Espressività e limitazioni delle grammatiche regolari

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1 Espressività e limitazioni delle grammatiche regolari Vantaggi: Le grammatiche regolari consentono di esprimere una significativa classe di linguaggi: linguaggi con un numero di sequenze infinito grazie all operatore, sufficienti e utili in molti ambiti, operatori potenti che esprimono la struttura delle frasi Limitazioni: non sono abbastanza potenti per esprimere la sintassi dei linguaggi di programmazione. la restrizione è sulle produzioni che devono essere tali da rispettare un ordinamento totale dei simboli non terminali. Formalmente A > B se A compare a destra nella produzione di B cioè B := E {A A V A>B} Λ Sono vietate le produzioni ricorsive ovvero produzioni in cui il simbolo non terminale che compare a sinistra della produzione, compare anche a destra, del tipo A ::=...A..., ma anche produzioni mutuamente ricorsive, del tipo A ::=...B..., B ::=...A... E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 1

2 Le grammatiche libere da contesto Nelle grammatiche libere da contesto, l espressione che compare a destra del ::= è una sequenza di simboli terminali o non terminali. Tali grammatiche che hanno apparentemente delle produzioni più semplici delle grammatiche regolari, sono in realtà più potenti delle grammatiche regolari. Vediamo un esempio: {a, b, c}, {S}, S, {S ::= a S b, S ::= c} è una produzione corretta, notare l occorrenza a destra del ::= del non terminale che compare a sinistra, (ricorsione) ma... Cosa significa? Quale linguaggio denota L(S)? Il significato delle produzioni e quindi il linguaggio definito dalla grammatica possono essere ottenuti con la relazione E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 2

3 Definizione della relazione La relazione permette data una sequenza di simboli terminali e non terminali della grammatica di derivare una nuova sequenza di simboli. Formalmente, data una grammatica libera G = Λ, V, S, P, si definisce nel seguente modo: {(s 1...s k A s k+1...s n s 1...s k s h...s j s k+1..s n ) A V s i Λ V A ::= s h...s j P} In pratica il simbolo non terminale A che compare in una sequenza viene rimpiazzato con la sequenza di simboli che compare a destra di una produzione di A nella grammatica. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 3

4 Esempi di derivazioni Data la grammatica precedente: G = {a, b, c}, {S}, S, {S ::= asb, S ::= c}, possiamo derivare: per S S c utilizzando la produzione S ::= c S asb utilizzando la produzione S ::= asb per asb asb acb utilizzando la produzione S ::= c asb aasbb utilizzando la produzione S ::= asb per aasbb aasbb aaacbbb utilizzando la produzione S ::= c aasbb aaasbbb utilizzando la produzione S ::= asb per aaasbbb ecc. aaasbbb aaaacbbbb utilizzando la produzione S ::= c aaasbbb aaaasbbbb utilizzando la produzione S ::= asb E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 4

5 Definizione della relazione La relazione è la chusura transitiva della relazione. Formalmente, data una grammatica libera G = Λ, V, S, P, si definisce nel seguente modo: {(α β) α, β (Λ V ) δ (Λ V ) α δ δ β} Notare che da α δ derivazione in un passo, ma da δ β quindi un numero non precisato di passi In questo modo, le stringhe che risultano in relazione sono tutte quelle che si riescono a derivare in un numero qualsiasi di passi semplici di derivazione. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 5

6 Definizione del linguaggio di una grammatica libera Data una grammatica libera G = Λ, V, S, P, il linguaggio di una categoria sintattica A è l insieme di sequenze di simboli costituite da soli simboli terminali che si possono derivare da A. Formalmente: L(A) = {α α Λ A α} il linguaggio della grammatica G è coincide con il linguaggio del simbolo distinto: L(G) = L(S) E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 6

7 I linguaggi definiti dalle grammatiche libere da contesto Riprendiamo la grammatica libera G = {a, b, c}, {S}, S, {S ::= asb, S ::= c} e cerchiamo di capire come sono fatte le sequenze che compongono L(G). Abbiamo derivato {c, acb, aacbb, aaacbbb, aaaacbbbb...} Risulta evidente che le stringhe hanno le stesso numero di a e di b. e cioè sono l insieme L(G) = {a n cb n n N }. Un tale linguaggio non è esprimibile utilizzando una grammatica regolare. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 7

8 Osservazioni Le derivazioni semplici o in più passi possono iniziare da una stringa qualunque, in questo caso, la stringa risultante non è o comunque non è detto che sia una stringa appartenente al linguaggio della grammatica. Vediamo un esempio, se inizio con la stringa acbcsccc acbcsccc acbccccc con la produzione S ::= c acbcsccc acbcasbccc con la produzione S ::= asb ancora riducibile: acbcasbccc acbcacbccc con la produzione S ::= c ecc. La relazione è tra stringhe che contengono simboli non terminali. Il linguaggio è costituito da stringhe composte tutte di simboli terminali, a cui pertanto non è più applicabile alcuna derivazione. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 8

9 Esempio delle espressioni aritmetiche Scriviamo una grammatica il cui linguaggio sono le sequenze di simboli che rappresentano espressioni aritmetiche, costanti cioè in cui gli operandi sono costanti intere. G = Λ, V, Exp, P Λ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, +,, /, (, )} V = {Int,Nat Cifra, Segno, Op,Exp P = {Exp ::= Int, Exp ::= Exp Op Exp, produzione ricorsiva Exp ::= (Exp) produzione ricorsiva Op ::= +, Op ::=, Op ::=, Op ::= /, Int ::=... le produzioni della grammatica per i numeri interi già vista, convertite opportunamente per essere inserite in una grammatica libera. } E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 9

10 Confronto tra grammatiche regolari e libere Le grammatiche regolari: definiscono una classe di linguaggi strettamente inclusa nella classe definita dalle grammatiche libere. definiscono linguaggi per i quali è possibile definire un ASFD che riconosca le sequenze appartenenti al linguaggio. contengono 2 importanti sottoclassi che sono le grammatiche lineari destre e sinistre. Le grammatiche libere ammettono produzioni ricorsive, ma non gli operatori delle espressioni regolari, non è possibile definire un ordinamento tra i simboli non terminali della grammatica. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 10

11 Conversione da grammatica regolare a grammatica libera Se i linguaggi definiti dalle grammatiche regolari sono inclusi nei linguaggi definiti dalle grammatiche libere allora data una grammatica regolare G R posso definire una grammatica libera equivalente G L, ovvero tale che L(G R ) = L(G L ). Dobbiamo eliminare dalle produzioni gli operatori e delle espressioni regolari, vediamo come: alternatore Data una produzione per il non terminale A, del tipo A ::= e 1 e 2 vengono definite due produzioni per A nel seguente modo: A ::= e 1, A ::= e 2 star Le occorrenze dell operatore ovvero e possono essere eliminate quando la grammatica contiene un simbolo non terminale la cui unica produzione è A ::= e. In questo caso la produzione per il non terminale A,può essere sostituita da 2 produzioni la prima è A :: ɛ, per la seconda, che deve essere ricorsiva, abbiamo 2 alternative A ::= A e oppure A ::= e A. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 11

12 Conversione da grammatica regolare a grammatica libera - continua Se le produzioni della grammatica non si trovano nella forma richiesta dalle regole precedenti è sempre possibile riportarle in tale forma introducendo dei nuovi simboli non terminali. Vediamo qualche esempio generale: La produzione A ::= e 1 (e 2 e 3 )e 4 : deve essere riscritta introducendo un nuovo non terminale A 1 e ottenendo cosi le produzioni A ::= e 1 A 1 e 4, A 1 ::= e 2 e 3 A questo punto è possibile applicare la regola per l eliminazione dell alternatore alla produzione di A 1 ottenendo A 1 ::= e 2, A 1 ::= e 3. Un altro caso generale è dato dalle produzione: A ::= e 1 e 2 : devono essere riscritte in A ::= A1, A ::= A 2, A 1 ::= e1, A 2 ::= e2 a questo punto è possibile applicare la regola 2 alle produzioni dei non terminali A 1 e A 2. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 12

13 Conversione da grammatica regolare a grammatica libera - esempio Il processo di riscrittura delle produzioni può richiedere diversi passi: Ad esempio, data la grammatica regolare G ::= Λ, V, A, P con Λ = {a, b, c, d} V = {A} P = {A ::= aa(aa) (b c )aa(aa) } È necessario riscrivere P in {A ::= A 1 A 2 A 1, A 1 ::= aa(aa), A 2 ::= b c } e ancora {A ::= A 1 A 2 A 1, A 1 ::= aaa 3, A 3 ::= (aa), A 2 ::= A 4 A 5, A 4 ::= b, A 5 ::= c } e applicando le regole {A ::= A 1 A 2 A 1, A 1 ::= aaa 3, A 3 ::= ɛ, A 3 ::= (aa)a 3, A 2 ::= A 4, A 2 ::= A 5, A 4 ::= ɛ, A 4 ::= ba 4, A 5 ::= ɛ, A 5 ::= ca 5 } Una semplificazione può essere applicata alle produzioni: A ::= ee che possono essere trasformate direttamente nelle produzioni A ::= e, A ::= ea oppure A ::= e, A ::= Ae, anzicchè introdurre un simbolo non terminale aggiuntivo. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 13