibili errori numerici nessuna informazione su come agire su un Σ instabile 3/9/ G.U -FdA- 6

7 Criterio di Routh Prima osservazione: i coefficienti di D(s) devono essere tutti positivi, altrimenti il S non è stabile (potrebbe essere al limite di stabilità se qualcuno è nullo). a a a a a b b c c n n n 4 as + a s + + as+ a = n n Tabella di Routh Questi elementi devono avere tutti lo stesso segno, altrimenti si ha una radice negativa per ogni variazione di segno Le righe si possono scalare proporzionalmente. Quindi si può trascurare denominatore 3/9/ G.U -FdA- 7 b b c a a a a = a a a a a = a ba b a = b n n n 4 n n 5

8 Teorema: Criterio di Routh se l equazione polinomiale non ha soluzioni a parte reale nulla, ne esisterà una a parte reale positiva per ogni variazione di segno. Criterio di Routh: c.n.s. per avere stabilità asintotica è che non si abbiano variazioni di segno E se ci sono radici a parte reale nulla? in zero caso banale, si eliminano prima coniugate zeri nella tabella: bisogna estendere il teorema 3/9/ G.U -FdA- 8

9 ( s + 3)(3s + 4s+ 6) = s =-3, s 3=- ± j s 3 + s + s+ = Esempio numerico *8 7 8 Nessuna variazione di segno, infatti le radici hanno parte reale negativa! è uno zero! 3/9/ G.U -FdA- 9

10 Esempi simbolici as + bs + c = + - k s s s a b c c Per un eq di grado la condizione sui singoli coefficienti è anche sufficiente! W() s = 3 s + s + s+ + k k 8 k 3 + k k 3 3 ( ) - < k < 8 3/9/ G.U -FdA-

11 s s 3 Rapidità di convergenza + 7s + 6s+ = s (cambiamento di variabile) s + s + s + = 3 ( ) 7( ) 6( ) s 3 4s + 5s+ + = Nessuna variazione di segno, quindi le radici hanno parte reale minore di!!! Questo implica che il sistema si stabilizza esponenziamente a zero con un andamento più rapido di e -t 3/9/ G.U -FdA-

12 Casi particolari Elemento nullo nella prima colonna 4 3 s + s + s + s + = 4 3 / ε ε ε Sostituiamo lo con ε È equivalente a dare una piccola perturbazione ai coefficienti del polinomio ovvero alle radici dell equazione polinomiale ε + variazioni ε - variazioni Comunque, abbiamo variazioni Ne consegue la presenza di due radici a parte reale positiva 3/9/ G.U -FdA-

13 n= q= Una riga è tutta nulla 4 3 s + s 3s s + = ' 4 d ds d s + i Casi particolari In questo caso il polinomio di partenza è scomponibile nel prodotto di due polinomi: P(s)=P (s) P (s) La posizione delle (n-q) radici di P (s) è data dalle variazioni delle prime (n-q+) righe La riga q fornisce P (s) (equazione ausiliaria) che è sempre di grado pari e, risolta, fornisce le ultime radici Alternativamente, si sostituisce la riga nulla con la derivata dell equazione ausiliaria Le variazioni delle ultime q+ righe corrispondono alle radici a parte reale positiva della eq. ausiliaria (per simmetria anche a quelle a parte reale negativa). Le rimanenti sono immaginarie. In questo caso var. ( rad. Re[ ]>) + var. ( rad. Re[ ]> e rad. Re[ ]<) 3/9/ G.U -FdA- 3

14 Teorema di Kharitonov Spesso i coefficienti sono noti come campi di variazione: li < ai < ui La stabilità per qualsiasi valore dei parametri all interno degli intervalli è implicata dalla stabilità di solo quattro polinomi us + u s + l s + l s + = n n ls + l s + u s + u s + = n n n n n n n n us + l s + l s + u s + = n n ls + u s + u s + l s + = n n n n 3/9/ G.U -FdA- 4