Elettrostatica nel vuoto

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1 Elettrostatica nel vuoto Come abbiamo visto nella parte di meccanica le forze sono o di contatto (attrito, pressione, forza elastica) o a distanza (gravitazione): osservazioni sperimentali hanno mostrato che esiste un altra forza a distanza che è detta elettrica. È evidenza sperimentale che: due oggetti della medesima sostanza dopo essere stati strofinati con un panno di lana se posti l uno vicino all altro si respingono. mentre se i due oggetti sono di sostanze diverse (es. plastica e vetro) si possono sia respingere che attrarre, a seconda delle sostanze (ad es. plastica e vetro si attraggono). Anche le forze di natura elettrica soddisfano il terzo principio della dinamica (principio di azione e reazione). In natura esistono due tipi diversi di cariche elettriche: per convenzione si dice che sostanze come il vetro, per strofinio con lana, acquistano carica positiva (sostanze vetrose) sostanze come l ambra per strofinio acquistano carica negativa (sostanze resinose). Cariche dello stesso segno si respingono mentre cariche di segno opposto si attraggono. I costituenti elementari della materia sono protoni, neutroni, elettroni le cui masse sono: m p = 1, kg m n = 1, kg m e = 9, kg m p

2 Per quanto riguarda le dimensioni, il diametro del protone e del neutrone è dell ordine di m, mentre l elettrone è puntiforme. Il protone ha carica elettrica positiva e l elettrone carica elettrica negativa, fra di loro uguali in valore assoluto. Fino ad oggi non è stata osservata alcuna carica elettrica che sia una frazione della carica del protone (o elettrone) che perciò può essere considerata come la carica elementare, cioè la carica elettrica si presenta come una grandezza fisica quantizzata. Il neutrone è elettricamente neutro. Gli atomi sono elettricamente neutri (la carica di un atomo è data dalla somma delle cariche dei protoni ed elettroni che costituiscono l atomo). Le sostanze si dividono dal punto di vista elettrico in materiali isolanti, in cui le cariche trasferite per strofinio rimangono localizzate, e materiali conduttori, in cui le cariche elettriche negative sono libere di muoversi all interno del corpo. L elettrizzazione di un corpo neutro può effettuarsi mediante contatto con un corpo carico o mediante induzione.

3 La legge di Coulomb L elettroscopio a foglie permette di dare una definizione operativa della grandezza fisica carica elettrica: due corpi hanno la stessa carica se avvicinati all elettroscopio producono la stessa deflessione delle foglioline metalliche; quando un corpo carico tocca un corpo uguale ma scarico, la carica si divide in parti uguali tra i due corpi; si può così suddivere la carica in un numero arbitrario di parti fino ad arrivare all unità di carica. In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene costante nel tempo. La legge che governa l attrazione e la repulsione delle cariche elettriche porta il nome di Coulomb che fu il primo a misurare quantitativamente le forze tra corpi carichi. Siano q 1 e q 2 due cariche puntiformi poste ad una distanza r nel vuoto, la forza F 21 che la carica q 2 subisce ad opera della carica q 1 è F 21 = k q 1q 2 r ˆr 2 12 r 12 = r ˆr 12 dove ˆr 12 è il versore che va dalla carica q 1 alla carica q 2. k è una costante di proporzionalità (positiva) il cui valore dipende dalle unità di misura. se q 1 e q 2 hanno lo stesso segno la forza è repulsiva se q 1 e q 2 hanno segno opposto la forza è attrattiva.

4 Nel SI l unità di carica è il Coulomb C, definito come quella carica che attraversa in un secondo un conduttore percorso dalla corrente di un Ampère (A). Nel SI k 1 = Nm2 12 C2 ε C 2 0 = N m 2 ε 0 = costante dielettrica del vuoto. La carica di un protone vale C, quindi 1C equivale alla carica di 6, elettroni. La legge di Coulomb è valida (esattamente) per cariche puntiformi. La legge di Coulomb è formalmente analoga a quella della gravitazione, con la carica elettrica al posto della massa: l unica differenza è che la massa è solo positiva e quindi la forza gravitazionale è sempre attrattiva. È utile confrontare le due forze per un elettrone e un protone posti alla distanza r 0 F g = Gm em p r 2 0 F e = ke2 r 2 0 F e F g = ke2 Gm e m p Il campo elettrico Supponiamo che in un punto dello spazio vi sia una carica Q; se in un altro punto (individuato dal vettore posizione r, rispetto a un certo sistema di riferimento) mettiamo un altra carica q 0 (carica di prova) su questa agisce una forza di natura elettrostatica. Il rapporto F /q 0 è indipendente da q 0 e viene detto campo elettrico generato nella posizione r dalla carica Q. E( r) E(x, y, z) = F q 0 (da un punto di vista concettuale la carica di prova q 0 deve

5 tendere a zero in modo che la perturbazione che essa genera sia trascurabile). Il campo esiste indipendentemente dalla carica di prova: noto il campo in un punto, la forza su una carica q posta in quel punto è data da F = q E. Le dimensioni del campo elettrico sono quelle di una forza divisa per una carica e l unità di misura è: Newton/Coulomb=Volt/metro (il Volt verrà introdotto in seguito). Il campo elettrico è un campo vettoriale: in ogni punto dello spazio è dato da un vettore, il cui modulo dà l intensità del campo in quel punto. Per rappresentare graficamente un campo elettrico si usano le linee di forza: in ogni punto il campo elettrico è tangente alla linea di forza che passa per quel punto. Inoltre, in ogni regione del campo viene disegnato un numero di linee di forza tale che la loro densità è proporzionale all intensità del campo. Le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative. Per ogni punto (tranne quelli in cui sono localizzate le cariche) passa una e una sola linea di forza. Il campo generato dalla carica puntiforme Q che supponiamo per semplicità posta nell origine ha la forma E( r) = 1 Q r 2 ˆr = 1 Q r 3 r

6 Il campo generato da una distribuzione discreta di cariche puntiformi è dato dalla sovrapposizione dei campi generati dalle singole cariche (ognuno calcolato come se solo una carica fosse presente): E = E 1 + E E k z x O r 1 +Q 2 +Q 1 r 2 P r E 1 E 2 y E = E 1 + E 2 Nel caso di due cariche puntiformi Q 1 e Q 2 poste in r 1 e r 2 il campo in P individuato dal vettore r è E( r) = 1 Q 1 r r 1 3( r r 1) + 1 Q 2 r r 2 3( r r 2) In termine delle componenti di r = (x, y, z), r 1 = (x 1, y 1, z 1 ), r 2 = (x 2, y 2, z 2 ) le componenti del campo elettrico sono E x (x, y, z) = 1 E y (x, y, z) = 1 E z (x, y, z) = 1 i=1,2 i=1,2 i=1,2 Q i (x x i ) [(x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2 ] 3/2 Q i (y y i ) [(x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2 ] 3/2 Q i (z z i ) [(x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2 ] 3/2

7 Esempio: campo generato da un dipolo elettrico Un dipolo è un sistema di due cariche puntiformi di carica di intensità Q ma di segno opposto separate da una distanza d. Supponiamo che le due cariche siano poste lungo l asse z simmetricamente rispetto all origine e calcoliamo il campo in un punto P dell asse y posto a distanza D dall origine (per simmetria il campo sarà uguale in tutti i punti del piano xy posti alla stessa distanza D dall asse z). +Q d 2 z r I campi generati dalle due cariche sono uguali in modulo e hanno direzione e verso indicata in figura x d 2 Q O D r θ θ E P E E + y E + = E = 1 Q r 2 ( ) 2 d r D Dalla figura, sin θ = d/2 r, quindi E = E + + E = 2 E + sin θ ˆk E = 1 Qd r 3 ˆk

8 Campo elettrico di distribuzioni continue di carica z x O r dτ r ρ P τ d E y Nel caso di una distribuzione continua di carica si considerano degli elementi infinitesimi di carica dq, si determina il campo prodotto da ciascun elemento e si somma (integra) su tutta la distribuzione di carica. Quando la carica è distribuita in un volume τ è conveniente introdurre la densità spaziale di carica ρ. La carica infinitesima dq contenuta nell elemento di volume dτ è dq = ρdτ ρ = dq dτ dimensioni: [ρ] = [Q] [L 3 ] quindi l unità di misura di ρ sono C/m 3. Il campo nel punto P, individuato da r, generato dalla carica infinitesima dq localizzata nel punto r vale d E( r) = 1 dq( r ) r r 3( r r ) Il campo totale si ottiene integrando su tutta la distribuzione di carica E( r) = 1 dq( r ) r r 3( r r ) = 1 τ τ ρ(x, y, z )( r r ) r r 3 dτ In generale ρ dipende da r : solo se ρ non dipende dalla posizione (i.e. ρ è uniforme) può essere portata fuori dall integrale.

9 z x O r ds r Σ σ P d E y Quando la carica è distribuita su di una superficie Σ si introduce la densità superficiale di carica σ. La carica infinitesima dq contenuta nell elemento di superficie ds è dq = σds σ = dq ds le dimensioni di σ sono: [σ] = [Q] [L 2 ] e nel SI si misura in C/m 2. E( r) = 1 dq( r ) r r 3( r r ) = 1 σ(x, y, z )( r r ) ds Σ r r 3 In generale σ varia da punto a punto. Σ z x O r dl r λ P Λ d E y Quando la carica è distribuita lungo una linea Λ si introduce la densità lineare di carica λ. La carica infinitesima dq contenuta nell elemento di linea dl è dq = λdl λ = dq dl le dimensioni di λ sono: [λ] = [Q] [L 1 ] e nel SI si misura in C/m. E( r) = 1 λ(x, y, z )( r r ) dl Λ r r 3 In generale λ varia da punto a punto. Calcoliamo i campi elettrici generati da particolari distribuzioni di carica.

10 Filo rettilineo indefinito uniformemente carico I due tratti di filo d l 1 e d l 2, simmetrici rispetto all origine e di modulo uguale a dl, hanno ciascuno una carica infinitesima dq = λdl e generano in P il campo d E = d E 1 + d E 2 +λ de 1 = de 2 = 1 λdl r 2 l O l d l 1 ˆn d l 2 r R θ θ P d E 2 d E 1 d E d E = (de 1 + de 2 ) cos θ ˆn = 1 2λdl cos θ ˆn r 2 dove r = R/ cos θ. L elemento di linea dl è legato all incremento di angolo dθ da: l = R tan θ dl = R dθ cos 2 θ Tutti i contributi al campo dei diversi dl sono diretti come ˆn, quindi anche il campo totale ha la stessa direzione E = de = λˆn cos θ λˆn π/2 cos 3 θ Rdθ dl = 2πε 0 0 r2 2πε 0 0 R 2 cos 2 θ = λˆn π/2 cos θdθ = λ 2πε 0 R 0 2πε 0 R ˆn E = λ 2πε 0 R ˆn campo del filo rettilineo Il campo è ortogonale al filo e dipende solo dalla distanza R dal filo stesso oltre che da λ. Questo risultato vale con una buona approssimazione anche per un filo finito ma solo in punti molto vicini al filo.

11 Spira circolare uniformemente carica Sia Q la carica totale della spira la densità di carica λ è λ x d de x E x P α r O R dl λ = Q 2πR Il campo infinitesimo in un punto dell asse della spira generato dalla carica infinitesima dq = λdl posta sull elemento dl è d E = 1 λdl r 2 ˆr de x = 1 λdl r 2 cos α Nella somma vettoriale dei diversi contributi al campo provenienti dai diversi d l solo la componente del campo lungo l asse x sopravvive E x = spira de x = 1 spira λdl r cos α = 1 λ cos α dl 2 r 2 spira = 1 λ cos α2πr = 1 Q cos α r 2 r 2 dove si è usato il fatto che α e r sono costanti e che l integrale sulla spira di dl dà la lunghezza della circonferenza. Questo risultato può essere espresso in termini della distanza x dal centro della spira: x = r cos α e r 2 = x 2 + R 2 e si trova: E = λr 2ε 0 x (x 2 + R 2 ) 3/2ˆx campo di una spira sull asse (dove ˆx è il versore dell asse della spira). Il campo di una spira uniformemente carica sull asse della spira è diretto lungo l asse.

12 Piano indefinito uniformemente carico Utilizziamo il risultato precedente per calcolare il campo generato da un piano indefinito uniformemente carico. Consideriamo nel piano una corona circolare di raggio R e spessore infinitesimo dr. La sua carica ed il campo infiniteσ dr R O ds ˆn r α x P d E simo da essa generato in P sono: dq = σds = σ 2πR dr de = 1 dq cos α ˆn r 2 = σ2πrdr cos α ˆn Integrando su R si ottiene il campo generato dal piano carico. Poichè ciascun de è diretto come ˆn, il versore normale al piano, anche il campo totale è normale al piano E(P ) = piano d E = σ 2ε 0 ˆn piano r 2 cos α RdR Se x è la distanza di P dal piano, dr è legato a dα da R = x tan α dr = x dα cos 2 α, inoltre r = x cos α E = σˆn 2ε 0 π/2 0 cos 3 α x 2 x 2 tan α dα cos 2 α = σˆn 2ε 0 r 2 π/2 0 sin αdα = σ 2ε 0 ˆn E = σ 2ε 0 ˆn campo di un piano uniformemente carico

13 La densità delle linee di forza è uniforme; per quanto riguarda il verso, le linee di forza sono uscenti dal piano se σ è positiva, entranti se σ è negativa. Questo risultato vale con una buona approssimazione anche per un disco di raggio finito ma solo in punti molto vicini al disco. Flusso di un campo vettoriale Consideriamo una superficie chiusa S immersa in una regione di spazio in cui il campo E è diverso da zero. Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie infinitesima ds è dφ( E) E ds = E ˆndS = EdS cos θ ds è il vettore il cui modulo è dato dall aera infinitesima ds, la direzione è perpendicolare all area e il verso è diretto verso l esterno della superficie ds = dsˆn Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S è Φ S ( E) E ds dove l integrale è esteso a tutta la superficie chiusa S. La legge (o teorema) di Gauss: Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie divisa per ε 0 Φ S ( E) S S E ds = 1 ε 0 Qint Il campo è prodotto da tutte le cariche, sia interne che esterne, ma il flusso dipende solo dalle cariche interne.

14 z E +Q z E ˆr +Q O y E O ˆr y x E E E x E Φ( E) = Q/ɛ 0 E Φ( E) = 0 La legge di Gauss è una conseguenza delle legge di Coulomb: la sua dimostrazione si basa sul fatto che il campo di una carica puntiforme è radiale e che la sua dipendenza dalla distanza è r 2. Quando la carica è interna dφ( E) = E ds = 1 Φ S ( E) = = 1 = 1 S q r2ˆr ˆndS q cos θds r2 q r 2dS n = q dω dφ( E) = 4π q dω = q ε 0 Quando la carica è esterna dφ 1 = 1 q r1 2 ds 1n = q dω dφ 2 = 1 q ds 2n = q dω r 2 2 ma dφ 1 < 0 mentre dφ 2 > 0 quindi Φ S ( E) = 0

15 Per una distribuzione continua di carica di densità ρ Φ S ( E) E ds = 1 ρ(x, y, z)dτ ε 0 S dove τ è il volume racchiuso dalla superficie S. La legge di Gauss è uno strumento molto utile per determinare E ma solo nei casi in cui la distribuzione di carica goda di particolari simmetrie ( es. sferica, cilindrica), perchè in questo caso l integrale di superficie è facilmente calcolabile. τ Applicazioni della legge di Gauss filo rettilineo indefinito uniformemente carico Per trovare il campo ad una distanza r dal filo prendiamo una superficie cilindrica S con asse sul filo di altezza L e raggio r. Per ragioni di simmetria il campo è diretto radialmente ed è costante in modulo su tutta la superficie laterale del cilindro. Le due basi del cilindro danno contributo nullo al flusso perchè ds è ortogonale al campo, rimane solo il contributo dalla superficie laterale Φ S ( E) = E(r) 2πrL Q int = λl (λ densità lineare di carica) E(r) 2πrL = λl ε 0 E(r) = λ 2πε 0 r

16 Piano indefinito uniformemente carico Prendiamo una superficie cilindrica S di area di base A e altezza D disposta simmetricamente rispetto al piano. Per simmetria il campo è diretto perpendicolarmente alle due superfici di base ed è in modulo uguale (poichè sono disposte simmetricamente). Inoltre la superficie laterale non contribuisce al flusso (ˆn al campo). Φ S ( E) = 2AE Q int = σa (σ densità superficiale di carica) E 2A = σa ε 0 E = σ 2ε 0 Sfera di raggio R uniformemente carica Per simmetria il campo è radiale e di modulo costante in tutti i punti a uguale distanza dal centro della sfera carica. Prendiamo una superficie sferica S di raggio r concentrica con la sfera carica Φ S ( E) = 4πr 2 E(r) Q int = Q r > R Q int = ρ 4 3 πr3 = Q ( r R) 3 r < R Q è la carica totale della sfera, ρ = Q/( 4 3 πr3 ) r > R 4πr 2 E(r) = Q E = 1 Q ε 0 r 2 r < R 4πr 2 E(r) = Q ( r ) 3 E = 1 Q ε 0 R R 3r

17 Il potenziale elettrico Su di una carica di prova q immersa in un campo elettrico E (generato da altre cariche) agisce una forza F = qe. Il lavoro del campo per spostare la carica q di un tratto dl è dl = F dl = qe dl. Il lavoro per spostare la carica da A a B L A B = B A dl = B A F dl = q Il lavoro per unità di carica L A B L q = B A E dl B A E dl Si può mostrare che il campo elettrostatico è conservativo, cioè il lavoro non dipende dal cammino seguito per andare da A a B ma solo dagli estremi. Ad esempio il lavoro fatto dal campo generato da una carica puntiforme Q posta nell origine su una carica di prova unitaria L A B = 1 B A Q r2ˆr dl L A B = Q B A dr r 2 = ˆr dl = dr Q ( 1 1 ) r A r B Si definisce: potenziale generato dalla carica puntiforme Q V (r) = 1 Q r + costante

18 Si ha perciò L A B = B A E dl = V (A) V (B) (vale in generale) il lavoro fatto dal campo per spostare una carica unitaria da A a B è pari alla differenza di potenziale tra A e B. Come per tutte le forze conservative si introduce un energia potenziale elettrostatica tale che il lavoro svolto dal campo su una carica q è pari alla variazione dell energia potenziale elettrostatica cambiata di segno: L A B = ql A B = (U B U A ) = U = q V Solo le variazioni di (energia) potenziale sono significative: quando tutte le cariche sono al finito, si fissa la costante nella definizione del potenziale in modo tale che V ( ) = 0, quindi in un punto P di coordinate (x, y, z) si ha V (x, y, z) = P E dl il potenziale in P è pari al lavoro fatto dal campo per portare la carica unitaria da P all infinito. Inoltre per una carica puntiforme Q posta nell origine degli assi il potenziale in un punto a distanza r da essa è V (r) = 1 Q r Unità di misura del potenziale [V ] = [Lavoro] [carica] = L unità di misura del campo elettrico Newton Coulomb = N m C m = Joule Coulomb Volt J C m = Volt m

19 Le linee di forza del campo elettrico sono sempre puntate nella direzione in cui il potenziale elettrico decresce, quindi quando una carica positiva si muove nel verso del campo elettrico l energia potenziale elettrica diminuisce. Superficie equipotenziale: è il luogo geometrico dei punti aventi lo stesso potenziale elettrico. Le superfici equipotenziali sono sempre ortogonali alle linee di forza del campo elettrico: infatti se il campo avesse una componente diversa da zero lungo una superficie equipotenziale compierebbe un lavoro non nullo per spostare una carica di prova sulla superficie stessa ma questo è in contraddizione col fatto che la variazione dell energia potenziale è nulla. Una famiglia di superfici equipotenziali, ognuna corrispondente a un diverso valore del potenziale, può essere usata per dare una descrizione del campo elettrico: il campo elettrico è più intenso nelle regioni in cui le superfici equipotenziali si addensano. Il potenziale di N cariche puntiformi Q i poste in r i (tutte al finito) in un punto r è V ( r) = 1 N i=1 Q i r r i e per distribuzioni continue di carica (tutta al finito) con densità ρ (o σ, λ, rispettivamente) V ( r) = 1 ρ(x, y, z )dτ, τ r r V ( r) = 1 σ(x, y, z )ds, V ( r) = 1 λ(x, y, z )dl r r r r Σ Λ

20 Energia potenziale di un sistema di cariche L energia potenziale di una carica puntiforme q situata in un punto P è U(P ) = q V (P ) ed è il lavoro fatto dal campo per portare la carica q da P all infinito. Questo è pari al lavoro fatto dall esterno per portare la carica q dall infinito in P. Possiamo quindi definire l energia potenziale di un sistema di cariche puntiformi come il lavoro fatto dall esterno per assemblare il sistema. Supponiamo di voler portare due cariche q 1 e q 2 nelle posizioni P 1 e P 2. Il lavoro fatto per portare la prima carica dall infinito in P 1 è nullo (non c è campo). Il lavoro fatto per portare la carica q 2 in P 2 in presenza della carica q 1 in P 1 è U(q 2 ) = q 2 V 1 (P 2 ) = q 2 1 q 1 r 12 = q 1q 2 r 12 dove V 1 (P 2 ) è il potenziale generato dalla carica q 1 in P 2. Per portare una terza carica q 3 in P 3 occorre fare un lavoro contro il campo generato da q 1 e q 2 U(q 3 ) = q 3 [V 1 (P 3 ) + V 2 (P 3 )] ( 1 q1 = q 3 + q ) 2 r 13 r 23 = 1 ( q1 q 3 + q ) 2q 3 r 13 r 23 L energia di interazione del sistema di tre cariche è U = U(q 2 ) + U(q 3 ) = 1 ( q1 q 2 + q 1q 3 + q ) 2q 3 r 12 r 13 r 23

21 Per un sistema di N cariche puntiformi N U = 1 q i q j N = 1 q 2 r 2 i V i ij i,j=1 i j dove V i è il potenziale nella posizione occupata da q i generato da tutte le altre cariche N q j V i = r ij j i Ricavare il campo dal potenziale elettrico Dalla definizione di differenza di potenziale V (A) V (B) = B A i E dl se A = (x, y, z) e B = (x + dx, y + dy, z + dz), cioè se A e B distano di un tratto infnitesimo dl = dx î + dy ĵ + dz ˆdz, la variazione del potenziale è dv = V (x + dx, y + dy, z + dz) V (x, y, z) = E dl = (E x dx + E y dy + E z dz) D altra parte dv = V V dx + x y confrontando le due relazioni si ha E x = V x, E y = V y, ( V E = x î + V y ĵ + V ) z ˆk dy + V z dz E z = V z V il campo elettrico è uguale al gradiente del potenziale elettrostatico cambiato di segno. (N.B. il campo è esprimibile come il gradiente di una funzione scalare perchè è un campo conservativo)