y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per

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1 INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE Angela Donatiello

2 DEF. Una funzione y f() si dice infinitesimo per α se f () 0 α y infinitesimo per + + y 3 infinitesimo per 3 Esempi: Velocità di convergenza Se considero due funzioni y f () e y g() che sono entrambe infinitesime per α, allora esse si diranno infinitesimi simultanei. E possibile effettuare un confronto tra infinitesimi simultanei per comprendere quale delle due tende a zero più rapidamente. f () l 0 allora f() è dello stesso ordine di g(), ossia tendono a α g() zero con la stessa rapidità. Angela Donatiello

3 f () 0 allora f() è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a α g() g(), in quanto va a zero più rapidamente di g() f () ± α g() allora f() è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(), ossia tende a zero meno rapidamente di g(). Se non esiste Esempio α f () g() allora f() e g() non sono confrontabili. Gli infinitesimi f() sen e g() sono dello stesso ordine, infatti vale il sen ite notevole. 0 Gli infinitesimi f() ln(+) e g() sono dello stesso ordine, infatti ln( + ) 0 Angela Donatiello 3

4 L infinitesimo f() - cos è di ordine superiore rispetto all infinitesimo cos g() infatti 0 0 Come si valuta l ordine di un infinitesimo? Dati due infinitesimi y f() e y g() per, si dice che y f() è un infinitesimo di ordine n rispetto a g() (con n > 0), se f() è un infinitesimo dello stesso ordine di g() n, ossia se α f () g() n l α 0, finito Oss. Di solito come infinitesimo di riferimento, o infinitesimo campione, è scelto g() 0, con 0 oppure g() con ±, Esempio: L infinitesimo f() cos è un infinitesimo del ordine, infatti cos 0 (rispetto al campione ) Angela Donatiello 4

5 Infinitesimi equivalenti Due infinitesimi y f() e y g() si dicono infinitesimi equivalenti per f () g() e solo se. In tal caso si può scrivere () g() α f ~. α se Le due funzioni sono cioè approssimabili l una all altra per. Esse possono anche essere definite asintoticamente uguali. α Nel grafico sen ~ per 0 Ciò permette di effettuare il calcolo del ite con il passaggio all asintotico. cos 0 sin 0 poiché sen ~ e cos ~, 0 Angela Donatiello 5

6 DEF. Una funzione y f() si dice infinito per α se f () α y infinito per + y infinito per ± Esempi: Velocità di divergenza Se considero due funzioni y f () e y g() che sono entrambe infiniti per α, allora esse si diranno infiniti simultanei. E possibile effettuare un confronto tra infiniti simultanei per comprendere quale delle due tende a infinito più rapidamente. f () l 0 allora f() è dello stesso ordine di g(), ossia tendono a α g() infinito con la stessa rapidità. Angela Donatiello 6

7 f () 0 allora f() è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(), in α g() quanto va a infinito meno rapidamente di g() f () ± α g() allora f() è un infinito di ordine superiore rispetto a g(), ossia tende a infinito più rapidamente di g(). Se non esiste α f () g() allora f() e g() non sono confrontabili. n > m a n + n 0 a a n 0 n < m ± b m + b m b 0 0 a0 n m b0 Se n > m allora il polinomio al numeratore è un infinito di ordine superiore rispetto al polinomio al denominatore, se n < m sarà di ordine inferiore rispetto al denominatore, se n m saranno infiniti dello stesso ordine. Angela Donatiello 7

8 Come si valuta l ordine di un infinito? Dati due infiniti y f() e y g() per, si dice che y f() è un infinito di ordine n rispetto a g() (con n > 0), se f() è un infinito dello stesso ordine di g() n, ossia se α f () g() n l 0, finito Oss. Di solito come infinito di riferimento, o infinito campione, è scelto g (), con ± oppure g() con 0 0, Infiniti equivalenti Due infiniti y f() e y g() si dicono infiniti equivalenti per α f () g(). In tal caso si può scrivere () g() α f ~. α se e solo se Le due funzioni sono cioè approssimabili l una all altra per α. Esse possono anche essere definite asintoticamente uguali. Angela Donatiello 8

9 Esempio La funzione f () a g () 3. per viene detta parte principale di f() è un infinito equivalente Ciò permette di effettuare il calcolo del ite con il passaggio all asintotico. Esempio ± 3 + ± 3 ± 3 ± Applicazione: gerarchia degli infiniti Angela Donatiello 9

10 ASINTOTI DI UNA FUNZIONE Una retta si definisce asintoto per una curva se e solo se, al tendere dell ascissa e/o dell ordinata di un punto qualunque della curva all infinito, la distanza tra il punto e la retta tende a zero. y p p PH 0 Angela Donatiello 0

11 Un funzione può ammettere asintoti orizzontali, verticali, obliqui La funzione y f() ammette un asintoto orizzontale di equazione y q se accade che f () q La funzione y f() ammette un asintoto verticale di equazione c se accade che f () c Angela Donatiello

12 Data la funzione y f (), se si verifica che: [f ( ) (m + q)] 0 Allora si dice che la retta y m + qè asintoto obliquo per il grafico della funzione. La funzione y f() ammette pertanto un asintoto obliquo di equazione y m + q se accade che f () f () [f () m] m, finito q, finito Angela Donatiello

13 Esempi: y asintoto orizzontale di equazione y 4 e asintoti verticali di equazioni ± analizziamo le caratteristiche della funzione fino a costruirne il grafico probabile. Angela Donatiello 3

14 Grafico probabile di una funzione: Determinazione del dominio Studio del segno Analisi di eventuali simmetrie (pari, dispari, né pari né dispari) Ricerca delle intersezioni con gli assi Calcolo dei iti agli estremi del dominio Ricerca di eventuali asintoti Plot del grafico probabile della funzione Esempio y 3 + asintoto verticale di equazione, asintoto obliquo di equazione y 3 + Angela Donatiello 4

15 TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE Teorema di Weierstrass Se y f() è una funzione continua in un intervallo chiuso e itato [a,b], allora essa assume, in tale intervallo il massimo assoluto e il minimo assoluto. Ricordiamo: Si definisce massimo assoluto per una funzione il massimo del suo codominio, ossia l estremo superiore del codominio che appartiene al codominio. M è massimo assoluto di f() Df,f () M M f ( ), D 0 m è minimo assoluto di f() Df,f () m m f ( ), D 0 f f Angela Donatiello 5

16 Teorema dei valori intermedi Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e itato [a,b], allora essa assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo. f continua in [a,b] u : m u M, c [a,b]: f (c) u Angela Donatiello 6

17 Teorema di esistenza degli zeri Se y f() è una funzione continua in un intervallo itato e chiuso [a,b] e negli estremi dell intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all intervallo, in cui f si annulla. f continua in [a,b] f (a) f (b) < 0 ] a,b[ : f (c) 0 c Si osservi che una funzione continua nell intervallo chiuso [a,b] che soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri, se è anche strettamente monotona, allora ammetterà uno e un sol zero nell intervallo considerato. Angela Donatiello 7

18 METODO DI BISEZIONE Per determinare la radice di un equazione f() 0 si utilizza un metodo iterativo detto metodo di bisezione:. Si determina l intervallo che contiene la soluzione dell equazione f()0 attraverso il teorema degli zeri. Sia esso [,].. Dato l intervallo [,], si calcola la media di e : 3(+)/ 3. Si valuta quale sottointervallo [,3] o [3,] contiene la soluzione verificando la condizione f (a) f (b) < 0 4. Poi si reitera il calcolo. Angela Donatiello 8

19 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON CONFRONTO GRAFICO e + 0 Non risolubile algebricamente y y e Angela Donatiello 9

20 e + > e > 0 y y y > e y Vera per 0 > dove Angela Donatiello 0

21 Sappiamo che la funzione y e + è continua, poiché somma di funzioni continue. Nell intervallo [-,-0.5] assume valori di segno opposto f ( ) e f ( 0.5) e 0.5 0, < 0 e 0.5 e > Quindi esiste una soluzione dell equazione e + 0 che cade nell intervallo [-,-0.5] Calcoliamone la media: + m 0.5 0,75 Valutiamo ora quale dei due sottointervalli [-,-0.75] e [-0.75,-0.5] soddisfano ancora il teorema 0.75 f ( 0.75) e < 0 Quindi considero l intervallo [-0.75,-0.5] e ne calcolo ancora il punto medio: 0 Angela Donatiello

22 + m f ( 0.65) e < Quindi considero l intervallo [-0.65,-0.5] e ne calcolo il punto medio. + m E così via Alla fine ci avvicineremmo al valore fornito dal calcolatore Angela Donatiello

23 ESERCIZI y y Ricerca le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: y Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni: y + ln y Stabilisci se è verificato il teorema di esistenza degli zeri + + sen 0 in ln + 0 in 4 + 0, π in [ 0,],e e Angela Donatiello 3

24 Determina i punti di discontinuità e classifica le discontinuità delle seguenti funzioni: 3 y + 3 ( 3, specie, salto ) y y y (-, specie, salto 8) senπ 6 ( 3, specie) (0, 3 specie) y e ( 0, 3 specie) 3 Angela Donatiello 4

25 ln( + ) y ( -, specie; 0, 3 specie) > Si trovi per quali valori di a la funzione: e f () + a > 0 0 ammette una discontinuità di prima specie con salto uguale a 3 in 0. Si rappresenti poi la funzione trovata. Data la funzione f () a b > 0 0 si trovi per quali valori di a e b la funzione è continua nel punto 0 e presenta un asintoto verticale in - 4. Si rappresenti poi la funzione trovata. Angela Donatiello 5

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