II ELEMENTI DI MATEMATICA. Capitolo 2 ELEMENTI DI MATEMATICA. 2.1 Euclide, Cartesio, Eulero, Peano, Mandelbrot. Visione euclidea

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1 II ELEMENTI DI MATEMATICA Capitolo ELEMENTI DI MATEMATICA. Euclide, Cartesio, Eulero, Peano, Mandelbrot. Tessellazioni regolari e irregolari.3 Geometria computazionale.4 Introduzione alla geometria frattale.5 Conclusioni. Euclide, Cartesio, Eulero, Peano, Mandelbrot Visioni matematiche dello spazio Definizione: modo di vedere la struttura e l organizzazione degli oggetti nello spazio Geometria (etimologicamente): misura della terra Visione euclidea Oggetti nel piano o nello spazio Oggetti perfetti (cerchi, quadrati, ecc.) Poligoni conosciuti attraverso i loro vertici Particelle = poligoni Unità di lunghezza e di superficie Perimetro, superficie Studio degli oggetti isolati Cap : Elementi di Matematica

2 Oggetti euclidei Visione cartesiana Assi D et 3D (mosca volante) Coordinate (x, y, z) Posizione relativa degli oggetti nello spazio Necessità di un sistema di riferimento Y O Z O X Y D 3D Visione peaniana Giuseppe Peano Definizione di un punto, di una linea, ecc. Esistono punti a D, a 3D Curve che empiono lo spazio Pixel = quadratino, o punto? X Cap : Elementi di Matematica

3 Oggeti peaniani Visione frattale Creata da Benoît Mandelbrot Il modello euclideo è insufficiente per gli oggetti naturali (fiume, colline, isole, ecc.) Oggetti limitati da piccolissimi segmenti Visione ricorsiva e stocastica Il fiocco di Koch. Tassellazioni regolari e irregolari Pavimenti, nidi d ape Ripetizioni iterative Grammatica di forme iterative Cap : Elementi di Matematica 3

4 Tassellazioni regulari.3 Geometria computazionale Operazioni su punti, linee e segmenti Appartenenze Operazioni sui poligoni Operazioni su punti, linee e segmenti Intersezione di linee e di segmenti Generalizzazione di linee Rappresentazione Punto : x, y oppure x, y, z, spesso, x, y, z, t Segmenti : insieme di punti localizzati su una linea limitata da due estremità ==> rappresentazione in intensione equazione parametrica : x = x a +u (x b -x a ) y = y a +u (y b -y a ) Con o u Cap : Elementi di Matematica 4

5 Rappresentazione dei segmenti Generalizzazione di una polilinea y B(xb,yb) y B u= t> Punti di cui distanza è inferiore a una soglia A(xa,ya) A u=0 u<0 0<u< Origine x Origine x Rappresentazione con le estremità Rappresentazione parametrica Linea originale Linea generalizzata Appartenenza R : y=3x+ Esatta : (x=0, y=) Approssimativa (x=0, y= ) Problemi dei pixels: si clica nel centro del pixel, ma la retta non passa esattamente nel centro del pixel Appartenenza di un punto a un cerchio Y y 0 0 x 0 Cerchio : Se (x-x 0 ) + (y-y 0 ) - R = 0 allora sul cerchio (impossibile informaticamente) Se (x-x 0 ) + (y-y 0 ) - R > 0 allora esterno Se (x-x 0 ) + (y-y 0 ) - R < 0 allora interno R X Cap : Elementi di Matematica 5

6 Y y max y min Appartenenza di un punto a un rettangolo x min x max Rettangolo : Se (x min <x<x max ) and (y min <y<y max ) allora interno Se (x<x min ) or (x>x max ) or (y<y min ) or (y>y max ) allora esterno X Appartenenza di un punto a un poligono qualsiasi Caso semplice Rettangoli con i lati paralleli agli assi Caso comune Poligono connesso Caso generale Poligono con buchi ed isole soluzione : teorema della semi-retta di Jordan Appartenenza di un punto a un poligono: teorema di Jordan Operazioni sui poligoni 0 punto candidato semi-retta Rettangolo minimo (MBR) Unione, intersezione, differenza Calcolo della superficie numero delle intersezioni con i lati Rubber-sheeting 4 Un punto è interno se il numero delle intersezioni è dispari Un punto è esterno se il numero delle intersezioni è pari Cap : Elementi di Matematica 6

7 Rettangolo minimo di un poligono Unione ed intersezione di due poligoni Y y max Poligono Poligono A Poligono B Rettangolo minimo y min x min x max Due poligoni A et B Unione di A e B Intersezione di A e B X Taglio di due poligoni in fette parallele Metodo delle fette per determinare l'unione e l'intersezione di due poligoni POLIGONI FETTATI INTER- SEZIONE UNIONE Poligono A Poligono B Cap : Elementi di Matematica 7

8 Calcolo della superficie di un triangolo Superficie di ogni triangolo con il prodotto vettoriale V3 = V V V Calcolo della superficie di un poligono qualsiasi Taglio in triangoli ST O = [( x x0) ( y y0) + ( x x0) ( y y0)] V i= n S = ( ( xiyi + xi + yi)) + ( xny xyn) i= Rubber-sheeting.4 Introduzione alla geometria frattale Presentazione di alcuni oggetti frattali Mappa iniziale Punti di controllo da muovere Benoît Mandelbrot Nuova mappa Punti fissi Forme ricorsive (autosimilarità) Frattali stocastici Cap : Elementi di Matematica 8

9 Esempio Curva di Koch : tappe iniziali Ripetizioni ricorsive Iniziatore Ripetitore Il fiocco di Koch Generatore d isole Iniziatore Ripetitore Punto di partenza Prima tappa Seconda tappa Cap : Elementi di Matematica 9

10 Polvere di Cantor e oggetti derivati Altri oggetti frattali Curva di Levy Dragone di Heighway Polvere di Cantor Pettine di Cantor Polvere di Cantor Tappetto di Sierpinski Collana di Cantor Città di Cantor Variazioni aleatorie Terreni Piante ecc. Frattali stocastici Spostamento aleatorio del medio di un segmento Segmento di partenza a tappa a tappa 3 a tappa Cap : Elementi di Matematica 0

11 Metodo d'interpolazione stocastica dei terreni Parecchie fasi A H B Procedura E I F C G D Prima tappa Seconda tappa Dan Connelly Curve di Peano Definizione e proprietà elementari Curve che empiono lo spazio Curve che passano ad ogni punto dello spazio Curva di Hilbert, e in N di Peano Codifica delle chiavi sulle curve Cap : Elementi di Matematica

12 Fasi iniziali della curva di Hilbert Fasi iniziali della curva in N di Peano Ottenimento delle chiave di Peano con bit alternati Cifre dopo la virgola X = 0 0 Y = X = 0 0 Y = P = P = (x = 3) e (y = ) => p = 4 (x =,5) e (y =,0) => p = 3,5 Cap : Elementi di Matematica

13 Ordine in N di Peano Ordine di Hilbert Conclusioni Importanza delle geometrie euclidea, peaniana e frattale Uso per gli algoritmi Uso per la modellistica dei dati spaziali Uso per l'indicizzazione spaziale (ORACLE) Cap : Elementi di Matematica 3