Cenni di Calcolo Combinatorio

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1 Cei di Calcolo Combiatorio 28 marzo 2011 AVVISO: I preseti apputi possoo coteere (azi sicuramete coterrao) errori e/o ripetizioi. Essi soo ifatti opera di vari collage e, per ovvie questioi di tempo, o soo stati rivisti. Pertato o itedoo sostituire alcu libro di teoria e/o esercizi ma voglioo sopratutto essere u dettagliato programma del corso. Prego gli studeti di prestare particolare attezioe ella loro lettura e di iformarmi sia direttamete che per (quattrocchi@dmi.uict.it) su qualuque errore (certo o sospetto) otato. Cercherò di correggere el più breve tempo possibile qualuque errore trovato. Pertato questi apputi sarao cotiuamete aggiorati: la data dell ultimo aggiorameto appare i prima pagia. Cosiglio ifie agli studeti di o stamparli immediatamete ma farlo il più tardi possibile (per lo meo alcui giori dopo che l argometo sia stato trattato a lezioe). 1

2 Idice 1 Regola del prodotto e regola della somma 3 2 Permutazioi. Combiazioi. Disposizioi 4 3 Complessità di u algoritmo (facoltativo) 13 4 Alcue applicazioi 17 5 Probabilità discreta 23 6 Il pricipio di iclusioe ed esclusioe 24 2

3 1 Regola del prodotto e regola della somma 1. Si hao 3 liquidi di classe A e 2 di classe B. Devo formare delle miscele mescolado u campioe di liquido di classe A co uo di classe B. Quate possibili miscele si ottegoo? 2. Si hao 4 liquidi di classe A, 3 di classe B e 2 di classe C. Devo formare delle miscele mescolado due campioi di liquido, uo ecessariamete apparteete alla classe A e l altro apparteete o alla classe B oppure alla classe C. Quate possibili miscele si ottegoo? I precedeti problemi potrebbero risolversi eumerado tutti i casi possibili. Per esempio, el primo problema, idicado co A 1, A 2, A 3 i liquidi di classe A e co B 1, B 2 quelli di classe B, ottego i sei casi A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 A 3 B 1 A 3 B 2 Il precedete procedimeto o è praticabile sopratutto se si è i preseza di molte classi ogua co u umero elevato di liquidi. Regola del prodotto. Se u eveto può accadere i 1 modi (e o importa come esso accade) e u secodo eveto può accadere (idipedetemete dal primo) i 2 modi, allora etrambi gli eveti possoo accadere i 1 2 modi. La scelta del liquido di classe A e quella del liquido di classe B soo due eveti idipedeti. Per la regola del prodotto si ha che il umero delle possibili miscele è 3 2 = 6. Per risolvere il secodo problema possiamo cosiderare i due eveti: E 1 = la miscela è formata da u liquido di classe A e da uo di classe B, E 2 = la miscela è formata da u liquido di classe A e da uo di classe C. La regola del prodotto ci dice che E 1 si può verificare i 4 3 = 12 modi metre E 2 i 4 2 = 8 modi. La miscela cercata el problema 2 è l esito o di E 1 oppure di E 2 e essu esito di E 1 coicide co qualche esito di E 2, quidi il umero delle miscele cercate el problema 2 è dato da = 20. Quest ultimo ragioameto si può formalizzare ella seguete regola. Regola della somma. Se u eveto può accadere i 1 modi e u secodo eveto i 2 modi (diversi dal precedete), vi soo modi i cui uo dei due eveti può accadere. Se, per i = 1, 2, rappresetiamo co E i l isieme degli esiti dell eveto E i, la regola del prodotto e quella della somma possoo essere formalizzate el seguete modo. 3

4 1. Regola del prodotto: E 1 E 2 = E 1 E Regola della somma: Se E 1 E 2 = allora E 1 E 2 = E 1 + E 2. Si osservi che sia la regola del prodotto che quella della somma si possoo facilmete geeralizzare a u umero k > 2 eveti. Per esempio cosideriamo i problemi: (a) Quate parole di 8 lettere si possoo formare avedo a disposizioe u alfabeto di 2 lettere? (b) Si hao 5 liquidi di classe A, 6 di classe B, 3 di classe C e 2 di classe D. Quate miscele composte da quattro liquidi (oguo scelto i ua classe differete) si possoo formare? Quate miscele composte da due liquidi (oguo scelto i ua classe differete) si possoo formare? Il problema (a) può risolversi mediate la regola del prodotto. Per i = 1, 2,..., 8, si cosideri l eveto S i = scelta della lettera di posto i. Poichè ogi S i si può verificare i due modi distiti (l alfabeto è formato da due lettere) si ottiee che il umero di parole possibili è dato da = 2 8. Per risolvere il problema (b), si osservi che, per la regola del prodotto, si possoo formare: 30 miscele di tipo AB (u liquido di classe A e uo di clase B), 15 di tipo AC, 10 di tipo AD, 18 di tipo BC, 12 di tipo BD e 6 di tipo CD. Per la regola della somma il umero di miscele distite che si possoo formare co due dei quattro liquidi è = Permutazioi. Combiazioi. Disposizioi Cosideriamo i segueti problemi: 1. Si deve scegliere, i base alla qualità, u articolo prodotto da cique ditte diverse. Per fare ciò bisoga sottoporre i differeti prodotti ad u cotrollo di qualità. Suppoiamo di avere a disposizioe ua macchia che, ogi volta, opera su cique campioi i successioe. Si potrebbe pesare di predere u campioe per ogi ditta, eseguire il test e scegliere il prodotto che ottiee il miglior risultato. Ma questa, i geerale, o è ua buoa scelta i quato l esito del test dipede o solo dalla qualità dei prodotti ma ache dal mometo i cui essi vegoo esamiati (ifatti la macchia che esegue il test potrebbe subire variazioi di temperatura oppure qualche traccia del campioe precedete potrebbe ificiare l esito del test sul campioe i esame). Quidi sarebbe opportuo ripetere più volte il test di qualità. Quate volte devo ripeterlo? 2. I quati modi posso disporre 5 persoe i fila idiaa? 3. Quate parole di tre lettere distite si possoo formare avedo a disposizioe u alfabeto di 5 lettere? E se soo ammesse lettere ripetute? 4. Quati soo i possibili aagrammi della parola MAMMA? 4

5 5. Quate soo le quatere di umeri iteri o egativi (x 1, x 2, x 3, x 4 ) soluzioi della equazioe x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7? 6. I quati modi si possoo scegliere 5 carte da u mazzo di 40? 7. Quati soo i possibili sottoisiemi di u isieme di elemeti? Problemi 1 e 2. La risposta più immediata al primo problema cosiste ell ordiare i 5 prodotti i tutti i possibili modi ed eseguire u test per ogi possibile ordiameto. Risolvere (i questo modo) il problema 1 equivale a cotare i quati modi posso mettere i fila idiaa cique campioi (uo per ogi ditta). Cioè i problemi 1 e 2 soo equivaleti. Idichiamo co P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 } l isieme dei prodotti (o, el caso del problema 2, quello delle persoe). Sia x l elemeto di P che occupa il primo posto ella fila idiaa. Ovviamete per x vi soo cique possibili scelte (tutti gli elemeti di P). Sia y il secodo elemeto della fila idiaa. Esso può essere scelto i 4 possibili modi (ifatti y P \ {x}). Il terzo elemeto z della fila idiaa può essere scelto i 3 possibili modi (ifatti z P \ {x, y}). Il quarto elemeto t può essere scelto i 2 possibili modi (ifatti t P \ {x, y, z}). Ifie l ultimo elemeto w può essere scelto i u sol modo (ifatti w P \ {x, y, z, t}). Se, per i = 1, 2,..., 5, E i deota l eveto scelta dell i-esimo elemeto della fila idiaa, si ha che E i ha 5 (i 1) esiti distiti. La regola del prodotto ci dice che cique elemeti distiti si possoo mettere i fila idiaa i = 120 modi distiti. Problema 3. Il primo quesito si risolve i modo simile ai precedeti. Ogi parola cercata cosiste el mettere i fila idiaa tre lettere dell alfabeto assegato. Quidi si hao = 60 parole distite che o hao alcua lettera ripetuta. Il secodo quesito è acora più facile da risolvere. Per i = 1, 2, 3, deotiamo co E i l eveto scelta dell i-esima lettera della parola, E i può avere 5 esiti differeti. Quidi, per la regola del prodotto, il umero delle parole di tre lettere (evetualmete ripetute) su u alfabeto di 5 lettere è dato da = 5 3. Geeralizziamo i risultati otteuti. Defiizioe 2.1 Sia A u isieme di cardialità. Dicesi permutazioe su A u qualsiasi ordiameto (fila idiaa) degli elemeti di A. Dicesi disposizioe semplice di oggetti di classe k (co k ) u qualsiasi ordiameto di k elemeti mutuamete distiti di A. Dicesi disposizioe co ripetizioe di oggetti di classe k u qualsiasi ordiameto di k elemeti (o ecessariamete distiti) di A. I questo caso k può essere miore, uguale o maggiore di. La dimostrazioe del seguete teorema è diretta cosegueza della regola del prodotto. Teorema 2.1 Sia u itero positivo. Il umero delle permutazioi su u isieme di cardialità è dato da P = ( 1) =! 5

6 Il umero delle disposizioi di classe k su u isieme di cardialità (co k ) è dato da! D,k = ( 1)... ( k + 1) = ( k)!. Il umero delle disposizioi co ripetizioe di classe k su u isieme di cardialità è dato da D r,k = k. Il simbolo! si legge fattoriale. Esso è stato defiito per > 0. Per facilitare i calcoli si poe per defiizioe 0! = 1. Si osservi ifie che D, = P. Esempio 2.1 Siao dati i due isiemi A = {A, B, C, D} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Determiare il umero massimo di targhe che si possoo formare suppoedo che ogua di esse deve essere composta da 7 lettere di cui le prime e ultime due apparteeti all alfabeto A metre le tre lettere di mezzo debbao apparteere all alfabeto B. SVOLGIMENTO. Sia a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ua targa. Allora a 1 a 2 e a 6 a 7 soo due disposizioi co ripetizioe di classe 2 su A metre a 3 a 4 a 5 è ua disposizioe co ripetizioe di classe 3 su B. Per la regola del prodotto il umero massimo delle targhe richieste è D r 4,2 D r 10,3 D r 4,2 = Teorema 2.2 Siao dati gli alfabeti A j = {a j1, a j2,..., a jrj }, j = 1, 2,..., t. Il umero di parole α 1 α 2... α t che si possoo formare scegliedo la lettera α j ell alfabeto A j per j = 1, 2,..., t è A 1 A 2 A t = r 1 r 2 r t. Dimostrazioe. La dimostrazioe è cosegueza della regola del prodotto. Teorema 2.3 Per j = 1, 2,..., t, siao a j1, a j2,..., a jrj moomi. Il prodotto umeri reali o, più i geerale, (a 11 + a a 1r1 ) (a 21 + a a 2r2 ) (a t1 + a t a trt ) è uguale alla somma di tutte le parole α 1 α 2... α t di t lettere che si possoo formare scegliedo la lettera j-esima α j ell alfabeto {a j1, a j2,..., a jrj } per j = 1, 2,..., t. Dimostrazioe. La dimostrazioe è ovvia cosegueza della proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e del Teorema 2.2. Per esempio si ha: 6

7 (2 5)(3 + 4)( ) = {[2 + ( 5)](3 + 4)}[7 + ( 8) + 9] = [ ( 5)3 + ( 5)4][7 + ( 8) + 9] = ( 8) ( 8) ( 5)3 7 + ( 5)3( 8) + ( 5)3 9 + ( 5)4 7 + ( 5)4( 8) + ( 5)4 9. (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + 2ab + b 2. (1 + x 1 )(1 + x 2 )(1 + x 3 ) = [(1 + x 1 )(1 + x 2 )](1 + x 3 ) = (1 + x 2 + x 1 + x 1 x 2 )(1 + x 3 ) = 1 + x 3 + x 2 + x 2 x 3 + x 1 + x 1 x 3 + x 1 x 2 + x 1 x 2 x 3 = 1 + x 1 + x 2 + x 3 + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 = 1 + ( I {1,2,3} i I x i). Problema 4: Determiare il umero m di tutti gli aagrammi della parola MAMMA. Posto α 1 = M, α 2 = A, α 3 = M, α 4 = M, α 5 = A, si ha α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 = MAMMA. Sia M l isieme di tutte le permutazioi su {α 1, α 2, α 3, α 4, α 5 }. Si ha M = 5!. Si osservi che permutazioi distite possoo produrre lo stesso aagramma. Per esempio α 4 α 2 α 1 α 5 α 3 e α 3 α 5 α 1 α 2 α 4 geerao lo stesso aagramma MAMAM. Dico che due elemeti di M soo i relazioe R se iducoo lo stesso aagramma. Essedo R ua relazioe di equivaleza, resta associata ad essa ua partizioe di M (ogi classe della partizioe coicide co l isieme delle permutazioi che iducoo uo stesso aagramma). Sia {M 1, M 2..., M m } l isieme delle parti di M. Suppoiamo che α 4 α 2 α 1 α 5 α 3 M 1. Ogi elemeto di M 1 si ottiee permutado fra loro i simboli α 1, α 3, α 4 (perchè uguali ad M) e i simboli α 2 e α 5 (perchè uguali ad A). Per la regola del prodotto, M 1 = 3! 2!. Aalogamete, M i = 3! 2! per i = 2, 3,..., m. Per la regola della somma, M = M 1 + M M m = (3! 2!)m. Essedo M = 5!, abbiamo 5! = (3! 2!)m da cui si ottiee m = 5! 3! 2! = 10. Defiizioe 2.2 Siao dati i k iteri o egativi 1, 2,..., k. Poiamo = k. Dicesi permutazioe co ripetizioe dei k elemeti (a due a due distiti fra loro) a 1, a 2,..., a k presi rispettivamete 1, 2,..., k volte ua qualsiasi parola di lughezza coteete i lettere uguali ad a i per ogi i = 1, 2,..., k. Teorema 2.4 Sia = k co i 0. Il umero di tutte le permutazioi co ripetizioe di k elemeti a 1, a 2,..., a k presi rispettivamete 1, 2,..., k volte è dato da ( ) P r! 1, 2,..., k = = 1, 2,..., k 1! 2!... k!. 7

8 Dimostrazioe. Sia P ua parola di lettere avete k lettere distite. Suppoiamo che, per i = 1, 2,..., k, P cotega i lettere uguali ad a i (quidi k = ). Come fatto co la parola MAMMA, si può provare che il umero di aagrammi di P è dato da P r! 1, 2,..., k =. 1! 2!... k! Per ua ragioe che preciseremo i seguito, il umero P r 1, 2,..., k = ( ) 1, 2,..., k è chiamato coefficiete multiomiale. Problema 5: Quate soo le quatere di umeri iteri o egativi (x 1, x 2, x 3, x 4 ) soluzioi della equazioe x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7? Sia P ua permutazioe dei due simboli 1 e (picche) presi rispettivamete 1 = 7 e 2 = 3 volte. Per esempio sia P = Pogo x 1 uguale al umero di volte che 1 appare prima del primo, x 2 uguale al umero degli 1 che si trovao fra il primo e il secodo, x 3 uguale al umero degli 1 che si trovao fra il secodo e il terzo e ifie x 4 uguale al umero di 1 presete dopo l ultimo. Ottego così la quatera (2, 0, 3, 2) che è ua soluzioe dell equazioe x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7. Questo procedimeto associa ad ogi permutazioe P ua soluzioe dell equazioe diofatea x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7. Viceversa ad ogi soluzioe della equazioe data corrispode ua permutazioe P. Per esempio alla soluzioe (0, 3, 4, 0) si associa Abbiamo così defiita ua corrispodeza biuivoca fra l isieme S di tutte le soluzioi distite di x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7 e l isieme di tutte le permutazioi co ripetizioe dei 2 elemeti 1, presi rispettivamete 1 = 7 e 2 = 3 volte. Si ha S = P7,3 r = ( ) 7+3 7,3 = 10!. 7! 3! Teorema 2.5 Il umero delle k-uple di iteri o egativi che soo soluzioi dell equazioe diofatea x 1 + x x k =. (1) è dato da P r,k 1 = ( ) + k 1 =, k 1 ( + k 1)!! (k 1)!. Dimostrazioe. Sia A l isieme delle k-uple (x 1,..., x k ) di iteri x i 0 che soo soluzioi della (1). Sia B l isieme delle permutazioi co ripetizioe dei due simboli 1 ripetuto volte e ripetuto k 1 volte. Ragioado come ella soluzioe del Problema 5, è facile stabilire ua corrispodeza biuivoca fra A e B. Pertato A = B = P,k 1 r. Se poiamo ( ) m h = m!, allora h! (m h)! ( ) + k 1 P,k 1 r =. (2) k 1 Si osservi che il simbolo ( k) è stato defiito per k > 0. Ricordado di aver posto per defiizioe 0! = 1, possiamo porre ( ) 0 =! =! = 1. Se 0 < k, poiamo per 0! ( 0)!! defiizioe, ( k) = 0. 8

9 Defiizioe 2.3 Dicesi cofficiete biomiale il simbolo ( m h) così defiito: ( m h) = 0 se 0 m < h; ( ) m 0 = 1 se m 0; ( ) m h = m! se m h > 0. h! (m h)! Esempio 2.2 Determiare le cardialità degli isiemi di soluzioi itere dei due segueti sistemi: (a) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 0 x 2 0 x 3 0, (b) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 > 2 x 2 0 x 3 > 4 x 4 1 SVOLGIMENTO. Sia S a l isieme di soluzioi del sistema (a). La cardialità di S a o è fiita. Ifatti si verifica facilmete che (14, 0,, ) è soluzioe per ogi N. Poichè la cardialità di Z Z Z Z coicide co quella di N, si ha S a = N. Il sistema (b) equivale al seguete x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 3 x 2 0. x 3 5 x 4 1 Posto z 1 = x 1 3, z 2 = x 2, z 3 = x 3 5 e z 4 = x 4 1, esso diveta z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 5 z 1 0 z 2 0. z 3 0 z 4 0 Se S b deota l isieme delle soluzioi del sistema (b), si ha S b = ( ) = 8! Problema 6: I quati modi si possoo scegliere 5 carte da u mazzo di 40? Se idichiamo co a 1, a 2,..., a 40 le carte, scegliere 5 fra loro equivale a marcare le carte scartate co uo 0 e quelle scelte co u 1. Bisoga quidi a determiare la cardialità dell isieme di tutte le permutazioi co ripetizioe dei 2 elemeti 0 e 1 presi rispettivamete 1 = 35 e 2 = 5 volte. Essa è data da ( ) 40 P35,5 r 40! = = 35 35! (40 35)!. 3! 5!. 9

10 Defiizioe 2.4 Dicesi combiazioe di oggetti di classe k (k ) u sottoisieme di cardialità k di u isieme di cardialità. Il Problema 6 cosiste el determiare il umero di tutte le combiazioi di 40 oggetti di classe 5. I geerale abbiamo il seguete risultato che risolve il Problema 7. Teorema 2.6 Il umero delle combiazioi di oggetti di classe k è dato da ( )! C,k = = k k! ( k)!. Dimostrazioe. Sia A u isieme di cardialità e sia A la famiglia di tutti i sottoisiemi X di A tali che X = k, co 0 k. Sia B la famiglia di tutte le permutazioi co ripetizioe dei due simboli 1 ripetuto k volte e 0 ripetuto k volte. Ragioado come ella soluzioe del Problema 6, è facile stabilire ua corrispodeza biuivoca fra A e B. Pertato A = B = Pk, k r = ( k). Teorema 2.7 Valgoo le segueti uguagliaze: 1. ( ) ( k = k) ; 2. D,k = C,k P k ; 3. ( ) ( k = 1 ) ( k ) k (formula di Stifel); 4. ( ) m+ r = r ( m k=0 r k)( k) (idetità di Vadermode). Dimostrazioe. Le prime due uguagliaze soo immediate. La formula di Stifel può essere provata sia i modo algebrico che combiatorico. ( 1 k 1 Dimostrazioe di tipo algebrico: ) ( + 1 ) = ( 1)! k (k 1)! [( 1) (k 1)]! + ( 1)! k! ( 1 k)! = ( 1)! (k 1)! ( k)! + ( 1)! k! ( k 1)! = = ( 1)! k + ( 1)! ( k) k! ( k)! k! ( k)! = ( 1)! k+( 1)! ( k) k! ( k)! = ( 1)! (k+ k) k! ( k)! = = ( 1)! k! ( k)! =! k! ( k)! = ( k). Dimostrazioe di tipo combiatorico: Sia A u isieme di elemeti. Sia A la classe di tutti i sottoisimi di A aveti cardialità k. Fissato x A, si deoti co A 1 la classe di tutti i sottoisiemi di A aveti cardialità k e coteeti x e co A 2 la classe di tutti i sottoisiemi di A aveti cardialità k e o coteeti x. Essedo {A 1, A 2 } ua partizioe di A, abbiamo A = A 1 + A 2. La formula di Stifel segue dalle uguagliaze A = ( k), A 1 = ( ) 1 k 1 e A2 = ( ) 1 k. 10

11 Proviamo adesso l idetità di Vadermode. Siao A e B due isiemi disgiuti tali che A = m e B =. Per il Teorema 2.6, vi soo ( ) +m r sottoisiemi di A B aveti cardialità r. Adesso cotiamo i modo differete i sottoisiemi di A B aveti cardialità r. Si fissi k {0, 1,..., r}. Si preda A 1 A tale che A 1 = r k (questo si può fare i ( m r k) modi) e si fissi B 1 B tale che e B 1 = k (questo si può fare i ( k) modi). Allora A1 B 1 è u sottoisieme di A B avete cardialità r. Per la regola del prodotto, le coppie di isiemi A 1 e B 1 possoo essere scelte, per ogi k fissato, i ( m r k)( k) modi differeti. Poichè k varia da 0 ad r, la regola della somma ci dice che il umero di sottoisiemi di A B aveti cardialità r è dato da r ( m k=0 r k)( k). I due segueti teoremi giustificao le termiologie di coefficiete biomiale e multiomiale. Teorema 2.8 (Biomio di Newto) Comuque presi due umeri reali a e b si ha (a + b) = k=0 ( ) a k b k = k ( ) a + 0 ( ) a 1 b + 1 ( ) a 2 b ( ) b Dimostrazioe. Si ha (a + b) = (a 11 + a 12 )(a 21 + a 22 ) (a 1 + a 2 ), co a 11 = a 21 =... = a 1 = a e a 12 = a 22 =... = a 2 = b. Allora, per il Teorema 2.3, (a + b) è uguale alla somma di tutte le parole α 1 α 2... α di lettere che si posoo formare scegliedo α j {a j1, a j2 } = {a, b}, j = 1, 2,...,. Queste parole soo date da ( ( k) = ) k copie di a k b k per k = 0, 1,...,. I modo aalogo al Teorema 2.8 si prova il seguete risultato che geeralizza il biomio di Newto. Teorema 2.9 (Formula di Leibiz). Siao a 1, a 2,..., a k umeri reali. Allora (a 1 +a a k ) = ( ) a 1 1 a a k k =! 1, 2,..., k 1! 2!... k! a 1 1 a a k k dove la somma è estesa a tutte le k-uple di umeri iteri o egativi ( 1, 2,..., k ) tali che k =. Teorema 2.10 Sia A u isieme di cardialità e sia P(A) la famiglia di tutti i suoi sottoisiemi (propri o o). Allora P(A) = 2. 11

12 Dimostrazioe. (1 + 1) = 2. Si ha P(A) = ( ( 0) + ( 1) + ) ( ( 1) + ) = ( k=0 k) 1 k 1 k = I coefficieti biomiali vegoo calcolati mediate la formula di Stifel. Alcui soo riportati ella seguete matrice ifiita chiamata triagolo di Tartaglia (esso è più oto ella letteratura come triagolo aritmetico o di Pascal). Ogi umero del triagolo aritmetico, per la formula di Stifel, è la somma del umero scritto sopra e di quello scritto sopra a siistra. k Defiizioe 2.5 Sia A u isieme fiito di cardialità. Dicesi combiazioe co ripetizioe di oggetti di classe k u raggruppameto o ordiato (detto multisieme) di k elemeti di A evetualmete ache ripetuti. Esempio. Sia A = {a, b, c, d}. Le combiazioi di 4 oggetti di classe 2 soo: {a, a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, b}, {b, c}, {b, d}, {c, c}, {c, d}, {d, d}. Teorema 2.11 Il umero delle combiazioi co ripetizioe di oggetti di classe k è dato da ( ) k + 1 C,k r (k + 1)! = = 1 ( 1)! k!. Dimostrazioe. Sia A = {a 1, a 2,..., a }. Si cosideri l equazioe diofatea x 1 + x x = k (co x i 0). Ogi soluzioe idividua ua combiazioe co ripetizioe data da a i ripetuto x i volte per i = 1, 2,...,. Viceversa, data ua combiazioe co ripetizioe di oggetti di classe k, se pogo x i uguale al umero di volte i cui a i è ripetuto ella combiazioe ottego ua -upla soluzioe dell equazioe x 1 + x x = k. 12

13 3 Complessità di u algoritmo (facoltativo) Suppoiamo di dover far girare u programma che implemeta u algoritmo co cui risolvere u problema di combiatoria. Prima di iiziare è opportuo sapere se otterremo ua soluzioe i u tempo ragioevole e la quatità di memoria ecessaria a far girare il programma. Sia il tempo che la memoria richieste dipedoo dall iput. Bisoga quidi calcolare la fuzioe costo o complessità. Questa è ua fuzioe f che misura il costo, i termii di tempo e/o di memoria richiesti, i base alla gradezza dell iput del problema. Per esempio, potremmo voler cooscere quate operazioi soo richieste per calcolare il prodotto fra due matrici quadrate di ordie. Questo umero di operazioi è f(). Normalmete, il costo per far girare u programma su u particolare computer dipede dalla bravura del programmatore e dalle caratteristiche della macchia. Quidi u iteresse maggiore è rivolto a calcolare il costo degli algoritmi, ivece che dei programmi, ed a stimare la complessità f() di u algoritmo, idipedetemete dal particolare programma o macchia co cui esso viee implemetato. Il desiderio di calcolare la complessità di u algoritmo è uo dei maggiori stimoli a sviluppare teciche di combiatoria. Esempio 3.1 Ricerca attraverso ua lista. Suppoiamo di avere ua lista di omi. Bisoga determiare u algoritmo che idividui u ome della lista. Il ome cercato potrebbe essere al primo posto, oppure, el caso peggiore, all ultimo posto. A volte, come misura della complessità dell algoritmo viee cosiderato il costo f() del caso peggiore (complessità del caso peggiore). I tal caso f() è proporzioale ad. Altre volte si cosidera come complessità dell algoritmo il costo medio per idividuare u ome (complessità del caso medio), cioè f() = 1 ( ) = 1 (+1) = Diamo adesso due esempi di ricerca lieare attraverso ua lista di iteri a 1, a 2..., a. Nell algoritmo 1 o è ecessario che la lista sia ordiata, metre l algoritmo 2 presuppoe che a 1 < a 2 <... < a. Algoritmo 1. Ricerca lieare attraverso ua lista. Procedure liear search (x : iteger; a 1, a 2,..., a : iteger) begi i := 1; while (i ad x a i ) i := i + 1; if i the aswer:= i else aswer:= 0 ed 13

14 Algoritmo 2. Ricerca biaria lieare attraverso ua lista crescete. Procedure biary search (x : iteger; a 1, a 2,..., a : iteger) begi i := 1; {i è l estremo siistro dell itervallo di ricerca} j := ; {j è l estremo destro dell itervallo di ricerca} while i < j begi m := i+j 2 ; if x > a m the i := m + 1; else j := m ed; if x = a i the aswer:= i else aswer:= 0 ed Esempio 3.2 Il problema del commesso viaggiatore. U commesso viaggiatore desidera visitare differeti città, partedo e torado, el suo giro, ella città i cui risiede. Al commesso viaggiatore o importa i quale ordie visitare le città (a parte quella i cui risiede) ma iteressa miimizzare il costo del suo giro. Suppoiamo che il costo del viaggio dalla città i alla città j sia c ij. Il problema cosiste el trovare u algoritmo per calcolare il percorso più ecoomico. Ovviamete il costo di u percorso è dato dalla somma dei costi c ij dei collegameti fra la città i e la città j da lui effettuati. L algoritmo più igeuo per risolvere questo problema cosiste ell eumerare tutti i possibili percorsi calcoladoe il relativo costo. Per esempio si risolva i questo modo il caso i cui = 4 e c ij è defiito dalla seguete matrice: ( ) cij = Calcoliamo la complessità f() dell algoritmo co cui abbiamo affrotato il problema del commesso viaggiatore ( idica la gradezza dell iput, cioè il umero di città da visitare). Il costo di ogi percorso scelto si ottiee mediate ua somma di umeri. Possiamo supporre che il calcolo di tale somma richieda sempre ua uità di tempo idipedetemete dal percorso preso i cosiderazioe. Ogi percorso che iizia e termia ella città di resideza corrispode ad ua permutazioe delle rimaeti 1 città. Quidi vi soo ( 1)! percorsi possibili. Allora f() = ( 1)! uità di tempo. Si osservi che per valori abbastaza piccoli di, ( 1)! è così grade da redere impossibile al computer di forire ua risposta i u tempo ragioevole. 14

15 Il problema del commesso viaggiatore è u esempio di problema che ha sfidato ogi sforzo dei ricercatori a trovare u buo algoritmo. Ifatti esso appartiee ad ua classe di problemi, coosciuta come NP-completa, per cui è difficile sperare di trovare u buo algoritmo. Per aalizzare la botà di u algoritmo dobbiamo stimare la sua complessità f(). Se è abbastaza piccolo di solito lo è ache f(). Così per piccolo qualuque algoritmo potrebbe essere buoo. Siamo iteressati a valutare f() per valori relativamete gradi di. U cocetto importate ell aalisi degli algoritmi è il seguete. Suppoiamo che F sia u algoritmo di complessità f() e che g() sia ua fuzioe di. Scriveremo che F oppure f è O(g) (e diremo che F oppure f è O grade di g) se esistoo u itero r e ua costate positiva k tali che f() kg() per ogi r. I altre parole f è O(g) se g domia asitoticamete f. Se f è O(g), allora per problemi che hao u iput di gradezza almeo r, u algoritmo co complessità f o sarà mai più costoso di k volte u algoritmo avete complessità g. Per esempio, f() = 100 è O( 2 ) ifatti per ogi 100. Acora, f() = +1 è O() perchè +1 2 per ogi 1. U algoritmo che è O() è detto lieare, u algoritmo che è O( 2 ) è detto quadratico, u algoritmo che è O(g), essedo g u poliomio, è detto poliomiale. Altre importati classi di algoritmi soo O(log ), O( log ), O(c ) per c > 1, e O(!). U algoritmo la cui complessità è c, c > 1, detto espoeziale. Si oti che ogi algoritmo espoeziale è O(c ), ma o ogi algoritmo O(c ) è espoeziale. Per esempio ogi algoritmo di complessità f() = è O(c ) per ogi c > 1. Questo perchè c per sufficietemete grade. U pricipio geeralmete accettato è che u algoritmo è buoo se esso è poliomiale. Cerchiamo di dare ua breve spiegazioe. Essedo iteressati ad f() e g() solo per valori sufficietemete gradi di, abbiamo itrodotto la costate r per defiire il cocetto di f è O(g). Ma perchè abbiamo itrodotto la costate k? Cosideriamo gli algoritmi F e G di complessità f() = 20 e g() = 40, rispettivamete. Chiaramete, l algoritmo F è preferibile i quato f() g() per ogi. Tuttavia se potessimo migliorare il programma che implemeta G i modo che esso giri i metà tempo, oppure se potessimo disporre di ua macchia i cui il programma che implemeta G giri i metà tempo, allora f() e g() potrebbero essere uguali. Poichè la costate 1 o dipede 2 da, o è assurdo pesare che si possa migliorare di questo fattore costate l implemetazioe piuttosto che l algoritmo. I questo seso, essedo f() uguale ad ua costate, cioè g() f() = kg(), le fuzioi f() e g() possoo essere cosiderate le stesse per tutti gli scopi pratici. Ora, dire che f è O(g) sigifica che f() è al più kg() (per abbastaza grade). Ma kg() e g() soo cosiderate le stesse per tutti gli scopi pratici, così le disuguagliaze f() kg() e f() g() soo le stesse per tutti gli scopi pratici. I altre parole dire che f è O(g) equivale a dire che u algoritmo di complessità g o è più efficiete di u algoritmo di complessità f. 15

16 Teorema 3.1 (a) Se c è ua costate positiva, allora f è O(cf) e cf è O(f). (b) è O( 2 ), 2 è O( 3 ),..., p 1 è O( p ),... Ioltre, p o è O( p 1 ). (c) Se f() = a q q + a q 1 q a 0 è u poliomio di grado q, co a q > 0, e se a i 0, per tutti gli i, allora f è O( q ). (d) Se c > 1 e p 0, allora p è O(c ). Ioltre, c o è O( p ). Dimostrazioe. (a) Chiaramete, cf è O(f). Si poga k = c. Allora f è O(cf) poichè f() ( 1 )cf() per ogi. c (b) Poichè p p 1 per 1, p 1 è O( p ). Ioltre p o è O( p 1 ), ifatti si ha p c p 1 solo per c. (c) Essedo a i 0, si ha a i i a i q per ogi i e per ogi 1. Quidi f() (a 0 + a a q ) q, per ogi 1. (d) Questo risultato è oto dall aalisi matematica. Poichè lim p + = 0, p k per c c c abbastaza grade. Aalogamete, essedo lim + = +, c o può essere miore p od uguale a k p per r. La (a) del Teorema 3.1 mostra che algoritmi di complessità f e cf soo ugualmete efficieti. La (b) dice che u algoritmo O( p ) è tato più efficiete quato più piccolo è p. Per la (c), la complessità di u algoritmo poliomiale è data dal grado del poliomio. Ifie, per la (d), gli algoritmi poliomiali soo sempre più efficieti degli algoritmi espoeziali. Questo spiega perchè gli algoritmi poliomiali soo cosiderati come buoi, metre gli espoeziali o. È importate otare che i risultati precedeti dipedoo fortemete dal fatto che algoritmi di complessità f e cf soo cosiderati equivaleti e dal presupposto che l iput sia abbastaza grade. I pratica, u algoritmo di complessità 100 potrebbe essere peggiore di u algoritmo di complessità. Ioltre u algoritmo di complessità è sicuramete peggiore di u algoritmo di complessità 2, per piccoli valori di. I pratica u algoritmo O() potrebbe essere peggiore di u algoritmo O(2 ). Nello studio della complessità di u algoritmo, è importate distiguere fra procedure determiistiche e o determiistiche. U algoritmo determiistico passa dallo stato i cui si trova ad uo stato successivo uivocamete determiato, metre u algoritmo o determiistico passa cotemporaeamete a più stati successivi. Cioè u algoritmo o determiistico può esplorare cotemporaeamete diverse possibilità. La classe dei problemi per cui esiste u algoritmo determiistico avete complessità poliomiale è detta P. La classe dei problemi per cui esiste u algoritmo o determiistico avete complessità poliomiale è detta NP. Ovviamete ogi problema i P è ache i NP. Fiora o si coosce alcu problema i NP per cui è stata dimostrata la sua o apparteeza a P. Tuttavia esistoo dei problemi L, detti N P -completi, che godoo della seguete proprietà: se si può risolvere L co u algoritmo determiistico poliomiale, allora lo stesso si potrà fare per ogi altro problema i NP. U esempio di problema NP -completo è quello del commesso viaggiatore. Si cooscoo moltri altri problemi che soo N P -completi. Molti ricercatori disperao che si possa trovare u algoritmo determiistico poliomiale per u problema NP -completo. Poichè i problemi del modo reale ecessitao ua soluzioe, 16

17 o ci si può fermare di frote a u problema NP. I geerale si cerca qualche compromesso o cosiderado solo casi particolari del problema dato, oppure cercado buoi algoritmi che approssimao la soluzioe del problema. Molti studi di combiatoria riguardao proprio questo secodo caso. 4 Alcue applicazioi Cosideriamo il problema di determiare il umero S(4, 2) di tutte le partizioi dell isieme A = {1, 2, 3, 4} i due sottoisiemi. Idicata co {A 1, A 2 } la geerica partizioe, possiamo elecare tutte le possibilità: 1. A 1 = {1}, A 2 = {2, 3, 4}; 2. A 1 = {2}, A 2 = {1, 3, 4}; 3. A 1 = {3}, A 2 = {1, 2, 4}; 4. A 1 = {4}, A 2 = {1, 2, 3}; 5. A 1 = {1, 2}, A 2 = {3, 4}; 6. A 1 = {1, 3}, A 2 = {2, 4}; 7. A 1 = {1, 4}, A 2 = {2, 3}. Abbiamo quidi che il umero richiesto è 7. Sicuramete il metodo di elecare tutti i casi, el caso i cui A è grade, o è praticabile. La formula di ricorreza, che stabiliremo el Teorema 4.1, è sicuramete migliore. Defiizioe 4.1 Dicesi umero di Stirlig di secoda specie il umero S(, k) delle partizioi di u isieme di cardialità i k classi o vuote. Teorema 4.1 Per ogi coppia di iteri e k co k 0, si ha S(, 0) = 0, S(, 1) = S(, ) = 1 e S( + 1, k) = S(, k 1) + ks(, k). (3) Dimostrazioe. Le uguagliaze S(, 0) = 0 e S(, 1) = S(, ) = 1 soo ovvie. Proviamo che vale la (3). Ogi partizioe di + 1 oggetti i k classi si può pesare geerata dalle partizioi di oggetti i u solo dei segueti modi: 1. aggiugedo ua uova classe formata dal solo elemeto ( + 1)-esimo alle altre partizioi di oggetti i k 1 classi (questo si può fare i S(, k 1) modi); 2. aggiugedo l ( + 1)-esimo oggetto ad ua delle classi di u arbitraria partizioe di oggetti i k classi (questo può essere fatto i ks(, k) modi). 17

18 La regola della somma completa la dimostrazioe. Calcoliamo S(4, 2) usado la (3). S(4, 2) = S(3, 1) + 2S(3, 2), S(3, 2) = S(2, 1) + 2S(2, 2), S(3, 1) = S(2, 1) = S(2, 2) = 1. Sostituedo otteiamo S(3, 2) = 3 e S(4, 2) = 7. La (3) permette di scrivere la seguete matrice, detta triagolo di Stirlig, utile ai fii del calcolo di S(, k). k Vale ache la seguete formula (che dimostreremo el corso della soluzioe del Problema 6.6): S(, k) = 1 k ( ) k ( 1) t (k t). (4) k! t t=0 Applichiamo la (4) per determiare S(4, 2). S(4, 2) = 1 2 ( ) 2 ( 1) t (2 t) 4 = 2! t t=0 = 1 [ ( ) ( ) ( ] ( 1) ( 1) ( 1) ) ! = 1 ( ) = 7. 2! Problema 4.1 Siao X e Y due isiemi fiiti, co X = e Y = k. 1. Quate soo le applicazioi biettive f : X Y? SOLUZIONE. Se k essua. Sia = k. Per assegare f : X Y procedo el modo seguete. Sia X = {x 1, x 2,..., x }. Prima assego f(x 1 ), e questo può essere 18

19 fatto i k modi diversi; poi assego f(x 2 ), e questo può essere fatto i k 1 modi diversi;...; ifie assego f(x k ), e questo può essere fatto i 1 sol modo. Per la regola del prodotto, il umero cercato è k! =!. 2. Quate soo le applicazioi iiettive f : X Y? Se > k, essua. Se = k, f è iiettiva se e solo se è biettiva, quidi il umero richiesto è dato da!. Sia ifie < k. I tal caso si ha f(x) = {f(x) x X} Y e f(x) = X = < k. Quidi: (a) scelgo f(x) Y (questo si può fare i ( k ) modi); (b) scelgo u applicazioe biuivoca fra X e f(x) (questo si può fare i! modi). Per ( la regola del prodotto, il umero cercato è k )! = Ck, P = D k, = k! = k (k 1)... (k + 1). (k )! 3. Quate soo le applicazioi f : X Y? Per assegare f : X Y procedo el modo seguete. Sia X = {x 1, x 2,..., x }. Prima assego f(x 1 ), e questo può essere fatto i k modi diversi; poi assego f(x 2 ), e questo può essere fatto i k modi diversi;...; ifie assego f(x ), e questo può essere fatto i k modi diversi. Per la regola del prodotto, il umero cercato è k = Y X. 4. Quate soo le applicazioi suriettive f : X Y? Se < k, essua. Se = k, ogi applicazioe suriettiva è biettiva e quidi il umero richiesto è k!. Sia > k. I tal caso procedo el modo seguete: (a) Per ogi y Y determio f 1 (y). La famiglia F = {f 1 (y) y Y } è ua partizioe di X i k classi. Il umero di queste partizioi è il umero di Stirlig di secoda specie S(, k) (vedi Defiizioe 4.1). (b) Sia F = {F 1, F 2,..., F k } ua partizioe di X. Assego f(x) i modo che per ogi coppia di elemeti distiti x, x X si abbia f(x) = f(x ) se e solo se esiste u idice i {1, 2,..., } tale che x, x F i. Questo si può fare i k! modi diversi. Per la regola del prodotto, il umero cercato è k! S(, k). Ora ci occuperemo di determiare i quati modi si possoo distribuire u certo umero di biglie i u certo umero di ure. Questa classe di problemi ha umerose applicazioi. Per esempio, el classificare i tipi di icidete i base ai giori della settimaa, le biglie si idetificao co i tipi di icidete metre le ure si idetificao co i giori della settimaa. Negli esperimeti sui raggi cosmici, le biglie si idetificao co le particelle che raggiugoo u cotatore Geiger e le ure co i cotatori. I teoria dei codici, la distribuzioe degli errori di trasmissioe su k parole del codice è otteuta idetificado le parole co le ure e gli errori 19

20 co le biglie. I editoria, la distribuzioe degli errori su k pagie è otteuta idetificado le pagie co le ure e gli errori co le biglie. Nello studio degli effetti della luce sulla vista, le particelle di luce che raggiugoo la retia si idetificao co le biglie, le cellule della retia co le ure. I questa tipologia di problemi è importate sapere se le biglie e/o le ure soo umerate (cioè si possoo distiguere ua dall altra) oppure o. Per esempio, suppoiamo di avere due biglie distiguibili, che idichiamo co a e b, e tre ure, ach esse distiguibili, 1, 2 e 3. Come mostrato ella seguete Tabella I si hao ove possibili distribuzioi delle due biglie elle tre ure. distribuzioi ure 1 ab a a b b 2 ab b a a b 3 ab b b a a Tabella I Suppoiamo adesso che le biglie o siao distiguibili (i tal caso le idichiamo etrambe co a) metre le ure cotiuao ad essere distiguibili. Si hao le sei segueti distribuzioi. distribuzioi ure 1 aa a a 2 aa a a 3 aa a a Tabella II Se le ure o soo distiguibili metre lo soo le biglie, le distribuzioi 1 3 della Tabella I si devoo cosiderare le stesse: due biglie i u ura, essua elle altre due. Le distribuzioi 4 9 soo da cosiderarsi le stesse: due ure co ua sola biglia, ua vuota. Otteiamo così solo due distribuzioi diverse. Ifie se è le biglie è le ure soo distiguibili, le distribuzioi 1 3 della Tabella II soo da cosiderarsi le stesse, così come le 4 6. Abbiamo quidi due diverse distribuzioi. Nel determiare il umero delle distribuzioi, è importate decidere se soo ammesse ure vuote oppure o. Per esempio, se abbiamo due distiguibili biglie e due distiguibili ure, tutte le possibili distribuzioi soo quattro (vedi Tabella III). Se aggiugiamo la codizioe che essua ura può restare vuota, abbiamo solo le distribuzioi 3 e 4 della Tabella III. 20

21 distribuzioi ure 1 ab a b 2 ab b a Tabella III Problema 4.2 Determiare il umero delle possibili distribuzioi di biglie i k ure. SOLUZIONE. Prima di aalizare i vari casi si oti che, qualora o siao ammesse ure vuote, deve essere k. Caso 1 Sia le biglie che le ure soo distiguibili. 1.a Soo ammesse ure vuote. Il problema equivale a determiare il umero delle applicazioi dell isieme delle biglie ell isieme delle ure (si veda il caso 3 del Problema 4.1), quidi si hao k distribuzioi possibili. 1.b No soo ammesse ure vuote. Il problema equivale a determiare il umero delle applicazioi suriettive dell isieme delle biglie ell isieme delle ure (si veda il caso 4 del Problema 4.1). Quidi abbiamo k! S(, k) distribuzioi possibili. Caso 2 Le biglie o soo distiguibili metre le ure lo soo. 2.a Soo ammesse ure vuote. Sia x i il umero delle biglie coteute ell ura i. Essedo il umero delle biglie, si ha x 1 + x x k =. Quidi il umero delle possibili distribuzioi coicide col umero delle k-uple di iteri o egativi soluzioi della precedete equazioe. Questo valore, determiato el paragrafo 2, è dato da P,k 1 r = ( ) +k 1 k 1. 2.b No soo ammesse ure vuote. Questo caso segue da 2.a. Ifatti, dapprima mettiamo ua biglia i ogi ura (questo garatisce che essua ura è vuota). Vi è u sol modo per fare ciò. Rimagoo k biglie da sistemare elle k distiguibili ure. Per 2.a (dove mettiamo k al posto di ) abbiamo che il umero delle distribuzioi possibili è P k,k 1 r = ( ) ( ( k)+k 1 k 1 = 1 k 1). Caso 3 Le biglie soo distiguibili metre le ure o lo soo. 3.a Soo ammesse ure vuote. Cosideriamo ua distribuzioe avete t ure o vuote co 1 t k. Essa iduce ua partizioe dell isieme delle biglie i t classi. Quidi il umero delle possibili distribuzioi aveti t ure o vuote è dato dal umero di Stirlig di secoda specie S(, t) (Defiizioe 4.1). Poichè t = 1, 2,..., k, il umero delle distribuzioi cercate è S(, 1) + S(, 2) S(, k). 21

22 3.b No soo ammesse ure vuote. Ragioado come el caso 3.a, deve essere t = k. Quidi il umero di distribuzioi coicide co S(, k). Caso 4 Sia le biglie che le ure o soo distiguibili. 4.a Soo ammesse ure vuote. Prima di esamiare questo caso defiiamo partizioe di u itero positivo i esattamete k parti ua collezioe di k iteri positivi la cui somma è uguale ad. Per esempio, l itero = 7 ha le segueti partizioi i k = 3 parti: {1, 1, 5}, {1, 2, 4}, {1, 3, 3} e {2, 2, 3}. Si osservi che {1, 5, 1} è cosiderata la stessa di {1, 1, 5}, ifatti siamo iteressati solo agli iteri che compogoo la classe, o al loro ordie. Deotiamo co T (, k) il umero di modi di partizioare i esattamete k parti. Il umero di modi di distribuire idistiguibili biglie i k idistiguibili ure coicide col umero di modi di partizioare l itero i al più k parti. Quidi il umero delle distribuzioi cercate è dato da T (, 1) + T (, 2) T (, k). Nel Teorema 4.2 daremo ua formula di ricorreza per determiare la successioe T (, k). 4.b No soo ammesse ure vuote. Ragioado come i 4.a, il umero di modi di distribuire idistiguibili biglie i k idistiguibili ure, essua delle quali deve rimaere vuota, coicide col umero T (, k) di modi di partizioare l itero i esattamete k parti. Teorema 4.2 Sia u itero positivo e sia T (, k) il umero di modi di partizioare i esattamete k parti. Si ha T (, 1) = 1, T (, k) = 0 per ogi 1 < k, e T (, k) = T ( 1, k 1) + T ( k, k). (5) Dimostrazioe. Le uguagliaze T (, 1) = 1, T (, k) = 0 per ogi 1 < k, soo ovvie. Proviamo la (5) sfruttado il sigificato di T (, k) come distribuzioe di biglie elle ure. Possiamo supporre k 2. Prima mettiamo ua biglia i ciascua ura e poi sistemiamo le altre k. Quest ultima operazioe equivale a mettere k biglie i k ure, qualcua delle quali potrebbe essere vuota. Ma allora deve valere l idetità T (, k) = T ( k, 1) + T ( k, 2) T ( k, k 1) + T ( k, k). (6) Sostituedo ella (6) 1 al posto di e k 1 al posto di k, abbiamo T ( 1, k 1) = T ( k, 1) + T ( k, 2) T ( k, k 1). Sostituedo quest ultima uguagliaza ella (6) si ottiee la (5). 22

23 La (5) del Teorema 4.2 permette di scrivere la seguete matrice, utile ai fii del calcolo di T (, k). k Probabilità discreta Il calcolo combiatorio è strettamete legato alla teoria della probabilità. Questa teoria è stata sviluppata per studiare l accadere di eveti icerti. Vediamo come si può parlare di probabilità su u isieme fiito. Sia Ω u isieme fiito detto spazio campioe o spazio dei casi possibili (esiti) di u feomeo casuale. Ad esempio, {1, 2, 3, 4, 5, 6} è lo spazio campioe del lacio di u dado. Se iterpretiamo 0 come croce e 1 come testa, {0, 1} è lo spazio dei casi possibili per ua sequeza ordiata di laci di ua moeta. Così u esito è ua parola luga dell alfabeto {0, 1}. U sottoisieme A dello spazio campioe si chiama eveto. L eveto: I tre laci di ua moeta esce testa ua volta sola, coicide co {001, 010, 100}. Ua misura di probabilità (o semplicemete probabilità) è ua fuzioe reale P defiita su Ω tale da soddisfare i segueti assiomi: (1) P (ω) > 0 per ogi ω Ω; (2) ω Ω P (ω) = 1 La fuzioe P si estede agli eveti defiedo P ( ) = 0 e, per ogi altro A Ω, poedo P (A) = ω A P (ω). Il umero P (A) è la probabilità dell eveto A. Dai due assiomi si deducoo le segueti proprietà del cocetto di probabilità: 0 P (A) 1 per ogi A Ω; se poiamo C Ω A il complemetare di A i Ω, cioè C Ω A = Ω \ A, P (C Ω A) = 1 P (A); P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 23

24 Fra tutte le misure di probabilità che si possoo itrodurre, quella più iteressate è la probabilità simmetrica, detta ache equiprobabilità. Si dice ifatti che P è la misura di equiprobabilità su Ω se per ogi esito ω di Ω risulta P (ω) = 1. Ω Dire che u elemeto ω di Ω viee estratto a caso sigifica, per covezioe, che la probabilità di ω è 1. Ituitivamete ciò equivale ad affermare che tutti gli elemeti di Ω Ω, umerati 1, 2,..., Ω, soo posti idealmete i u ura, tipo gioco del lotto, e se e estrae uo a caso. Allora è 1 la probabilità che esca u elemeto prefissato di Ω. Ovvia Ω cosegueza della defiizioe di equiprobabilità è che, per ogi eveto A di Ω, si ha P (A) = A Ω f ormula di Laplace (1812). Ituitivamete la probabilità simmetrica di u eveto A è il rapporto tra il umero dei casi favorevoli (esiti di A) e il umero dei casi possibili (esiti di Ω). Quado lo spazio campioe è fiito, il calcolo delle probabilità è strettamete coesso co il calcolo combiatorio: calcolare ua probabilità simmetrica equivale a calcolare due cardialità. Esempio 5.1 Determiare la probabilità che, presa a caso ua fuzioe f X =, Y = k e k, essa risulti iiettiva. : X Y co SVOLGIMENTO. I virtù di quato detto ei puti 1 e 2 del Problema 4.1, la probabilità richiesta è D k,. k Per k = 365 abbiamo la soluzioe del classico problema dei compleai. Soo riuite persoe a caso: qual è la probablità p che o ci siao persoe che festeggiao il loro compleao lo stesso gioro? Si suppoga che ciascua persoa sia ata a caso i uo qualuque dei 365 giori di u ao escludedo i bisestili. Il problema è baalmete risolto se > 365. Per 365 si ha p = D 365, = 365 (365 1)... (365 +1). Passado al complemetare, la probabilità che almeo due persoe siao ate lo stesso gioro (a meo dell ao) è q = 1 p. È sbalorditivo il fatto che q 23 = circa: il che sigifica che fra 23 persoe scelte a caso è più probabile trovare due co lo stesso compleao che o trovarle! Altri valori cotrari all ituizioe soo q 56 = e q 70 = così co 70 persoe è quasi certo trovare due co lo stesso compleao. Si osservi che solo per = 365 risulta q 365 = 1. La defiizioe di probabilità data i questo paragrafo va ovviamete modificata e geeralizzata quado Ω o è fiito. Per uo studio più approfodito si rimada ad u corso di Calcolo delle Probabilità. 6 Il pricipio di iclusioe ed esclusioe Problema 6.1 Suppoiamo che i u gruppo di 18 persoe, 10 hao il padre meridioale, 5 hao la madre meridioale e 2 hao etrambi i geitori meridioali. Quate persoe del gruppo o hao alcu geitore meridioale? SOLUZIONE Siao A l isieme delle 18 persoe. Ua persoa di A verifica 24

25 la proprietà a 1 se ha il padre meridioale, la proprietà a 2 se ha la madre meridioale Restao così idividuati due sottoisiemi di A: l isieme A 1 delle persoe aveti il padre meridioale e l isieme A 2 delle persoe aveti la madre meridioale. Ovviamete A 1 A 2 è l isieme delle persoe di A aveti etrambi i geitori meridioali. I altri termii A 1 A 2 è l isieme delle persoe di A che verifica etrambe le proprietà a 1 e a 2. Deotiamo co N(a 1 ) il umero delle persoe di A che godoo della proprietà a 1 ; N(a 1) il umero delle persoe di A che o godoo della proprietà a 1 ; N(a 2 ) il umero delle persoe di A che godoo della proprietà a 2 ; N(a 2) il umero delle persoe di A che o godoo della proprietà a 2 ; N(a 1 a 2 ) il umero delle persoe che godoo di etrambe le proprietà a 1 e a 2 ; N(a 1a 2 ) il umero delle persoe che godoo della proprietà a 2 ma o della a 1 ; N(a 1 a 2) il umero delle persoe che godoo della proprietà a 1 ma o della a 2 ; N(a 1a 2) il umero delle persoe che o godoo è della proprietà a 1 è della a 2. Vogliamo quidi calcolare N(a 1a 2). Si ha N(a 1a 2) = C A (A 1 A 2 ) = A A 1 A 2. Saremmo tetati di scrivere A 1 A 2 = A 1 + A 2 = N(a 1 ) + N(a 2 ) = = 15. Ma i questo modo avremmo cotato alcue persoe due volte: quelle di A 1 A 2, il cui umero è A 1 A 2 = N(a 1 a 2 ). Quidi A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2 = N(a 1 )+N(a 2 ) N(a 1 a 2 ) = = 13. I defiitiva N(a 1a 2) = N N(a 1 ) N(a 2 ) + N(a 1 a 2 ) = = 5. I geerale, suppoiamo di avere u isieme A di cardialità N. Siao date r proprietà su A: a 1, a 2,..., a r. Deotiamo co N(a i ) (N(a i)) il umero degli elemeti di A che godoo (o godoo) della proprietà a i. Ovviamete N = N(a i ) + N(a i). Poichè u elemeto può godere di più di ua proprietà, possiamo procedere come el problema precedete per idicare il umero degli elemeti che godoo di alcue proprietà e o delle altre. Per esempio, posto r = 5, N(a 1 a 2a 3 a 4 a 5) idica il umero degli elemeti di A che godoo delle proprietà a 1, a 3 e a 4 ma o delle a 2 e a 5. Problema 6.2 Ciquata vetture soo sottoposte a u test per cotrollare se hao emissioi iquiati di ossido d azoto (NO x ), idrocarburi (HC) e moossido di carboio (CO). Ua macchia supera il massimo cosetito per tutte e tre le emissioi. Tre macchie eccedoo per NO x e HC, due per NO x e CO, ua per HC e CO, sei per NO x, quattro per HC, e tre per CO. Quate macchie rispettao i limiti per tutte e tre le emissioi? SOLUZIONE. Sia A l isieme delle macchie. Deotiamo rispettivamete co a 1, a 2 e a 3 la proprietà che ua macchia ecceda lo stadard di emissioe per NO x, HC e CO. Il 25

26 problema cosiste el calcolare N(a 1a 2a 3) sapedo che N = 50, N(a 1 a 2 a 3 ) = 1, N(a 1 a 2 ) = 3, N(a 1 a 3 ) = 2, N(a 2 a 3 ) = 1, N(a 1 ) = 6, N(a 2 ) = 4 e N(a 3 ) = 3. Idicato co A i l isieme delle macchie di A che godoo della proprietà a i, si ha N(a 1a 2a 3) = C A (A 1 A 2 A 3 ) = A A 1 A 2 A 3. Procededo come ella soluzioe del problema precedete abbiamo che A 1 A 2 A 3 = (A 1 A 2 ) A 3 = A 1 A 2 + A 3 (A 1 A 2 ) A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ) = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 ( A 1 A 3 + A 2 A 3 (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ) = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 = N(a 1 ) + N(a 2 ) + N(a 3 ) N(a 1 a 2 ) N(a 1 a 3 ) N(a 2 a 3 ) + N(a 1 a 2 a 3 ). I defiitiva otteiamo N(a 1a 2a 3) = N N(a 1 ) N(a 2 ) N(a 3 ) + N(a 1 a 2 ) + N(a 1 a 3 ) + N(a 2 a 3 ) N(a 1 a 2 a 3 ) (7) La (7) può essere otteuta ragioado el seguete modo, del tutto equivalete al precedete. Il primo membro della (7) esprime il umero delle auto che o godoo di essua delle tre proprietà a 1, a 2 e a 3. Basta allora provare che il secodo membro coti 1 volta le vetture che o godoo di essua proprietà e 0 volte quelle che godoo di qualcua di esse. Suppoiamo che u auto o goda di alcua delle proprietà i questioe. Allora essa è cotata 1 volta el calcolare N e 0 volte i quello di N(a 1 ), N(a 2 ), N(a 3 ), N(a 1 a 2 ), N(a 1 a 3 ), N(a 2 a 3 ) e N(a 1 a 2 a 3 ). Quidi questa vettura è calcolata esattamete ua volta el secodo membro di (7). Suppoiamo ora di avere ua vettura che goda solo della a 1. Essa è cotata 1 volta el calcolare N, 1 volta el calcolare N(a 1 ) e 0 volte el calcolare N(a 2 ), N(a 3 ), N(a 1 a 2 ), N(a 1 a 3 ), N(a 2 a 3 ) e N(a 1 a 2 a 3 ). Quidi questa vettura è calcolata 0 volte el secodo membro di (7). Lo stesso risultato si ottiee se l auto gode della sola a 2 oppure a 3. Si cosideri adesso ua vettura che goda di due sole proprietà, per esempio a 1 e a 2. Essa cota 0 el calcolo del primo membro di (7) e cota 1 el calcolo di N; 1 el calcolo di N(a 1 ); 1 el calcolo di N(a 2 ); 0 el calcolo di N(a 3 ); 1 el calcolo di N(a 1 a 2 ); 0 el calcolo di N(a 1 a 3 ); 0 el calcolo di N(a 2 a 3 ); 0 el calcolo di N(a 1 a 2 a 3 ). Ache questa vettura è calcolata 0 volte el secodo membro di (7). Allo stesso risultato si perviee comuque si scelgao le due proprietà. Ifie, u auto che gode di tutte e tre le proprietà cota 0 el calcolo del primo membro di (7) e 1 el calcolo di tutti gli addedi a secodo membro. Poichè la somma di questi addedi è ugale a zero, la (7) resta completamete provata. 26

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