Modellistica e Simulazione: il sistema di Rossler a.a Chiara Mocenni
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- Mirella Cavallaro
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1 Modellistica e Simulazione: il sistema di Rossler a.a Chiara Mocenni Il sistema di Rossler è il più semplice sistema di terzo ordine capace di manifestare comportamenti di tipo caotico. x = y z y = x+ ay z = b+ z( x c) Questo sistema presenta un solo termine non lineare, il prodotto tra z e x nella terza equazione, il quale è parte fondamentale del processo di stretching and folding tipico dei sistemi caotici. Consideriamo le prime due equazioni e supponiamo che z sia abbastanza piccolo da essere trascurato. Pertanto il sottosistema (1) x = y y = x+ ay può essere trasformato nell oscillatore lineare del secondo ordine x ax + x= 0 λ 1, = ( ) a± a 4
2 Con il parametro a positivo questo oscillatore ha uno smorzamento negativo, in più se a è compreso tra 0 e l origine è una spirale instabile. Vedendo il tutto in tre dimensioni questo significa che traiettorie vicine al piano (x,y) saranno respinte in maniera spiraliforme dall origine. Questo genera il dispiegamento delle traiettorie adiacenti, il quale è il primo ingrediente del caos Tutto ciò è generato solo da termini lineari, ma questo non basta per ottenere un comportamento caotico perché, se l intero sistema fosse lineare, l effetto di stretching continuerebbe fino a far divergere le traiettorie all infinito. Per confinare l azione di allontanamento all interno di una regione di spazio limitata, il termine non lineare è necessario. Il parametro c nella terza equazione agisce da soglia per attivare l azione non lineare di ripiegamento o folding. Considerando solamente la terza equazione si nota che, quando il valore di x è minore della costante c, il coefficiente di z è negativo, il sottosistema z è stabile e tende a riportare z a valori prossimi a b ( x c) dz b -b/(x-c) z
3 D altro canto, se x supera c allora z appare nella terza equazione moltiplicato per un fattore positivo e il precedente sistema stabile diverge. Scegliendo b>0 la divergenza avviene nel senso positivo degli z come è possibile vedere nella figura seguente. Cercheremo a questo punto di descrivere nella maniera più completa possibile i comportamenti del sistema in funzione del parametro più significativo e la scelta è ricaduta sul parametro a poiché la sua variazione determina la dinamica del sottosistema (1), cioè per certi dei suoi valori l oscillatore di secondo ordine presenta un punto fisso stabile oppure instabile. Cercheremo a questo punto di capire come tutto ciò si rifletta sul sistema considerato nella sua interezza e lo faremo fissando b e c rispettivamente ai valori e 4 e calcolando i punti fissi del sistema in funzione del parametro a. I valori di b e di c sono stati scelti poiché rendono semplici molti conti, comunque, dove possibile, sarà specificato se lo studio fatto vale in generale o solo per i particolari valori di b e c.
4 1 ( ) x 1, = c± c 4ab 1 y 1, = c± c ab a 1 ( ) z 1, = c± c 4ab a ( ) 4 Per b e c positivi, il sistema presenta due punti fissi fintanto che a è diverso da zero e minore di c /(4b). E utile quindi concentrasi inizialmente su valori di a negativi, vedere poi cosa succede se a=0 per poi spostarsi sull intervallo 0<a< c /(4b). Per fare ciò è necessario calcolare la matrice A del sistema linearizzato che risulta uguale a:
5 A = 1 a 0 z 0 x c Fissato un particolare valore di a negativo, ad esempio -6, e utilizzando un piccolo script su MATLAB, sono stati calcolate le coordinate dei punti, gli autovalori della matrice del sistema linearizzato A e gli autovettori associati. Dai risultati ottenuti si nota che uno dei due punti fissi è un fuoco stabile mentre l altro una sella come si può vedere dai dati e dalla figura seguenti. Da ora in poi chiameremo la sella S1ed il punto fisso P, tanto che abbia un comportamento stabile che instabile. a=-6 b= c=4 z1=(0.5/a)*(c+sqrt(c^-4*a*b)); z=(0.5/a)*(c-sqrt(c^-4*a*b)); y1=-z1; y=-z; x1=a*z1; x=a*z; punto_fisso_1=[x1 y1 z1] A1=[0-1 -1;1 a 0;z1 0 x1-c] [AUTOVETTORI_1,DELTA_1]=eig(A1) punto_fisso_=[x y z] A=[0-1 -1;1 a 0;z 0 x-c] [AUTOVETTORI_,DELTA_]=eig(A)
6 punto_fisso_1 = A1 = AUTOVETTORI_1 = AUTOVALORI_1 = punto_fisso_ = A = AUTOVETTORI_ = AUTOVALORI_ = Sella S1 x=6 y=1 z=-1 Fuoco Stabile P1 x=- y= z= Figura 1 : Fuoco stabile e sella per a=-6 b= c=4
7 Successivamente i valori dei due punti sono stati inseriti in MATCONT con il quale è stato fatto lo studio di biforcazione per valori di a minori di zero. Per a che tende a meno infinito non sono state riscontrate variazioni nel comportamento qualitativo dei due punti, l unico tipo di differenza si nota nella dislocazione spaziale di S1 e P poiché in entrambi si ha convergenza a zero lungo gli assi y, z e una divergenza verso infinito lungo l asse x. Il punto H riportato da MATCONT sulla traiettoria di biforcazione del punto di sella rappresenta una neutral saddle, cioè S1 per a= presenta due autovalori reali uguali in modulo ma di segno opposto. Sella neutra autovalori uguali ma di segno opposto Entrambi i punti divergono verso infinito lungo x Sella S1 Fuoco Stabile P Figura : Diagramma di biforcazione per a minore di zero (x contro a)
8 Per a -> 0 P converge ad un valore finito mentre S1 diverge all infinito lungo y e z e converge a Per a -> - i due punti convergono a zero lungo y e z e divergono lungo x Figura 3 : Diagramma di biforcazione per a minore di zero (y contro a) Per a=0 si ha un comportamento del sistema abbastanza bizzarro poiché i punti fissi non mutano il loro comportamento qualitativo ma, mentre il punto stabile P presenta coordinate finite, la sella S1 diverge all infinito. Per verificare ciò basta fare il limite per a che tende a zero dei due punti. 1 ( ) z1 = lim c+ c 4ab = + a 0 a 1 ( ) z1 = lim c+ c 4ab = + a 0 a 1 ( ) b z = lim c c 4ab = a 0 a c b y = z = c x = az = 0
9 Di seguito a tutto ciò, poiché il sistema presenta un solo punto fisso stabile, si è cercato di vedere se la stabilità fosse di tipo globale o solo locale. Purtroppo, da risultati sperimentali, si vede bene che esistono tre bacini di attrazione, i quali sono uno associato al punto stabile mentre gli altri ad una struttura a questo punto più complessa di un punto fisso che fa divergere le traiettorie all infinito. 3 bacino di attrazione 1 bacino di attrazione bacino di attrazione
10 Per a>0 si ha la dinamica più interessante dato che il sistema si avvicina alla zona di comportamento caotico. Comunque inizialmente prenderemo in considerazione il punto S1, il quale ricompare dall infinito e continua a comportarsi come una sella fin tanto che a risulta minore di c /(4b). Al raggiungimento di questo valore si ha una biforcazione di tipo nodo-sella, cioè S1 e P collidono in un unico punto per poi scomparire definitivamente per a> c /(4b). Questo si vede bene tanto dalle simulazioni con MATCONT che dallo studio dal punto di vista analitico dei punti fissi, infatti quando a=c /(4b) si ha che: c = 4b 4 = 0 1 = c a c ab x y z 1, 1, 1, 1 b = c= a c 1 b = c= a c Sella S1 Punto P Biforcazione Nodo-Sella
11 Nella figura precedente si può notare come MATCONT segnali il punto di collisione con la sigla LP (Limit Point) per indicare che, superato quel valore particolare di a, il punto fisso in esame scompare. Sovrapposto al all indicatore LP è presente l ulteriore marker H, il quale indica che il punto fisso, risultante dalla fusione di S1 e P1 in a= c /(4b), è una sella neutra ( Neutral Saddle ), cioè ha due autovalori uguali in modulo ma di segno opposto. A questo punto è necessario concentrarsi sulle biforcazioni cui va in contro il punto P per a compreso nell intervallo [0,c /4b] nel caso particolare di b= e c=4. Dallo studio fatto con MATCONT si è visto che il punto presenta una biforcazione di Hopf supercritica quando a= Conseguentemente P diviene una spirale instabile (due autovalori complessi e coniugati attraversano lo zero divenendo a parte reale positiva mentre il terzo autovalori è reale negativo) circondata un ciclo limite stabile.
12 Sella Biforcazione Nodo-Sella Spirale Stabile Fuoco Stabile Biforcazione di Hopf Spirale Instabile Figura 4 : Biforcazione do Hopf (x contro a) Dopo la biforcazione di Hopf, il punto P, come gia detto in precedenza, è divenuto una spirale instabile e così rimane sino alla biforcazione nodo-sella. A questo punto le coordinate del punto di Hopf sono state inserite in MATCONT il quale ci ha permesso di trovare la collocazione spaziale del ciclo, il suo periodo e di provarne effettivamente la stabilità.
13 Ciclo Limite Spirale Instabile T= X=0.106 Y= Z=0.513 a=0. Figura 5 : Ciclo limite per a=0. Come si può vedere dalla figura precedente la spirale instabile P è circondate da un nuovo attrattore, il ciclo limite C3, il quale è stabile e in questo caso, cioè con a=0., ha periodo T= Per a proprio uguale al valore di biforcazione il periodo T del ciclo è Ci concentriamo adesso sulle possibili evoluzioni del ciclo limite C3 e per fare ciò utilizziamo sempre MATCONT, posizionandoci sulle coordinate del punto di Hopf e continuando a far variare il parametro a. Poiché ci avviciniamo sempre di più alla zona di comportamento caotico ci aspettiamo che il ciclo limite presenti dei branching o dei raddoppiamenti di periodo che lo spingano verso il caos.
14 Evoluzione del ciclo limite al variare di a Raddoppiamento di periodo Figura 6 :Raddoppiamento di periodo per a= Come si vede dalla figura e come ci aspettavamo, il ciclo all aumentare di a presenta un raddoppiamento di periodo per a= Si comprende bene come questo primo raddoppiamento sia legato in qualche modo all azione della terza equazione del sistema, questo perché all aumentare del parametro a, il ciclo limite C3, che è più o meno centrato in zero, aumenta di raggio ed in particolare vicino al valore del raddoppiamento di periodo il ciclo limite raggiunge il valore 4 lungo la coordinata x. Questo valore, per c=4, destabilizza la terza equazione del sistema mettendo in moto il processo di folding gia citato nelle prime pagine e causando la divisione dell orbita.
15 Ciclo Limite per a=0. Ciclo Limite per a=0.3 Figura 7 : All'aumentare del valore del parametro il ciclo limite si avvicina al valore di inversione di stabilità della terza equazione del sistema Questo si comprende meglio pensando che l orbita del ciclo limite attraversa due zone ben distinte, separate dalla retta x=4 e di stabilità opposta, cioè una stabile e una instabile lungo l asse z. La penetrazione dell orbita nella zona instabile porta questa a divergere lungo le zeta positive e continuerebbe all infinito se non fosse presente una retroazione negativa nelle prima equazione capace di riportala nella zona di equilibrio.
16 Divergenza e successivo ripiegamento della traiettoria lungo z Figura 8 : Ciclo di periodo raddoppiato per a=0.35 Comunque, ritornando all analisi con MATCONT, si comprende meglio ciò che succede se facciamo continuare il punto di raddoppiamento di periodo. Il programma individua una orbita particolare che definisce branching point cycle, superata la quale il ciclo limite C3 diviene instabile. Come effetto collaterale si ha la formazione di un nuovo ciclo limite stabile e di periodo doppio rispetto all originale; in pratica il punto di branching si comporta come una biforcazione di Hopf per i cicli.
17 Branchig Point Cycle Evoluzione instabile del ciclo limite C3 dopo il Branching Figura 9 : Andamento in funzione di a del ciclo limite C3 reso instabile dal Branching Point Cycle Figura 10 : Andamento grafico x contro a
18 Branchig Point Cycle Ciclo limite stabile di periodo doppio Figura 11 : Evoluzione del ciclo limite di periodo doppio dopo il BPC Ciclo limite instabile Ciclo stabile di periodo doppio Figura 1 : Coesistenza del ciclo limite instabile C3 e del suo raddoppiamento di periodo
19 Le figure precedenti mostrano l andamento nel tempo del sistema nel caso di stato iniziale prossimo al ciclo limite C3 e per un valore del parametro a pari a Si vede bene come la traiettoria inizialmente rimane sul ciclo limite instabile per poi allontanarsi ed essere attratta verso quello stabile e di periodo doppio. Questo comportamento mette in luce nuovamente l effetto di stretching e folding presente nel sistema, poiché l evoluzione stabile del ciclo C3 non è altro che un suo stiramento e ripiegamento nello spazio. Purtroppo dopo il primo raddoppiamento di periodo MATCONT non ha più la sensibilità necessaria per detectare raddoppiamenti di periodo successivi, pertanto da questo punto in poi l analisi sarà portata avanti basandosi solamente sui dati ottenuti dall integrazione numerica. Comunque, estrapolando il comportamento del sistema dai dati ottenuti sino ad ora, ci aspettiamo una dinamica a cascata attraverso raddoppiamenti di periodo successivi e sempre più frequenti al variare di a e la conseguente generazione di cicli limite instabili. Pertanto esisterà un valore di accumulazione per a, tale che, una volta sorpassato, il sistema subentra nella zona di comportamento caotico. Per individuare questo valore e circoscrivere la zona caotica, le simulazioni sono state portate avanti in maniera ricorsiva, cioè attraverso aggiustamenti successivi del parametro e conseguenti simulazioni. Il grafico sottostante mostra i comportamenti del sistema relativi a vari intervalli del parametro a.
20 Figura 13 : Evoluzione verso il Caos La figura mostra in maniera grossolana l evoluzione del sistema al variare di a ed evidenzia l intervallo dei valori nei quali il sistema si comporta in maniera caotica. Superato questa finestra, il sistema diverge all infinito dato un qualsiasi stato iniziale. Figura 14 : Passaggio dal ciclo instabile di periodo a quello stabile di periodo 4 Figura 15 : Ciclo di periodo 8 e comportamento caotico
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