TRIGONOMETRIA MISURA DEGLI ANGOLI
|
|
- Alfredo Rossa
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 TRIGONOMETRIA MISURA DEGLI ANGOLI Fino ad ora abbiamo misurato gli angoli col sistema sessagesimale (in inglese degree). Secondo tale sistema l angolo giro è di 360, quello piatto è di 180, quello retto è di 90. I sottomultipli del grado sono i primi e i secondi e occorrono 60 secondi per fare un primo e 60 primi per fare un grado. Questo sistema è poco coerente con il sistema decimale e richiede calcoli più o meno complessi per compiere operazioni matematiche. Per questo motivo gli anglosassoni usano il sistema centesimale (in inglese grad). In tale sistema l angolo giro è di 400, il piatto di 200 e il retto di 100. La grande semplificazione di tale sistema sta nel fatto che il primo sottomultiplo del grado è il decimo di grado, il secondo è il centesimo di grado, il terzo il millesimo di grado e così via. Per questo motivo in tale sistema si applicano le comuni operazioni dell aritmetica decimale. In matematica e soprattutto in fisica e in informatica il sistema più usato è quello radiante che fa corrispondere all angolo giro 2π, al piatto π, al retto π/2. Possiamo sintetizzare quanto detto nella seguente tabella: ANGOLO GRADI SESSAGESIMALI GRADI CENTESIMALI RADIANTI GIRO π PIATTO π RETTO π/2 Vediamo ora come è possibile passare dalla misurazione degli angoli in gradi sessagesimali alla misurazione in radianti. Per fare ciò ricorriamo ad una proporzione. Si voglia, ad esempio, trasformare in radianti l angolo di 30. Se chiamiamo x la misura in radianti dell angolo di 30, possiamo affermare che 180 corrisponde a π come 30 corrisponde a x. In notazione matematica questa affermazione diviene: 180 :π=30 :x, da cui ricaviamo che : x = 30π = π
2 Riportiamo nella seguente tabella gli angoli più importanti: GRADI SESSAGESIMALI RADIANTI π/12 30 π/6 45 π/4 60 π/3 75 5π/12 90 π/2 180 π 270 3π/ π L utilità del sistema radiante si sostanzia nella corrispondenza diretta esistente tra angoli espressi in radianti al centro di una circonferenza ed archi corrispondenti sulla circonferenza stessa. Si consideri una circonferenza di raggio r: Il perimetro della circonferenza è pari a P=2πr. In sostanza, per calcolare il perimetro della circonferenza abbiamo moltiplicato l angolo giro 2π per il raggio r. Si noti che la circonferenza può essere considerata l arco corrispondente all angolo 2π. Usiamo questa proprietà per calcolare la misura di qualsiasi arco. Ad esempio si voglia calcolare la misura dell arco AB di una circonferenza di raggio r corrispondente ad un angolo al centro di 30. Poiché l angolo di 30 corrisponde a π/6 radianti, l arco AB si ottiene moltiplicando l angolo espresso in radianti e il raggio: AB =π/6 *r.
3 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Consideriamo un sistema di assi cartesiani e una circonferenza con il centro coincidente con l origine degli assi e il raggio unitario (r =1). Tale circonferenza viene detta circonferenza goniometrica (fig.1). Sulla circonferenza goniometrica consideriamo un punto P, tale che il raggio OP formi con l asse delle x l angolo orientato α (α è positivo se forma una rotazione antioraria rispetto a x). FIG.1 Il punto P ha coordinate: P (OH; PH) Si definisce seno dell angolo α l ordinata del punto P: sen α=ph. Si definisce coseno dell angolo α l ascissa del punto P: cos α=oh Prolunghiamo il raggio OP e chiamiamo P 2 l intersezione di tale prolungamento con la retta tangente alla circonferenza del punto P 1 di incontro tra la circonferenza e l asse delle x (fig.2) Si definisce tangente dell angolo α l ordinata del punto P 2 : P 2 P 1 =tan α P 2 P 1 =tg α
4 FIG.2 Consideriamo ora la tangente alla circonferenza goniometrica portata per il punto A 1 di intersezione tra la circonferenza e l asse delle ordinate. Indichiamo inoltre con A 2 l intersezione tra tale tangente e il prolungamento del raggio OP (FIG.3). FIG.3 Si definisce cotangente dell angolo α l ascissa del punto A 2 : A 1 A 2 =cotanα A 1 A 2 =cotgα.
5 Conduciamo una tangente alla circonferenza goniometrica nel punto P (vedi FIG.4). Il raggio OP formi con l asse delle x l angolo orientato α. Se chiamiamo S l eventuale punto d incontro tra la suddetta tangente e l asse delle ascisse e S l eventuale punto d incontro con l asse delle ordinate, si definisce secante dell angolo α l ascissa del punto S : OS=sec α. Si definisce cosecante dell angolo α l ordinata del punto S : OS =cosec α. FIG.4
6 VARIABILITA DELLA FUNZIONE SENO FIG.5 Nel primo quadrante il seno dell angolo è sempre positivo, coincidente con l ordinata PH del punto P. In particolare quando α è zero, è zero anche PH, quindi nullo risulta essere il seno di zero. All aumentare dell angolo α aumenta anche PH e quindi il seno dell angolo. Al limite del primo quadrante α diviene π/2, PH coincide con il raggio, il seno di π/2 è quindi uno, poiché il raggio è pari ad uno. Sintetizzando possiamo affermare che nel primo quadrante l angolo va da zero a π/2, il seno dell angolo è positivo e cresce dal valore zero (sen 0 = 0) al valore 1 (sen π/2 =1 ). Nel secondo quadrante l angolo passa dal valore π/2 a π. Il seno è anche in esso positivo, in quanto le ordinate PH sono positive. In particolare a π/2 il seno vale 1, coincidendo PH con il raggio unitario. Aumentando l angolo α da π/2 a π l ordinata PH diminuisce, per cui diminuisce anche il seno dell angolo. Alla fine del secondo quadrante l angolo diviene π, PH si annulla e diviene 0 anche il seno di π. In sintesi nel secondo quadrante il seno è positivo e decresce, passando dal valore 1 (sen π/2 = 1) al valore 0 (sen π = 0). Nel terzo quadrante l angolo passa da π a 3π/2, il seno è negativo, in quanto l ordinata PH è negativa. In particolare a π PH è nulla, il seno è nullo. Man mano che
7 cresce l angolo il segmento PH aumenta, ma, poiché l ordinata è negativa, il seno decresce. A 3π/2 (limite del quadrante) PH diviene -1. In sintesi nel terzo quadrante il seno è negativo e decresce passando da 0 (sen π = 0) a -1 (sen 3π/2 = -1). Nel quarto quadrante il seno è negativo, in quanto PH è negativo. Il seno cresce perché PH passa dal valore -1 a 3π/2 al valore 0 a 2π. Sintetizzando in esso il seno è negativo e passa dal valore -1 (sen 3π/2=-1) al valore 0 (sen 2π=0). α Sen α I QUADRANTE 0 α π/2 Da 0 a 1 II QUADRANTE π/2 α π Da 1 a 0 III QUADRANTE π α 3π/2 Da 0 a -1 IV QUADRANTE 3π/2 α 2π Da -1 a 0 Rappresentiamo ora la funzione seno in un diagramma (la sinusoide FIG.6), che presenta sull asse delle ascisse gli angoli, su quello delle ordinate i seni degli angoli. Come abbiamo visto in precedenza, il seno assume valore minimo -1 e massimo 1 (varia tra -1 e 1), per cui possiamo disegnare sul diagramma una fascia tra -1 e 1 oltre la quale non può esistere la funzione seno. FIG.6 In sequenza le coordinate dei punti O,A,B,C,D, sono O (0;sen0) (0;0) A (π/2;senπ) (π/2;1) B (π;senπ) (π;0) C (3π/2;sen3π/2) (3π/2;-1) D (2π;sen2π) (2π;0) Unendo con una curva appropriata i punti indicati in figura si ottiene la sinusoide. In realtà essa va continuata nella stessa maniera ad intervalli di 2π (si dice che la funzione seno è di periodo 2π), infatti ogni 2π in seno presenta gli stessi risultati.
8 Due angoli sono congruenti quando si differenziano dalla quantità di 2π o multipla di 2π. Ad esempio π/2 e 5π/2 (π/2+2π) sono congruenti perché si differenziano di 2π ed hanno lo stesso valore del seno. VARIABILITA DELLA FUNZIONE COSENO FIG.7 Sappiamo che il coseno di un angolo è l ascissa di un punto P che si trova sulla circonferenza goniometrica (nel caso in figura il segmento OH). Nel primo quadrante il segmento OH è positivo, in particolare quando α è 0, OH coincide con il raggio unitario e il coseno è 1 (cos0=1). Man mano che cresce α, diminuisce il segmento OH e quindi il coseno di α. Quando è π/2, OH diviene 0, nullo risulta quindi essere il coseno di π/2 (cosπ/2=0). In sintesi il coseno del primo quadrante è positivo e decrescente, passando dal valore 1 a 0, al valore 0 a π/2. Nel secondo quadrante il segmento OH diviene negativo, per cui il coseno è negativo e passa dal valore 0 per α pari a π/2 (cosπ/2=0) al valore -1 per α=π (cosπ=-1). Il coseno quindi decresce passando da 0 a -1. Sintetizzando il coseno del secondo quadrante è negativo e decrescente passando dal valore 0 a π/2 al valore -1 a π. Nel terzo quadrante il coseno è negativo, crescente dal valore -1 per α=π al valore 0 per α=3π/2. Nel quarto quadrante il segmento OH torna ad essere positivo, per cui positivo è il coseno. Esso inoltre è crescente, poiché passa dal valore 0 per α=3π/2 (cos3π/2=0) al valore 1 per α=2π (cos2π=1).
9 Sintetizzando nel quarto quadrante il coseno è positivo e crescente passando dal valore 0 a 3π/2 al valore 1 a 2π. La seguente tabella contiene tutto ciò che abbiamo detto: α cosα I QUADRANTE 0 α π/2 Da 1 a 0 II QUADRANTE π/2 α π Da 0 a -1 III QUADRANTE π α 3π/2 Da -1 a 0 IV QUADRANTE 3π/2 α 2π Da 0 a 1 Rappresentiamo ora funzione coseno in un diagramma (cosinusoide), che presenta sull asse delle ascisse gli angoli e su quello delle ordinate il coseno degli angoli. Come per la funzione seno anche il coseno varia tra -1 e 1 (-1 valore minimo, 1 valore massimo) per cui anche in questo caso tracciamo una fascia tra -1 ed 1 oltre la quale il coseno non può esistere. FIG.8 In sequenza le coordinate dei punti A,B,C,D,E sono: A (0;cos0) (0;1) B (π/2;cosπ/2) (π/2;0) C (π;cosπ) (π;-1) D (3π/2;cos3π/2) (3π/2;0) E (2π;cos2π) (2π;1) Unendo con una curva appropriata I punti individuati in figura si ottiene la cosinusoide. Anche la cosinusoide come la sinusoide va continuata identica a se stessa ad intervalli di 2π. Per questo motivo possiamo affermare che anche il coseno ha periodo 2π, presentando ogni 2π gli stessi valori. È interessante confrontare la sinusoide con la cosinusoide. Come si può osservare le due curve sono identiche e sfasate di π/2.
10 VARIABILITA DELLA FUNZIONE TANGENTE Come si può osservare nella figura 9 A nel primo quadrante la tangente dell angolo è positiva. In particolare quando α è nullo il segmento PH, che rappresenta la tangente diviene 0 (P coincidente con H). Man mano che α cresce (α 3 >α 2 >α 1 >α P 3 H>P 2 H>P 1 H>PH) cresce la tangente. Man mano che α si avvicina a π/2 la tangente tende a diventare grandissima. Quando α diviene 90 il punto P tende all infinito, in quanto il segmento OP tende a diventare parallelo alla tangente. Possiamo dire che a π/2 la tangente dell angolo è più infinito (+ ). In sintesi possiamo dire che nel primo quadrante la tangente è positiva, crescente dal valore 0 (tan0=0) a + (tanπ/2=+ ). FIG. 9 A FIG. 9 B
11 Per comprendere meglio la variabilità della funzione tangente nel secondo quadrante partiamo da π e torniamo a ritroso verso π/2 (figura 9 B). A π il punto coincide con H, quindi la tangente è nulla. Man mano che l angolo decresce, passando da α ad α 1, la tangente in valore assoluto cresce (P 1 H>PH), ma in realtà decresce poiché è negativa. Man mano che si avvicina l angolo a π/2 (da sinistra) l ordinata del punto P corrispondente sulla tangente diventa un numero negativo sempre più grande. In particolare la tangente a π/2 è meno infinito (- ), in quanto il segmento OP tende a diventare parallelo alla tangente. Sintetizzando nel secondo quadrante la tangente è crescente, negativa e passa dal valore - (tanπ/2=- ) al valore 0 (tanπ=0). FIG. 10 A FIG. 10 B Come si può osservare dalla figura 10 A l angolo α del terzo quadrante ha la stessa tangente PH dell angolo del primo quadrante. In particolare possiamo scrivere che α=π+β tanα= tan(π+β)= tanβ. Per questo motivo da π a 3π/2 si ripropongono gli stessi valori della tangente riscontrati da 0 a π/2. In sintesi, quindi, possiamo dire che nel terzo quadrante la tangente è positiva e crescente e passa dal valore 0 (tanπ=0) a + (tan3π/2=+ ). Osservando la figura 10 B, possiamo dedurre che la tangente dell angolo α del quarto quadrante (segmento PH) coincide con la tangente dell angolo β del secondo quadrante.
12 Infatti è: α=π+β tanα= tan(π+β)= tanβ. Nel quarto quadrante, quindi si propongono gli stessi valori del secondo quadrante, per cui, sintetizzando, possiamo affermare che in esso la tangente cresce ed è negativa e passa dal valore - (tan3π/2=- ) al valore 0 (tan2π=0). FIG. 11 Riportiamo i valori 0 della tangente a 0, π e 2π e i valori + e - a π/2 e 3π/2 (FIG.11). Si ottiene la tangendoide. Come si può osservare due rami che hanno gli stessi valori distano di π, per cui possiamo affermare che la funzione tangente ha periodo π. Per completare la tangendoide si prosegue il grafico in modo identico ogni π.
13 VARIABILITA DELLA FUNZIONE COTANGENTE Come sappiamo, la cotangente dell angolo α coincide con il segmento PH della figura 12 A. Per questo motivo possiamo affermare che la cotangente nel primo quadrante è positiva. Per semplificare lo studio della cotangente nel primo quadrante, partiamo dall angolo π/2 e, a ritroso andiamo verso l angolo 0. A π/2 il segmento PH è nullo, per cui risulta la cotangente di π/2 uguale a 0. Man mano che decresce l angolo andando verso 0 il segmento PH cresce, la cotangente quindi diventa più grande. Quando l angolo tende a 0, il segmento PH tende verso l infinito, in quanto il segmento OP tende a disporsi parallelamente alla retta cui si individua la cotangente. La cotangente a 0 è quindi +. Sintetizzando, si può affermare che nel primo quadrante la cotangente è positiva e decrescente, passando dal valore + a 0 (cotg0=+ ) al valore 0 a π/2 (cotgπ/2=0). FIG. 12 A FIG. 12 B Nel secondo quadrante (FIG. 12 B) il segmento PH che rappresenta la cotangente è negativo, la cotangente, quindi, è negativa. In particolare a π/2 PH è nullo ed è nulla anche la cotangente, crescendo α PH diviene un numero negativo sempre più grande e la cotangente decresce. Avvicinandosi α a π, il segmento PH tende a divenire un numero negativo infinitamente grande e il segmento PO tende ad essere parallelo alla retta su cui giace la cotangente. A π, quindi, la cotangente è -. In sintesi, nel secondo quadrante la cotangente è negativa, decrescente e passa dal valore 0 a π/2 (cotgπ/2=0) al valore - a π (cotgπ=- ).
14 FIG. 13 A FIG. 13 B Osservando la figura 13 A, si nota che l angolo α del terzo quadrante corrisponde a quello β del primo, per cui in esso si ripropongono gli stessi valori della cotangente nel primo quadrante. Si ha, quindi, sintetizzando che la cotangente del terzo quadrante è negativa e decrescente e passa dal valore + a π (cotgπ=+ ) al valore 0 a 3π/2 (cotg3π/2=0). L angolo α del quarto quadrante (fig. 13 B) ripropone gli stessi valori del secondo quadrante relativi all angolo β, per cui si ha la perfetta coincidenza fra questi due quadranti in relazione alla funzione cotangente. Sintetizzando si ha quindi che nel quarto quadrante la cotangente è negativa e decrescente e passa dal valore a 3π/2 (cotg3π/2=0) al valore - a 2π (cotg2π=- ). Sia per la tangente che per la cotangente, quindi si ha che: tanα= tan(π+β)= tanβ ; cotgα=cotg(π+β)=cotgβ. Riportiamo i valori 0 della cotangente a π/2 e 3π/2 e i valori + e - a 0, π e 2π. Otteniamo così la cotangendoide. Si noti che la curva assume gli stessi valori ogni π, per cui possiamo affermare che la funzione cotangente è di periodo π. Il grafico completo della cotangendoide si ottiene disegnando i valori degli angoli congruenti al primo giro.
15 IDENTITA FONDAMENTALI DELLA TRIGONOMETRIA Consideriamo la circonferenza goniometrica e un punto P su di essa. Vista la figura, possiamo scrivere: 1) PO = 1 ; PH = senα ; OH = cosα Il triangolo PHO è rettangolo e OH e PH sono i cateti, PO è l ipotenusa. Applicando il teorema di Pitagora si ottiene: 2) PH 2 +OH 2 =OP 2. Sostituendo la 1) nella 2), si ottiene: sen 2 α + cos 2 α = 1 che viene detta prima identità fondamentale della trigonometria. Si consideri la circonferenza goniometrica e un angolo α al centro. Osservando la figura possiamo scrivere che: 1) PH=senα ; OH=cosα ; QK=tanα ; OK=1 I triangoli PHO e QKO sono simili, perchè sono entrambi rettangoli ed hanno l angolo α in comune. Per questo motivo possiamo scrivere la seguente proporzione: 2) QK : PH = OK : OH (QK sta a PH perché entrambi opposti all angolo α; OK sta a OH perché entrambi adiacenti all angolo α). Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene: tanα : senα = 1 : cosα applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni si ottiene: tanα cosα = senα, da cui, infine, si ricava: senα tanα = cosα che è la seconda identità fondamentale della trigonometria.
16 Consideriamo un angolo α al centro di una circonferenza goniometrica e la sua È evidente che i due triangoli, essendo entrambi retti, avranno anche il terzo angolo uguale, che chiameremo β. cotangente KQ. Per quanto detto in precedenza, possiamo scrivere: 1) KQ=cotgα ; PH=senα ; OH=cosα ; OK=1 Consideriamo i due triangoli rettangoli OHP, retto in H, e OKQ, retto in K. L angolo POH del primo triangolo è uguale all angolo OQK del secondo, in quanto sono angoli alterni interni rispetto alla retta parallela (asse delle x e cotangente) tagliate dalla trasversale OQ. Chiamiamo tali angoli α. I due triangoli sono, quindi, simili, per cui possiamo scrivere: 2) OH : KQ = PH : OK. Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene: cosα : cotgα = senα : 1. Applicando la proprietà fondamentale della proporzione, si ottiene: cotgα senα = cosα, da cui infine si ricava: cosα cotgα = senα che è la terza identità fondamentale della trigonometria.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE ANGOLI Col termine angolo indichiamo la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine, chiamata vertice. Possiamo definire anche l angolo come la parte di piano
DettagliFunzioni goniometriche
Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione
DettagliUNITÀ DIDATTICA 3 FUNZIONI GONIOMETRICHE
UNITÀ DIDATTICA FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 La misura degli angoli In ogni circonferenza è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra angoli al centro e archi: a ogni angolo al centro corrisponde
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE Misura degli angoli Seno, coseno e tangente di un angolo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Angoli notevoli Grafici delle funzioni goniometriche GONIOMETRIA : scienza
DettagliTRIGONOMETRIA. Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto.
TRIGONOMETRIA DA RICORDARE: Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 80 Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90 Due angoli si dicono opposti quando la
DettagliLE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato
DettagliIl valore assoluto (lunghezza, intensita )
Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza
DettagliSENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO
Goniometria e trigonometria Misurare gli angoli nel sistema circolare L unità di misura del sistema circolare è il radiante def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un
DettagliCorso di Analisi: Algebra di Base. 7^ Lezione
Corso di Analisi: Algebra di Base 7^ Lezione Goniometria.Elementi di trigonometria piana. Unità di misura degli angoli. Misura di angoli orientati. Circonferenza goniometrica. Angoli e archi noti. Le funzioni,
DettagliAndamento e periodo delle funzioni goniometriche
Andamento e periodo delle funzioni goniometriche In questa dispensa ricaviamo gli andamenti delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente tra 0 e 360, detti, rispettivamente, sinusoide,
DettagliAngolo. Si chiama angolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O.
Angolo Si chiama angolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O. Trigonometria - Corso di matematica - Alessia Ceccato 1 Circonferenza goniometrica
DettagliTrigonometria angoli e misure
Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico 27-28 R. Folgieri 27-28 1 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si
DettagliNote di trigonometria
Note di trigonometria Daniel Gessuti indice Elementi di Trigonometria Seno, coseno e tangente Relazione fondamentale Secante, cosecante e cotangente 3 Le funzioni seno, coseno e tangente e le loro inverse
DettagliLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. Prof.ssa CaterinaVespia
LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 1 LE FUNZIONI SENO E COSENO Detto P il punto sulla circonferenza che è associato all angolo α, e H il punto della proiezione di P sull asse delle x, si definisce: coseno seno
DettagliTeoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14
Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche
DettagliVerifica di Topografia
ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI " In Memoria dei Morti per la Patria " * CHIAVARI * ANNO SCOLASTICO 2010-2011 Verifica di Topografia classe 3^ Geometri 1) In un appezzamento a forma
DettagliELEMENTI DI TRIGONOMETRIA
ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA Sommario ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA... 1 Premessa... Gli angoli... Angoli orientati... Le funzioni goniometriche elementari... 4 Proprietà delle funzioni goniometriche... Le relazioni
DettagliRisoluzione dei triangoli rettangoli
Risoluzione dei triangoli rettangoli In questa dispensa esamineremo il problema della risoluzione dei triangoli rettangoli. Riprendendo la definizione di seno e coseno, mostreremo come questi si possano
DettagliAlcune nozioni di trigonometria 1
Alcune nozioni di trigonometria. Angoli In un sistema di assi cartesiani ortogonali la misura degli angoli si effettua a partire dal semiasse positivo delle x, assumendo come positivo il verso antiorario.
Dettagli1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE
1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di
DettagliAnno Scolastico:
LICEO SCIENTIFICO DI STATO "G. BATTAGLINI" TARANTO PROGRAMMA DI MATEMATICA svolto nella Classe III Sezione A. Anno Scolastico: 2012-2013. Docente: Francesco Pantano. 1. Disequazioni. Richiami sulle disequazioni
DettagliTRIGONOMETRIA E COORDINATE
Y Y () X O (Y Y ) - α X (X X ) 200 c TRIGONOMETRI E OORDINTE ngoli e sistemi di misura angolare Funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei triangoli
DettagliScopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che come sappiamo è 3.
MODULO 3 LEZIONE 3 parte 2 Trigonometria: La risoluzione dei triangoli. Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che
DettagliLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La misura degli angoli Si chiama angolo la porzione di piano racchiusa tra due semirette. Angolo convesso Angolo concavo Le unità di misura degli angoli sono: il grado sessagesimale
DettagliPrerequisiti di Matematica Trigonometria
Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Angoli Un angolo è una porzione di piano
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliCopyright Esselibri S.p.A.
.2. Risoluzione di triangoli qualsiasi In questo paragrafo estenderemo le funzioni goniometriche anche ad angoli retti ed ottusi, per potere risolvere triangoli qualsiasi. er fare ciò ovviamente vogliamo
DettagliCapitolo 1 - Elementi di trigonometria
Capitolo 1 - Elementi di trigonometria 1.1 Unità di misura angolari Esistono quattro unità di misura principali degli angoli: sessagesimali, sessadecimali, centesimali e radianti. Negli angoli sessagesimali
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
DettagliVerifica di Topografia
ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI " In Memoria dei Morti per la Patria " * CHIAVARI * ANNO SCOLASTICO 2010-2011 Verifica di Topografia classe 5^ Geometri 1) Se il seno e il coseno di
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliTrigonometria. Parte della matematica che si occupa di studiare le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo
Trigonometria Parte della matematica che si occupa di studiare le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo I triangoli rettangoli Premessa: ricordiamo le definizioni di seno e coseno di un angolo
DettagliI.I.S. "Morea-Vivarelli" -- Fabriano CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
I.I.S. "Morea-Vivarelli" -- Fabriano CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Classe II a Agrario Modulo A UNITÀ 1 ANGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE AMODULO PROVE Questionario Vero/Falso
DettagliFunzioni goniometriche di angoli notevoli
Funzioni goniometriche di angoli notevoli In questa dispensa calcoleremo il valore delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli di 30, 45 e 60. Dopo aver richiamato il concetto di sezione aurea
DettagliELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA
Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA ELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA Goniometria e trigonometria sono due termini che derivano dal greco e significano
DettagliQuestionario di GONIOMETRIA. per la classe 3^ Geometri
Questionario di GONIOMETRIA per la classe 3^ Geometri Questo questionario è impostato su 33 domande disponibili e ideate per la verifica prevista dopo la parte di corso fino ad oggi svolta. Tutte le domande
DettagliCENNI DI TRIGONOMETRIA
CENNI DI TRIGONOMETRIA Seno Consideriamo una circonferenza C e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che la circonferenza C sia centrata nell origine degli assi e abbia raggio. Dall origine
DettagliCAPITOLO 1. Archi e Angoli. 1. Gradi sessaggesimali. 2. Angoli radianti. 3. Formule di trasformazione
TRIGONOMETRIA CAPITOLO 1 Archi e Angoli 1. Gradi sessaggesimali La misura dell'ampiezza di un angolo è ottenuta solitamente ponendo l'ampiezza di un angolo giro uguale a 360, e quindi l'unità, 1 grado,
DettagliUn triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI
Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele, scaleno CLASSIFICAZIONE RISPETTO
DettagliCOMPENDIO TRIGONOMETRIA
TORINO MAGGIO 2011 COMPENDIO DI TRIGONOMETRIA di Bart VEGLIA 1 FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 Premessa La trigonometria ha lo scopo, come dice il nome, (dal greco, trigonon = triangolo e metron = misura) di
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Dettagli1. LA GEOMETRIA ANALITICA
LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento
DettagliRepetitorium trigonometriae - per immagini
Repetitorium trigonometriae - per immagini Regole di base Ipotenusa Opposto Adiacente Tenendo a mente la seguente nomenclatura di un triangolo rettangolo si ha: sin = Opposto Ipotenusa cos = Adiacente
DettagliStabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.
Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
Dettagli1 I solidi a superficie curva
1 I solidi a superficie curva PROPRIETÀ. Un punto che ruota attorno ad un asse determina una circonferenza. PROPRIETÀ. Una linea, un segmento o una retta che ruotano attorno ad un asse determinano una
DettagliIndice del vocabolario della Geometria euclidea
Indice del vocabolario della Geometria euclidea 1 Postulati di appartenenza: piano, retta e punto nello spazio Punto, retta, piano nello spazio Punto, retta nel piano Punto nella retta Punto esterno alla
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).
ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica
DettagliLABORATORIO DI MATEMATICA: COORDINATE POLARI ESTENSIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
LABORATORIO DI MATEMATICA: COORDINATE POLARI ESTENSIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Uno strumento, che ci suggerisce come ampliare le nostre conoscenze, è il radar, strumento fondamentale nella navigazione
DettagliVerifiche di matematica classe 3 C 2012/2013
Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
DettagliAnno 4 Archi e angoli
Anno 4 Archi e angoli 1 Introduzione In questa lezione illustreremo gli angoli e gli archi. In particolare, parleremo di: angoli e archi orientati metodi di misurazione degli angoli in funzione dell unità
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MACERATA. Scuola Interuniversitaria di Specializzazione all Insegnamento Secondario
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MACERATA Scuola Interuniversitaria di Specializzazione all Insegnamento Secondario Anno Accademico 2006-2007 VII Ciclo III semestre TIROCINIO INDIRETTO del 25/10/2006 SPECIALIZZANDI
DettagliSoluzione Problema 1
Soluzione Problema 1 1. Ricordiamo che una funzione h(x) è derivabile in un punto c se esiste finita la sua derivata nel punto c. Per il significato geometrico della derivata ciò significa che esiste ed
DettagliFUNZIONI TRIGONOMETRICHE
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE RICHIAMI DI TEORIA Definizione: si dice angolo positivo individuato dalla coppia di semirette r e r' uscenti dal punto O, l'insieme dei punti del piano descritti dai punti di r
DettagliUna circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto
La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.
DettagliTriangolo rettangolo
Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa
DettagliDato un angolo α e il suo complementare (π/2 α) il seno del complementare equivale a:
6651 6652 6653 6654 6655 6656 6657 6658 L'equazione 2 senx 1 = 0 per 0 x < 2π ha: A) una soluzione B) quattro soluzioni C) solo due soluzioni D) infinite soluzioni Dato l'angolo α di 90, si può affermare
DettagliISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS EMPOLI PIANO DI LAVORO PROF. BICCI ANDREA CONSIGLIO DI CLASSE 3 SEZ. B Informatica INDIRIZZO INFORMATICO ANNO SCOLASTICO 2015-2016 MATERIE MATEMATICA (tre ore settimanali)
DettagliMatema&ca. TRIGONOMETRIA La trigonometria. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica
Matema&ca TRIGONOMETRIA La trigonometria DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica INTRODUZIONE Finora ci siamo occupati di goniometria, ossia della misura di angoli e delle funzioni goniometriche
DettagliSIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI
www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione
DettagliSoluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008
Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sunra J.N. Mosconi 19 giugno 008 Problema 1 (a) Determiniamo in funzione di a i lati del triangolo. Essendo l angolo BĈA retto
Dettaglisen ; e sul teorema del coseno. 2
Esercizi sul grafico di funzioni: Lunghezza di una corda ( ) sen e sul teorema del coseno Esercizi sulla equazione della circonferenza centrata in un generico punto (, ) R Il prodotto di una funzione pari
Dettagli2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.
CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliSESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE
SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei
DettagliLe funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati,
Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati, detti periodi, si ripetono con le stesse modalità: il
DettagliEsame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s
Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).
Dettagli2. Calcola, enunciando, descrivendo e applicando la definizione, la derivata della 2
Domande di matematica per l esame di stato per il liceo classico Analisi matematica 1. Spiega quando una funzione è un infinitesimo e quando è un infinito per x che tende a x 0. Quali sono i possibili
DettagliCorso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (EUROPA) - a.s Soluzione di De Rosa Nicola
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (EUROPA - a.s. 007-008 MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (EUROPA ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria
DettagliLA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.
1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def. Circonferenza Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una
DettagliPiano cartesiano e retta
Piano cartesiano e retta Il punto, la retta e il piano sono concetti primitivi di cui non si da una definizione rigorosa, essi sono i tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Osservazione
Dettagli4^C - Esercitazione recupero n 4
4^C - Esercitazione recupero n 4 1 Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per deitare il perimetro di un'aiuola rettangolare a Qual è l'aiuola di area massima che è possibile deitare? b Lo stesso
DettagliIl Piano Cartesiano Goniometrico
Valori di seno e coseno per angoli multipli di / Il Piano Cartesiano Goniometrico Seno e coseno: valori per angoli particolari September 1, 010 Valori di seno e coseno per angoli multipli di / Sommario
Dettaglirapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della
DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un
DettagliIstituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri. Classe III C ESERCIZI ESTIVI 2013/14
Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri Classe III C ESERCIZI ESTIVI 013/14 ALUNNO CLASSE ESEGUI TUTTI GLI ESERCIZI SU UN FOGLIO PROTOCOLLO O UN QUADERNO. Ulteriore
DettagliV il segmento orientato. V con VETTORI. Costruzione di un vettore bidimensionale
VETTORI Costruzione di un vettore bidimensionale Nel piano con un righello si traccia una retta r tratteggiata Su r si disegna un segmento di lunghezza l d una delle estremità si disegni la punta di una
DettagliEquazioni parametriche goniometriche
Equazioni parametriche goniometriche Discutere un equazione parametrica significa stabilire, al variare del parametro, il numero di soluzioni dell equazione soddisfacenti le limitazioni assegnate all incognita.
Dettagliil discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere
Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE Prof. E. Modica
FUNZIONI GONIOMETRICHE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Consideriamo un triangolo A rettangolo in B e sia α l angolo acuto di vertice A. Successivamente, consideriamo
DettagliFunzioni trigonometriche
trigonometriche Il cerchio trigonometrico Consideriamo in un piano cartesiano la circonferenza con il centro nell origine e avente per raggio il segmento che è stato fissato come unità di misura per i
DettagliLA TRIGONOMETRIA NELLA TOPOGRAFIA
UNIVERSITA D ANNUNZIO PESCARA-CHIETI FACOLTA DI ARCHITETTURA LAUREA TRIENNALE TECNICHE DEL COSTRUIRE LA TRIGONOMETRIA NELLA TOPOGRAFIA DISPENSE DEL CORSO DI TOPOGRAFIA DEL PROF. PAOLO DI CESARE ANNO ACCADEMICO
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 Sessione suppletiva
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 006 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano, riferito
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
DettagliMINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO
Sessione Ordinaria in America 4 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (Americhe) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 4 SECONDA PROVA SCRITTA
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliGeometria Analitica Domande e Risposte
Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
DettagliConoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.
Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliDERIVATE E LORO APPLICAZIONE
DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x
DettagliMicroeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini
Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo
DettagliProgramma di Matematica Liceo Scientifico A. Romita Classe: 4G a.s.:2015 / 2016
Programma di Matematica Liceo Scientifico A. Romita Classe: 4G a.s.:2015 / 2016 Le funzioni goniometriche La misura degli angoli Gli angoli e la loro ampiezza La misura in gradi La misura i radianti Dai
DettagliTRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 1 TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 1 TRIGONOMETRIA Introduzione La trigonometria è la parte della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo. A partire dai primi anni
DettagliSoluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008
Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi 19 giugno 008 1. La proposizione è falsa. Per trovare un controesempio ad essa, si consideri un qualunque piano
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliDISCUSSIONE DI PROBLEMI GEOMETRICI RISOLTI PER VIA TRIGONOMETRICA
DISCUSSIONE DI PROLEMI GEOMETRICI RISOLTI PER VI TRIGONOMETRIC Problema n 1 Detto il punto medio del segmento C = 4r, nello stesso semipiano disegnare la semicirconferenza di diametro ed il triangolo isoscele
DettagliUNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA
UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme
Dettagli