FUNZIONAMENTO DEL MOTORE ASINCRONO TRIFASE E SUE CARATTERISTICHE

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1 FUNZIONAMENTO DEL MOTORE ASINCRONO TRIFASE E SUE CARATTERISTICHE F. e. m. indotte dal campo rotante negli avvolgimenti di statore e rotore. Scorrimento. Le linee di induzione del campo rotante che attraversano il traferro del motore asincrono vengono tagliate, durante la uniforme rotazione del campo, da tutti i conduttori attivi che compongono gli avvolgimenti sia dello statore che del rotore. In particolare gli avvolgimenti statorici si comportano a tale riguardo esattamente come gli avvolgimenti indotti di un alternatore o di un motore sincrono, perché il campo rotante che scorre nel traferro del motore asincrono esercita sui conduttori fissi dello statore l'identico effetto di induzione elettromagnetica che viene prodotto dalla rotazione materiale della ruota polare di una macchina sincrona. In ciascuna fase dello statore si genera perciò una f. e. m. indotta E 1 la quale ha la stessa espressione della f. e. m. generata da un alternatore. Indicando cioè con Φ il flusso che compete a ciascun polo del campo rotante, con f 1 la frequenza di alimentazione del motore e con N 1 il numero dei conduttori attivi che si trovano collegati in serie tra loro a comporre ciascuna fase, si ha in ogni fase statorica una f. e. m. indotta il cui valore efficace è espresso dalla relazione E 1 = K 1 f 1 Φ N 1 essendo K 1 il noto fattore di Kapp. Nelle tre fasi si hanno naturalmente tre f. e. m. identiche sfasate l'una rispetto all'altra di 10 elettrici. In analogia coi trasformatori, queste f. e. m. statoriche vengono spesso designate col nome di f. e. m. primarie del motore. Corrispondentemente viene detta f. e. m. secondaria E la f. e. m. che viene indotta dallo stesso campo rotante negli avvolgimenti del rotore, i quali si comportano come gli avvolgimenti 1 secondari del trasformatore.

2 Questa f. e. m. secondaria si genera perché le linee di forza del campo rotante tagliano i conduttori attivi del rotore; però siccome il rotore gira nello stesso verso del campo rotante, è chiaro che la velocità di taglio delle linee di forza non sarà l'effettiva velocità del campo, ma solo la velocità relativa del campo rotante rispetto al rotore. Essendo f 1 la frequenza di alimentazione del motore, detta anche frequenza primaria, il campo rotante con p coppie di poli ruota nello spazio, e cioè rispetto allo statore che è fisso, alla velocità di sincronismo n 1, data in giri al primo da n 1 = 60 f 1 / p Se allora in una certa condizione di regime il rotore compie, seguendo campo rotante, n giri al primo (n < n 1 ), la velocità relativa del campo rotante rispetto al rotore sarà la differenza tra le due velocità: il campo rotante scorre cioè, rispetto al rotore che lo segue, in ragione di (n 1 - n ) giri al primo. La differenza (n 1 - n ) si denota col nome di velocità di scorrimento e rappresenta il numero di giri che il rotore perde, ad ogni minuto primo, rispetto al campo rotante. Si indica invece semplicemente col nome di scorrimento, la frazione di giro che il rotore perde per ciascun giro del campo rotante e cioè il rapporto s = n n n 1 1 In pratica si esprime più comodamente lo scorrimento percentuale, cioè la misura dello scorrimento che si ha su 100 giri del campo rotante, scrivendo: n 1 n s% = 100 s = 100 n 1

3 È chiaro che quando il rotore è fermo, come accade ad esempio all'atto dell'avviamento, si ha n = 0 e perciò s = 1 oppure s % = 100; se invece il rotore arrivasse a raggiungere la velocità del campo rotante si avrebbe n = n 1 e perciò s = 0 : mentre il motore passa dalla velocità zero alla velocità di sincronismo, lo scorrimento varia dunque da uno a zero. Dicendo, ad esempio, che un motore asincrono lavora, in una certa condizione di carico, con uno scorrimento del 3% si esprime il fatto che il rotore perde 3 giri per ogni cento giri del campo rotante e cioè che mentre il campo fa 100 giri rotore ne compie 97. In ogni caso se un motore asincrono si trova a funzionare con un dato scorrimento s, vuol dire che le linee di forza del campo rotante tagliano i conduttori attivi del rotore con una velocità di scorrimento espresso, in giri al primo, dalla relazione: n 1 n = n 1 s mentre il rotore compie corrispondentemente un numero di giri n = (1-s) n 1 Agli effetti della generazione della f. e. m. secondaria E negli avvolgimenti del rotore le cose vanno come se il rotore fosse fermo e soggetto all azione di un campo induttore che ruotasse con la velocità di scorrimento (n 1 - n ); ne risulta perciò che la frequenza delle correnti indotte nel rotore, denominata frequenza secondaria f non corrisponde alla frequenza primaria f 1, ma è determinata invece dalla velocità di scorrimento. Tale frequenza secondaria sarà data quindi (come in un alternatore con p coppie di poli e velocità (n 1 - n ) = n 1 s) dalla relazione f = p ( n 1 n ) 60 = p n 1 60 s 3

4 Poiché p n 1 f 1 60 = Risulta anche: f = s f 1 Quest'ultima relazione è importantissima ed esprime il fatto che la frequenza f delle correnti indotte nel rotore di un motore asincrono è eguale alla frequenza di alimentazione moltiplicata per lo scorrimento s. Inversamente si può dire che lo scorrimento di un motore asincrono può essere definito anche, e misurato, eseguendo il rapporto tra la frequenza delle correnti indotte nel rotore e la frequenza di alimentazione dello statore. I valori dello scorrimento in regime normale di funzionamento del motori asincroni variano entro i limiti dall 1 al 5%; corrispondentemente la frequenza delle correnti rotoriche risulterà dell'ordine dall 1 al 5% della frequenza di alimentazione f 1 e perciò, dati i valori delle frequenze industriali (4 60 Hz), dell'ordine appena di qualche periodo al secondo. Per esempio, se lo scorrimento è del 3 % e la frequenza di alimentazione è f 1 = 50 Hz, la frequenza delle correnti indotte nel rotore è f = 0,03 x 50 = 1,5 Hz. Il valore efficace della f. e. m. secondaria E che viene indotta, alla frequenza f, in ciascuna fase del rotore, se N è il numero dei conduttori attivi per fase ed è Φ il flusso corrispondente ad un polo del campo rotante induttore, sarà dato dalla espressione E = K Φ N f essendo K, generalmente diverso dal fattore K 1, relativo allo statore. 4

5 Poiché f = s f 1, si può scrivere anche E = K Φ N s f 1 Quest'ultima relazione attesta che restando costante la frequenza di alimentazione f 1 e il flusso Φ (e perciò costante anche la f. e. m. primaria E 1 = K 1 Φ N 1 f 1 ), la secondaria E varia invece al variare dello scorrimento. Per indicare tale dipendenza, il valore generico della f. e. m. secondaria corrispondente allo scorrimento s sarà rappresentato, ove occorra, col simbolo E (s). Il valore dello scorrimento dipende dalle condizioni di carico del motore e precisamente dal valore della coppia resistente che esso è chiamato a vincere. Se il motore gira a vuoto e cioè con coppia resistente nulla, per l'equilibrio dinamico deve essere nulla anche la coppia motrice: ciò avviene quando si annullano le correnti indotte nel rotore e cioè quando si annulla la f. e. m. secondaria. Questa non può annullarsi, d'altra parte, se non quando lo scorrimento si annulla: per s = 0 risulta infatti E (s) = 0. Si arriva così alla conclusione che il motore asincrono funzionante a vuoto presenta uno scorrimento nullo e cioè la sua velocità di rotazione n eguaglia la velocità del campo rotante n 1 ; in altri termini il motore funzionante a vuoto raggiunge e conserva la velocità di sincronismo dalla quale si discosta solo, all'atto pratico, della minima quantità che occorre per dar luogo alla piccola coppia necessaria a vincere gli attriti. Lo scorrimento a vuoto può avere ad esempio valori dell'ordine di 0,001 (il rotore perde un giro su 1000 giri del campo rotante) : corrispondentemente la f. e. m. secondaria E assume dei valori di piccole frazioni di volt, con frequenza f bassissima dell'ordine di qualche periodo al minuto primo. 5

6 In generale si può dire quindi che quando un motore asincrono passa dal funzionamento a carico al funzionamento a vuoto, lo scorrimento, la f. e. m. secondaria e la frequenza corrispondente tendono a zero insieme alla coppia. Caricando il motore invece, il rotore rallenta e lo scorrimento aumenta: aumenta perciò la f. e. m. E e quindi anche la corrente rotorica. A pieno carico lo scorrimento raggiunge di regola valori dal al 5%. Valori maggiori dello scorrimento si hanno in genere solo in condizioni speciali o transitorie : così all' atto dell' avviamento quando il rotore è fermo, e si ha quindi n = 0, lo scorrimento ha il valore s = 1 perché il moto relativo tra campo rotante e rotore corrisponde all'effettiva velocità del campo rotante. In tali condizioni la frequenza secondaria f = s f 1 coincide con la frequenza primaria f 1 e la f. e. m. secondaria E (s) = K Φ N f 1 s, per s = 1 assume il valore : E (1) = K Φ N f 1 Finché il rotore è fermo il motore si comporta cioè come un trasformatore statico realizzando, per ciascuna fase, un rapporto di trasformazione : m = E 1 K 1 N 1 = E ( 1) K N Definita la f. e. m. secondaria E (1) a rotore fermo, l'espressione della f. e. m. secondaria E (s), che si ha in corrispondenza di una generica condizione di funzionamento caratterizzata dallo scorrimento s, assume senz'altro la forma : E (s) = s E (1) 6

7 Occorre infine osservare che se il rotore è munito di avvolgimento trifase, nelle tre fasi si hanno f. e. m. eguali sfasate l'una rispetto all'altra di 10 elettrici ; se invece il rotore è munito di avvolgimento bifase (anche se lo statore è trifase) nelle due fasi si hanno f. e. m. eguali sfasate di 90. Il rotore a gabbia può essere considerato come provvisto di un avvolgimento multifase con una sola sbarra per fase (N = 1) : nelle sbarre successive si hanno f. e. m. eguali ordinatamente sfasate l'una rispetto all'altra dell'angolo elettrico fra le cave, pari a (360 p / q), essendo q il numero complessivo delle sbarre e p le coppie di poli del campo rotante. 7

8 Reazione rotorica. Le f. e. m. secondarie E (s) agendo nei circuiti chiusi del rotore, vi generano delle correnti le quali si possono esprimere, per ciascuna fase, in base alla rispettiva impedenza. Poiché il rotore è provvisto in ogni caso di un avvolgimento polifase simmetrico, nelle diverse fasi si hanno correnti eguali in valore ed egualmente sfasate sulle rispettive f. e. m. Tali correnti creano perciò a loro volta, come le correnti nello statore, un campo rotante, denominato campo indotto, il quale ha in ogni caso lo stesso numero di poli del campo induttore. Se si tratta di un rotore ad anelli infatti esso è provvisto di un avvolgimento con passo polare identico allo statore; se si tratta di un rotore a gabbia, le correnti indotte assumono da sole come si è già osservato una distribuzione equipolare con lo statore. Questo campo rotante indotto compie, rispetto al rotore che lo genera e indipendentemente dalla rotazione propria del rotore, un numero di giri che dipende dalla frequenza f delle correnti rotoriche; e precisamente, se p sono le coppie di poli, il campo indotto compie rispetto al rotore un numero di giri al primo espresso da 60 f / p. Il verso di rotazione di questo campo rispetto al rotore coincide d'altra parte col verso della rotazione propria del rotore, perché in tal verso si seguono sul rotore i ritardi di fase delle correnti che vi sono indotte dal campo induttore. Ne segue che la velocità di rotazione propria del rotore e la velocità relativa rispetto al rotore, del campo rotante che esso genera, si sommano. D'altra parte la velocità relativa del campo indotto rispetto al rotore coincide con la velocità di scorrimento (n 1 - n ) = n 1 s. Infatti, essendo sempre f = s f 1, risulta 60 f 60 f 1 = p p s = n 1 s = n 1 n 8

9 Eseguendo la somma della velocità propria del rotore n e della velocità addizionale (n 1 - n ) del campo che esso genera, si ottiene la velocità risultante nello spazio del campo indotto ; tale somma vale n + (n 1 n ) = n 1 Si arriva cosi alla conclusione essenziale che il campo indotto ruota nell'intraferro con una velocità che si identifica in ogni caso, e qualunque sia la velocità pro pria del rotore n, con la velocità del campo rotante induttore. Tanti giri perde il rotore rispetto a quest'ultimo e altrettanti ne riprende il campo indotto: qualunque sia lo scorrimento del rotore, il campo che esso genera si mantiene così in perfetto sincronismo con il campo rotante induttore. In tal modo i due campi rotanti, induttore e indotto, conservano invariata durante le rotazione la loro posizione reciproca. Ne segue in particolare che le correnti rotoriche, per tutto ciò che riguarda la reazione che esse esercitano sul sistema induttore, possono essere considerate della stessa frequenza delle correnti di alimentazione dello statore, perché la minore frequenza delle correnti secondarie è sempre compensata dalla rotazione meccanica del rotore. Se il rotore è fermo (s = 1) la frequenza secondaria coincide senz'altro con in frequenza primaria; se invece il rotore è in marcia, ad esempio con uno scorrimento del 3 %, la frequenza delle correnti rotoriche è pari al 3% della frequenza primaria mentre il rotore gira con una velocità che è il 97 % della velocità di sincronismo: il 3% mancante è colmato dalla velocità con in quale il campo indotto scorre a sua volta rispetto al rotore che lo genera e perciò in definitiva le correnti secondarie reagiscono sullo statore come se avessero ancora la frequenza primaria e il rotore fosse ancora immobile. 9

10 Conseguentemente l'effetto di reazione delle correnti rotoriche sullo statore di un motore asincrono si palesa perfettamente analogo all effetto di reazione degli avvolgimenti secondari sugli avvolgimenti primari di un trasformatore statico, indipendentemente dalla rotazione meccanica del rotore. Il fatto di avere nel motore asincrono un flusso rotante di valore costante anziché un flusso alternativo di direzione fissa come nel trasformatore non sposta la perfetta correlazione che esiste fra a le due macchine; è già noto infatti che, agli effetti del flusso concatenato con una o più spire, la rotazione di queste in un campo fisso e costante, oppure la rotazione di un campo costante rispetto alle spire, equivale precisamente ad un flusso concatenato immobile rispetto alle spire ma variabile con legge alternativa. Si immagini ora di considerare un motore ideale senza perdite e senza dispersioni magnetiche alimentato a tensione costante: in tal caso la tensione applicata a ciascuna fase dello statore deve essere direttamente equilibrata, in virtù della legge di Ohm, dalla f. e. m. primaria E 1 ; perciò il flusso per polo del campo rotante induttore deve assumere e conservare il valore che risulta dall'eguaglianza V 1 = E 1 = K 1 Φ N 1 f 1 L'alimentazione del motore a tensione costante comporta dunque come necessaria conseguenza la costanza del flusso induttore Φ. Nel funzionamento a vuoto, essendo nulla la coppia resistente, il motore a partire dall'avviamento accelera fino a raggiungere la velocità di sincronismo alla quale si annulla anche la coppia motrice. In tali condizioni sono ridotte a zero le correnti indotte nel rotore e perciò è nulla la reazione secondaria; l'avvolgimento primario del motore assorbe allora dalla linea che lo alimenta la sola corrente magnetizzante I µ che è necessaria a produrre il flusso induttore Φ. Tale corrente, essendo nulla la potenza, è sfasata in ciascuna fase di 90 in ritardo sulla tensione. 10

11 Il diagramma vettoriale relativo ad una fase dello statore assume così la configurazione indicata in fig. 1 a): il flusso Φ è segnato in fase con la corrente magnetizzante I µ ; la f. e. m. E 1 è segnata a 90 in ritardo rispetto al flusso e con ciò risulta precisamente in diretta opposizione alla tensione applicata V 1. Fig. 1 - Diagramma vettoriale del motore a campo rotante ideale: a) funzionamento a vuoto ; b) funzionamento sotto carico. 11

12 Occorre osservare che il vettore Φ ha il significato di rappresentare il flusso concatenato con la fase che si considera. Mentre la f. e. m. E 1 è massima (negativa) tale flusso è zero, perché la f. e. m. indotta in una fase raggiunge il massimo valore quando i conduttori vengono tagliati perpendicolarmente dal campo, cioè quando il piano delle spire è parallelo alle linee di forza e il flusso che attraversa le spire stesse è nullo. In tale istante la corrente magnetizzante è nulla; raggiunge invece il massimo dopo un quarto di periodo, quando il campo per effetto della rotazione si dispone perpendicolarmente al piano delle spire e perciò rende massimo il flusso che le attraversa : corrispondentemente la f. e. m. si annulla. In ogni caso avviene che il campo rotante passa in posizione tale da rendere massimo il flusso concatenato con una determinata fase, nel preciso istante in cui è massima la corrente magnetizzante relativa a quella fase. 1

13 Se ora si applica all'albero del motore una coppia frenante, esso rallenta fino ad assumere uno scorrimento s tale per cui le correnti indotte nel rotore raggiungono l'intensità necessaria e sufficiente a sviluppare una coppia motrice eguale alla coppia resistente applicata. In ciascuna fase rotorica si genera per effetto dello scorrimento una determinata f. e. m. E (s) sfasata di 90 in ritardo sul flusso Φ e perciò in fase con la f. e. m. primaria E 1 ; Fig. 1 - Diagramma vettoriale del motore a campo rotante ideale: a) funzionamento a vuoto ; b) funzionamento sotto carico. questa f. e. m. secondaria produce nella fase considerata la corrente secondaria I la quale, avendo supposto nulle le dispersioni magnetiche e la reattanza corrispondente, risulta in fase con la f. e. m. che la produce, come in fig. 1 b). 13

14 È importante notare che pur avendo la f. e. m. E e la corrente I la frequenza f, esse sono egualmente rappresentabili sul diagramma come se avessero la frequenza f 1 perché agli effetti delle reazioni sullo statore, la minore frequenza delle correnti rotoriche risulta esattamente compensata dalla rotazione meccanica del rotore. 14

15 È chiaro che la corrente I circolando negli avvolgimenti del rotore dà luogo ad una forza magnetomotrice la quale tenderebbe a variare il flusso induttore, che prima era prodotto dalla sola corrente magnetizzante I µ. Siccome il flusso, d'altra parte, non può variare perché cesserebbe l'equilibrio fra la f. e. m. E 1 e la tensione applicata V 1 accade, come in un trasformatore, che nel preciso istante in cui si produce la corrente I l'equilibrio predetto momentaneamente si rompe obbligando gli avvolgimenti primari ad assorbire dalla linea di alimentazione, oltre alla corrente magnetizzante I µ, una nuova corrente I 1 la cui f. m. m. sia tale da stabilire ancora l'equilibrio preesistente : ciò richiede precisamente che la f. m. m. corrispondente alla corrente primaria richiamata dalla reazione rotorica, risulti eguale e opposta alla f. m. m. corrispondente alla corrente secondaria: K 1 N 1 I 1 = - K N I [Se gli avvolgimenti di statore e rotore hanno diverso numero di fasi, e in particolare se lo statore è trifase mentre il rotore è bifase oppure a gabbia, la corrente secondaria I e la corrente di reazione I 1 sono ancora tali da dar luogo nei rispettivi avvolgimenti a due f. m. m. eguali ed opposte, secondo la relazione: m 1 K 1 N 1 I 1 = - m K N I essendo m 1 ed m il numero delle fasi di statore e di rotore]. 15

16 Si viene a concludere, in generale, che un motore asincrono sotto carico, alimentato a tensione costante, assorbe dalla linea di alimentazione una corrente I 1 che è la risultante, in ciascuna fase, della corrente magnetizzante I µ e della corrente I 1 che vi è richiamata dalla reazione secondaria. È così possibile precisare meglio che il campo rotante indotto, in realtà non esiste come campo indipendente ma esiste invece unicamente allo stato di f. m. m. rotante, dovuta alle correnti rotoriche: questa f. m. m. tuttavia non produce il campo corrispondente, perché viene direttamente contrastata ed equilibrata da una f. m. m. eguale ed opposta dovuta alla corrente di reazione richiamata negli avvolgimenti primari. Nell'intraferro del motore si ha necessariamente un campo rotante unico, il quale, se la tensione di alimentazione è costante, permane invariato sia a vuoto che a carico. Tutte le considerazioni esposte sotto il nome di campo rotante indotto vanno intese quindi nel senso sopra precisato, e cioé sostituendo alla parola campo la parola f. m. m.. Volendo, si può anche conservare il riferimento ad un campo rotante indotto, pensando di associargli però ad opera dello statore, un campo rotante direttamente opposto che lo annulla. All'atto pratico il motore funzionante a vuoto deve assorbire oltre alla corrente magnetizzante I µ anche una piccola componente attiva I a per compensare sia le perdite nel ferro che le perdite meccaniche: la risultante di tali due correnti costituisce la corrente a vuoto del motore I 0 = µ + I Queste due componenti sono tra loro in quadratura, e danno come risultante un valore I a 0 = µ + I I I a 16

17 Circuito equivalente del motore asincrono. In un motore asincrono reale ciascuna fase statorica e rotorica è caratterizzata innanzi tutto dalla presenza della resistenza ohmica degli avvolgimenti. Nel circuito equivalente del motore debbono inoltre figurare le reattanze di dispersione, dovute a quelle linee di induzione del campo che si concatenano singolarmente con ciascuna fase dei due avvolgimenti statorico e rotorico senza interessare altro e perciò non partecipano al fenomeno della reazione. Questi flussi di dispersione comprendono le linee di induzione che si chiudono direttamente attorno ai conduttori attivi, rispettivamente dello statore e del rotore, senza attraversare il traferro (flusso disperso alle cave) e inoltre le linee di induzione che si richiudono attorno alle testate degli avvolgimenti che sporgono dai pacchi lamellari (flusso disperso alle testate). Sviluppandosi prevalentemente nell'aria, questi flussi possono ritenersi proporzionali alle correnti che li producono ; si può considerare quindi, per ogni fase, una opportuna induttanza di dispersione, definita come rapporto tra il flusso disperso concatenato con gli avvolgimenti della fase considerata e la corrente che la percorre. Se gli avvolgimenti sono simmetrici risulteranno eguali fra loro le induttanze L 1 relative alle diverse fasi primarie, ed analogamente risulteranno eguali tra loro le induttanze L relative alle fasi secondarie. [Gli avvolgimenti trifasi con matasse in tre ordini avranno in realtà induttanze diverse per le tre fasi, perché varia da una fase all'altra lo sviluppo e la forma delle connessioni frontali: si tratta però anche in tal caso di differenze trascurabili]. 17

18 Moltiplicando le induttanze predette L 1 ed L per la pulsazione relativa rispettivamente alla frequenza primaria e secondaria f 1 e f si ottengono le reattanze di dispersione primaria e secondaria X 1 e X. Così, posto ω 1 = πf 1, la reattanza primaria per ciascuna fase è: X 1 = ω 1 L 1 Per una data frequenza di alimentazione del motore, essa costituisce un parametro praticamente costante della macchina, il quale si associa alla resistenza ohmica R 1 di ciascuna fase primaria per comporre l'impedenza primaria Z 1 = R 1 + j X 1 Analogamente posto: ω (s) = π f (s) la reattanza secondaria è X (s) = ω (s) L il cui valore dipende dallo scorrimento s in quanto la frequenza rotorica vale f =f 1 s. In generale risulta quindi, in funzione dello scorrimento X (s) = s ω 1 L Per s = 1, cioè a rotore fermo, la frequenza rotorica coincide con la frequenza di linea f 1 e si ha quindi X (1) = ω 1 L ; in corrispondenza di un generico valore dello scorrimento s l'espressione della reattanza di dispersione secondaria assume così la forma X (s) = s X (1) 18

19 Mentre il rotore passa da fermo alla velocità di sincronismo, la reattanza secondaria X (s) varia dunque proporzionalmente allo scorrimento fra i limiti X (1) = ω 1 L ; X (0) = 0 Per quanto riguarda la resistenza secondaria si può osservare che le fasi rotoriche, a regime normale, sono di regola chiuse in corto circuito tra loro: si dovrà considerare perciò la resistenza ohmica propria di ciascuna fase, comprese le connessioni di corto circuito. A parte le variazioni dipendenti dalla temperatura, questa resistenza secondaria R costituisce un parametro costante della macchina. Se in casi particolari il motore lavora con resistenze addizionali sulle fasi rotoriche, alla resistenza R va aggiunta o conglobata la resistenza addizionale relativa a ciascuna fase. La resistenza e la reattanza secondarie definiscono l'impedenza secondaria, che viene espressa per ciascuna fase, in funzione dello scorrimento, dalla relazione Z (s) = R + j X (s) = R + j s ω 1 L = R + j s X (1) Variando lo scorrimento da uno a zero il valore dell'impedenza secondaria aria fra i limiti Z ( 1 ) = R + X ( 1); Z ( 0) = R Quindi mentre il motore tende alla velocità di sincronismo e cioè lo scorrimento a zero, l'impedenza secondaria tende alla resistenza ohmica R. In base all'espressione della impedenza secondaria, è possibile calcolare la corrente I (s) che circola in ciascuna fase del rotore ; per la legge di Ohm tale corrente è infatti espressa dalla relazione simbolica E ( s ) s E ( 1) I ( s ) = = 19 Z ( s ) R + j s X ( 1)

20 Dividendo il numeratore e il denominatore per s si ottiene anche I ( s ) = R s E ( 1) Quest'ultima relazione dimostra che la corrente che circola in ciascuna fase del rotore quando esso ruota con lo scorrimento s, e quella stessa che si avrebbe quando il rotore fosse immobile (s = 1), ma con la resistenza ohmica di ogni fase aumentata dal valore R al valore R /s, cioè della quantità R(s) espressa dalla differenza + j X ( 1) R s R s R 1 ( ) = = R s s Si giunge così alla conclusione fondamentale che nel motore asincrono, la rotazione meccanica del rotore equivale, elettricamente, alla comparsa nel circuito rotorico della resistenza fittizia R(s) dipendente dallo scorrimento come si vedrà, la potenza elettrica dissipata in questa resistenza corrisponde precisamente alla potenza meccanica sviluppata dal rotore. 0

21 Fig. - Circuito equivalente del motore asincrono. Ciascuna fase del rotore in marcia con lo scorrimento s può essere pertanto rappresentata da un circuito equivalente nel quale agisce la f. e. m. E (1) relativa al rotore fermo, ed è dotato oltre che della resistenza propria R, della reattanza di dispersione X (1) misurata anch' essa a rotore fermo, collegate in serie con una resistenza addizionale R(s) che rende conto dell' effetto della rotazione, come è rappresentato in fig.. Durante la rotazione del motore, nella realtà si verifica una diminuzione della f. e. m. indotta nel rotore e della frequenza f : nel circuito equivalente rotorico ciò equivale a supporre che resti invariata sia la f. e. m. che la frequenza, e che aumenti invece la resistenza ohmica del rotore. Così, nel funzionamento a vuoto, il motore raggiunge la velocità di sincronismo e la corrente nel rotore si annulla, perché si annulla la f. e. m. indotta: nel circuito equivalente si suppone invece che la f. e. m. E (1) resti invariata, ma che diventi infinita la resistenza di carico R(s); per s = 0 si ha infatti 1 s R( s ) = R = s Si può dire così che il motore asincrono funzionante a vuoto si comporta come un trasformatore statico a circuito secondario aperto. 1

22 Quando invece il rotore è immobile e si ha s = 1, la resistenza di carico diventa 1 s R( s ) = R = 0; s nel secondario non si ha in tali condizioni nessuna resistenza addizionale ma solo la resistenza propria dell'avvolgimento. Ciò vuol dire che il motore asincrono, col rotore immobile si comporta come un trasformatore statico chiuso in corto circuito. L'avvolgimento primario di questo trasformatore corrisponde al circuito equivalente di una fase dello statore dotata della propria resistenza ohmica e della reattanza di dispersione X 1, e alimentata alla tensione primaria V 1 come in fig.. La resistenza trasversale R 0 e la reattanza X 0 rappresentano infine, come nei trasformatori, gli elementi del circuito equivalente del motore che richiamano la corrente di perdita I a e la corrente magnetizzante I µ. Fig. - Circuito equivalente del motore asincrono.

23 Diagramma delle correnti al variare dello scorrimento. In base al circuito equivalente sopra definito è possibile stabilire come variano le correnti nel rotore e nello statore del motore asincrono at variare dello scorrimento s. Per rendere più semplice la deduzione si pone l'ipotesi di trascurare le cadute di tensione primarie. In tale ipotesi la tensione V 1 applicata ad una fase dello statore deve essere interamente equilibrata dalla f. e. m. E 1 : allora, se la tensione V 1 è mantenuta costante, anche la f. e. m. deve restare costante e perciò deve restare costante anche il flusso Φ, sia a vuoto che a carico. Si può inoltre supporre che le perdite meccaniche al rotore, determinate dalle resistenze passive di attrito e ventilazione, siano conglobate nelle perdite nel ferro statoriche. In base a questa ipotesi il funzionamento a vuoto del motore avviene alla esatta velocità di sincronismo, cioè con scorrimento s = 0 e con una corrente secondaria nulla. Corrispondentemente il primario assorbe la corrente I 0 che costituisce la corrente a vuoto del motore; questa è sfasata in ritardo rispetto alla tensione di un angolo ϕ 0 il cui coseno rappresenta il fattore di potenza a vuoto. Le componenti della corrente a vuoto I = I 0 sen( ϕ ), I a = I 0 cos( ϕ ) µ 0 0 in quadratura e in fase rispetto alla tensione V 1, rappresentano rispettivamente la corrente magnetizzante richiesta per la generazione del flusso induttore, e la corrente attiva richiesta per la compensazione delle perdite meccaniche e nel ferro (P m + P f ) nonché delle perdite per effetto Joule nella resistenza ohmica primaria (P j0 = 3 R 1 I 0 ). È chiaro infatti che la potenza P 0 = 3 V 1 I 0 cos(ϕ 0 ) 3

24 assorbita a vuoto dal motore, essendo nulla la potenza al rotore per l'assenza di qualsiasi coppia resistente, deve corrispondere alle sole perdite a vuoto P 0 = (P m + P f ) + P j0 Analogamente l'espressione Q 0 = 3 V 1 I 0 sen(ϕ 0 ) rappresenta la potenza reattiva a vuoto, principalmente connessa al campo rotante ed in piccola parte alla quantità Q 0 = 3 X 1 I 0 corrispondente al flusso disperso statorico dovuto alla corrente a vuoto I 0. La f. e. m. primaria E 1 è rappresentata a sua volta da un vettore uguale e opposto a V 1 (fig. 3) mentre la f. e. m. secondaria E (1), in fase con E 1, è definita dalla relazione E (1) = E 1 / m essendo m il rapporto di trasformazione del motore. Applicando all'asse una certa coppia resistente il motore rallenta e viene a funzionare con un certo scorrimento s. Corrispondentemente nel rotore viene a circolare una corrente I (s) definita in valore del rapporto E ( 1) I ( s ) = R + ( X ( 1) ) s e sfasata in ritardo rispetto alla f. e. m. dell'angolo ψ (s) definito da tan ( ψ ( s) ) = X ( 1 ) X ( 1) = s R R s 4

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