Espressioni Regolari

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1 Espressioni Regolari Le espressioni regolari sono costituite dalle stringhe sull alfabeto Σ = Σ {+,,*,(,),φ} ottenute secondo le seguenti regole: 1. φ e ciascun membro di Σ sono Epressioni Regolari 2. Se a,b sono Espressioni regolari anche (a + b) è un espressione regolare 3. Se a,b sono Espressioni regolari anche (a b) è un espressione regolare 4. Se a è un espressione regolare anche a* è un espressione regolare 5. Niente altro è un espressione regolare Un espressione regolare E denota un linguaggio L(E), dove L rappresenta una funzione da stringhe a linguaggi, pertanto: Es: data l espressione (a + b)*a si ha: L (φ ) = φ L( a ) = { a } L ( s + t) = L( s ) L( t ) L (s t) = L( s ) L( t ) L ( s*) = ( L( s ) )* L((a + b)*a) = L((a + b)*) L(a) = (L(a + b))* L(a)= (L(a) L(b))* {a} = ({a} {b})* {a} = {a, b}* {a} {x x {a, b}*, x termina con a}

2 Espressioni Regolari Le espressioni regolari sono costituite dalle stringhe sull alfabeto Σ = Σ {+,,*,(,),φ} ottenute secondo le seguenti regole: 1. φ e ciascun membro di Σ sono Epressioni Regolari 2. Se a,b sono Espressioni regolari anche (a + b) è un espressione regolare 3. Se a,b sono Espressioni regolari anche (a b) è un espressione regolare 4. Se a è un espressione regolare anche a* è un espressione regolare 5. Niente altro è un espressione regolare SINTASSI Un espressione regolare E denota un linguaggio L(E), dove L rappresenta una funzione da stringhe a linguaggi, pertanto: L (φ ) = φ L( a ) = { a } L ( s + t) = L( s ) L( t ) L (s t) = L( s ) L( t ) L ( s*) = ( L( s ) )* SEMANTICA (data per induzione strutturale) Linguaggio delle espressioni regolari su Σ : è un Metalinguaggio per descrivere linguaggi su Σ

3 Costruzione di espressioni regolari 1 Ex: Espressione regolare per stringhe che constano di 0 e 1 alternati Es Istanze e 1 rappresentano i linguaggi L( 0 ) = { 0 }, L( 1)= { 1} rappresenta il linguaggio L(0 1) = { 0 1} (0 1 )* rappresenta il linguaggio L((0 1)*) = { } (1 0)* rappresenta il linguaggio L((1 0)*) = { } (0 1)* + (1 0)*? La soluzione è: (0 1)* + (1 0)* + 0(1 0)* + 1(0 1)* Oppure, considerato che: L(ε + 1) = L( ε ) L( 1) = {ε } {1} = {ε, 1} Si ha ( ε + 1) (0 1)* (ε + 0)

4 Costruzione di espressioni regolari 2 Regole di precedenza tra gli operatori: * precede precede + Ex: a + b* c è equivalente a a + (( b )*) (c )) Ex: (hot + cold)(apple + blueberry + cherry)(pie + tart) rappresenta le dodici possibili stringhe date da: hot apple pie hot apple tart.. cold cherry pie cold cherry tart

5 Costruzione di espressioni regolari 3 Stringhe di a e di b (a + b)* Stringhe con almeno due a Stringhe con almeno due b (a + b)* a a (a + b)* (a + b)* b b (a + b)* Stringhe contenente le sottostringhe aa bb (a + b)* a a (a + b)* + (a + b)* b b (a + b)* Stringhe in cui coesistono un numero pari di a e di b ( aa + bb )*((ab + ba)(aa + bb)*(ab + ba)(aa + bb)*)*

6 Costruzione di espressioni regolari 4 Indicando con d uno dei possibili digits {0, 1, 2,,9} --possiamo esprimere il sotto linguaggio dei digits come d = ( ) Quale linguaggio produce l espressione: ( ε) d d*? Ricordando che d + = dd* il linguaggio prodotto è + d d + + d + Ovvero il linguaggio degli interi con o senza segno (ad es. +124, -45, 78) Esercizio: rappresentare con un espressione regolare il linguaggio delle costanti in virgola mobile con segno. ( ε) (d +. d* +. d + ) (ε + E ( ε) d + ) Notare la differenza tra +, simbolo dell alfabeto del linguaggio definito dall espressione regoalre, e +, simbolo del metalinguaggio delle espressioni regolari

7 Linguaggi Formali Poiché un linguaggio non può essere individuato mediante enumerazione vengono seguite strategie alternative per la loro caratterizzazione. Definizione -Consiste nella determinazione di un insieme di regole sì da individuare un particolare sottoinsieme di Σ*, tale regole costituiscono la grammatica del linguaggio. Riconoscimento - Consiste nel determinare una procedura che riconosca se una data stringa appartiene al linguaggio. [Non sempre questa procedura esiste]

8 Grammatica Una grammatica viene definita dalla quadrupla G = < V N,V T,P,S> Dove: V N - Insieme finito (non vuoto) di simboli detti Non Terminali (o variabili) V T - Insieme finito (non vuoto) di simboli detti Terminali V = V N V T, V N φ, V T φ, V N V T =φ S - Simbolo distinto o Assioma del Linguaggio S V N P - Insieme di Produzioni o Regole di Riscrittura Una produzione è una coppia <u,v> con u V + e v V* e si indica u v Le produzioni P possono essere viste anche come una relazione binaria su V* V N V* V*

9 Processo di generazione Generazione Diretta (o derivazione diretta) Dati x, y V* si dirà x produce direttamente y, e si indica con x y, se u, v V* t.c. x = r u w, y = r v w ed una produzione (u v) P Rappresenta una relazione binaria su V* V N V* V* Generazione (derivazione) Dati x, y V* si dirà che x genera y e si indica con x *y se esiste una sequenza di generazioni dirette Ovvero x = x 1 x 2 x 3 x n = y per n 0 x + y se la sequenza è valida per n > 0 * Rappresenta la chiusura riflessiva e transitiva di

10 Linguaggio Formale 1 Data una Grammatica G= < V N, V T,P,S> si definisce Linguaggio Formale generato da G l insieme delle stringhe w così definito L(G) = {w V T * : S + w} Ex: linguaggio L(G 0 ) per generare stringhe palindrome G 0 = < {S}, {a,b}, {P}, {S} > [si confronti questa definizione con quella precedentemente indicata con (**)] Con regole di produzione P: 1. S asa 2. S bsb 3. S a 4. S b 5. S ε Esprimibile anche Esempi di stringhe palindrome ε, a, b,aa,bb,aba,bab, aaa, bbb,.. S asa bsb a b ε