Compito di Fisica Generale I del 10/06/ C.d.L. Ing. Civile.

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1 ompito di Fisica Generale I del 10/06/ d.l. Ing. ivile. Un sistema è costituito da un disco omogeneo di centro, con raggio r = 18 cm e massa M = 4m = 4.8 Kg, su cui è saldata, in direzione radiale, una sbarra sottile ed omogenea di estremi A B (A ), lunghezza r e massa m = 1.2 Kg. Esso è appoggiato, in modo tale da poter ruotare in un piano verticale, su due sostegni cilindrici paralleli e D, di raggio trascurabile, disposti in uno stesso piano orizzontale a distanza D = b = 2 r. Fra il sostegno e il disco vi è attrito, caratterizzato da un coefficiente µ = 0.08, mentre l attrito è assente fra il sostegno D e il disco. La configurazione del sistema è individuata mediante l angolo φ che la sbarra B forma con la verticale discendente, misurato positivamente in verso antiorario. 1) Determinare l angolo massimo che può assumere l angolo φ con il sistema fermo in una configurazione di equilibrio. 2) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla posizione in cui φ = β = π/4. Determinare l accelerazione angolare del sistema nell istante iniziale. 3) Nell istante in cui il sistema, ruotando in verso orario con velocità angolare ω 0 = 50 rad/s, passa per la posizione φ = - π/4 viene applicato al suo bordo, in direzione radiale, un impulso di modulo J = 140 Ns. Determinare la velocità angolare del sistema, immediatamento dopo l applicazione dell impulso, nel caso in cui esso abbia le seguenti direzioni: a) da a D ; b) da a. 4) Nel caso in cui sia nullo l attrito in determinare: a) il periodo delle piccole oscillazioni del sistema; b) l ampiezza massima di oscillazione sapendo che in corrispondenza dell angolo φ = γ = 0.03 rad la velocità angolare del sistema vale ω* = 0.05 rad/s. 5) Nell istante in cui il sistema passa per la posizione corrispondente a φ = 0 e sta ruotando in verso orario con velocità angolare ω 0 = 9 rad/s la sbarra AB si stacca dal disco. Determinare: a) dopo quanti giri il disco si ferma; b) la posizione, ripetto ad, del centro di massa della sbarra nell istante in cui il disco si ferma.

2 φ Β D D J D J D Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 10/06/10. -.d.l. Ing. ivile. 1) sinφ < 5µ2 0.5 φ = 0.60 rad = ) α = 3g(10µ-1)/(2 0.5 r (14-3µ)) α = 1.68 rad/s 2 3) a) ω = ω 0 b) ω = -( ω 0-3µJ/7mr) ω = rad/s 4) a) T = 2π/Ω = 2π(14r/3g) 0.5 T = 1.84 s b) φ 0 = [γ 2 + (ω*/ω) 2 ] 0.5 φ 0 = rad = ) a) n = rω 02 /4πµg2 0.5 n = b) x = - 2πnr x = m y = -r/2 2g(2πn/ω 0 ) 2 y = m

3 Prova scritta di Fisica Generale I del 29/06/10. -.d.l. Ing. ivile. Una gru rudimentale è costituita da un palo, di lunghezza L = 3l/2 = 12m e massa m = 200 Kg (supposto omogeneo e di dimensioni trasversali trascurabili rispetto ad L) imperniato in su di un asse orizzontale che gli consente di muoversi in un piano verticale; la posizione del palo è individuata tramite l angolo φ che esso forma rispetto all orizzontale, misurato positivamente in verso antiorario. L angolo φ viene cambiato mediante una fune collegata al punto B del palo, a distanza B = l = 8m, avvolta al tamburo di un argano A che si trova sullo stesso piano orizzontale di a distanza da esso A = B = l. All estremo è appeso, tramite una fune di lunghezza fissa b = 2 m, un corpo P, supposto puntiforme, di massa M = 350 Kg che pende liberamente lungo la verticale. 1) Determinare la tensione della fune applicata a B e la forza vincolare in quando la gru è ferma nella posizione corrispondente a φ = β = π/3. 2) Per un angolo generico φ e supponendo la fune P posta lungo la verticale, esprimere in termini della velocità e dell accelerazione angolare del palo : a) le componenti orizzontale e verticale della velocità e della accelerazione di P ; b) le componenti normale e tangente alla traiettoria della velocità e della accelerazione di P. 3) Quando la gru è ferma nella posizione corrispondente a φ = γ = π/6 il motore dell argano viene messo in moto imprimendo istantaneamente al palo una velocità angolare ω = 0.1 rad/s (in verso antiorario). Determinare l impulso applicato ad esso in B dalla fune in corrispondenza della messa in moto del sistema. 4) Quando la gru è ferma nella posizione corrispondente a φ = β = π/3 viene tagliata la fune collegata a B e il sistema inizia a cadere verso basso. Determinare nell istante iniziale, immediatamente dopo il taglio, la tensione della fune a cui è appeso il corpo P. 5) Quando la gru è ferma nella posizione corrispondente a φ = β = π/3 viene tagliata la fune collegata a B e il sistema inizia a cadere verso basso. Determinare la velocità di P quando esso urta il piano orizzontale passante per, supponendo che P rimanga verticale (ossia che la velocità relativa di P rispetto a sia trascurabile). B φ P A φ P

4 Soluzione del compito di Fisica Generale I del 29/06/10. -.d.l. Ing. ivile. 1) T = 3gcosφ( M + m/2)/2sinφ/2 T = 6615 N S x = Tcosφ/2 S x = 5729 N S y = Tsinφ/2 + (M + m)g S y = 8697 N 2) a) v x = -3lsinφ ω/2 v y = 3lcosφ ω/2 a x = -3l(sinφα + cosφ ω 2 )/2 a y = 3l(cosφ α sinφω 2 )/2 b) v = 3lω/2 a t = 3lα/2 a n = -3lω 2 /2 3) J = 3l( m + 3Mcos 2 γ )ω/4sinγ/2 J = 6237 Ns 4) T = mmg(2 3cos 2 β)/2(m + 3Mcos 2 β) T = 927 N 5) v 2 = 9gl(sinβ 2b/3l)(m + 2M)/2(m + 3M) v = 13.3 m/s

5 Prova scritta di Fisica generale I del 15/07/10. -.d.l. Ing. ivile. Un sistema di posizionamento verticale è costituito da una ruota di raggio r = 1.75 cm e massa m = 0.05 Kg, imperniata nel suo centro su di un asse orizzontale privo di attriti, e schematizzata come un disco omogeneo ; essa è a contatto con un asta di massa M = Kg disposta lungo la verticale. Il contatto, a frizione, fra disco e asta è caratterizzato da un coefficiente di attrito µ = 0.4 ed è assicurato da una forza F che spinge l asta contro il disco agendo, dal basso verso l alto, lungo una retta che forma un angolo φ = π/6 rispetto alla normale all asta e applicata nel punto B dell asta che si viene a trovare in corrispondenza del piano orizzontale passante per. ( N.B. se l asta, come si suppone, è perfettamente allineata lungo la verticale il suo moto è una pura traslazione verticale) 1) Il sistema è fermo sotto l azione di una coppia di forze M applicata alla ruota in verso orario. Determinare all equilibrio: a) il valore massimo e minimo che può avere la forza F ; b) il massimo valore che puo avere il momento della coppia di forze M. In tutte le successive domande la forza applicata vale F = 1.5 N. 2) Il sistema si muove sotto l azione di una coppia di forze costante M applicata alla ruota in verso orario. Determinare il massimo valore di M per cui non vi è strusciamento fra asta e ruota. 3) Il sistema, inizialmente fermo, si muove sotto l azione di una coppia di forze M = Nm applicata alla ruota in verso orario. Determinare la velocità acquisita dall asta dopo un numero di giri n = 3 nell ipotesi che fra ruota ed asta non vi sia strusciamento. 4) on il sistema inizialmente fermo, si applica alla ruota una coppia di forze impulsivem che imprime ad essa, in verso orario, una velocità angolare iniziale ω 0 = 90 rad/s. Determinare dopo quanto tempo si raggiunge uno stato di moto in cui non vi sia strusciamento fra ruota ed asta. 5) Quando il sistema è fermo in una posizione di equilibrio, l asta viene urtata in B in modo completamente anelastico da una massa m* = Kg che si muove verso l alto con una velocità v 0 = 24 m/s che forma un angolo γ = π/3 rispetto alla normale all asta. Supponendo che durante l urto non vi sia strusciamento fra ruota e asta determinare la velocità dell asta al termine della collisione. B B φ F γ v 0 m*

6 Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 15/07/10. -.d.l. Ing. ivile. 1) a) Mg/(sinφ+µcosφ)< F < Mg/sinφ 1.39 N < F < 2.35 N b) M < µrfcosφ ( µmgr/(tgφ + µ) ) M < Nm 2) M < [ F(2µcosφ + (sinφ+µcosφ)m/m) - mg]r/2 M < Nm 3) v 2 = 8πn[M + r(fsinφ Mg)]/(m + 2M) v = 0.63 m/s 4) t = Mω 0 r/[ F(sinφ+µcosφ(1+2M/m)) - Mg] t = s 5) v = m*v 0 sinγ/(m + m/2 + m*) v = 7.08 m/s

7 Prova scritta di Fisica generale I del 06/09/10. -.d.l. Ing. ivile. Due masse masse puntiformi m = 0.4 kg vengono saldate agli estremi A e di due sbarre identiche, sottili ed omogenee, AB e D di massa M = 4m = 1.6 kg e lunghezza 2l = 0.8 m. Le due sbarre sono imperniate liberamente nel loro centro su di un comune asse orizzontale e possono ruotare in due piani verticali adiacenti senza interferire l una con l altra. Gli estremi B e D, posti al di sotto di, sono collegati tramite un elastico di costante elastica K = 10 N/m e lunghezza a riposo trascurabile. Si suppone che il sistema delle due aste mantenga sempre, rispetto alla verticale passante per, una configurazione simmetrica; questa viene individuata tramite l angolo φ, misurato positivamente in verso antiorario, che l asta AB forma rispetto alla verticale discendente. 1) Determinare: a) le configurazioni di equilibrio del sistema; b) determinare quali di esse sono stabili. 2) Determinare il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno alla posizione corrispondente a φ = 0. 3) Il sistema viene abbandonato, da fermo, dalla posizione corrispondente a φ = β = π/3. Determinare la massima velocità angolare raggiunta dalle due sbarre. 4) Il sistema viene abbandonato, da fermo, dalla posizione corrispondente a φ = β = π/3. Determinare le componenti della forza vincolare esercitata dal perno sulla sbarra AB nell istante iniziale. 5) Una massa puntiforme m* = 7m = 2.8 Kg, che si muove lungo l orizzontale con velocità costante v 0 = 15 m/s, urta in modo completamente elastico la sbarra AB, disposta verticalmente, con il sistema fermo nella posizone corrispondente a φ = 0, e al termine dell urto m* risulta ferma. Determinare: a) la velocità angolare acquisita dall asta AB; b) la distanza da che deve avere il punto di impatto P con l asta AB affinché m* si arresti al termine dell urto. A A m* v0 P φ D B B

8 Soluzioni del compito di Fisica generale I del 06/09/10. -.d.l. Ing. ivile. 1) a) φ = 0 φ = π cos φ = mg/2kl ( 1) φ = rad = b) φ = 0 stabile φ = π stabile cos φ = mg/2kl instabile 2) T = 2π[7ml/3(2Kl-mg)] 0.5 T = 1.9 s 3) ω 2 = 3(3Kl 2mg)/14ml ω = 2.36 rad/s 4) S t = (16mg + 5Kl)/7 S t = N S n = (5mg 3Kl)/2 S n = 3.8 N 5) a) ω = (v 0 /l )3 0.5 ω = rad/s b) b = l /3 0.5 b = 23.1 cm

9 Prova scritta di Fisica Generale I del 20/12/10 -.d.l. Ing. ivile. Una sbarra B, sottile ed omogenea, di lunghezza l = 40 cm e massa m = 1.2 Kg poggia con l estremo su un piano orizzontale scabro; il coefficiente di attrito fra sbarra e piano è indicato con µ = 0.3 e l angolo che la sbarra forma col piano orizzontale, misurato positivamente in verso orario, è indicato con φ. 1) La sbarra è mantenuta ferma, in una configurazione corrispondente a φ = β < π/2 da una forza orizzontale F applicata nell estremo B. Determinare: a) l angolo minimo per cui l equilibrio è possible; b) il valore massimo e minimo di F per cui si può avere l equilibrio. 2) Sotto l azione della forza orizzontale F, applicata nell estremo B, la sbarra trasla formando un angolo φ = β = π/6 col piano e mantenendo sempre l estremo a contatto con esso. Determinare la sua accelerazione. 3) La sbarra trasla, mantenendosi sempre a contatto col piano, sotto l azione di una forza orizzontale S = 8.2 N applicata nell estremo B. Determinare: a) la distanza da essa percorsa quando la sua velocità passa da v 0 = 1. 3 m/s a v = 3.3 m/s ; b) il tempo impiegato. 4) La sbarra, una volta rimossa la forza F che la manteneva in equilibrio nella posizione φ = β = π /6, inizia a muoversi. Determinare se nell istante iniziale l estremo scivola o meno sul piano orizzontale. 5) Mentre la sbarra B sta traslando lungo l orizzontale con velocità v 0 = 3 m/s, con una configurazione in cui φ = β = π/6, l estremo urta, in modo completamente anelastico, lo spigolo inferiore di un gradino. Determinare: a) la velocità angolare dell asta al termine dell urto; b) le componenti dell impulso agente in. F B φ v 0 β

10 Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 20/12/10. -.d.l. Ing. ivile. 1) a) tgφ > 1/2µ φ > 1.03 rad = b) 0 < F < µmg 0 < F < 3.52 N 2) a = g( 1/tgφ 2µ ) a = m/s 2 3) a) L = m(v 2 v 2 0 )/2(S-µmg) L = 1.18 m b) t = 2L/(v + v 0 ) t = 0.51 s 4) f = 3mgsin(2β) /8 > µn = µmg(1 3cos 2 β /4) 5) a) ω = 3v 0 sinβ /2l ω = rad/s b) J x = mv 0 (1 3sin 2 β /4) J x = Ns J y = 3mv 0 sin(2β) /8 J y = 1.17 Ns

11 Prova scritta di Fisica Generale I del 08/ 02/11. -.d.l. Ing. ivile. Una sbarra A, sottile ed omogenea, di lunghezza 2l = 60 cm e massa 2m = 5 Kg è imperniata liberamente nel suo centro su di un asse orizzontale; nel suo estremo superiore A è incernierata una seconda sbarra AB, sottile ed omogenea, di lunghezza l = 30 cm e massa m = 2.5 Kg il cui estremo B poggia su una guida orizzontale liscia posta alla stessa quota di. Il sistema è relizzato in modo che le due sbarre possano muoversi, nei rispettivi piani verticali, senza interferire l una con l altra. La posizione della sbarra A è indiduata dall angolo φ che A forma rispetto alla verticale ascendente, misurato positivamente in verso orario. 1) Il sistema costituito dalle due sbarre è mantenuto fermo in una configurazione in cui φ = β mediante l applicazione all estremo B di una forza orizzontale F = 12 N. Determinare il valore di β. 2) Il sistema costituito dalle due sbarre viene fatto muovere in modo che la velocità v B dell estremo B risulti costante. Determinare in funzione dell angolo φ : a) l accelerazione angolare di A ; b) l accelerazione del centro di massa della sbarra AB. 3) Il sistema costituito dalle due sbarre, fermo nella configurazione in cui φ = γ = π/3, inizia a muoversi sotto l azione di una forza orizzontale costante F = 25 N applicata all estremo B in direzione di. Determinare la velocità angolare della sbarra A quando passa per la posizione corrispondente a φ = 0. 4) Il sistema costituito dalle due sbarre viene fatto muovere in modo che la velocità v B dell estremo B risulti costante mediante l applicazione alla sbarra A di una coppia di forze M. Determinare in funzione dell angolo φ il valore della coppia M. 5) Nell istante in cui passa per la posizione corrispondente a φ = 0, con velocità angolare dell asta A ω = - 21 rad/s (quindi A sta ruotando in verso antiorario), il sistema subisce un urto anelastico che blocca l asta A e lascia libera di ruotare l asta AB. Determinare immediatamente dopo l urto: a) la velocità angolare dell asta AB; b) l impulso agente su di essa in A. A A A φ β F B B B

12 Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 08/02/11. -.d.l. Ing. ivile. 1) tgβ = 4F/mg β = 1.10 rad = ) a) α = (v B /2l) 2 sinφ/(cosφ) 3 b) a Gx = 0 a Gy = - (v B 2 /8l)/(cosφ) 3 3) ω 2 = 4Fsinγ/3ml g(1-cosγ)/3l ω = 5.75 rad/s 4) M = -mglsinφ/2 + mv B 2 sinφ/(cosφ) 3 5) a) ω = 5 ω 0 /2 ω = 52.5 rad/s b) J Ax = ml ω 0 /4 J Ax = 3.94 Ns J Ay = 0

13 Prova scritta di Fisica Generale I del 22/02/ d.l. Ing. ivile. sistema Un è costituito da un disco omogeneo di massa M = 8m = 20 Kg, raggio R = 2r = 20 cm e centro su cui è saldata una sbarra B, sottile ed omogenea, di massa m = 2.5 Kg e lunghezza l = 8r = 80 cm al cui estremo è fissato un secondo disco di centro B massa 4m = 10 Kg e raggio r = 10 cm. Il sistema è imperniato liberamente in su di un asse orizzontale e la sua posizione è individuata dall angolo φ che B forma rispetto alla verticale discendente, misurato positivamente in verso antiorario. 1) Sistema è mantenuto fermo nella posizione corrispondente a φ = β = 3π/4 da un piolo P posto a distanza 3l /4 da. Determinare: a) la forza vincolare in P ; b) la forza vincolare nel pernio. 2) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla posizione corrispondente a φ = γ = 2π/3. Determinare la sua velocità angolare quando passa per la posizione φ = 0 nel caso: a) in cui il disco piccolo è saldato rigidamente all asta B; b) in cui il disco piccolo è imperniato in B e può ruotare liberamente attorno ad un asse orizzontale passante per esso. 3) Determinare il periodo delle piccole oscillazioni del sistema nel caso: a) in cui il disco piccolo è saldato rigidamente all asta B; b) in cui il disco piccolo è imperniato in B e può ruotare liberamente attorno ad un asse orizzontale passante per esso. 4) Il sistema, partendo da fermo dalla posizione φ = 0, viene fatto ruotare in verso antiorario con accelerazione angolare costante α = 2 rad/s 2. Nell istante in cui il sistema passa per la posizione φ = γ = 2π/3 determinare: a) le componenti della forza vincolare esercitata sul disco piccolo in B; b) il momento della coppia di forze vincolari agenti sul disco piccolo. (vviamente il disco piccolo è saldato rigidamente all asta B). 5) Il sistema, mentre ruota con velocità angolare ω 0 = 15 rad/s, va ad urtare con il disco piccolo (saldato rigidamente all asta B) un supporto orizzontale collocato alla stessa quota di. Supponendo l urto perfettamente elastico determinare: a) l mpulso fornito al supporto orizzontale; b) l impulso delle forze vincolari in. B P φ B

14 Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 22/02/ d.l. Ing. ivile. 1) a) S B = 6mgsinβ S B = 104 N b) S x = 6mgsinβcosβ S x = 73.5 Ν S y = mg(13-6sin 2 β) S x = 245 Ν 2) a) ω 2 = 162g/443r ω = 5.99 rad/s b) ω 2 = 81g/220r ω = 6.00 rad/s 3) a) T = 2π(443r/54g) 0.5 T = s b) T = 2π(440r/54g) 0.5 T = s 4) a) S Bn = - 4mgcosγ - 64mrαγ S Bn = 18 N S Bτ = 4mgsinγ + 32mrα S Bτ = 24.5 N b) M = 2mr 2 α M = 0.10 Nm 5) a) J = 1772mrω 0 /3(63) 0.5 J = 279 Ns b) J x = -9mrω 0 /2 J x = Ns J y = -J + 9(63) 0.5 mrω 0 /2 J y = -145 Ns