Elettrostatica II. Energia Elettrostatica (richiamo) Potenziale Elettrico. Potenziale di cariche puntiformi. Superfici equipotenziali.

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1 Elettrostatica II Energia Elettrostatica (richiamo) Potenziale Elettrico Potenziale di cariche puntiformi Superfici equipotenziali Condensatori Dielettrici

2 Energia potenziale di due cariche Si può dimostrare che la forza di Coulomb è conservativa e quindi esiste una energia potenziale elettrostatica. Consideriamo per semplicità una carica q 1 nel campo generato da un altra carica q 2 fissa nell origine. L energia potenziale si ricava dal lavoro fatto dalla forza elettrica fra r A e r B : U(r B ) U(r A ) = B A F d s ed ha la seguente espressione: U(r) = kq 1q 2 r Il risultato è analogo al caso della forza di gravità; l energia potenziale gravitazionale U(r) = GMm/r si riduce alla forma nota U = mgh sulla superficie della terra

3 Energia potenziale elettrostatica II Nel caso in cui abbiamo molte cariche, l energia potenziale U è data da U( r 1, r 2,...) = i>j j kq i q j r i r j ovvero dalla somma dell energia potenziale di tutte le coppie di cariche. Se consideriamo invece una carica q in un campo elettrico E dato, possiamo definire l energia potenziale U tramite l espressione U( r B ) U( r A ) = B A q E d s (possiamo prendere U( r) = 0 per un qualche valore di r, come nell espressione dell energia potenziale di due cariche in cui si è assunto U( ) = 0; oppure limitarci a considerare differenze di energia potenziale che sono le sole significative)

4 Potenziale elettrico Il potenziale elettrico, o semplicemente potenziale, di solito indicato con V, è definito a partire dall energia potenziale U di una carica q come: V = U q (di nuovo, definito a meno di una costante come l energia potenziale) Il potenziale si misura in Volt: 1 V = 1 J/C. Si usa spesso come unità di misura dell energia in sistemi microscopici l elettronvolt (ev): 1eV è l energia acquistata da un elettrone che attraversa una differenza di potenziale di 1 V. 1 ev = C 1 V = J. Si usa spesso come unità di misura del campo elettrico il V/m

5 Potenziale e campo elettrico Fra il potenziale e il campo elettrico intercorre la stessa relazione che fra l energia potenziale e le forze (conservative): Dal campo elettrico si ricava il potenziale tramite il lavoro fatto dal campo (con segno negativo): V B V A = B A E d s Dal potenziale si ricava il campo elettrico tramite derivazione. Per un potenziale in una sola dimensione: In tre dimensioni: E( r) = dv (x) E(x) = dx. ( V (x, y, z), x V (x, y, z), y ) V (x, y, z) z (la quantità fra parentesi è nota come gradiente di una funzione)

6 Differenza di potenziale, campo elettrico uniforme Se il campo elettrico E è uniforme, la differenza di potenziale V = V B V A fra due punti vale V = B A E d s = E(x B x A ) Se la carica q è positiva, è spinta dal campo verso destra, dove V = Ex < 0: il potenziale diminuisce. Anche l energia potenziale diminuisce ( U = q V ) mentre l energia cinetica aumenta. Se q è negativa, sarà spinta dal campo verso sinistra, dove il potenziale aumenta: V = Ex > 0 (mentre U = q V diminuisce). Possiamo scrivere per il potenziale di un campo costante la forma: V (x) = Ex + V (x = 0) o più in generale V ( r) = E r + V ( r = 0)

7 Differenza di potenziale, campo elettrico uniforme II Assumiamo campo elettrico uniforme, E = V/m, distanza d = 0.5m. Differenza di potenziale fra le armature? V = V B V A = Ed = V. Variazione di energia potenziale? U = e V = J. A questo punto potete rispondere alla domanda: quanto vale l energia cinetica finale del protone? Sia il potenziale che l energia potenziale sono più bassi in B che in A. Riuscite a vedere la somiglianza fra questo caso e un corpo nel campo gravitazionale terrestre descritto da un energia potenzlale U = mgh?

8 Potenziale di cariche puntiformi Il potenziale generato da una carica puntiforme q si ricava dall espressione dell energia potenziale di due cariche puntiformi: U(r) = kq 1q r da cui V (r) = kq. (assumiamo V ( ) = 0) r In presenza di più cariche puntiformi, vale il principio di sovrapposizione lineare: il potenziale totale è la somma dei contributi delle varie cariche, V ( r) = k q i, dove r i è la distanza del punto r dalla carica q i. r i i Per una distribuzione continua di carica, la somma dq ρ( r) diventa un integrale: V = k r = k r dxdydz, dove r è la distanza della carica dq dal punto P dove si calcola il potenziale. E sempre complicato da calcolare ma più semplice che calcolare il campo elettrico!

9 Esempio: potenziale di un dipolo E la somma dei potenziali delle due cariche: V ( r) = V + ( r)+v ( r) = kq ( ) 1 r r + 1 r r ( r +, r posizione delle due cariche; r distanza dal centro del dipolo al punto P ). Si dimostra che per r >> a il potenziale è approssimabile come V ( r) k D ˆr r 2, D = e( r+ r ) Notare che lungo l asse y, r r + = r r e quindi V = 0. Lo stesso vale per tutto il piano yz ortogonale al dipolo e passante per il centro. Un piano su cui il potenziale ha valore costante si chiama equipotenziale.

10 Superfici equipotenziali Su di una superficie equipotenziale il potenziale ha un valore costante. Il campo elettrico è ortogonale ad una superficie equipotenziale (in caso contrario, la superficie non può essere equipotenziale!). Di conseguenza, le linee di forza sono ortogonali ad una superficie equipotenziale. Qui sopra: superfici equipotenziali per campo elettrico costante (piani), per campo elettrico di una carica (sfere), per un dipolo (forme più complesse, ma notare il piano equipotenziale a metà fra le cariche).

11 Conduttori e Potenziale Abbiamo visto che per un conduttore (ideale) il campo elettrico: è nullo ovunque all interno, e è ortogonale alla superficie e vale E = σ/ɛ 0, σ = densità di carica superficiale del conduttore Di conseguenza, conduttore: qualunque sia la carica sul il potenziale è costante su tutto il conduttore la sua superficie è equipotenziale Possiamo quindi parlare di conduttore a potenziale V perchè V ha un valore costante. In figura: potenziale e campo elettrico per una sfera metallica carica.

12 Condensatori Un qualunque sistema di conduttori che possa immagazzinare carica si chiama condensatore. Un condensatore particolarmente semplice e importante è il condensatore piano, formato da due lastre metalliche (armature) di area A tenute parallele a distanza d. Collegato ad una batteria che produce una differenza di potenziale V, il condensatore si carica di una carica +Q su di un armatura, Q sull altra. Linee di forza del campo elettrico per un condensatore piano. Il campo è quasi costante fra le armature, salvo vicino ai bordi, e quasi nullo al di fuori

13 Capacità di un condensatore La grandezza che caratterizza un condensatore è la capacità, ovvero il rapporto fra carica immagazzinata su di un armatura, Q, e differenza di potenziale fra le armature, V : Q = CV La capacità è veramente ciò che il nome suggerisce: capacità di immagazzinare carica. E una grandezza sempre positiva! La capacità si misura in Farad (F): 1 F = 1 C/V. In pratica, 1F è una capacità enorme: si usano da microfarad (µf) a picofarad (pf). La capacità di un condensatore dipende dalle sue caratteristiche geometriche e dalla presenza di dielettrico (materiale isolante polarizzabile).

14 Capacità di un condensatore piano Campo elettrico fra due lastre uniformemente cariche: E = σ ɛ 0 = Q Aɛ 0 Differenza di potenziale fra le armature di un condensatore piano: da cui: V = Ed = Q d Aɛ 0 C = ɛ 0A d La capacità aumenta all aumentare della superficie delle armature e al diminuire della distanza. Esempio: A = m 2, d=1 mm, capacità: C = ɛ ( ) 0A = d F = F = 3.54pF

15 Energia elettrostatica di un condensatore Portare una carica q da un armatura a potenziale 0 all altra a potenziale V richiede un lavoro W = V q. Calcoliamo il lavoro fatto per caricare il condensatore da q = 0 a q = Q, carica finale, ricordandoci che V V (q) = q/c: W = Q 0 V (q)dq = Q 0 q C dq = 1 C q 2 2 Q 0 = Q2 2C L energia potenziale U immagazzinata in un condensatore di capacità C con una carica Q = CV è quindi U = Q2 2C = 1 2 CV 2 Per un condensatore piano: C = aɛ 0 A/d, V = Ed, U = 1 2 (ɛ 0Ad)E 2. Notare la dipendenza dell energia elettrostatica da E 2 : è un risultato generale

16 Condensatore con dielettrico Un dielettrico è un materiale isolante polarizzabile: per esempio, contenente dipoli che sotto il campo elettrico si allineano. La polarizzazione produce un campo opposto al campo esterno che ne riduce la grandezza di un fattore ɛ > 1 (costante dielettrica). ɛ può valere da poco più di 1 fino a qualche decina. Per un conduttore ɛ =. A parità di carica immagazzinata, la differenza di potenziale fra le armature di un condensatore con dielettrico è ridotta di ɛ, per cui la capacità aumenta di ɛ: C = ɛɛ 0A d

17 Dipolo in un campo elettrico Perchè i dipoli si allineano in presenza di un campo elettrico? le forze agenti sulle due cariche di ogni dipolo producono un momento torcente: τ = 2qEa sin θẑ = DE sin θẑ (il segno è negativo perché la rotazione è in verso orario; ẑ esce dal foglio) Si può associare ad un dipolo D definito come in precedenza in un campo elettrico E una energia potenziale, funzione dell angolo θ: U(θ) = D E = DE cos θ Il momento torcente si ricava da τ = du dθ = DE sin θ

18 Condensatore con dielettrico (2) Consideriamo un condensatore di capacità C 0 in assenza di dielettrico, carico con carica Q, isolato. Inseriamo un dielettrico di costante dielettrica ɛ: Il campo elettrico nel condensatore, e la differenza di potenziale, diminuiscono di un fattore ɛ: E = E 0 ɛ, V = V 0 ɛ. La capacità aumenta di un fattore ɛ: C = ɛc 0 L energia elettrostatica: U = 1 2 CV 2 = 1 Q 2 2 C diminuisce di un fattore ɛ: U = U 0 /ɛ Il dielettrico è risucchiato nel condensatore: l energia diminuisce. E se colleghiamo il condensatore ad una batteria che tiene il potenziale costante?

19 Condensatori in parallelo Per due condensatori C 1 e C 2 in parallelo, abbiamo V 1 = V 2 e Q 1 = C 1 V, Q 2 = C 2 V, da cui Q = Q 1 + Q 2 = (C 1 + C 2 )V, ovvero C eq = C 1 + C 2.

20 Condensatori in serie In questo caso, abbiamo che Q 1 = Q 2 = Q da cui V 1 = Q/C 1, V 2 = Q/C 2, da cui V = V 1 + V 2 = Q(1/C 1 + 1/C 2 ), ovvero 1/C eq = 1/C 1 + 1/C 2.