Modellistica e Simulazione: il sistema di Rossler a.a Chiara Mocenni

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Modellistica e Simulazione: il sistema di Rossler a.a Chiara Mocenni"

Transcript

1 Modellistica e Simulazione: il sistema di Rossler a.a Chiara Mocenni Il sistema di Rossler è il più semplice sistema di terzo ordine capace di manifestare comportamenti di tipo caotico. x = y z y = x+ ay z = b+ z( x c) Questo sistema presenta un solo termine non lineare, il prodotto tra z e x nella terza equazione, il quale è parte fondamentale del processo di stretching and folding tipico dei sistemi caotici. Consideriamo le prime due equazioni e supponiamo che z sia abbastanza piccolo da essere trascurato. Pertanto il sottosistema (1) x = y y = x+ ay può essere trasformato nell oscillatore lineare del secondo ordine x ax + x= 0 λ 1, = ( ) a± a 4

2 Con il parametro a positivo questo oscillatore ha uno smorzamento negativo, in più se a è compreso tra 0 e l origine è una spirale instabile. Vedendo il tutto in tre dimensioni questo significa che traiettorie vicine al piano (x,y) saranno respinte in maniera spiraliforme dall origine. Questo genera il dispiegamento delle traiettorie adiacenti, il quale è il primo ingrediente del caos Tutto ciò è generato solo da termini lineari, ma questo non basta per ottenere un comportamento caotico perché, se l intero sistema fosse lineare, l effetto di stretching continuerebbe fino a far divergere le traiettorie all infinito. Per confinare l azione di allontanamento all interno di una regione di spazio limitata, il termine non lineare è necessario. Il parametro c nella terza equazione agisce da soglia per attivare l azione non lineare di ripiegamento o folding. Considerando solamente la terza equazione si nota che, quando il valore di x è minore della costante c, il coefficiente di z è negativo, il sottosistema z è stabile e tende a riportare z a valori prossimi a b ( x c) dz b -b/(x-c) z

3 D altro canto, se x supera c allora z appare nella terza equazione moltiplicato per un fattore positivo e il precedente sistema stabile diverge. Scegliendo b>0 la divergenza avviene nel senso positivo degli z come è possibile vedere nella figura seguente. Cercheremo a questo punto di descrivere nella maniera più completa possibile i comportamenti del sistema in funzione del parametro più significativo e la scelta è ricaduta sul parametro a poiché la sua variazione determina la dinamica del sottosistema (1), cioè per certi dei suoi valori l oscillatore di secondo ordine presenta un punto fisso stabile oppure instabile. Cercheremo a questo punto di capire come tutto ciò si rifletta sul sistema considerato nella sua interezza e lo faremo fissando b e c rispettivamente ai valori e 4 e calcolando i punti fissi del sistema in funzione del parametro a. I valori di b e di c sono stati scelti poiché rendono semplici molti conti, comunque, dove possibile, sarà specificato se lo studio fatto vale in generale o solo per i particolari valori di b e c.

4 1 ( ) x 1, = c± c 4ab 1 y 1, = c± c ab a 1 ( ) z 1, = c± c 4ab a ( ) 4 Per b e c positivi, il sistema presenta due punti fissi fintanto che a è diverso da zero e minore di c /(4b). E utile quindi concentrasi inizialmente su valori di a negativi, vedere poi cosa succede se a=0 per poi spostarsi sull intervallo 0<a< c /(4b). Per fare ciò è necessario calcolare la matrice A del sistema linearizzato che risulta uguale a:

5 A = 1 a 0 z 0 x c Fissato un particolare valore di a negativo, ad esempio -6, e utilizzando un piccolo script su MATLAB, sono stati calcolate le coordinate dei punti, gli autovalori della matrice del sistema linearizzato A e gli autovettori associati. Dai risultati ottenuti si nota che uno dei due punti fissi è un fuoco stabile mentre l altro una sella come si può vedere dai dati e dalla figura seguenti. Da ora in poi chiameremo la sella S1ed il punto fisso P, tanto che abbia un comportamento stabile che instabile. a=-6 b= c=4 z1=(0.5/a)*(c+sqrt(c^-4*a*b)); z=(0.5/a)*(c-sqrt(c^-4*a*b)); y1=-z1; y=-z; x1=a*z1; x=a*z; punto_fisso_1=[x1 y1 z1] A1=[0-1 -1;1 a 0;z1 0 x1-c] [AUTOVETTORI_1,DELTA_1]=eig(A1) punto_fisso_=[x y z] A=[0-1 -1;1 a 0;z 0 x-c] [AUTOVETTORI_,DELTA_]=eig(A)

6 punto_fisso_1 = A1 = AUTOVETTORI_1 = AUTOVALORI_1 = punto_fisso_ = A = AUTOVETTORI_ = AUTOVALORI_ = Sella S1 x=6 y=1 z=-1 Fuoco Stabile P1 x=- y= z= Figura 1 : Fuoco stabile e sella per a=-6 b= c=4

7 Successivamente i valori dei due punti sono stati inseriti in MATCONT con il quale è stato fatto lo studio di biforcazione per valori di a minori di zero. Per a che tende a meno infinito non sono state riscontrate variazioni nel comportamento qualitativo dei due punti, l unico tipo di differenza si nota nella dislocazione spaziale di S1 e P poiché in entrambi si ha convergenza a zero lungo gli assi y, z e una divergenza verso infinito lungo l asse x. Il punto H riportato da MATCONT sulla traiettoria di biforcazione del punto di sella rappresenta una neutral saddle, cioè S1 per a= presenta due autovalori reali uguali in modulo ma di segno opposto. Sella neutra autovalori uguali ma di segno opposto Entrambi i punti divergono verso infinito lungo x Sella S1 Fuoco Stabile P Figura : Diagramma di biforcazione per a minore di zero (x contro a)

8 Per a -> 0 P converge ad un valore finito mentre S1 diverge all infinito lungo y e z e converge a Per a -> - i due punti convergono a zero lungo y e z e divergono lungo x Figura 3 : Diagramma di biforcazione per a minore di zero (y contro a) Per a=0 si ha un comportamento del sistema abbastanza bizzarro poiché i punti fissi non mutano il loro comportamento qualitativo ma, mentre il punto stabile P presenta coordinate finite, la sella S1 diverge all infinito. Per verificare ciò basta fare il limite per a che tende a zero dei due punti. 1 ( ) z1 = lim c+ c 4ab = + a 0 a 1 ( ) z1 = lim c+ c 4ab = + a 0 a 1 ( ) b z = lim c c 4ab = a 0 a c b y = z = c x = az = 0

9 Di seguito a tutto ciò, poiché il sistema presenta un solo punto fisso stabile, si è cercato di vedere se la stabilità fosse di tipo globale o solo locale. Purtroppo, da risultati sperimentali, si vede bene che esistono tre bacini di attrazione, i quali sono uno associato al punto stabile mentre gli altri ad una struttura a questo punto più complessa di un punto fisso che fa divergere le traiettorie all infinito. 3 bacino di attrazione 1 bacino di attrazione bacino di attrazione

10 Per a>0 si ha la dinamica più interessante dato che il sistema si avvicina alla zona di comportamento caotico. Comunque inizialmente prenderemo in considerazione il punto S1, il quale ricompare dall infinito e continua a comportarsi come una sella fin tanto che a risulta minore di c /(4b). Al raggiungimento di questo valore si ha una biforcazione di tipo nodo-sella, cioè S1 e P collidono in un unico punto per poi scomparire definitivamente per a> c /(4b). Questo si vede bene tanto dalle simulazioni con MATCONT che dallo studio dal punto di vista analitico dei punti fissi, infatti quando a=c /(4b) si ha che: c = 4b 4 = 0 1 = c a c ab x y z 1, 1, 1, 1 b = c= a c 1 b = c= a c Sella S1 Punto P Biforcazione Nodo-Sella

11 Nella figura precedente si può notare come MATCONT segnali il punto di collisione con la sigla LP (Limit Point) per indicare che, superato quel valore particolare di a, il punto fisso in esame scompare. Sovrapposto al all indicatore LP è presente l ulteriore marker H, il quale indica che il punto fisso, risultante dalla fusione di S1 e P1 in a= c /(4b), è una sella neutra ( Neutral Saddle ), cioè ha due autovalori uguali in modulo ma di segno opposto. A questo punto è necessario concentrarsi sulle biforcazioni cui va in contro il punto P per a compreso nell intervallo [0,c /4b] nel caso particolare di b= e c=4. Dallo studio fatto con MATCONT si è visto che il punto presenta una biforcazione di Hopf supercritica quando a= Conseguentemente P diviene una spirale instabile (due autovalori complessi e coniugati attraversano lo zero divenendo a parte reale positiva mentre il terzo autovalori è reale negativo) circondata un ciclo limite stabile.

12 Sella Biforcazione Nodo-Sella Spirale Stabile Fuoco Stabile Biforcazione di Hopf Spirale Instabile Figura 4 : Biforcazione do Hopf (x contro a) Dopo la biforcazione di Hopf, il punto P, come gia detto in precedenza, è divenuto una spirale instabile e così rimane sino alla biforcazione nodo-sella. A questo punto le coordinate del punto di Hopf sono state inserite in MATCONT il quale ci ha permesso di trovare la collocazione spaziale del ciclo, il suo periodo e di provarne effettivamente la stabilità.

13 Ciclo Limite Spirale Instabile T= X=0.106 Y= Z=0.513 a=0. Figura 5 : Ciclo limite per a=0. Come si può vedere dalla figura precedente la spirale instabile P è circondate da un nuovo attrattore, il ciclo limite C3, il quale è stabile e in questo caso, cioè con a=0., ha periodo T= Per a proprio uguale al valore di biforcazione il periodo T del ciclo è Ci concentriamo adesso sulle possibili evoluzioni del ciclo limite C3 e per fare ciò utilizziamo sempre MATCONT, posizionandoci sulle coordinate del punto di Hopf e continuando a far variare il parametro a. Poiché ci avviciniamo sempre di più alla zona di comportamento caotico ci aspettiamo che il ciclo limite presenti dei branching o dei raddoppiamenti di periodo che lo spingano verso il caos.

14 Evoluzione del ciclo limite al variare di a Raddoppiamento di periodo Figura 6 :Raddoppiamento di periodo per a= Come si vede dalla figura e come ci aspettavamo, il ciclo all aumentare di a presenta un raddoppiamento di periodo per a= Si comprende bene come questo primo raddoppiamento sia legato in qualche modo all azione della terza equazione del sistema, questo perché all aumentare del parametro a, il ciclo limite C3, che è più o meno centrato in zero, aumenta di raggio ed in particolare vicino al valore del raddoppiamento di periodo il ciclo limite raggiunge il valore 4 lungo la coordinata x. Questo valore, per c=4, destabilizza la terza equazione del sistema mettendo in moto il processo di folding gia citato nelle prime pagine e causando la divisione dell orbita.

15 Ciclo Limite per a=0. Ciclo Limite per a=0.3 Figura 7 : All'aumentare del valore del parametro il ciclo limite si avvicina al valore di inversione di stabilità della terza equazione del sistema Questo si comprende meglio pensando che l orbita del ciclo limite attraversa due zone ben distinte, separate dalla retta x=4 e di stabilità opposta, cioè una stabile e una instabile lungo l asse z. La penetrazione dell orbita nella zona instabile porta questa a divergere lungo le zeta positive e continuerebbe all infinito se non fosse presente una retroazione negativa nelle prima equazione capace di riportala nella zona di equilibrio.

16 Divergenza e successivo ripiegamento della traiettoria lungo z Figura 8 : Ciclo di periodo raddoppiato per a=0.35 Comunque, ritornando all analisi con MATCONT, si comprende meglio ciò che succede se facciamo continuare il punto di raddoppiamento di periodo. Il programma individua una orbita particolare che definisce branching point cycle, superata la quale il ciclo limite C3 diviene instabile. Come effetto collaterale si ha la formazione di un nuovo ciclo limite stabile e di periodo doppio rispetto all originale; in pratica il punto di branching si comporta come una biforcazione di Hopf per i cicli.

17 Branchig Point Cycle Evoluzione instabile del ciclo limite C3 dopo il Branching Figura 9 : Andamento in funzione di a del ciclo limite C3 reso instabile dal Branching Point Cycle Figura 10 : Andamento grafico x contro a

18 Branchig Point Cycle Ciclo limite stabile di periodo doppio Figura 11 : Evoluzione del ciclo limite di periodo doppio dopo il BPC Ciclo limite instabile Ciclo stabile di periodo doppio Figura 1 : Coesistenza del ciclo limite instabile C3 e del suo raddoppiamento di periodo

19 Le figure precedenti mostrano l andamento nel tempo del sistema nel caso di stato iniziale prossimo al ciclo limite C3 e per un valore del parametro a pari a Si vede bene come la traiettoria inizialmente rimane sul ciclo limite instabile per poi allontanarsi ed essere attratta verso quello stabile e di periodo doppio. Questo comportamento mette in luce nuovamente l effetto di stretching e folding presente nel sistema, poiché l evoluzione stabile del ciclo C3 non è altro che un suo stiramento e ripiegamento nello spazio. Purtroppo dopo il primo raddoppiamento di periodo MATCONT non ha più la sensibilità necessaria per detectare raddoppiamenti di periodo successivi, pertanto da questo punto in poi l analisi sarà portata avanti basandosi solamente sui dati ottenuti dall integrazione numerica. Comunque, estrapolando il comportamento del sistema dai dati ottenuti sino ad ora, ci aspettiamo una dinamica a cascata attraverso raddoppiamenti di periodo successivi e sempre più frequenti al variare di a e la conseguente generazione di cicli limite instabili. Pertanto esisterà un valore di accumulazione per a, tale che, una volta sorpassato, il sistema subentra nella zona di comportamento caotico. Per individuare questo valore e circoscrivere la zona caotica, le simulazioni sono state portate avanti in maniera ricorsiva, cioè attraverso aggiustamenti successivi del parametro e conseguenti simulazioni. Il grafico sottostante mostra i comportamenti del sistema relativi a vari intervalli del parametro a.

20 Figura 13 : Evoluzione verso il Caos La figura mostra in maniera grossolana l evoluzione del sistema al variare di a ed evidenzia l intervallo dei valori nei quali il sistema si comporta in maniera caotica. Superato questa finestra, il sistema diverge all infinito dato un qualsiasi stato iniziale. Figura 14 : Passaggio dal ciclo instabile di periodo a quello stabile di periodo 4 Figura 15 : Ciclo di periodo 8 e comportamento caotico

Il sistema di Rossler

Il sistema di Rossler Il sistema di Rossler Il sistema di Rossler è considerato il più semplice sistema di terzo ordine a tempo continuo capace di manifestare comportamenti di tipo caotico. = = + (1) = + Questo sistema presenta

Dettagli

ATTRATTORI CAOTICI. Attrattori. Classificazione degli attrattori: equilibri, cicli, tori, caos. Esponenti di Liapunov di attrattori

ATTRATTORI CAOTICI. Attrattori. Classificazione degli attrattori: equilibri, cicli, tori, caos. Esponenti di Liapunov di attrattori ARAORI CAOICI Attrattori Classificazione degli attrattori: equilibri, cicli, tori, caos Esponenti di Liapunov di attrattori Sistemi dissipativi C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012

Dettagli

Esercizi sul luogo delle radici

Esercizi sul luogo delle radici FA Esercizi 6, 1 Esercizi sul luogo delle radici Analisi di prestazioni a ciclo chiuso, progetto di regolatori facendo uso del luogo delle radici. Analisi di prestazioni FA Esercizi 6, 2 Consideriamo il

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare

Dettagli

Derivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III)

Derivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III) Derivazione numerica Introduzione al calcolo numerico Il calcolo della derivata di una funzione in un punto implica un processo al limite che può solo essere approssimato da un calcolatore. Supponiamo

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

Sistemi di Equazioni Differenziali

Sistemi di Equazioni Differenziali Sistemi di Equazioni Differenziali Nota introduttiva: Lo scopo di queste dispense non è trattare la teoria riguardo ai sistemi di equazioni differenziali, ma solo dare un metodo risolutivo pratico utilizzabile

Dettagli

ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1

ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1 Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 1 febbraio 2017 Testi 1

Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 1 febbraio 2017 Testi 1 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 206-7 Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione sin(2) 2. 2. Dire se esistono

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

Massimi e minimi relativi in R n

Massimi e minimi relativi in R n Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

STUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI

STUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI M. G. BUSATO STUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI mgbstudio.net PAGINA INTENZIONALMENTE VUOTA SOMMARIO In questo scritto viene compiuto lo studio dettagliato

Dettagli

Effetto convergente di uno specchio concavo: osservazione. Dimostrare la riflessione di raggi paralleli su uno specchio concavo

Effetto convergente di uno specchio concavo: osservazione. Dimostrare la riflessione di raggi paralleli su uno specchio concavo ESPERIENZA 7 Effetto convergente di uno specchio concavo: osservazione 1. Argomenti Dimostrare la riflessione di raggi paralleli su uno specchio concavo 2. Montaggio Fig. 1 3. Note al montaggio 3.1 Fissare

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi

Dettagli

Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Analisi modale per sistemi dinamici LTI TC Modi naturali di un sistema dinamico Analisi modale Esercizio 1 Costante di tempo Esercizio 2 2 Analisi modale per

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché

Dettagli

LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE

LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE INTRODUZIONE In generale, abbiamo un idea chiara del significato di pendenza quando viene utilizzata in contesti concernenti l esperienza quotidiana, ad esempio quando

Dettagli

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0 Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: Primo grado ax + b = 0 (a 0) x = b a Secondo grado ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Si hanno due soluzioni che possono essere reali

Dettagli

Controlli Automatici I

Controlli Automatici I Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone Controlli Automatici I LEZIONE V Sommario LEZIONE V Proprietà strutturali Controllabilità e raggiungibilità Raggiungibilità nei sistemi lineari Forma

Dettagli

Lezione 3 (2/10/2014)

Lezione 3 (2/10/2014) Lezione 3 (2/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. Tracciando un grafico approssimativo, discutere qualitativamente l esistenza di radici reali dei seguenti polinomi, al variare del parametro

Dettagli

rapporto tra ingresso e uscita all equilibrio.

rapporto tra ingresso e uscita all equilibrio. Sistemi Dinamici: Induttore: Condensatore: Massa: Oscillatore meccanico: Pendolo: Serbatoio cilindrico: Serbatoio cilindrico con valvola d efflusso: Funzione di Trasferimento: Stabilità del sistema: (N.B.

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

INTERPOLAZIONE. Introduzione

INTERPOLAZIONE. Introduzione Introduzione INTERPOLAZIONE Quando ci si propone di indagare sperimentalmente la legge di un fenomeno, nel quale intervengono due grandezze x, y simultaneamente variabili, e una dipendente dall altra,

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

Diagrammi di Nyquist o polari

Diagrammi di Nyquist o polari 0.0. 3.3 1 qualitativa Ampiezza Diagrammi di Nyquist o polari Esempio di diagramma polare senza poli nell origine: 40 20 G(s) = 100(1+ s 50 ) (1+ s 10 )2 (1+ s 20 )(1+ s 100 ) Imag 0 20 15 20 30 80 0.1

Dettagli

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x Capitolo USO DELLE DERIVATE IN ECONOMIA Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione Si definisce derivata della funzione y f() nel punto 0 del suo insieme

Dettagli

Il sistema di Lorenz. http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/lorenz/ giovedì 24 novembre 11

Il sistema di Lorenz. http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/lorenz/ giovedì 24 novembre 11 Il sistema di Lorenz http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/lorenz/ Edward Lorenz Professor of Meteorology at the Massachusetts Institute of Technology In 1963 derived a three dimensional system

Dettagli

CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale ANALISI ARMONICA

CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale  ANALISI ARMONICA CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI ARMONICA Ing. Federica Grossi Tel. 059 2056333 e-mail: federica.grossi@unimore.it

Dettagli

Accoppiamento elastico

Accoppiamento elastico Accoppiamento elastico Tutti gli accoppiamenti tra motore e carico ( o sensore ) non sono perfettamente rigidi, ma elastici. In generale tra gli alberi del motore e del carico si ha un giunto, quest'ultimo

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità

Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità Si determini se i sistemi lineari tempo invarianti ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), Σ c : y(t) = Cx(t) + Du(t). x(k + ) = Ax(k) + Bu(k), Σ d : y(k)

Dettagli

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione

Dettagli

Problemi con discussione grafica

Problemi con discussione grafica Problemi con discussione grafica Un problema con discussione grafica consiste nel determinare le intersezioni tra un fascio di rette (proprio o improprio) e una particolare funzione che viene assegnata

Dettagli

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k ) Discutere e risolvere il sistema 6x + y + kz 8 x + y z x y z al variare del parametro k R Per k 8, determinare gli autovalori ed autovettori della matrice incompleta oluzione Il sistema in esame ha tre

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente 1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della

Dettagli

Analisi Matematica e Geometria 1

Analisi Matematica e Geometria 1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Le Derivate Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato durante

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA

ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA Ing. Federica Grossi Tel.

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della

Dettagli

Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A

Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A. 5-6 Corso di CALCOLO NUMERICO / ANALISI NUMERICA : Esempi di esercizi svolti in aula 5//5 ) Dato un triangolo, siano a, b le lunghezze di

Dettagli

Funzione di trasferimento

Funzione di trasferimento Funzione ditrasferimento - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Funzione di trasferimento DEIS-Università di Bologna Tel. 51 2932 Email: crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Definizione

Dettagli

6. LIMITI. Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti

6. LIMITI. Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 6. LIMITI Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 IDEA INTUITIVA DI LIMITE I Caso: comportamento di una

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni

Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)

Dettagli

ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (1)

ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (1) ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (1) Problematiche Ricostruzione dello stato Dimensione di embedding C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 28/12/2009 1/15 Per studiare e comprendere appieno

Dettagli

Esercizi di Fisica LB - Ottica

Esercizi di Fisica LB - Ottica Esercizi di Fisica LB - Ottica Esercitazioni di Fisica LB per ingegneri - A.A. 2003-2004 Esercizio Un sistema ottico centrato è costituito (da sinistra a destra) da una lente sottile biconcava (l indice

Dettagli

Soluzioni delle Esercitazioni VIII 21-25/11/2016. = lnx ln1 = lnx. f(t)dt.

Soluzioni delle Esercitazioni VIII 21-25/11/2016. = lnx ln1 = lnx. f(t)dt. Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 Soluzioni delle Esercitazioni VIII -5//6 A. Funzione integrale. La funzione integrale di f nell intervallo [, ] è per definizione F() = dt con [,].

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

INSIEMI FRATTALI. Dimensione di un insieme. Insiemi frattali elementari. Dimensioni frattali. Insiemi frattali e sistemi dinamici

INSIEMI FRATTALI. Dimensione di un insieme. Insiemi frattali elementari. Dimensioni frattali. Insiemi frattali e sistemi dinamici INSIEMI FRATTALI Dimensione di un insieme Insiemi frattali elementari Dimensioni frattali Insiemi frattali e sistemi dinamici C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 30/11/2011 1/29 Caratteristiche

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE

1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Facoltà di Farmacia e Medicina - Corso di Laurea in CTF 1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE Consideriamo il seguente problema: trovare l area del parallelogramma

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari)

Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari) Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari). Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato

Dettagli

Corso di Matematica per la Chimica

Corso di Matematica per la Chimica Corso di Matematica per la Chimica Dott.ssa Maria Carmela De Bonis Dipartimento di Matematica, Informatica e Economia Università della Basilicata a.a. 2014-15 Propagazione degli errori introdotti nei dati

Dettagli

I LIMITI. non è definita per valori della x uguali a + 5 e 5. In questo caso l insieme di variabilità della variabile x, che si chiama dominio, è

I LIMITI. non è definita per valori della x uguali a + 5 e 5. In questo caso l insieme di variabilità della variabile x, che si chiama dominio, è I LIMITI LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE A UN VALORE FINITO. Tra i tanti obiettivi che l analisi matematica si prefigge vi è quello di tracciare i grafici delle funzioni nel piano cartesiano

Dettagli

Francesco Zumbo

Francesco Zumbo La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it

Dettagli

Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano

Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 3.4 Metodi di ricerca unidimensionale In genere si cerca una soluzione approssimata α k di min g(α) = f(x k +αd k

Dettagli

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A Prova scritta del 23.02.2009 Compito A Esercizio 1. Sia Oxyz un sistema di riferimento ortonormale in uno spazio euclideo di dimensione 3. Siano inoltre P 1, P 2 e Q i punti di coordinate rispettivamente

Dettagli

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo

Dettagli

Equazioni lineari con due o più incognite

Equazioni lineari con due o più incognite Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

Hoze Davidhi Esercitazione di laboratorio #2. Risposta a ingressi canonici di sistemi del primo ordine

Hoze Davidhi Esercitazione di laboratorio #2. Risposta a ingressi canonici di sistemi del primo ordine Hoze Davidhi 145794 Esercitazione di laboratorio #2 Risposta a ingressi canonici di sistemi del primo ordine Funzione di trasferimento del sistema Polo (p) +5 0-5 -20 Costante di tempo 0.2s 0.05s, con

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE

ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE Dati i punti : A (,) B (6,-) C (-3,-3) determinare:. il perimetro del triangolo avente come vertici i punti A,B,C. l area del triangolo avente come vertici i punti

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio.

Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio. 1 Funzione Continua Una definizione intuitiva di funzione continua è la seguente. Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio. Seppure questa non è una

Dettagli

Correzione secondo compitino, testo B

Correzione secondo compitino, testo B Correzione secondo compitino, testo B 7 aprile 2010 1 Parte 1 Esercizio 1.1. Tra le funzioni del vostro bestiario, le funzioni che più hanno un comportamento simile a quello cercato sono le funzioni esponenziali

Dettagli

R. Capone Analisi Matematica Integrali multipli

R. Capone Analisi Matematica Integrali multipli Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx

Dettagli

RISONANZA. Fig.1 Circuito RLC serie

RISONANZA. Fig.1 Circuito RLC serie RISONANZA Risonanza serie Sia dato il circuito di fig. costituito da tre bipoli R, L, C collegati in serie, alimentati da un generatore sinusoidale a frequenza variabile. Fig. Circuito RLC serie L impedenza

Dettagli

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme

Dettagli

2 - Le successioni per ricorrenza

2 - Le successioni per ricorrenza - Le successioni per ricorrenza Le successioni per ricorrenza sono un po come le serie numeriche delle successioni di numeri reali abbastanza particolari. A differenza delle successioni standard, come

Dettagli

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

Esercizi sulle radici

Esercizi sulle radici Esercizi sulle radici Semplificazione Per semplificare una radice utilizzando, quando necessario, i valori assoluti, dobbiamo ricordare che se una radice ha indice pari, il suo radicando (il numero che

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni Esercizi riguardanti iti di successioni e di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Novembre 20. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori,

Dettagli

Elementi di Teoria dei Sistemi. Definizione di sistema dinamico. Cosa significa Dinamico? Sistema dinamico a tempo continuo

Elementi di Teoria dei Sistemi. Definizione di sistema dinamico. Cosa significa Dinamico? Sistema dinamico a tempo continuo Parte 2, 1 Parte 2, 2 Elementi di Teoria dei Sistemi Definizione di sistema dinamico Parte 2, 3 Sistema dinamico a tempo continuo Cosa significa Dinamico? Parte 2, 4? e` univocamente determinata? Ingresso

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

FUNZIONI LINEARI (Retta, punto di pareggio e relazioni lineari generalizzate)

FUNZIONI LINEARI (Retta, punto di pareggio e relazioni lineari generalizzate) FUNZIONI LINEARI (Retta, punto di pareggio e relazioni lineari generalizzate) Copyright SDA Bocconi, Milano La retta Una retta può essere espressa secondo due formulazioni: a. Forma esplicita b. Forma

Dettagli

Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti

Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di

Dettagli

Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s

Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).

Dettagli

1 Il polinomio minimo.

1 Il polinomio minimo. Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene

Dettagli